Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 12MA1e

Differentialrechnung

• Die Steigung m einer Kurve f in einem bestimmten Punkt P0 ist definiert durch die Steigung m der Tangente, die in diesem Punkt P0 an der Kurve f liegt.
  Die Schwierigkeit, diese Steigung zu bestimmen, liegt in der Definition der Tangente: Eine Gerade, die mit einer Kurve (in einer gewissen Umgebung) nur genau einen Punkt gemeinsam hat.
  Zur Bestimmung einer Gerade und damit auch deren Gleichung benötigt man aber 2 Punkte.
• Man kann sich behelfen, indem man zunächst einen zweiten Punkt P auf der Kurve annimmt und damit zwar nicht die Tangente, dafür aber eine Sekante bestimmt, deren Steigung der Tangente ähnlich ist.
  Lässt man nun diesen Punkt P auf der Kurve zum Punkt P0 wandern, so wird sich die Steigung der Sekante der Tangentensteigung immer mehr angleichen und im Grenzfall P→P0 wird die Sekantensteigung sogar zur Tangentensteigung.
• Mit einem Klick auf folgendes Bild wird ein GeoGebra-Arbeitsblatt gestartet, mit dem man spielerisch diese Annäherung und Bestimmung der Tangentensteigung nachvollziehen kann.
  
• Im Schnelldurchgang haben wir als Wiederholung folgende Formeln für die Bildung der Ableitung hergeleitet:
  
  Als Hausaufgabe sollen Sie die Steigung des Graphen der Funktion f mit der Gleichung f(x)=x²+8 an der Stelle x₀=-2 berechnen.
  Falls Sie dazu Hilfe benötigen, schauen Sie doch einmal das entsprechende Arbeitsblatt an.
  
• Zum Problem "Eindeutigkeit des Wertes einer Wurzel ↔ 2 Lösungen bei quadratischen Gleichungen" erhalten Sie Informationen mit folgendem Infoblatt.

• Funktionsterme, die aus Produkten von Funktionen von x bestehen, darf man nicht faktorenweise ableiten.
  Beispiel: Die Ableitung von f(x)=x²·x³ ist nicht 2x¹·3x²=6x³, da f(x)=x²·x³=x⁵ und damit f '(x)=5x⁴.
  Nach einigen Versuchen, die tatsächlich eine Formel geliefert hat, die in Spezialfällen gültig ist, sind wir dann mit Hilfe der Formel der Definition einer Ableitung zum Ziel gelangt und haben die Produktregel gefunden.
• Die Herleitung der Produktregel können Sie hier nachlesen.
• Als Hausaufgabe sollen Sie mit Hilfe der Produktregel die Ableitungen von f1(x)=x2·x3 und f2(x)=x·sin x herausfinden.
• Zusätzliche Informationen und Übungen zur Produktregel finden Sie hier: 1 2 3 4

• Thema der Stunde war "Übungen zur Produktregel  (u·v)' = u'·v + u·v' "
  
• Es war erfreulich, dass es für Sie anscheinend keine Schwierigkeit bedeutete, wenn statt zwei Faktoren mit 3 Faktoren gerechnet wurde.
  Sie haben 2 Faktoren zu einer Einheit zusammengefasst und dann wie in der letzten Stunde gelernt gerechnet.
• Methode: Führe das Neue auf etwas Bekanntes zurück und rechne dann wie gehabt.
  
  
• Wiederholung: "Negative Hochzahlen"
  Betrachtet man die Zahlenfolge  2⁵ = 32 ; 2⁴ = 16 ; 2³ = 8 ; 2² = 4 ; 2¹ = 2 , so erkennt man dass man zur nächsten Zahl kommt, indem man durch 2 dividiert.
  Die Zahlenfolge lässt sich also so fortsetzen: 2⁰ = 1 ; 2^-1 = 1/2¹ ;  2^-2 = 1/2² ; 2^-3 = 1/2³ usw.
  Mit anderen Zahlen in der Basis und auch allgemein mit Buchstaben entsprechend durchgeführt erkennt man, dass es sinnvoll ist, negative Hochzahlen so zu definieren: a^-n = 1/aⁿ .
• Methode: Will man bestimmte Regeln über ihren Gültigkeitsbereich hinaus erweitern, so ist es sinnvoll, dass der Übergang kontinuierlich und unter Berücksichtigung schon bekannter Regeln erfolgt.
  Das bisher Gültige muss gültig bleiben, das Neue muss sich so nahtlos wie möglich einfügen.
• Es gibt viele Stellen in der Mathematik (und anderswo), wo diese Methode gut anzuwenden ist.

• Die Lösung der Hausaufgabe - Ableiten von f(x) = (4x²-2x)³ - finden Sie auf diesem Arbeitsblatt.
• Da einige schon die Kettenregel kannten und gesehen haben, dass damit die Lösung wesentlich einfacher gefunden werden kann, haben wir die Kettenregel auch für die übrigen Kursteilnehmer hergeleitet.
• Eine Gegenüberstellung der Lösungen durch Ausmultiplizieren, durch Anwenden der Produktregel und der Kettenregel finden Sie auf dem oben erwähnten Arbeitsblatt.

• Beginn: Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion.
  Gebrochen-rationale Funktionen sind Funktionen, in deren Termen Potenzen von x mit multiplikativen und additiven Konstanten auftreten und in denen x auch im Nenner vorkommt.
• Es zeigte sich, dass Wiederholungen zu einigen Themen ganz ratsam waren:
• Zahlbereiche:
• natürliche Zahlen: N (alle ganzen positiven Zahlen: 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... )
• natürliche Zahlen mit 0: N₀ (wie N, nur mit der 0: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... )
• rationale Zahlen Q: alle Brüche
• reelle Zahlen R: alle Zahlen, die wir bisher kennen gelernt haben (zusätzlich zu den Brüchen noch Wurzeln, unendliche nichtperiodosche Dezimalzahlen)
• Divisionen mit 0:
• 0:x=0 (d.h. 0 darf man durch irgendeine Zahl dividieren und das Ergebis ist 0)
• x:0=  (diese Aufgabe ist nicht zu lösen: Durch 0 kann man nicht dividieren.)
• Jede Zahl kann man als Quadratzahl schreiben: x=√x·√x
  Damit kann man häufig die 3. Binomische Formel anwenden: 
• Zur Kurvendiskussion haben wir nur die Punkte Definifitonsbereich und Wertebereich angesprochen. In der nächsten Stunde mehr.

• Im Rahmen der Kurvendiskussion haben wir die Bedingungen für Symmetrien hergeleitet:
• Achsensymmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x)
• Punktsymmetrie zum Punkt (0/0): f(x) = -f(-x)
• Achsensymmetrie zur Senkrechten bei x=u: f(x) = f(-x+2u)
• Punktsymmetrie zum Punkt (u/v): f(x) = -f(-x+2u)+2v
• Vielleicht hilft Ihnen zum besseren Verständnis das GeoGebra-Arbeitsblatt zu den 4 Bedingungen.
  Sie können die Werte von u und v und die Lage des abzubildenden Punktes frei wählen.
• Falls Sie bei der Hausaufgabe nicht herausfinden, zu welchem Punkt die Funktion f(x) = (x-1)³+2 symmetrisch ist, können Sie in der folgenden Zeile durch Markierung des Bereichs zwischen den Zeichen > und < die Lösung finden:
  >  (1/2)  <
• Auf diesem Arbeitsblatt gibt es eine Anleitung dazu, wie man mit Hilfe der Bedingung für Punktsymmetrie den Spiegelpunkt eines Graphen findet.

• Um auf den gleichen Kenntnis- und Fähigkeitsstand zu kommen, mussten wir auch in dieser Doppelstunde mehrere Exkurse unternehmen
  Die behandelten Themen waren:
• Lösen von Gleichungen durch Faktorisieren
• Polynomdivision
• graphisches Differenzieren 1 2
  Geogebra-Arbeitsblatt zum graphischen Differenzieren:
• Pascalsches Dreieck 1 2 3 4 5 6 7 8 
• Finden eines Spiegelpunktes mit Hilfe der Bedingung f(x)=-f(-x+2u)+2v für Punktsymmetrie
• In der nächsten Stunde geht es dann aber endgültig um die schon begonnene Kurvendiskussion...

• An Hand der Kurvendiskussion der Funktion  haben wir zahlreiche Inhalte aus vergangenen Jahren wiederholt (s.o.).
  Zur Berechnung der Extrema muss die 1. Ableitung gebildet werden, für die aber noch keine Formel (x im Zähler und im Nenner) bekannt ist. Darum:
  Herleitung der Quotientenregel.

• Im weiteren Verlauf der Kurvendiskussion zur Funktionsgleichung  wurden wieder mehrere Gesetzmäßigkeiten besprochen:
• Die Nullstellen des Nenners x²-1 geben die Pole der Funktion an.
  An den Polen existiert kein Funktionswert.
  Bei gebrochen-rationalen Funktionen liegen an den Polen senkrechte Asymptoten vor, an die sich der Graph der Funktion bis ins Unendliche gehend anschmiegt.
• Das Krümmungsverhalten an den Wendenpunkten kann man an der 3. Ableitung erkennen: 
• Ist die 3. Ableitung beim Wendepunkt größer als 0, so ändert sich die Krümmung von einer Rechts- in eine Links-Krümmung. 
• Ist die 3. Ableitung beim Wendepunkt kleiner als 0, so ändert sich die Krümmung von einer Links- in eine Rechts-Krümmung. 
• Ist an einer Stelle sowohl die 1. als auch die 2. Ableitung gleich 0, so muss man solange ableiten, bis die Ableitung vom Grad n ungleich 0 ist.
• Ist n eine gerade Zahl, so liegt ein Extremum (Hoch- oder Tiefpunkt) vor.
• Ist n eine ungerade Zahl, so liegt ein Sattelpunkt (Wendepunkt mit waagrechter Tangente) vor.
• Ein Funktionsgraph hat eine schräge Asymptote, wenn der Grad des Zählers um 1 größer ist als der Grad des Nenners.
  Man erhält die Geraden-Gleichung der Asymptote, wenn man den Bruch per Polynomdivision so umformt, dass außer der Geradengleichung nur noch ein Bruch übrig bleibt, der für x gegen Unendlich gegen 0 geht.
• Helfen Ihnen folgende Links weiter?
• Kurvendiskussion: Nullstellen, Pole, Extrema
• Kurvendiskussion (Wikipedia)
• Kurvendiskussion
• Kurvendiskussion eine gebrochen-rationalen Funktion
• Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion (leicht)
• Gebrochen-rationale (und andere) Funktionen

• Thema der Stunde: Welche Informationen über den Kurvenverlauf einer gebrochen-rationalen Funktin kann man aus der Funktionsgleichung ziehen?
  Näheres finden Sie im Informationsblatt und dem zugehörigen GeoGebra-Arbeitsblatt.

• Besprechung der Hausaufgabe: Wie muss eine Funktionsgleichung aussehen, damit geforderte Eigenschaften des Graphen vorhanden sind?
• Bitte merken: Soll ein Bruch gekürzt werden, so muss der gesamte Zähler und der gesamte Nenner durch dieselbe Zahl dividiert werden.
  Man darf nicht nur einen Summanden im Zähler und einen Summanden im Nenner durch die Zahl teilen. Alle Summanden müssen dividiert werden!
• Stehen gleiche Faktoren im Zähler und Nenner, so kann - je nach Hochzahl - einer der folgenden Fälle eintreten:
•  Es liegt eine (3-fache) Polstelle bei x=5 vor. 
•    Der Graph ist eine Parallele zur x-Achse im Abstand 1. Nur bei x=5 hat dieser Graph eine (hebbare) Lücke.
•   Der Graph ist eine Parabel 4. Ordnung. Bei x=5 hat er eine (hebbare) Lücke.

• Kommt in Funktionsgleichungen ein Parameter vor, so wird durch diese Funktionsgleichung gleich eine ganze Schar von Graphen definiert. Für jeden Wert des Parameters ergibt sich eine Kurve.
• Übrigens: "parạmeter" wird auf dem 2. (kurz gesprochenen) a betont.
• Mehr zum Begriff Parameter in der Mathematik
• Im verlinkten GeoGebra-Arbeitsblatt können Sie mit dem Schieberegler den Parameter k verändern und beobachten, wie der Graph vom k-Wert abhängt.

• Das Programm GeoGebra, das sich hervorragend eignet, um die Abhängigkeit eines Graphen von einem Parameter zu untersuchen, finden Sie unter der Adresse http://www.geogebra.at.
• Um die Ortskurve aller Punkte mit besonderer Eigenschaft (z.B. Extremum oder Wendepunkt) zu bestimmen, berechnet man zunächst den x-Wert dieses beonderen Punktes in Abhängigkeit vom Parameter. Dann löst man die Gleichung nach dem Parameter auf und setzt den erhaltenen Term in die Funktionsgleichung statt des Parameters ein. Man erhält dann die Funktionsgleichung zur gesuchten Ortskurve.
  Ein Beispiel finden Sie unter Punkt 6 in diesem Übungsblatt.

• In der Fragestunde zur Klausur haben wir hoffentlich die meisten Fragen klären können.
  Wenn noch Fragen offen geblieben sind, dürfen Sie mir ruhig eine Mail schreiben. So weit es meine Zeit zulässt, werde ich dann mehr oder weniger ausführlich antworten.
  Ortskurven kommen in dieser Arbeit nicht vor! Also üben Sie bitte nur andere Dinge!

• Klausur 1

• Besprechung und Rückgabe der Klausur 1

• Weitere Besprechung zur Klausur 1

• Weitere Besprechung zur Klausur 1
• Wir haben noch einmal das Thema "Ortslinien besonderer Punkte" aufgegriffen und dazu folgende Aufgabe bearbeitet:
  Bestimmen Sie die Gleichung der Punkte, an denen die Graphen der Funktionenschar mit der Gleichung  waagrechte Tangenten besitzen.
  Lösung: 
  Aus der 2. Lösung ergibt sich a = x/2. Wird dieser a-Wert in der Ausgangs-Funktionsgleichung eingesetzt, ergibt sich die gesuchte Ortskurve:
  Die Ortskurve der waagrechten Tangenten ist also die Normal-Parabel.

• Vor dem nächsten größeren Kapitel Integralrechnung müssen wir noch zwei Hilfsmittel kennen lernen, die wir sicher noch oft gebrauchen werden:
  1. Regeln von de l'Hospital
  2. Newtonsches Näherungsverfahren
• Sind Grenzwerte der Art 0 / 0, ∞ / ∞ aus einem Quotienten f(x) / g(x) oder 0 · ∞ aus einem Produkt f(x) · g(x) zu bilden, so helfen die Regeln von de l'Hospital weiter.
  Den Fall 0 / 0 haben wir schon im Unterricht erledigt.
  Den Fall ∞ / ∞ führen Sie bitte zu Hause zu Ende.
  Mit dem Fall 0 · ∞ beschäftigen wir uns in der nächsten Stunde.

• Die Herleitungen zu den Regeln von de l'Hospital finden Sie hier.
• Kann man die Nullstelle einer Funktion nicht exakt bestimmen, gibt es mehrere Möglichkeiten, eine beliebig genaue Näherung zu erhalten.
  Wir haben das Newton-Verfahren schon teilweise hergeleitet. Der Rest ist Hausaufgabe (Nullstelle der Tangente berechnen).
  Zusammenfassung und Übungen zum Newtonverfahren in der nächsten Stunde.
• GeoGebra-Applet und Herleitung und Rechenbeispiel zum Newtonschen Näherungsverfahren.

• Gemeinsam haben wir herausgefunden, wie man günstig mit dem Taschenrechner das Newtonverfahren anwenden kann.
  Bei dem Beispiel vom 2008-10-29 (siehe oben) heißt die Rekursionsformel: (0,2·x²+1)/(4·x).
  Beim Taschenrechner TI-84 gibt man zunächst einen Näherungswert an und drückt die ENTER-Taste.
  Dann gibt man den Term ein und ersetzt dabei "X" durch "Ans" (erst die "2nd"-Taste drücken und dann die Vorzeichen-Minus-Taste "(-)" ).
  Dann nur noch wiederholt die ENTER-Taste betätigen und die Näherungen werden nacheinander angezeigt:
  Hier Näherungswert 1:   Stabilisierung im weiteren Verlauf: