Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 10a

Differenzialrechnung

2011-01-18

Änderungen bei Vorgängen lassen sich mit Hilfe der Differenzialrechnung gut untersuchen.
Im einführenden Beispiel haben wir den Flug eines Segelflugzeuges betrachtet.
Zunächst wurde die jeweilige Höhe in Abhängigkeit von der Zeit im Koordinatensystem dargestellt:

Waagrecht ist die Zeit, senkrecht die Höhe abgetragen.
Nun wird die Änderungsgeschwindigkeit ermittelt: Differenz der L2-Werte (Höhendifferenz) dividiert durch Differenz der L1-Werte (Zeitdifferenz).
Als Graph ergibt sich

An diesem Gtraph kann man sehr gut erkennen, dass zu Beginn die größte Höhenzunahme erreicht wurde und beim Landeanflug die größte Absinkgeschwindigkeit auftrat.
Positive Funktionswert geben Steigen und negative Funktionswerte geben Fallen an.
Bei Graphen wird die Steigung des Graphen definiert durch die Steigung der Tangente im untersuchten Punkt des Graphen.
Beispiel:
Die Steigung des Graphen mit der Gleichung y=-x⁴+3 soll an der Stelle x=1 bestimmt werden.
Mit dem Taschenrechner gelang man im Grafikbildschirm über 2nd>DRAW>5:TANGENT( zu einer Eingabemaske, in der man 1 für den x-Wert eingibt.
Darauf wird die Tangente bei x=1 an den Graphen gezeichnet und gleichzeitig wird die Gleichung der Tangenten angegeben.
Die Steigung der Tangente ist die Steigung des Graphen an der betrachteten Stelle, in diesem Fall also -4.

2011-01-25

Die Steigung einer Tangente in einem Punkt P₀ soll (zum Beispiel bei einer Normal-Parabel f(x)=x²) rechnerisch bestimmt werden.
Eine Tangente hat aber nur einen Punkt mit der Kurve gemeinsam, sodass man keine 2 Punkte für das Steigungsdreieck finden kann.
Man nimmt deshalb neben dem Punkt P₀ noch einen weiteren Punkt P auf der Kurve an und bestimmt für die Sekante durch diese Punkte die Steigung.
Diese Steigung stimmt zwar nicht mit der Tangentensteigung überein, aber sie ist doch näherungsweise gleich der Tangentensteigung.
Die Übereinstimmung mit der Tangentensteigung ist umso größer, je dichter der Punkt P an P₀ liegt.
Beim Grenzprozess P gegen P₀ wird dann die Sekantensteigung zur Tangentensteigung.
Visualisierung mit einem GeoGebra-Arbeitsblatt:

Zur Bedienung des Arbeitsblattes bitte den Text zum Arbeitsblatt beachten.
Rechnung zur Bestimmung der Tangentensteigung:
Sekantensteigung m_S:
Um die Tangentensteigung zu erhalten, muss man den Punkt P gegen den Punkt P₀ wandern lassen.
Damit wird auch x gegen x₀=2 wandern.
Rechnung dazu:
Allgemeine Rechung zur Tangtentensteigung:
Sekantensteigung m_S:
Um die Tangentensteigung zu erhalten, muss man den Punkt P gegen den Punkt P₀ wandern lassen.
Damit wird auch x gegen x₀ wandern.
Rechnung dazu:

2011-01-27

Ausführliche Wiederholung zur Ableitung aus der letzten Stunde
Einführung bzw. Wiederholung der Polynomdivision (=Dividieren zweier Polynome, also zweier Summen, in denen nur Potenzen von x auftauchen, die positive und ganzzahlige Werte haben)
Der Link enthält eine gute Erklärung zur Polynomdivision
Beginn: Ableitung der Funktion f(x)=x³
Differenzenquotient:
Vereinfachung des Differenzenquotienten (Achtung: Kürzen geht nicht, denn "Aus Summen kürzen nur ...") durch Polynomdivision:

Weitere Rechnung nach den Zeugnisferien.

2011-02-03

Ableitung von f(x)=x³:
Mit h=x-x₀ wird der Differenzenquotient einfacher (Polynomdivision ist nicht mehr nötig):

Nun muss zwar bei der Aufgabe (x₀+h)³ aufgelöst werden. Dafür haben wir aber eine einfache Lösung mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks kennen gelernt.
Siehe dazu die Aufzeichnungen vom 2007-11-12.
Berechnung von f '(x₀) für f(x)=x³ mit Hilfe der h-Formel:
Ableitung von f(x)=x⁴:
Vermutung: Beim Ableiten wird die Hochzahl vor die Potenz gezogen und der Exponent wird um 1 verkleinert.
Nachweis: f(x)=xⁿ:
Ableitungsregel:
Hausaufgabe: f(x)=x²-3x+1 mit Hilfe des Differenzenquotienten ableiten. Zur Hilfe siehe folgendes Arbeitsblatt.

2011-02-10

Weitere Übungen zum Ableiten einfache Funktionen mit Hilfe der h-Formel.
Ableitung der Funktion mit der Gleichung f(x)=1/x:
Wir haben gesehen, dass diese Ableitung auch einfacher herzustellen ist, wenn man für n in der in der letzten Stunde gefundenen Formel auch negative ganze Zahlen zulässt:

2011-02-14

Ableitung der Wurzel-Funktion:

Schneller geht es, wenn man die gelb unterlegte Form oben anwendet:
Anwendungsbeispiel:
An der Mauer einer Scheune soll ein rechteckiger Hühnerhof gebaut werden.
50m Maschendrahtzaun stehen zur Verfügung.
Wie lang müssen die Seiten des Hühnerhofes sein, damit die Fläche maximal wird?

Gesucht ist die Fläche A=a·b, die maximal werden soll.
Gegeben ist die Länge des Zaunes: 2·a+b=50 → b=50-2·a
Einsetzen in A: A=a·b=a·(50-2·a)=50a-2a² .
Fasst man nun die Fläche A also Funktion von der Länge a auf, kann man das Maximum der Fläche finden, indem man das Maximum des Graphen der Funktion sucht.

Oben wurde der Graph gezeichnet und dann mit dem Cursor der höchste Punkt angefahren. Es ergibt sich für a gerundet a=12,5m.
Man kann auch mit nDerive den Graph der Ableitungsfunktion zeichnen lassen und dann mit dem Cursor die Nullstelle des Graphen ermitteln. Auch hier ergibt sich 12,5m.
Der Rechner kann auch selbst die Nullstelle mit dem ZERO-Befehl im CALC-Manü finden.

Aber auch durch reine Rechnung kann der maximale Flächeninhalt gefunden werden:
Beim Maximum liegt eine waagrechte Tangente vor, d.h. die Ableitung muss beim Maximum den Wert 0 haben.
A'(a)=50-4a = 0 → 4a=50 → a=12,5.
Auch so ergibt sich der a-Wert für die größte Fläche zu 12,5m.
Daraus folgt der b-Wert: b=50-2·a=50-2·12,5=50-25=25. b hat also die Länge 25m.

2011-02-17

Abgewandelte Version in der Hausaufgabe:

Der Zaun hat die Länge 50m und wird so wie gezeichnet um eine Ecke der Scheune geführt.
Gesucht sind Werte für a und b, sodass die Fläche des Hühnerhofs maximal wird.
Die Strecken 1m und 2m sind vorgegeben.
Lösung: Die Fläche wird aufgespalten in 2 Teilflächen A₁=1·a und A₂=2·(b-1). Daraus folgt A=A₁+A₂=a+2b-2
Für die Länge L des Zauns gilt L=1+a+b+2=50, also a+b=47 oder a=47-b.
Einsetzen: A=a+2b-2=47-b+2b-2=b+45
Als Graph für A in Abhängigkeit von b ergibt sich

Da sich eine ansteigende Gerade ergibt, kann man nicht mit Hilfe der Ableitung den größten Funktionswert finden.
Stattdessen gilt: je größer b wird, desto größer wird auch A.
Das größte A ergibt sich also für den größten erlaubten b-Wert.
Da a+b=47 und a mindestens die Länge 2 haben muss, kann b höchstens 45 lang sein.
Für b=45 ergibt sich A=b+45=45+45=90.
Der maximale Flächeninhalt beträgt also 90m².
Herleitung weiterer Ableitungsregeln

Die Funktion f(x) besteht aus der Summe zweier Funktionen g(x) und h(x):

Beim Ableiten darf man also die einzelnen Summanden getrennt ableiten.
Diese Regel gilt übrigens auch für das Subtrahieren, aber nicht für Punktrechnung (Multiplizieren und Dividieren).
Die Funktion f(x) besteht aus einer Funktion g(x), die mit der Konstante c multipliziert wird:

Eine multiplikative Konstante bleibt also beim Ableiten erhalten.

Aus einem DIN-A4-Blatt sollen an den Ecken Quadrate der Seitenlänge x ausgeschnitten werden, sodass man nach Umfalten der Ränder einen Behälter der Höhe x erhält.

Wie muss man x wählen, damit das Volumen möglichst groß wird?
Den Ansatz habt Ihr in der Schule schon geschafft:
V(x)=(30-2x)·(21-2x)·x=(630-60x-42x+4x²)·x=4x³-102x²+630x
Weitere Rechnung als Hausaufgabe

2011-02-21

Lösung der Hausaufgabe (siehe oben):
Gefunden wurde V(x)=4x³-102x²+630x.
Diese Funktionsgleichung gibt an, wie groß das Volumen bei einem gewählten x-Wert ist.
Der Graph dieser Funktion wird mit Sicherheit ein Maximum besitzen, denn für x=0 und x=10,5 ergibt sich der Funktionswert 0, dazwischen ist der Funktionswert positiv.
Beim Maximum liegt am Graphen eine waagrechte Tangente, also eine Tangente mit der Steigung 0.
Die 1. Ableitung liefert die Steigungen der Funktion.
Wenn also die 1. Ableitung bei einem x-Wert den Wert 0 annimmt, ergibt sich für dieses x das maximale (oder minimale) Volumen.

Es ergeben sich also die beiden "Lösungen" x₁=12,944 und x₂=4,056.
Die Lösung muss aber wegen der Abmessungen des Blattes zwischen 0 und 21/2=10,5 liegen. Die "Lösung" x₁ entfällt also.
Die Lösung der Aufgabe ergibt sich also mit dem x-Wert 4,056 zum Volumen V(4,056cm)=1144,2cm³.
Auf dem Taschenrechner:
Weitere Übungen zum Ableitungsbegriff, z.B.
f(x)=x² ist gegeben.
Berechne f '(4). Lösung: f '(x)=2x → f '(4)=2·4=8
Es gilt f '(x)=10. Berechne x. Lösung: 2x=10 →x=5
Hausaufgabe: Seite 151 Aufgabe 9

2011-02-24

Besprechung der Hausaufgabe:
Ein Kunstwerk, das aus einem parabelförmigen Stahlbogen besteht, soll aufgestellt werden.
Das Fundament besteht aus langen geraden Betonstäben, deren Richtung mit der Richtung der Parabel am Boden übereinstimmt.
Der höchste Punkt des Kunstwerks befindet sich 15m über dem Boden. Zwischen den Fußpunkten des Kunstwerks misst man 10m.

Gleichung der Parabel:
Steigung der Fundament-Stangen:
Neigungswinkel α:
Geraden-Gleichung zum Verlauf der Stützen:

Übungsaufgaben zur Ableitung:

2011-03-07

Mit Hilfe der Ableitung einer Funktion kann man die Steigung des Graphen einer Funktion an jeder Stelle bestimmen. Aber hat denn jeder Funktionsgraph über all eine Steigung?
Wir haben gesehen, dass z.B. bei Knicken oder Sprüngen in einem Graph nicht sinnvoll von einer Steigung gesprochen werden kann.

Der Funktionsgraph setzt sich aus 2 Teilen zusammen:
Für x<2 gilt y=|x²-6|, für x>=2 gilt y=sin(x).
Bei x=-√6 besitzt der Graph einen Knick und bei x=2 eine Sprungstelle. An beiden Stellen gibt es keine eindeutige Tangente und die Funktion ist an diesen Stellen nicht ableitbar.
Eine Funktion ist dann ableitbar, wenn für jede Stelle x₀ der Grenzwert des Differenzenquotienten von der rechten und der linken Seite gebildet werden kann und für beide Seiten übereinstimmt.
Wie haben 2 neue Funktionen kennen gelernt, die eine Sprungstelle haben und deshalb nicht differenzierbar sind.

Heaviside-Funktion:
Signum-Funktion :

Hausaufgabe: Zeichne den Graph der Funktion f(x)=x²·sgn(x).

2011-03-10

Bei Funktionen, die mit der Heavyside-Funktion H(x) und der Signum-Funktion sgn(x) zusammengesetzt sind, sollte man eine Fallunterscheidung durchführen, die sich an den Bereichen für H(x) und sgn(x) orientiert.
Bei der Hausaufgabe mit f(x)=x²·sgn(x) sollte man z.B. so unterscheiden:

x<0 → f(x)=x²·(-1)=-x²
x=0 → f(x)=x²·0=0
x>0 → f(x)=x²·1=x²

Mit dem Taschenrechner kann man diese abschnittsweise definierte Funktion so zeichnen lassen:
Ist diese Funktion differenzierbar?
Zu untersuchen ist nur die "kritische" Stelle x=0, weil dort die 3 Teile des Funktionsgraphen zusammentreffen.
Die Ableitungen für den linken und den rechten Teil des Graphen sind f '_links(x)=-2x und f '_rechts(x)=2x.
Setzt man für x den Wert 0 ein (oder besser: lässt man x gegen 0 gehen), dann ergeben sich links und rechts die Steigung 0.
Es liegt also kein Knick vor, die Funktion ist auch bei x=0 differenzierbar.
Die Ableitung der Funktion f(x)=(3x-1)² führte uns zu einer neuen Ableitungsregel.
Löst man den Funktionsterm zunächst mit der 2. Binomischen Formel auf, so ergibt sich f(x)=9x²-6x+1 und daraus die Ableitung f '(x)=18x-6.
Bildet man aus f(x)=(3x-1)² verbotener Weise die Ableitung wie bei f(x)=x² durch f '(x)=2 ·(3x-1)¹ , so ergibt sich das falsche Ergebnis f '(x)=6x-2.
Multipliziert man aber noch mit 3, so ergibt sich das richtige Ergebnis f '(x)=(6x-2)·3=18x-6.
In einer allgemeinen Rechnung haben wir gesehen: Aus f(x)=(a·x-b)² folgt f '(x)=2·(a·x-b)¹·a=2·a²·x-2·a·b.
Allgemein gilt: Ist bei einer verschachtelten Funktion f(a·x+b) die innere Funktion eine lineare Funktion a·x+b, so kann man die Ableitung bilden durch f '(a·x+b) · a, indem man die Ableitung der äußeren Funktion mit dem Faktor vor dem x multipliziert.
Beispiel: Aus f(x)=(345·x+876)²⁹⁴ folgt f '(x)=294·(345·x+876)²⁹³·345

2011-03-14

Beim graphischen Ableiten wird für jeden Punkt des Funktionsgraphen die Steigung in diesem Punkt als Funktionswert der Ableitungsfunktion berechnet und in das Koordinatensystem eingetragen.
Das GeoGebra-Arbeitsblatt führt die Bestimmung der Steigung und das Eintragen der Punkte automatisch aus.
Mit Hilfe dieses graphischen Verfahrens haben wir die Ableitung der Sinuskurve ermittelt.
Dem Aussehen nach könnte es sich bei der Ableitungskurve um den Graph einer Kosinusfunktion handeln.
Zur Überprüfung haben wir mit dem Taschenrechner
1. den Graph der Sinuskurve zeichnen lassen,
2. den Graph der Ableitungskurve zeichnen lassen und
3. den Graph der Funktion y=cos(x) in fett darüber zeichnen lassen.
Die Graphen 2 und 3 sind deckungsgleich, was die Gültigkeit der oben stehenden Vermutung glaubwürdig macht. Also: (sin x)'=cos x.
Lassen wir mit GeoGebra den Graph der Funktion f(x)=sin(x) und die Graphen von f '(x), f ''(x), f '''(x) und f ''''(x) zeichnen, so sehen wir:
f(x)=sin(x) ; f '(x)=cos(x) ; f ''(x)=-sin(x) ; f '''(x)=-cos(x) ; f ''''(x)=sin(x)=f(x)
Übungen zur Kettenregel bei linearer innerer Funktion
In 2 weiteren Übungsstunden Wiederholung zur Differenzialrechnung, u.a. Ableitung bilden mit Differenzenquotient.

2011-03-16

Wiederholung zur Klassenarbeit 3

2011-03-21

Klassenarbeit 3 [ Aufgaben | Lösungen ]

2011-03-24

Beispiel für die Anwendung der Differenzialrechnung
Bau eines Silos - mit überraschendem Ausgang

Aufgabe
Ein Silo mit vorgegebenem Volumen V soll gebaut werden.
Zur Sicherung des Inhalts sollen die Innenflächen mit einer Spezialmasse belegt werden.
Um die Kosten niedrig zu halten, soll die Fläche möglichst kleinen Inhalt besitzen.
Wie müssen r und h gewählt werden, damit dieses Ziel erreicht wird?
Ansatz
Die gesuchte Fläche setzt sich zusammen aus der Oberfläche einer Halbkugel mit Radius r und dem Mantel eines Zylinders mit dem Radius r und der Höhe h.
Es ergeben sich folgende Formeln für die Oberfläche O und das Volumen V:

Benutzt wurden hier die folgende Formeln für Kugeln und Zylinder:
Zielfunktion festlegen:
Da die Oberfläche in der oben angegebenen Formel von r und h abhängig ist, also von 2 Variablen, muss man versuchen, eine der Variablen aus der Gleichung zu entfernen.
Dazu benutzt man die Nebenbedingung, nämlich die Formel für das Volumen.
Volumenformel nach h auflösen und dann das gefundene h in die Oberflächengleichung einsetzen.
Dann weiter nach schon bekanntem Ritus: Ableiten - Nullsetzen - nach r auflösen - h bestimmen.
Wer weit genug rechnet, wird eine überraschende Entdeckung machen...
Die Ergebnisse besprechen wir in der nächsten Stunde.

2011-03-28

Weitere Bearbeitung der Silo-Aufgabe (siehe 2011-03-24)

Zielfunktion in Abhängigkeit von r und h: Oberfläche gleich Fläche der Halbkugel plus Mantelfläche des Zylinders:
Variable h aus der Zielfunktion entfernen: Volumen (Halbkugel plus Zylinder) nach h auflösen und den Term in die Oberflächenfunktion einsetzen:
Ableiten:
Nullsetzen und Auflösen nach r
h berechnen:

Zunächst überraschend: h=0, d.h. der Silo besteht nur aus einer großen Halbkugel.
Der Grund liegt darin, dass ein Volumen mit kleinster Oberfläche eine Kugel ist (z.B. Seifenblasen, Regentropfen usw.)
Da eine solche Halb-Kugel viel Stellplatz benötigt, nimmt man eine Form mit nicht-minimaler Oberfläche, bei der ein Kompromiss zwischen kleiner Stellfläche für den Zylinder und größerer und damit teurerer Innenfläche.

Ganzrationale Funktionen sind Funktionen, die durch Polynome darstellbar sind.
Ein Polynom besteht aus einer Summe von Potenzen von x, die mit belieben reellen Zahlen multipliziert werden.

Beispiele für ganzrationale Funktionen:

Beispiele für Funktionen, die nicht ganzrational sind:

2011-04-04

Der Grad einer ganzrationalen Funktion ist gleich dem größten Exponenten dieser Funktion.
Für die ganzrationalen Funktionen der letzten Stunde (s.o.) gilt so grad(f₁(x))=3 ; grad(f₂(x))=43 ; grad(f₃(x))=0
Das Globalverhalten eines Graphs einer Funktion zeigt sich, wenn man sich aus der Ansicht sehr weit herauszoomt.
Kleine "Unebenheiten" im Kurvenverlauf werden dadurch ausgeblendet.
Rechnerisch erhält man die Gleichung für die Funktion, die das Globalverhalten zeigt, dadurch, dass man die Funktionswerte für x→∞ und x→-∞ untersucht.
Berücksichtigt man bei einer ganzrationalen Funktion nur den Summanden mit der Potenz, die den größten Exponenten besitzt, so erhält man die Gleichung der Funktion, die das Globalverhalten zeigt.
Beispiele zu den Funktionen der letzten Stunde (g_i(x) ist jeweils die Funktion, die den Globalverlauf zeigt):

2011-04-06

Als Bedingungen für Symmetrien haben wir gefunden:

Achsensymmetrie zur y-Achse: f(x) = f(-x)
Punktsymmetrie zum Punkt (0/0): f(x) = -f(-x)

Vielleicht hilft beim Verständnis das GeoGebra-Arbeitsblatt zu diesen 2 Bedingungen.

Die restlichen 2 Bedingungen werden wir demnächst besprechen.

2011-04-11

Achsen-Symmetrie zu einer Gerade parallel zur y-Achse im Abstand u

Die Spiegelgerade befindet sich senkrecht zur x-Achse und verläuft durch den Punkt U(u/0) (und damit auch durch D).
A wird an dieser Gerade auf den Punkt A' gespiegelt.
Wenn A die Koordinaten A(x/y) besitzt, welche Koordinaten hat dann A'?
A hat von D den Abstand x-u und damit hat A' von D denselben Abstand.
Die x-Koordinate von A' beträgt also u-(x-u) = u-x+u = -x+2u.
Die y-Koordinate von A' ist gleich der y-Koordinate von A.
Wenn der Graph einer Funktion also einen Punkt mit den Koordinaten (x/y) besitzt, muss der Graph bei Achsensymmetrie zur Gerade bei U auch einen Punkt mit den Koordinaten (-x+2u/y) besitzen. Die Funktionswerte beider Punkte sind gleich, es gilt also f(x)=f(-x+2u).
Punktsymmetrie zum Punkt P mit den Koordinaten P(u/v)

A wird am Punkt P auf den Punkt A' gespiegelt.
Wenn A die Koordinaten A(x/y) besitzt, welche Koordinaten hat dann A'?
A hat von P in x-Richtung den Abstand x-u und damit hat A' von P denselben Abstand in x-Richtung.
A hat von P in y-Richtung den Abstand y-v und damit hat A' von P denselben Abstand in y-Richtung.
Die x-Koordinate von A' beträgt also u-(x-u) = u-x+u = -x+2u.
Die y-Koordinate von A' beträgt also v-(y-v) = v-y+v = -y+2v.
Wenn der Graph einer Funktion also einen Punkt mit den Koordinaten (x/y) besitzt, muss der Graph bei Punktsymmetrie zum Punkt P(u/v) auch einen Punkt mit den Koordinaten (-x+2u/-y+2v) besitzen.
Es gilt also f(-x+2u) = -y+2v = -f(x)+2v → f(x) = -f(-x+2u) + 2v.
Zusammenfassung der Regeln für Symmetrien

2011-04-14

An Hand von Beispielen (ganzrationale Funktionen f(x)=4x³+x²+2x-3 und g(x)=x³-2x²-4x-1) haben wir untersucht, was man an Hand von Funktionsgleichungen über den Verlauf von Graphen herausfinden kann.

Welchen Funktionswert hat die Funktion an der Stelle x=7?

f(7) bzw. g(7) bilden:
f(7)=4·7³+7²+2·7-3=1372+49+14-3=1432
g(7)=7³-2·7²-4·7-1=343-98-28-1=216
GTR:

Wie verläuft der Graph in diesem Punkt?

Ableitung an dieser Stelle bilden.
f '(x)=12x²+2x+2 ; f '(7)=12·7²+2·7+2=588+14+2=604
g '(x)=3x²-4x-4 ; g '(x)=3·7²-4·7-4=147-28-4=115
GTR:

Wo schneidet der Graph die y-Achse?

Auf der y-Achse hat jeder Punkt die x-Koordinate x=0.
f(0)=-3
g(0)=-1

Bei x=7 ist bei beiden Funktionen der Funktionswert größer als bei x=0 und beide Funktionen haben bei x=7 eine sehr große positive Steigung.
Kann man davon ausgehen, dass die Graphen der Funktionen von x=0 bis x=7 ständig steigen (dass sie also monoton verlaufen)?

Der Übergang vom Steigen zum Fallen und umgekehrt erfolgt in Punkten, die die Steigung 0 besitzen.
Sucht man diese Punkte heraus, so erhält man die x-Werte, an denen möglicherweise ein Übergang zwischen Fallen und Steigen stattfindet.
Bedingung für Stellen mit Steigung 0 ist, dass die ABleitung an diesen Stellen gleich 0 ist:

Das Minuszeichen unter der Wurzel zeigt, dass f '(0)=0 keine Lösung hat, dass also die Steigung nirgendwo den Wert 0 hat.
Der Graph muss also von x=0 bis x=7 monoton steigen (sogar streng monoton, da die Steigung niemals 0 wird).

Zwischen x=0 und x=7 besitzt g(x) eine Stelle bei x=2 mit der Steigung 0. Dort könnte also ein Wechsel zwischen Steigen und Fallen auftreten.
Bildet man g '(0)=-4, so sieht man, dass bei 0 der Graph fällt, d.h. an der Stelle x=2 muss dann also ein Tiefpunkt auftreten.

Wo besitzt der Graph seine (betragsmäßig) größte Steigung?

Zeichnet man die Ableitungsfunktionen f '(x) und g '(x), so besitzen diese Graphen an den gesuchten Stellen einen Hoch- oder Tiefpunkt.
Statt Hoch- und Tiefpunkte der Funktionen f(x) und g(x) mit der Bedingung f '(x)=0 und g '(x)=0 zu suchen, müssen wir also jetzt
Hoch- und Tiefpunkte bei den Funktionen f '(x) und g '(x) mit den Bedingungen f ' '(0) und g ' '(0) suchen.
Man bildet die Ableitung von der Ableitung und nennt das die 2. Ableitung:
f ' '(x)=24·x+2=0 → x=-2/24=-1/12
f(x) besitzt bei x=-1/12 die betragsmäßig größte Steigung. Sie ist positiv (siehe oben).
g ' '(x)=6·x-4=0 →x=4/6=2/3
g(x) besitzt bei x=2/3 seine betragsmäßig größte Steigung. Diese ist, da 2/3 zwischen 0 und 2 liegt, negativ (siehe oben).

Welches Globalverhalten zeigen die Graphen?

Entsprechend der Regel "Summand mit der Potenz mit dem größten Exponenten" erhält man die Näherungskurven
y_f=4x³
y_g=x³

Graphen der Funktionen:

2011-05-02

Aufstellen einer Funktionsgleichung bei bekanntem Graphen
Von der nebenstehenden Parabel der Form y=a·x²+b·x+c sind bekannt die beiden Nullstellen bei B(3/0) und C(-3/0).
Außerdem weiß man, dass der Punkt A(5/10) auf dem Graphen liegt.
Es gibt mehrere Möglichkeiten, um die Werte für a, b und c zu berechnen.

1. Methode:
Da die Parabel symmetrisch zur y-Achse liegt (denn die Nullstellen liegen symmetrisch zur y-Achse), dürfen in der Funktionsgleichung nur gerade Exponenten auftauchen. Das b muss also den Wert 0 haben und die allgemeine Form vereinfacht sich zu y=a·x²+c.
Die Koordinaten von A und B werden nun in die Funktionsgleichung eingesetzt, wodurch man 2 Gleichungen mit 2 Variablen erhält.
Die Lösung des Gleichungssystems ist dann so einfach, dass man sie ohne elektronische Hilfsmittel finden kann:
2. Methode:
Der Funktionswert nimmt den Wert 0 an für die x-Werte 3 und -3.
Das gilt auch für das Produkt (x-3)(x+3).
Also kann man die Funktionsgleichung auch so schreiben mit einem Streckfaktor d: y=d·(x-3)·(x+3)
Man kann zeigen, dass man einen Funktionsterm immer so zerlegen kann, dass sich ein Produkt aus Klammern ergibt, in denen jeweils von x der x-Wert der Nullstelle subtarhiert wird.
Ausmultipliziert und dann mit eingesetzen Koordinaten des Punktes A ergibt sich:

Es ergibt sich auch hier die Funktionsgleichung .
3. Methode:
Man setzt einfach in die allgemeine Parabelgleichung y=a·x²+b·x+c die Koordinaten der 3 Punkte A, B und C ein und erhält ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten. Dieses System wird mit Hilfe des Taschenrechners (MATRIX-Funktionen, rref-Befehl) gelöst:

Es ergibt sich die Gleichung

Die Tatsache, dass man einen Funktionsterm so faktorisieren kann, dass sich ein Produkt aus lauter Klammern ergibt, in denen die Zahlenwerte die Nullstellen angeben, haben wir ausgenutzt, um kompliziertere Funktionen zu finden. Die Skizze an der Tafel war nicht maßstabsgerecht, sondern sollte nur andeuten, wo die Nullstellen liegen:
Stellen, für die kein Funktionswert existiert, weil der Nenner zu 0 wird, nennt man Pole. Wir haben auch für diesen Fall einige Beispiele kennengelernt:
Hausaufgabe:

2011-05-05

Lösung der Hausaufgabe (siehe rechts oben):
Mehrfache Nullstellen
Auf dem Bild sind mehrere Parabeln abgebildet, die sich nur darin unterscheiden, dass sie in y-Richtung unterschiedlich verschoben sind.
f(x) bis p(x) haben 2 Nullstellen, q(x) nur eine einzige Nullstelle und r(x) und s(x) haben gar keine Nullstelle.
Formt man die Klammern in den Funktuionstermen auf, so ergibt sich

Faktorisiert man die Funktionsterme, so erkennt man in den Klammern die x-Werte der Nullstellen.
Für q(x) fallen die beiden Nullstellen zusammen. Man nennt deshalb eine solche Nullstelle "doppelte Nullstelle".
r(x) und s(x) lassen sich nicht faktorisieren. Daran erkennt man, dass die Graphen dieser Funktionen keine Nullstellen besitzen.
Man spricht von einer n-fachen Nullstelle, wenn eine Klammer in der Faktorisierung mit n potenziert wird. Diese Klammer taucht dann also n-mal im Funktionsterm auf.
Ändert sich in einer Klammer des Funktionsterms das Vorzeichen, so ändert sich bei einer potenzierten Klammer nur das Vorzeichen, wenn die Hochzahl ungerade ist. Dann wird die x-Achse an einer solchen Nullstelle geschnitten.
Ist der Exponent bei einer Nullstellen-Klammer gerade, so ändert sich das Vorzeichen der Funktionswerte an der Stelle nicht und die x-Achse wird an der Stelle nur vom Graphen berührt.
Analog zu den Nullstellen spricht man auch bei Polen von n-fachen Polstellen, wenn die entsprechende Klammer im Nenner mit n potenziert wird.
Bei gerader Hochzahl läuft beim Pol der Graph auf beiden Seiten gegen +∞ oder auf beiden Seiten gegen -∞.
Bei ungerader Hochzahl läuft beim Pol der Graph auf der einen Seite gegen +∞ und auf der anderen Seite gegen -∞.

2011-05-09

In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass man die Nullstellen einer Funktion einfach aus dem Funktionsterm ablesen kann, wenn dieser ganz faktorisiert ist.
Was aber, wenn der Funktionsterm ausmultipliziert wurde? Im Gegensatz zum Ausmultiplizieren ist das Faktorisieren meist mit viel Mühe verbunden.
Beispiel: Finde die Nullstellen der Funktion f(x)=x³-3x-2.
Ihr habt mit dem Taschenrechner das Problem gut gelöst: Die Solver-, Zero- und Table-Funktionen haben Euch dabei gut unterstützt.
Die doppelte Nullstelle ließ sich aber nicht mit der Solver-Funktion finden. Ursache ist, dass der Taschenrechner numerisch rechnet und dabei manchmal einen Berührungspunkt mit der x-Achse nicht findet.
Exakte Rechnung: Eine Gleichung 3. Grades lässt sich mit einer Lösungsformel bestimmen, die aber nicht so einfach anzuwenden ist.
Besser ist folgendes Vorgehen: Eine Lösung x₁ wird durch Raten gefunden (hoffentlich!). Dann kann man mit Polynomdivision durch das "Dividieren dieser Lösung", d.h. Dividieren durch (x-x1), einen Term finden, dessen Grad um 1 verringert ist.
Durchrechnung des Beispiels:
Es wird die Lösung x₁=-1 geraten. Damit wird der faktorisierte Funktionsterm die Klammer (x-(-1))=(x+1) enthalten.
Man kann also schreiben x³-3x-2 = (x+1)·( ... ).
Den Inhalt der Klammer mit den Pünktchen erhält man durch die Umkehrrechnung (x³-3x-2):(x+1)=( ... ).
Man kann also schreiben: f(x)=(x+1)·(x²-x-2)
Nullstellen erhält man nun, wenn die erste oder die zweite Klammer zu 0 wird.
Bei welchen x-Werten die 2. Klammer zu 0 wird, kann man mit der p-q-Formel berechnen:

Zur 1. Lösung gehört die Klammer (x-2), zur 2. Lösung die Klammer (x+1).
Damit kann man nun endgültig die Funktionsgleichung schreiben als f(x)=(x+1)·(x-2)·(x+1)=(x+1)²·(x-2) und kann daraus ablesen, dass es eine doppelte Nullstelle bei x=-1 und eine einfache Nullstelle bei x=2 gibt.
Zur systematischen Überlegung einiger Punkte einer Kurvendiskussion hier der Tafelanschrieb:

Hausaufgabe: Durch graphisches Differenzieren (siehe rechte Tafelseite) die Bedingungen herausfinden für die beiden Fälle "rechts nach links" und "links nach rechts" bei Wendepunkten.

2011-05-16

Bedingungen für Nullstellen, Extrema und Wendepunkte:

	f(x)	f '(x)	f ' '(x)	f ' ' ' (x)
Nullstelle: positive Steigung	=0	>0
Nullstelle: negative Steigung	=0	<0
Extremum: Minimum		=0	>0
Extremum: Maximum		=0	<0
Wendepunkt: von rechts nach links			=0	>0
Wendepunkt: von links nach rechts			=0	<0

Beispielaufgabe zu dieser Tabelle:

Gesucht sind Nullstellen, Extrema und Wendepunkte der Funktion mit der Gleichung f(x)=x³-4x²+5x-2

Nullstellen: f(x)=0 → 0=x³-4x²+5x-2
Eine Lösung muss geraten werden: Für x=1 ist die Gleichung erfüllt.
Polynomdivision: (x³-4x²+5x-2):(x-1)=x²-3x+2
Das Ergebnis gleich 0 gesetzt ergibt weitere Nullstellen:
x²-3x+2
p-q-Formel:
Die Funktionsgleichung ergibt sich damit zu f(x)=(x-1)·(x-1)·(x-2)=(x-1)²·(x-2)
Die Funktion hat also eine doppelte Nullstelle bei x=1 und eine einfache Nullstelle bei x=2.
Zum Steigungsverhalten in den Nullstellen wird die 1. Ableitung gebildet: f '(x)=3x²-8x+5
Mit f '(1)=3-8+5=0 und f '(2)=3·2²-8·2+5=12-16+5=1>0 folgt, dass der Graph in der Nullstelle bei x=1 eine waagrechte Tangente besitzt und bei x=2 eine positive Steigung.
Extrema: f '(x)=0 (notwendige Bedingung)
Aus 3x²-8x+5=0 folgt und mit der p-q-Formel:

Waagrechte Tangenten besitzt der Graph also bei x=1 und bei x=5/3.
Ob Hoch- oder Tiefpunkte vorliegen, wird mit Hilfe der 2. Ableitung ermittelt (hinreichende Bedingung):

Bei x=1 liegt also ein Maximum (Hochpunkt) vor und bei x=5/3 ein Minimum (Tiefpunkt).
Wendepunkte: f ' '(x)=0 (notwendige Bedingung)
Aus 6x-8=0 folgt 6x=8 und x=8/6=4/3.
Ob die Krümmung von links nach rechts oder von rechts nach links geht, kann man mit Hilfe der 3. Ableitung ermitteln:
f ' ' ' (x) = 6 > 0, d.h. die Krümmung geht von rechts nach links.
GTR:

2011-05-19

Zur Polynomdivision findet Ihr ein Arbeitsblatt unter "Materialien" auf meiner Seite.
Steckbrief-Aufgaben
Bei dieser Aufgabenart dreht es sich darum, dass bestimmte Eigenschaften einer Funktion bekannt sind und die Funktionsgleichung gesucht werden soll.
Beispielaufgabe aus dem Unterricht:

Eine Funktionsgleichung 3. Grades ist gesucht.
Folgende Eigenschaften sind bekannt

Die Funktion hat bei x=3 den Funktionswert 5
Die Steigung des Graphen bei x=2 hat den Wert -3
Bei x=7 liegt ein Wendepunkt
Die y-Achse wird vom Graphen bei y=8 geschnitten.

Zunächst werden die Bedingungen in mathematischer Kurzschreibweise dargestellt:

f(3)=5
f '(2)=-3
f ' '(7)=0
f(0)=8

Eine allgemeine Funktionsgleichung 3. Grades hat die Form y=a·x³+b·x²+c·x+d .
Auch die Ableitungen der Funktion werden benötigt:
f '(x)=3·a·x²+2·b·x+c
f ' '(x)=6·a·x+2·b
Es ergibt sich mit den eingesetzten Werten also folgendes Gleichungssystem:
f(3)=5 → 27a+9b+3c+d=5
f '(2)=-3 → 12a+4b+c=-3
f ' '(7)=0 → 42a+2b=0
f(0)=8 → d=8
Die entsprechende Matrix des Gleichungssystems wird in den Taschenrechner eingegeben.
Mit dem rref-Befehl wird die Matrix umgeformt, sodass man die Lösungen ablesen kann.

Hausaufgabe: Eine Kurve 3. Grades hat im Punkt (4/1) einen Wendepunkt und im Punkt (6/-2) ein Minimum. Berechne die Funktionsgleichung.

2011-05-23

Lösung der Hausaufgabe: Eine Kurve 3. Grades hat im Punkt (4/1) einen Wendepunkt und im Punkt (6/-2) ein Minimum. Berechne die Funktionsgleichung.

Funktionsgleichung und Ableitungen:
f(x)=a·x³+b·x²+c·x+d
f '(x)=3·a·x²+2·b·x+c
f ' '(x)=6·a·x+2·b
Bedingungen in Gleichungen umsetzen:
f(4)=1 → 64a+16b+4c+d=1
f(6)=-2 → 216a+36b+6c+d=-2
f ' '(4)=0 → 24a+2b=0
f '(6)=0 → 108a+12b+c=0
Matrix in Taschenrechner eingeben und mit rref-Befehl die Lösung berechnen laassen:
Ergebnis aufschreiben:

Anwendungsaufgabe:
Zwei parallel verlaufende Eisenbahngleise (rot und blau) sollen durch 2 Weichen und ein Verbindungsgleis (grün) verbunden werden:

Bedingungen: Die eine Weiche soll sich im Koordinatenpunkt (0/0) befinden, die andere Weiche bei (50/5). (Abmessungen in Meter).
Der Übergang soll ohne abrupte Richtungsänderung geschehen, d.h. die Steigungen der parallelen Schienen und des Verbindungsstücks sollen an den Weichen gleich sein.
Die Form des Verbindungsstücks soll durch eine Kurve 3. Grades beschrieben werden.
Es gelten also die Gleichungen f(0)=0 , f(50)=5 , f '(0)=0 , f '(50)=0 oder genauer (siehe allgemeine Funktion und Ableitungen oben)
d=0 ; 125000a+2500b+50c+d=5 ; c=0 ; 7500a+100b+c=0
Wegen c=d=0 bleibt nur noch ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den Variablen a und b übrig.
Der Rest ist mittlerweile Routine mit dem Taschenrechner:

Es ergibt sich für das Zwischenstück die Funktionsgleichung f(x)=-0,00008·x³+0,006·x² .
Leider wäre eine Konstruktion nach der eben durchgeführten Rechnung nicht gut zu gebrauchen, weil das Krümmungsverhalten an den Nahtstellen der Gleise unterschiedlich wäre.
Bei Modelleisenbahnen kann man zum Beispiel sehen, dass ein Zug meistens an den Stellen entgleist, an denen ein gerades Gleisstück mit einem aus einem Kreisbogen bestehendes Kurvenstück verbunden ist.
Ein besseres Ergebnis erhält man, wenn man zwei zusätzliche Bedingungen fordert: Die 2. Ableitungen der Kurven müssen an den Nahtstellen übereinstimmen.
Da nun nicht mehr 4, sondern insgesamt 6 Bedingungen erfüllt werden müssen, muss man das Verbindungsstück mit einer Funktionsgleichung 5. Grades modellieren.
Durchführung als Hausaufgabe.

2011-05-26

Lösung der Hausaufgabe:
Wie in der letzten Stunde besprochen sollte eine Verbindung zwischen 2 parallelen Gleisen realisiert werden, die ohne Ruckeln durchfahren werden kann.
Bedingungen dazu: An den beiden Nahtstellen (Weichen) müssen die Funktionswerte, die 1. und die 2. Ableitungen übereinstimmen.
Konkret müssen folgende Bedingungen erfüllt sein: f(0)=0 ; f(50)=5 ; f '(0)=0 ; f '(50)=0 ; f ' '(0)=0 ; f ' '(50)=0.
Da 6 Bedingungen bestehen, müssen in der Funktionsgleichung auch 6 Parameter vorkommen, d.h. der grad der Funktion muss 5 sein.

Funktionsgleichung und Ableitungen:
f(x)=a·x⁵+b·x⁴+c·x³+d·x²+e·x+f
f '(x)=5a·x⁴+4b·x³+3c·x²+2d·x+e
f ' '(x)=20a·x³+12b·x²+6c·x+2d
Gleichungssystem, Matrix und Lösung

Ergebnis: f(x)=9,6·10^-8·x⁵-1,2·10^-5·x⁴+4·10^-4·x³

Zum Vergleich die Graphen aus beiden Stunden übereinandergelegt:

Definitionen:

Intervalle
Das abgeschlossene Intervall [a;b] besteht aus allen Zahlen zwischen a und b einschließlich der Zahlen a und b
Das offene Intervall ]a;b[ besteht aus allen Zahlen zwischen a und b. Die Zahlen a und b gehören aber nicht zum Intervall.
Das halboffene Intervall [a;b[ besteht aus allen Zahlen zwischen a und b und der Zahl a.
Das halboffene Intervall ]a;b] besteht aus allen Zahlen zwischen a und b und der Zahl b.
Monotonie und strenge Monotonie
Wenn in einem Intervall für alle Zahlen mit x1<x2 gilt f(x1)≤f(x2), so ist die Funktion auf diesem Intervall monoton steigend.
Wenn in einem Intervall für alle Zahlen mit x1<x2 gilt f(x1)<f(x2), so ist die Funktion auf diesem Intervall streng monoton steigend.
Wenn in einem Intervall für alle Zahlen mit x1<x2 gilt f(x1)≥f(x2), so ist die Funktion auf diesem Intervall monoton fallend.
Wenn in einem Intervall für alle Zahlen mit x1<x2 gilt f(x1)>f(x2), so ist die Funktion auf diesem Intervall streng monoton fallend.

2011-05-30

Wiederholung zur Klassenarbeit
Zur Streckentrassierungsaufgabe gibt es hier die Lösung.

2011-06-01

Wiederholung zur Klassenarbeit.
Übersicht zu der Abhängigkeit des Grades ganzrationaler Funktionen zur Anzahl von Nullstellen, Extrema und Wendepunkten:

2011-06-06

Klassenarbeit 4

2011-06-15

Rückgabe der Klassenarbeit [ Aufgaben | Lösungen ]

2011-06-16

Einführendes Beispiel zum Thema Kurvenscharen und Extremwertaufgaben
Beim Handballweitwurf wirft ein Schüler den Ball aus 2m Höhe ab.
In 40m Entfernung trifft der Ball auf dem Boden auf.
Bestimme die Gleichung einer Kurve, die den Ballverlauf beschreibt (von Luftreibung und anderen Störungen werde abgesehen).

Aus dem Physikunterricht ist bekannt, dass der Flug beim schrägen Wurf näherungsweise durch eine Parabel beschrieben werden kann.
Allgemeine Gleichung einer Parabel: y=a·x²+b·x+c.
Bestimmt werden müssen nun die Parameter a, b und c.
Bekannt sind 2 Punkte der Flugbahn (wenn der Koordinatenursprung am Boden senkrecht unter dem Abwurfpunkt des Balls gewählt wird): (0/2) und (40/0)
Daraus ergeben sich die Gleichungen 2=0+0+c und 0=1600·a+40·b+c.
Zusammengefasst gilt also 0=1600·a+40·b+2.
Da es nur eine Bestimmungsgleichung für 2 Variablen gibt, kann eine Variable nicht durch einen Zahlenwert bestimmt werden.
Wählt man a=k, so lässt sich aber auch b durch k ausdrücken und man erhält eine Funktionsgleichung mit nur einem Parameter k.
0=1600·k+40·b+2 → 40·b=-1600·k-2 → b=-40·k-1/20
Die Funktionsgleichung kann also beschrieben werden durch

Man spricht hier von einer Funktionsschar, bei der unendlich viele Funktionen gegeben sind, weil k unendlich viele verschiedene Werte annehmen kann.
Da die Parabel nach unten geöffnet sein muss, kann der Parameter k nur negative Werte annehmen.
Das GeoGebra-Arbeitsblatt zeigt die Graphen der Funktionen der Funktionsschar.
Wo liegen die Maxima der Wurfbahn in Abhängigkeit von k?
Beim Maximum ist die Ableitung 0:

Bedenkt man, dass k negativ sein muss, so sieht man, dass das Maximum bei x-Werten liegt, die kleiner als 20 sind.

Hausaufgabe: Wie ist das Verhältnis von Radius zu Höhe bei einer Konservendose, deren Oberfläche bei gegebenem Volumen minimal ist.

2011-06-20

Die 2 im Unterricht behandelten Beispiele zu Extremwertaufgaben findet Ihr hier:

2011-06-27

2 Beispielaufgaben zu Funktionsscharen
Ein oder mehrere Parameter in einer Funktionsgleichung bewirken, dass eine ganze Reihe von Funktionsgraphen bei wechselnden Werten für den Parameter gegeben sind.
In der Regel haben alle diese Graphen bestimmte gemeinsame Eigenschaften.
In den folgenden Beispielen sind das die Lage von Hoch-, Tief- und Wendepunkten.
Wie gezeigt wird, lässt sich die jeweilige Funktionsgleichung für die Kurven, auf denen diese besonderen Punkte liegen, sehr leicht ermitteln.

Gegeben ist die Funktionsschar mit der Gleichung
Es handelt sich um Parabeln mit dem Streckfaktor 1, die nach oben geöffnet sind.
Jede dieser Parabeln hat einen Tiefpunkt.
Die Funktionsgleichung der Kurve, auf der die Tiefpunkte liegen, wird ermittelt.
Gegeben ist die Funktionsschar mit der Gleichung
Es handelt sich um Parabeln 3. Grades mit dem Streckfaktor 1, die von links unten nach rechts oben verlaufen.
Jede dieser Parabeln hat einen Tief-, einen Hochpunkt und einen Wendepunkt.
Die Funktionsgleichung der 3 Kurven, auf denen diese Punkte liegen, wird ermittelt.

Ortslinie für die Tiefpunkte bei k>0 und die Hochpunkte bei k<0:

Ortslinie für die Hochpunkte bei k>0 und die Tiefpunkte bei k<0:

Ortslinie für die Wendepunkte: