Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 12MA1e

Integralrechnung

• Wie man Flächeninhalte von Quadraten, Rechtecken, Dreiecken usw., also von Figuren mit geraden Seitenkanten, berechnet, wurde in der Sek.I behandelt.
  Jetzt fragen wir uns, wie man Flächeninhalte bestimmen kann, wenn die Seiten der Flächen gebogen sind.
  Sie äußerten gute Vorschläge, aus denen wir sehen konnten, dass man solche Flächen gut durch Flächen mit geraden Rändern annähern kann. Aber die Berücksichtigung des dabei gemachten Fehlers ist sehr rechenaufwändig, wenn sie überhaupt durchzuführen ist.
• Wir haben dann begonnen, ein einfaches Problem zu lösen: Die Fläche zwischen Parabel und x-Achse im Intervall [0,1].
  Als Methode haben wir die Annäherung der wahren Fläche durch Rechtecke gewählt und kamen durch spezielle Wahl der Rechtecke zu einer gültigen Abschätzung der wahren Flächengröße.
  Die Überlegungen und Rechnungen können Sie nachlesen in einem Unterrichtsskript, das zwar für einen Grundkurs erstellt wurde, für uns (mit mehreren Erweiterungen) aber durchaus auch zu verwenden ist.

• Bei der Erstellung der allgemeinen Unter- und Obersummen (Breite der Rechtecke 1/n) stießen wir auf eine zu berechnende Summe mit vielen Summanden (siehe Unterrichtsskript Seite 3 oben).
  Da es nicht möglich ist, diese Summe für den Allgemeinfall (n beliebig) zu berechnen, bedient man sich Formeln, die die Summe durch einen kurzen Term angeben.
  Solch einen Term zu finden ist eine Sache, zu beweisen, dass dieser Term das richtige Ergebnis liefert, eine weitere.
• Beispiel: 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) ist die Summe der ersten n ungeraden ganzen Zahlen.
  Einen Term für die Summe gewinnt man leicht, wenn man sich für jeden Summanden eine entsprechend Zahl Quadrate aufzeichnet:
  
  Bei 4 Summanden erhält man ein Quadrat der Seitenlänge 4 und der Fläche 4²=16.
  Bei n Summanden ist dann die Seitenlänge des Quadrats n und der Flächeninhalt n².
  Also gilt 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n-1) = n²
• Für andere Summen ist es nicht ganz so einfach, den Summen-Wert zu finden.
  Ind er nächsten Stunde besprechen wir, wie man eine Summe wie oben dargestellt nicht nur durch Anschauung, sondern auch durch Rechnung beweisen kann.

• Formeln, die eine Variable enthalten, die durch alle natürlichen Zahlen ab einer bestimmten natürlichen Zahl ersetzt werden kann, kann man geeignet mit dem Verfahren der
  Vollständigen Induktion beweisen:
• Induktionsanfang: Zeigen Sie, dass die Formel für irgendein n gültig ist. (Möglichst das kleinstmögliche n wählen)
• Induktionsschritt: Nehmen Sie an, dass die Formel für n=k gültig ist (man wählt den Buchstaben k, um anzudeuten, dass es sich um einen festen, ganz speziellen n-Wert handelt).
  Zeigen Sie nun, dass die Formel auch für n=k+1 gilt.
• Wenn beide Punkte mit Erfolg beendet wurden, gilt die Formel für sämtliche n (ab dem kleinsten n, mit dem im ersten Schritt gearbeitet wurde).
• Begründung:
  Wenn man zeigt, dass die Formel für einen n-Wert gültig ist, wenn sie auch für den Vorgänger von n gültig war und wenn man z.B. im ersten Schritt mit n=1 gearbeitet hat,
  dann gilt die Formel für n=2, weil sie auch für den Vorgänger n=1 gültig war und
  dann gilt die Formel für n=3, weil sie auch für den Vorgänger n=2 gültig war und
  dann gilt die Formel für n=4, weil sie auch für den Vorgänger n=3 gültig war und
  dann gilt die Formel für n=5, weil sie auch für den Vorgänger n=4 gültig war und
  dann gilt die For.......    usw. bis in alle Unendlichkeit.

• Im Rahmen des Themas "Vollständige Induktion" ergaben sich folgende Exkurse:
• Satz von Vieta : (siehe auch hier)
  Eine quadratische Gleichung mit den Lösungen x=x₁ und x=x₂ kann man schreiben als (x-x₁)·(x-x₂)=0.
  Nach Auflösen der Klammern ergibt sich x²-(x₁+x₂)·x+x₁·x₂=0.
  In der p-q-Form der quadratischen Gleichung x²+p·x+q=0 gilt also mit den Lösungen x₁ und x₂ für die Werte von p und q:  p=-(x₁+x₂) ; q=x₁·x₂.
  Benutzen kann man den Satz von Vieta, um Lösungen einer quadratischen Gleichung zu raten.
  Beispiel: Für x²+8x+12 kommen wegen x₁·x₂=12 folgende Wertepaare (x₁/x₂) in Frage: (1/12) ; (-1/-12) ; (2/6) ; (-2/-6) ; (3/4) ; (-3/-4)
  Für -(x₁+x₂) ergeben sich dann der Reihe nach -13 ; +13 ; -8 ; +8 ; -7 ; +7
  Das 4. Wertepaar beschreibt also die Lösungen der Gleichung, es gilt x₁=-2 und x₂=-6
• div und mod
  Bei der Einführung der Division im Grundschulbereich gibt man bei nicht aufgehenden Divisionen den Rest explizit an.
  Beispiel: 26 : 7 = 3 Rest 5 , denn 3·7+5=26
  Mit div bezeichnet man den ganzen Teil des Ergebnisses. Es gilt also 26 div 7 = 3.
  Mit mod bezeichnet man den Rest bei der Division. Es gilt also 26 mod 7 = 5.
  In der Mathematik wird mod (für modulo) z.B. genutzt, wenn es um Teilbarkeitsfragen geht (eine Zahl x ist durch 3 teilbar, wenn x mod 3 = 0)
  oder bei der Kryptographie (Verschlüsselung)
• Bei der vollständigen Induktion ist es sehr wichtig, sowohl den Induktionsanfang als auch den Induktionsschritt zu beachten.
  Beispiele: 
• Behauptung: n²-n+41 liefert immer eine Primzahl (beim Link unter "Formeln zur Generierung von Primzahlen" nachschauen)
  Der Induktionsanfang ist erfüllt (für die n-Werte von 1 bis 40), aber der Induktionsschritt lässt sich nicht zeigen (was auch klar ist, weil der Term für n=41 keine Primzahl liefert.
• Behauptung: 3ⁿ-4 ist durch 2 teilbar
  Hier kann man den Induktionsschritt zeigen, aber es gibt kein einziges n, für das der Term durch 2 teilbar wäre (was auch klar ist, weil 3ⁿ immer ungerade ist).
• Zurückgekehrt zum eigentlichen Thema "Integralrechnung" muss nun ein möglichst kurzer Term für die Summe 1²+2²+3²+4²+...+n² gefunden werden.
  Man kann zeigen, dass eine Summe der Art 1ⁱ+2ⁱ+3ⁱ+...+nⁱ immer durch eine ganzrationale Funktion vom Grad (= größte Hochzahl) i+1 angegeben werden kann.
  Beachten Sie dazu bitte den sehr guten Artikel Potenzsummen, Bernoulli-Zahlen und Eulersche Summenformel von Helmut Richter und Bernhard Schiekel!
  Danach ist folgender Ansatz möglich:  1²+2²+3²+4²+...+n² = a·n³+b·n²+c·n+d
  Setzt man für n der Reihe nach die Zahlen 1, 2, 3 und 4 ein, so erhält man folgendes Gleichungssystem, aus dem die Werte von a, b, c und d berechnet werden können:
  a + b + c + d = 1
  8a + 4b + 2c + d = 5
  27a + 9b + 3c + d = 14
  64a + 16b + 4c + d = 30
  Dieses Gleichungssystem lässt sich gut mit dem Subtraktionsverfahren lösen (subtrahiere von den unteren Gleichungen jeweils die genau darüberstehende Gleichung - wende dieses Verfahren mehrmals an).
  Man kann aber auch den Taschenrechner dazu verwenden. Siehe bei TI-84-Funktionen auf Seite 2.
  Ergebnis:

• Die Anwendung der Formel aus der letzten Stunde brachte uns zum Ergebnis: Die Fläche zwischen Parabel und x-Achse im Bereich x=0 bis x=1 beträgt 1/3 Flächeneinheiten (siehe Skript).
  Soll der Bereich auf x=0 bis x=b erweitert werden, ergibt sich 1/3·b³.
• Hausaufgabe zur nächsten Stunde: Die Funktionsgleichung f(x)=x² austauschen gegen f(x)=x³. Wie groß ist hier die Fläche?

• Das Ergebnis der Hausaufgabe (f(x)=x³) und das Ergebnis von Flächenberechnungen für f(x)=1, f(x)=x und (wie schon vor Stunden gehabt) f(x)=x² haben wir in einer Tabelle dargestellt:
  
• Die naheliegende Vermutung, dass für f(x)=xⁿ gilt A(x)=xⁿ⁺¹/(n+1), haben wir bewiesen durch den Beweis des Fundamentalsatzes der Analysis, auch Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung genannt. 
• Weitere Erkenntnisse, auch zur Integralschreibweise, siehe im Skript auf den Seiten 5 bis 7.

• Mit der Gesetzmäßigkeit  haben wir verschiedene Aufgaben gerechnet.
• Zu berechnende Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen, ergeben sich als negativ orientierte Flächen, d. h. der Wert des Flächeninhalts ist negativ.
  Das führt dazu, dass der berechnete Wert des Integrals kleiner ist als der wirklich vorhandene Flächeninhalt. Im Extremfall kann der Wert des Integrals sogar 0 sein, wenn die oberhalb und unterhalb der x-Achse liegenden Flächenanteile gleich groß sind.
  Will man Flächen berechnen, muss man von den gesamten Bereich so aufteilen, dass man immer von Nullstelle zu Nullstelle oder von Grenze zu Nullstelle integriert und dann die Beträge der Teilergebnisse addiert.

• Übungen/Wiederholungen zur Klausur.
• Die Klausur wird Themen aus folgenden Bereichen enthalten
• Newtonsches Näherungsverfahren
• Regeln von l'Hospital
• Beweisverfahren: vollständige Induktion (siehe auch hier)
• Integralrechnung
• Berechnung von Integralen
• Flächenberechnungen
• Berechnungen mit Integralen unter Verwendung von Parametern

• Klausur 2

• Besprechung und Rückgabe der Klausur 2 (Lösung)

• Weitere Anwendungen der Integralrechnung
• Flächeninhalt zwischen 2 Funktionsgraphen, wenn sich die Funktionsgraphen mehrfach schneiden.
• Integralrechnung in der Physik (Zusammenhang zwischen s, v und a, Berechnung der Arbeit bei variabler Kraft, ...)