Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Mathematik 10c

Datenanalyse mit Bernoulli-Versuchen


2007-11-07

• Im Zusammenhang mit der Besprechung der Hausaufgabe haben wir uns über das Dualsystem unterhalten und gesehen, wie man Dualzahlen addieren und multiplizieren kann.
  Wer mehr darüber wissen möchte, kann sich ja mal die Dokumentation meines Informatikunterrichts ansehen: Grundkurs Informatik im Schuljahr 2001/2002.
• Bei allen Teilaufgaben haben wir gsehen, dass trotz unterschiedlicher Elemente (Münzen, Personen, Dualzahlen usw.) immer dasselbe Ergebnis herauskam.
  In der Mathematik versucht man, die Strukturen hinter den Anwendungen zu erkennen. 
  Bei dieser Aufgabe ging es darum, dass man "Dinge" betrachtet, die 2 verschiedene Eigenschaften haben.
  Die Frage war nun, wie viele Möglichkeiten es gibt, wenn man 5 "Dinge" nacheinander wählt, zum Schluss 3 "Dinge" einer bestimmten Eigenschaft dabei zu haben.
  Wenn Ihr dieses allgemeine Problem gelöst habt, habt Ihr eigentlich auch schon alle anderen Aufgaben gelöst. Das werden wir in der nächsten Stunde noch einmal genauer sehen.

2007-11-08

• Man hat 5 Plätze und möchte darauf 3 gleichartige Dinge ablegen. Was das für "Plätze" sind und wie die "Dinge" aussehen, spielt keine Rolle.
  Dann hat man für das 1. Ding 5 Möglichkeiten, einen Platz auszusuchen.
  Für das 2. Ding bleiben dann noch 4 Möglichkeiten, weil ja ein Platz schon belegt ist.
  Für das 3. Ding bleiben nur noch 3 Möglichkeiten, weil ja schon 2 Plätze belegt sind.
  Insgesamt hat man also 5·4·3=60 Möglichkeiten, die 3 Dinge auf 5 Plätze zu verteilen.
• Nun sind die 3 Dinge aber gleichartig, d. h. ununterscheidbar.
  Eine Anordnung wie X_XX_ lässt sich von X_XX_ oder X_XX_ unterscheiden, weil die X sich durch ihre Farbe unterscheiden.
  Bei gleichfarbigen X kann man aber zwischen den 3 Anordnungen keinen Unterschied feststellen.
  Die oben berechnete Anzahl muss man also verkleinern. Dazu muss man herausfinden, wie viele Arten es gibt, die 3 X auf die 3 Plätze zu verteilen.
  Für das 1. X hat man 3 Möglichkeiten, für das 2. X nur noch 2 Möglichkeiten und für das letzte X ist nur noch 1 Feld frei.
  Man hat also 1·2·3=6 Möglichkeiten die 3 X auf die richtigen Plätze zu verteilen.
  Die 60 Möglichkeiten von oben muss man also durch 6 teilen, um die Anzahl aller unterscheidbaren Anordnungen zu bekommen: 60/6=10
• Es gibt also 10 unterschiedlich aussehende Möglichkeiten, 3 gleichartige Dinge auf 5 Plätze zu verteilen.
• Alles zusammengefasst in einem einzigen Term:
• Vorüberlegung für Weihnachten:
  Man hat am Weihnachtsbaum 27 Stellen gefunden, an denen man 12 identische Kerzenhalter befestigen kann. Wie viele Möglichkeiten gibt es für das Schmücken des Baumes?
  Wie oben für einen einfacheren Fall gezeigt findet man hier das Ergebnis zu  
  Ihr seht: bei größeren Zahlen ist das Aufschreiben des Bruchs sehr umständlich. Man hat deshalb nach einer vereinfachten Schreibweise gesucht und dazu folgendes festgelegt:
  1·2·3·4=4!   oder allgemein    1·2·3·4· ... ·n=n!
  Man liest die rechten Seiten der Gleichungen als "4 Fakultät" bzw. "n Fakultät".
  n ist immer eine ganze positive Zahl und n! ist das Produkt aus allen positiven ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich n sind.
  Den Nenner des riesigen Bruches kann man also als 12! schreiben.
  Der Zähler ist leider nicht 27!, weil alle Faktoren von 1 bis 15 fehlen. Die fehlenden Faktoren kann man als 15! schreiben.
  Also gilt für den großen Bruch
  Man schreibt auch kürzer , nennt die rechts stehende Klammer "Binom" (von bi = zwei und nomos = der Name) und spricht es "27 über 12" aus.
• Allgemein gilt: Werden k ununterscheidbare Dinge auf n Plätze verteilt, gibt es dafür Möglichkeiten. Aussprache: "n über k"
• Sind die "Dinge" identisch mit den "Plätzen", die man auswählt, sagt man auch "Wähle k aus n mit einem Griff"

2007-11-09

• Die Besprechung der Hausaufgabe ergab, dass noch Schwierigkeiten bestehen beim Unterscheiden folgender Fälle (hier am Beispiel des Urnenmodells):
  • Ziehen mit Zurücklegen
    Eine Kugel wird gezogen, die Zahl wird aufgeschrieben und dann wird die Kugel wieder zurückgelegt. Danach zieht man die nächste Kugel und geht genauso vor.
    Es kommt darauf an, in welcher Reihenfolgen die einzelnen unterscheidbaren Kugeln gezogen wurden.
    Beispiel: Eine Urne enthält 5 Kugeln, die mit 1 bis 5 beschriftet sind. Man zieht 3 Kugeln mit Zurücklegen. Jedes Mal hat man 5 Möglichkeiten, eine Kugel zu ziehen, insgesamt also 5·5·5=125 Möglichkeiten.
    Allgemein: Eine Urne enthält n Kugeln, die von 1 bis n beschriftet sind. Man zieht k Kugeln mit Zurücklegen. Jedes Mal hat man n Möglichkeiten, eine Kugel zu ziehen, insgesamt also  Möglichkeiten.
  • Ziehen ohne Zurücklegen
    Eine Kugel wird gezogen, die Zahl wird aufgeschrieben und die Kugel wird zur Seite gelegt. Danach zieht man die nächste Kugel und geht genauso vor.
    Es kommt darauf an, in welcher Reihenfolgen die einzelnen unterscheidbaren Kugeln gezogen wurden.
    Beispiel: Eine Urne enthält 5 Kugeln, die mit 1 bis 5 beschriftet sind. Man zieht 3 Kugeln ohne Zurücklegen. Beim 1. Mal hat man 5 Möglichkeiten, eine Kugel zu ziehen, beim 2. Mal nur noch 4 Möglichkeiten und beim 3. Mal nur 3 Möglichkeiten, insgesamt also 5·4·3=60 Möglichkeiten.
    Allgemein: Eine Urne enthält n Kugeln, die von 1 bis n beschriftet sind. Man zieht k Kugeln ohne Zurücklegen. Jedes Mal hat man eine Möglichkeit weniger, eine Kugel zu ziehen, insgesamt also  Möglichkeiten.
  • Ziehen mit einem GriffAlle zu ziehenden Kugeln werden mit einem Griff gezogen. Man kann die Kugeln auch nacheinander ziehen, aber dann auf die Reihenfolge nicht achten. Die Reihenfolge, in der die Kugeln gezogen werden, ist also beliebig (siehe auch Text zum 2007-11-08).
    Beispiel: Eine Urne enthält 5 Kugeln, die mit 1 bis 5 beschriftet sind. Man zieht 3 Kugeln mit einem Griff (oder achtet einfach nicht auf die Reihenfolge, in der man die Kugeln gezogen hat). Insgesamt hat man dann Möglichkeiten, verschiedene Ergebnisse zu erhalten.
    Allgemein: Eine Urne enthält n Kugeln, die von 1 bis n beschriftet sind. Man zieht k Kugeln mit einem Griff. Dann hat man Möglichkeiten für unterschiedliche Ergebnisse.
• Pascalsches Dreieck
  In folgendem Dreieck ergeben sich die Zahlenwerte dadurch, dass bei den äußeren schrägen Begrenzungen überall 1 steht. Die anderen Zahlen ergeben sich durch Addition der beiden schräg darüber stehenden Zahlen. In der nächsten Stunde werden wir das Pascalsche Dreieck genauer untersuchen.
  

2007-11-12

• Wir haben entdeckt, dass die Zahlen des Pascalschen Dreiecks mit den Koeffizienten übereinstimmen, die beim Ausmultiplizieren von Termen der Art entstehen:
  
  Die Hochzahlen der a- und b-Faktoren addieren sich in einer Reihe immer zum selben Wert (Hochzahl der Klammer).
  Die Hochzahlen des a-Faktors nehmen nach rechts hin ab, die des b-Faktors nach rechts hin zu.
• Die Zahlen des Pascalschen Dreiecks lassen sich durch Binome (siehe 2007-11-08) darstellen:
  
  Wenn man mit den Klammerausdrücken vergleicht, sieht man, dass oben in den Binomen die Hochzahl an der Klammer und unten die Hochzahl der b steht.
• Neben der Definition für n>0 und k<=n ist nach dem Pascalschen-Binom-Dreieck auch noch sinnvoll zu definieren , wobei man auf den Wert 0!=1 durch folgende Überlegung kommt:
  
  Von einer Zeile kommt man zur darunter stehenden Zeile, indem man durch die Zahl vor dem ! dividiert.

2007-11-14

• In Erweiterung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten beim Lotto haben wir folgende Formel kennengelernt:
  
  Diese Formel kann man benutzen, wenn folgende Dinge gegeben bzw. gesucht sind:
  • Es gibt insgesamt n Dinge, von denen man k Dinge mit einem Griff zieht.
  • Die n Dinge unterscheiden sich in i Merkmalen, wobei n_j Dinge das j-te Merkmal haben.
  • Von den Dingen des j-ten Merkmals zieht man k_j Dinge mit einem Griff.
  • Im Nenner des Bruchs steht die Anzahl aller Möglichkeiten, mit denen man k Dinge aus n Dingen mit einem Griff ziehen kann.
  • Im Zähler steht die Anzahl der Ergebnisse, auf die es ankommt (die "gut" sind).
• Da die Formel sehr abstrakt ist, hier ein Beispiel:
  Bei einem Ausstellungs-Besuch des gesamten 10. Jahrgangs nehmen 100 Personen teil: 40 Schüler, 50 Schülerinnen, 10 Lehrkräfte.
  Alle Teilnehmer dürfen ein Los ziehen. Als Preis winken 10 mathematische Geduldsspiele.
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (gerechter Weise?!) 4 Schüler (m), 5 Schülerinnen (w) und 1 Lehrkraft (l) diese Preise gewinnen?
  

2007-11-16

• Binome lassen sich auch mit dem Taschenrechner und mit der Tabellenkalkulation berechnen.
  Taschenrechner: Taste nCr 
  Tabellenkalkulation: Befehl  KOMBINATIONEN(n;k) 
• In der nächsten Stunde werden wir eine Simulation zur Binomialverteilung durchführen.
  Dazu haben wir zwei Befehle der Tabellenkalkulation wiederholt:
  ZUFALLSBEREICH(a;b) ergibt eine vom Zufallszahlengenerator ausgewählte ganze Zahl zwischen a und b (jeweils einschließlich). Neue Zufallszahl mit Strg+Shift+F9.
  ZUFALLSZAHL( ) ergibt eine vom Zufallszahlengenerator ausgewählte Zahl zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich). Neue Zufallszahl mit F9

2007-11-21

• Vorgänge in unserer Umwelt lassen sich häufig durch Simulationen untersuchen (Wetter, Meeresströmungen, Autoverkehr, Einkaufsverhalten usw.).
• Bedingung für eine sinnvolle Simulation ist eine gutdurchdachte Modellierung des zu untersuchenden Gegenstandes.
• Beispielaufgabe:
  Mannschaft A gewinnt beim Tauziehen in 60% aller Wettbewerbe gegen Mannschaft B.
  5 Spiele werden gespielt. Die Mannschaft, die dabei mindestens 3 Siege erreicht hat hat insgesamt gesiegt.
  Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Mannschaft A das gesamte Spiel?
  Modellierung:
  • Der Ausgang eines Spieles wird durch den Aufruf des Zufallszahlengenerators festgelegt, bei dem eine Dezimalzahl zwischen 0 (einschließlich) und 1 (ausschließlich) "gewürfelt" wird.
  • Liegt die Zufallszahl zwischen 0 (einschließlich) und 0,6 (ausschließlich), so hat Mannschaft A ein Teilspiel gewonnen, sonst Mannschaft B.
  • Hat Mannschaft A gewonnen, wird das durch die Zahl 1 dokumentiert, hat B gewonnen, so wird das durch eine 0 angegeben.
  • Über die Addition dieser Gewinnzahlen kann man die Wahrscheinlichkeit für den Gesamtgewinn von A experimentell ermitteln.
• Hausaufgabe: Tabelle in OOo.Calc einrichten und das Ergebnis finden.

2007-11-22

• Die Besprechung der Hausaufgabe ergab einen Wert von etwa 70% dafür, dass Mannschaft A das Tauziehen gewinnt (siehe 2007-11-21)
• Die Frage nach einem "genauen" Wert (wobei damit ein berechneter Wert gemeint ist) führte uns auf die Formel
  Die Potenzen ergeben sich aus den Pfadregeln für Baumdiagramme. Da es auf die Reihenfolge der Siege und Niederlagen nicht ankommt, muss noch der Binom-Faktor hinzugefügt werden.
  Das Ergebnis berechnet sich zu 0,3456 + 0,2592 + 0,07776 = 0,68256. In etwa 68% aller Fälle wird also Mannschaft A das gesamte Spiel gewinnen.
• Allgemein gilt:
  Gibt es bei einem Zufallsversuch nur 2 Ergebnisse,
  wobei das erste Ergebnis mit der Wahrscheinlichkeit p eintritt,
  wird der Zufallsversuch n-mal hintereinander mit Zurücklegen ausgeführt und
  tritt dabei das erste Ereignis k-mal auf,
  so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für diesen Fall zu 
• Unter OOo-Calc wird das Binom als     =Kombinationen(n;k)    eingegeben.

2007-11-23

• Besprechung der Hausaufgabe: "Chuck Your Luck"
  Spielregel: 
  • 3 Würfe mit einem Würfel W6
  • Einsatz 1$
  • Gewinne:
    • 3 mal 6: 6$
    • 2 mal 6: 4$
    • 1 mal 6: 2$
• Tabelle zur Lösung:
   
  
  
• Der Erwartungswert ist 1$. Da der Einsatz auch 1$ beträgt, ist das Spiel fair.
• Da wir gesehen haben, dass die benutzte Formel auch bei anderen Aufgaben gut einsetzbar ist, haben wir die Berechnung flexibler gemacht:
  Wir können nun beliebige Werte für n und p wählen:
     
  
  

2007-11-26

• In dieser Stunde haben wir das Tabellenblatt bei der Lösung mehrerer Aufgaben aus dem Buch benutzt.
  Für diejenigen, die kein Notebook gehabt haben oder die bei der Tabelle Schwierigkeiten hatten, hier zum Download die OOo-Calc-Datei Binomialverteilung.ods

2007-11-28

• Wir haben noch einmal genau die Schreibweise für die Binomialverteilung betrachtet:  mit q=1-p.
• Da häufig mehrere Werte der Binomialverteilung addiert werden müssen, ist es günstig, in der Tabelle (siehe oben) eine Spalte einzufügen, in der jeweils bis zu einem bestimmten k alle Werte B summiert sind.
  Hausaufgabe: Einfügen einer solchen Spalte in Eure Tabelle.

2007-11-29

• In den nächsten Stunden werden wir uns damit beschäftigen, wie man mit Hilfe der Binomialverteilung Tests durchführen kann.
• Das Schema eines solchen Tests kann folgendermaßen aussehen (Beispiel: Ist eine 1-Euro-Münze durch die Prägung gezinkt, d. h. sind die Wahrscheinlichkeiten für die beiden Seiten der Münze verschieden?):
  • Hypothese: Die 1-Euro-Münze ist gezinkt.
  • Nullhypothese oder Normalfall-Hypothese: Die 1-Euro-Münze ist nicht gezinkt und für die Wahrscheinlichkeiten für Wappen und Zahl gilt: 
  • Man legt fest, wie oft ein Zufallsversuch zur Überprüfung der Nullhypothese durchgeführt werden soll (in unserem Fall 10-mal).
  • Man legt die Größe des Ablehnungsbereiches fest, d. h. man legt fest, bei welchen Zufallsergebnissen man die Nullhypothese ablehnen wird.
    Üblich sind Bereiche von 1%, 5% oder 10% aller möglichen Ergebnisse (wir haben 5% gewählt).
  • Da in unserem Fall sowohl Wappen als auch Zahl ungewöhnlich häufig vorkommen können, teilen wir den Bereich (5%) in zwei gleich große Teilbereiche (je 2,5%) auf.
  • Wir berechnen die Binomialverteilung (k ist die Anzahl der Wappen-Würfe):
    
  • Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten B(n;p;0)+B(n;p;1)+... so weit, dass der Wert 0,025=2,5% nicht überschritten wird und notieren uns die k-Werte für den Ablehnungsbereich. Es sind die Werte 0 und 1.
  • Wir addieren die Wahrscheinlichkeiten B(n;p;10)+B(n;p;9)+... so weit, dass der Wert 0,025=2,5% nicht überschritten wird und notieren uns die k-Werte für den Ablehnungsbereich. Es sind die Werte 9 und 10.
  • Der Ablehnungsbereich ist die Menge {0;1;9;10}.
  • Finden wir beim Zufallsversuch (10-mal Münze werfen und die Anzahl der Wappen zählen) ein Ergebnis, das im Ablehnungsbereich vorkommt, können wir mit 5% Fehlerwahrscheinlichkeit die Nullhypothese ablehnen und annehmen, dass die 1-Euro-Münzen gezinkt sind (bzw. die Münze, die wir untersucht haben).
  • Im Versuch kam 4-mal Wappen und 6-mal Zahl. Da die 4 nicht im Ablehnungsbereich enthalten ist, können wir die Nullhypothese nicht ablehnen und müssen annehmen, dass die 1-Euro-Münzen nicht gezinkt sind.
• Hausaufgabe: Mit den Ergebnissen des Würfelversuchs aus dem Unterricht (ungleichmäßiger Würfel mit den Aufschriften 1; 1; 1; 5; 5; 5 - 50 Würfe) Test durchführen mit der Hypothese: Der Würfel ist gezinkt.

2007-11-30

• Zwei wichtige Einsichten gab es in dieser Stunde:
  • Da beim Testen von Hypothesen häufig viele Summanden der Art B(n;p;k) summiert werden müssen, ist es günstig, eine Tabelle zu benutzen, in der die Summen von B(n;p;0) bis B(n;p;k) aufgelistet sind. Hier noch einmal der Link zu eine entsprechenden OOo-Calc-Tabelle.
  • Wird der Stichprobenumfang n größer, so wachsen auch die Mengen des Annahmebereiches und des Ablehnungsbereiches.
    Dabei wächst die Menge des Annahmebereiches weniger stark an als die Menge des Ablehnungsbereiches.
    Das bedeutet, dass die Ergebnisse des Tests um so genauer der Wirklichkeit entsprechen, je größer der Stichprobenumfang ist.
  • Bei sehr geringer Stichprobenzahl (n=5; p=0,5) war der Ablehnungsbereich die leere Menge.
    Das bedeutet, dass bei zu geringem Stichprobenumfang ein Test überhaupt nicht sinnvoll durchgeführt werden kann.
• Wenn Ihr bei der Bearbeitung der Hausaufgabe die Tabelle mit den Summen benutzt, solltet Ihr aber auch für einige der Werte für die Binomialverteilung "per Hand" ausrechnen, also schriftlich und im Kopf. Nur so erlangt Ihr die für das Verstehen nötige Routine.

2007-12-03

• Die OOo-Calc-Tabelle zur Berechnung des Ablehnungsbereiches ist jetzt verbessert worden: Die Summe wird nun für k von 0 bis n und in einer weiteren Spalte für k von n bis 0 aufgelistet.
  Die Grenzen des Ablehnungsbereiches lassen sich so für kleine k und für große k auf gleiche Weise finden.
• Bitte nehmt die Hausaufgaben ernst! Nur wenn ihr die Aufgaben selbstständig gelöst habt, habt ihr während der Klassenarbeit die notwendige Routine um eine gute Note schreiben zu können.
  Denkt daran: Nicht Geiz (bei der Lernbereitschaft), sondern Erfolg ist geil. Und den Erfolg gibt es nur, wenn ihr die dafür notwendigen Aufgaben erledigt und im Unterricht bei der Sache seid.

2007-12-05

• Da die Hausaufgabe noch nicht von der Mehrheit geleistet wurde, bleiben die Aufgaben bestehen.
  Bei einigen von Euch sehe ich schon ein tieferes Verständnis für die Idee beim Testen mit der Bernoulliverteilung. Schön! Ich hoffe, die anderen schaffen es bald auch.
• Für die Arbeit gilt: Wir schreiben ohne die Computer, aber Ihr erhaltet ausgedruckte Tabellen und müsst einzelne Calc-Formeln entwickeln können.
  Also: Die vorhandene Tabelle immer wieder zwischendurch analysieren (=Formeln durcharbeiten) und mit der Tabelle Aufgaben lösen.
• Erläuterungen zur Anwendung der Binomial-Verteilung, erstellt von einem Schüler.

2007-12-06

• Weitere Übungen zum Testen mit der Binomial-Verteilung:
  Hütchenspiel - n=10 - p=1/3 
  Hypothese: Ein "Hellseher" kann vorhersagen, unter welchem Hütchen der Ball liegt.
  Nullhypothese: Der "Hellseher" kann nicht hellsehen, er rät mit der Wahrscheinlichkeit 1/3.

2007-12-07

• Wir haben uns über Fehler 1. und 2. Art beim Testen Gedanken gemacht:
  • Getestet werden soll z.B. eine Münze, von der behauptet wird, sie sei durch die Prägung unsymmetrisch geworden und deshalb sei die Wahrscheinlichkeit für Wappen (W) und Zahl (Z) nicht jeweils 0,5. Also Hypothese H = p(W) < > 0,5 . Als Nullhypothese (=Normalfallhypothese) wählt man N = p(W) = 0,5.
  • Zunächst bestimmt man den Ablehnungsbereich für die Nulhypothese N.
  • Nun kann es beim Testen zwei Ergebnisse geben:
    • Das Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich und die Nullhypothese wird abgelehnt, d.h. man geht davon aus, dass p(W) < > 0,5.
      Gilt die Nullhypothese aber in Wirklichkeit, hat man einen Fehler begangen, den man Fehler 1. Art nennt.
      Einen Fehler 1. Art begeht man mit der Wahrscheinlichkeit α, der Ablehnungswahrscheinlichkeit der Nullhypothese.
    • Das Ergebnis liegt im Annahmebereich und die Nullhypothese wird nicht verworfen, d.h. man geht davon aus, dass p(W) = 0,5.
      Gilt aber in Wirklichkeit die Hypothese und man verwirft die Hypothese, so macht man einen Fehler 2. Art.
      Einen Fehler 2. Art begeht man mit der Wahrscheinlichkeit β.
  • Da man die Wahrscheinlichkeit für die unsymmetrische Prägung des Geldstückes nicht kennt, kann man den Fehler 2. Art nicht berechnen.
    Nimmt man aber einmal an, dass die p(W) = 0,7 gilt, so berechnet sich der Fehler 2. Art folgendermaßen:
    • Man berechnet die Werte des Annahmebereiches der Nullhypothese.
    • Diese Werte bilden den Ablehnungsbereich der Hypothese.
    • Es wird die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass mit p(W) = 0,7 diese Werte angenommen werden.
    • Diese berechnete Wahrscheinlichkeit gibt die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 2. Art an.
  • Für n=10 und 5% Ablehnungswahrscheinlichkeit ergeben sich folgende Diagramme:
    Nullhypothese: Annahmebereich rot, Ablehnungsbereich grün
    Hypothese: Ablehnungsbereich der Hypothese (grün) ist der Annahmebereich der Nullhypothese
  • Wir sehen: Der Fehler 2. Art kann sehr groß werden. Hier tritt ein Fehler 2. Art etwa mit 85% Wahrscheinlichkeit auf.
  • Den Fehler 2. Art kann man nur kleiner machen, indem man den Fehler 1. Art vergrößert.
  • Beide Fehler lassen sich verkleinern, wenn der Stichprobenumfang erhöht wird.
  • Aufgaben zum Weiterdenken: 
    • Experimentiert mit der OOo-Calc-Tabelle und überprüft die letzten Aussagen experimentell!
    • Im Film über den Test der Wünschelrutengänger und Wasser-Energetisierer wurde mit n=50 gearbeitet. Wie groß ist hier bei α=5% der Fehler 2. Art, wenn man annimmt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg bei 0,9 liegt? Ergebnisse und Informationen dazu von "Quarks & Co" - Übersinnliche Phänomene im Test.
    • Warum nimmt man für Tests die Mühen eines Doppelblindversuches auf sich?
• Ein zweiter Unterrichtsgegenstand entstand in der Stunde aus der Überlegung, dass bei sehr großer Stichprobenzahl auch extreme Ergebnisse auftreten können.
  • Knacken des Lotto-Jackpots mit 6 Richtigen plus Superzahl
  • Auftreten "ungewöhnlicher" und "unglaublicher" Ziffernfolgen bei Zufallszahlen, z.B. 3 3 3 3 3 3 3 3 oder 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 usw.
  • Sehr viele Geburtstagsdaten sind in den Nachkommastellen der Zahl Pi enthalten. Siehe auch hier.
    Die Ziffern der Nachkommastellen von Pi folgen (wahrscheinlich) vollkommen zufällig aufeinander. Es kann keine Formel angegeben werden, die der Reihe nach die Nachkommastellen angibt.
  • Bewiesen(!) ist, dass in jeder unendlichen Aufeinanderfolge vollkommen zufälliger Ziffern jede beliebig lange vorgegebene Ziffernfolge auftaucht.
    Codiert man Buchstaben durch Zahlen, so kann man auch sagen: Jeder vorgegebene Text taucht in der benutzten Codierung in dieser unendlichen Folge auf.
    Das kann ein einfacher Satz wie dieser gerade gelesene Satz sein, es kann aber auch ein ganzes Buch und auch eine ganze Bibliothek sein.
    Der 27. Harry-Potter-Band - wenn er denn je geschrieben würde - existiert schon jetzt codiert in jeder unendlichen Aufeinanderfolge vollkommen zufälliger Ziffern.
    Und nicht nur das: Sogar seine Übersetzungen in jede existierende und ausgedachte Sprache existieren ebenfalls schon. Man muss die Stelle in der unendlichen Folge nur finden ;-)
    Und weiter: Selbst wenn ein einziger Buchstabe in einem solchen virtuellen Band geändert würde, auch dazu existiert schon der gesamte Band mit dieser Änderung in jeder ...
  • Leider haben wir nicht unendlich viel Zeit, um eine einzige solcher Folgen zu untersuchen. Was gäbe es da alles zu entdecken!

2007-12-10

• Wir haben uns noch einmal überlegt, was es mit dem Fehler 1. Art und dem Fehler 2. Art auf sich hat.
  In Kürze:
  • Wenn man die Nullhypothese ablehnt, obwohl sie richtig ist, begeht man einen Fehler 1. Art, genannt α.
  • Wenn man die Nullhypothese annimmt (oder anders gesagt: wenn man die Hypothese ablehnt), obwohl die Hypothese stimmt, dann begeht man einen Fehler 2. Art, genannt β.
  • Den Wert für β bestimmt man, indem man für bei der Verteilung für die Hypothese die Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse summiert, die im Annahmebereich der Nullhypothese liegen.
  • α und β hängen voneinander ab: je größer α, desto kleiner β, je kleiner α, desto größer β. 
  • α und β können beide nur dann verkleinert werden, wenn der Stichprobenumfang n zunimmt.
• Ausführliche Betrachtung zum Fehler 1. und 2. Art. Das Dokument ist ein Script der Uni Bielefeld, aber durchaus für Euch in den meisten Abschnitten zu verstehen. Die anderen Abschnitte sind etwas für die, die weiterdenken wollen.
• Hausaufgabe: Seite 99 Aufgabe 8

2007-12-12

• Besprechung der Hausaufgabe, Wiederholung der Benutzungsregeln für die OOo-Calc-Tabelle.

2007-12-13

• Neben einigen Wiederholungen haben wir heute den "Vorzeichentest" neu besprochen.
  Man benutzt ihn, wenn es bei einem Test nur darauf ankommt, ob eine Messgröße einer Bedingung entspricht oder nicht.
  Beispiele: "Ist ein neues Medikament besser als ein altes?" "Kann man in einem geheizten Zimmer besser schlafen als in einem kalten?" "Können Frauem besser Auto fahren als Männer?"
  Als Ergebnis schreibt man sich immer nur ein + (Bedingung ist erfüllt) oder ein - (Bedingung ist nicht erfüllt) und testet dann die Anzahl der +Zeichen darauf, ob die Nullhypothese (=es gibt gleiche viele + und -, d.h. p(+) = p(-) = 0,5) angenommen ode abgelehnt wird. 
• Wir haben den Zufallsversuch "Schüler(in) A ist ein(e) bessere(r) Stein-Schere-Papier-Spieler(in) als Schüler(in) B" durchgeführt und getestet, ob die Nullhypothese (=beide Spieler(innen) sind gleich gut) verworfen werden kann oder nicht.
  Festgelegt war vorher α=0,05.
  In einer von 12 Zweier-Gruppen lag das Ergebnis im Ablehnungsbereich, d.h. wir haben geschlossen: Frauke war besser als Christiane.
  Allerdings beträgt die Irrtumswahrscheinlichkeit 5%. 5% von 12 ist 0,6, gerundet 1. Das heißt: Es ist zu erwarten, dass bei einem von 12 Versuchen 1 Ergebnis im Ablehnungsbereich liegt, obwohl die Nullhypothese stimmt. Genau das hat sich in unserem Klassenversuch ergeben. Ist nun Frauke doch nicht besser als Christiane?

2007-12-14

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Themen der Klassenarbeit:
  • Berechnung der Anzahl der Möglichkeiten bei einem Zufallsversuch
  • Definition und Rechenregeln für Binome der Art  
  • Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Binomen, z.B. 
  • Bernoulli-Formel:
  • Test mit Bernoulli-Ketten (= n Versuche, jedesmal 2 mögliche Ergebnisse, alle Versuche unabhängig voneinander)
    Hypothese H, Normalfallhypothese N, Ablehnungsbereich, Annahmebereich, einseitig, zweiseitig, Irrtumswahrscheinlichkeit
  • Fehler 1. und 2. Art
  • Vorzeichentest

2007-12-17

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Da es Euch immer noch Schwierigkeiten bereitet, bei Tests zwischen dem Fehler 1. und 2. Art zu unterscheiden, hier noch eine Übersicht:
  • Fehler 1. Art: Im Zufallsversuch erhält man ein Ergebnis aus dem Ablehnungsbereich. Man lehnt die Nullhypothese ab, obwohl sie in Wirklichkeit wahr ist.
  • Fehler 2. Art: Im Zufallsversuch erhält man ein Ergebnis aus dem Annahmebereich. Man lehnt die Nullhypothese nicht ab, obwohl sie in Wirklichkeit falsch ist.
• 
• Der Ablehnungsbereich der Hypothese ist identisch mit dem Annahmebereich der Nullhypothese.
• Da einige keinen Taschenrechner mit nCr-Taste haben, werdet Ihr in der Klassenarbeit ein Blatt mit einer Tabelle zur Bestimmung von Binomen bekommen.
  Mit dem Link könnt Ihr Euch die OOo-Calc-Tabelle herunterladen und ausprobieren.

2007-12-19

• Klassenarbeit 2

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