Unterrichts-Einsichten - Schuljahr 2007/2008 - Mathematik 10c
Inhaltsmessung
2008-01-07
- Rückgabe der Klassenarbeit 2
- Aufgabe:
1. Bestimme zu einem Kreis mit gegebenem Radius die Länge des Umfanges möglichst genau.
2. Werte die Ergebnisse aus der Unterrichtsstunde und Deine eigenen Ergebnisse mit OOo.Calc aus.
2008-01-09
- Die Auswertung der Hausaufgabe ergab, dass der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 zwischen 6,00 und 6,95 beträgt.
Eine
Mittelwertbildung ist zwar möglich, aber man weiß dann nicht, ob der
wahre Wert größer oder kleiner als dieser Mittelwert ist. - Wir haben gesehen, dass es günstiger ist, wenn man ein Intervall angeben kann, in dem der wahre Wert mit Sicherheit liegt.
- Zu einer genaueren Abschätzung führt es, wenn man ein Quadrat dem Kreis einbeschreibt und ein Quadrat umbeschreibt.
Die Umfänge der Quadrate geben dann ein Intervall an, das den wahren Umfang des Kreises mit dem Radius 1 enthält.
Da BM=1, folgt mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras und damit für den gesamten Umfang des inneren Quadrates: .
Die
Seitenlänge des äußeren Quadrates ist gleich dem doppelten Kreisradius,
also 2. Der Umfang des äußeren Quadrates beträgt also
Der wahre Wert des Kreisumfangs liegt also zwischen 5,6 und 8. - Das
Intervall kann man verkleinern, indem man nicht ein Quadrat, also ein
regelmäßiges 4-Eck, sondern ein regelmäßiges n-Eck benutzt mit einer
Zahl n>4.
Zur Vorbereitung auf diese Lösung folgende Hausaufgabe:
AB
ist die Seitenlänge sn eines regelmäßigen n-Ecks. Die
Seitenzahl soll verdoppelt werden, so dass man ein 2n-Eck erhält.
Berechne
s2n mit der Annahme, dass sn bekannt ist. Es ist also eine Gleichung
s2n = . . . . sn . . . . gesucht, bei der auf der rechten Seite sn
vorkommt und bei der der Wert der rechten Seite die Seitenlänge s2n
ergibt. Bedenke dabei, dass der Kreisradius 1 beträgt und dass Du den
Satz des Pythagoras kennst.
2008-01-10
Lösung der Hausaufgabe:
Im rechten Teil der Figur finden sich 2 rechtwinklige Dreiecke, auf die der Satz des Pythagoras angewendet werden kann:
- Neue Hausaufgabe:
OOo-Calc-Tabelle
erzeugen, in der mit Hilfe der gefundenen Beziehung zwischen der
Seitenlänge sn eines regelmäßigen n-Ecks und der Seitenlänge s2n eines
regelmäßigen 2n-Ecks der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1
angenähert werden kann.
Beginne dabei mit n=6 (Sechseck) und gehe dann Zeile für Zeile weiter zum 12-Eck, 24-Eck, 48-Eck usw.
2008-10-11
- Die
Tabelle gibt uns mit wachsender Eckenzahl (scheinbar) immer genauere
Werte für den Kreisumfang des Kreises mit dem Radius 1:
In Zeile 26 erscheint aber unvermittelt (?) der Wert 0 für den Umfang.
Was ist passiert?
Grund ist die eingeschränkte Rechengenauigkeit der Tabellenkalkulation.
In der Formel wird für großes n der Wert von sn nahezu 0, damit die innere Wurzel fast zu 1 und unter der äußeren Wurzel steht dann 2 - (fast)2, was fast 0 ergibt.
Irgendwann
kann dann der Rechner diesen kleinen Wert nicht mehr von "genau 0"
unterscheiden und bei der Multiplikation mit einer noch so großen Zahl
n wird das Ergebnis zu 0. - Tritt bei Rechnungen ein solch katastrophaler Fehler auf wie in der Tabelle ab Zeile 26, so spricht man von einer Subtraktions-Katastrophe, da der Fehler dadurch bedingt wird, dass 2 etwa gleich große Zahlen voneinander subtrahiert werden.
- Formt man den Term für s2n
wie folgt um, kann diese Subtraktionskatastrophe vermieden werden, da
dann nur noch etwa gleich große Zahlen addiert werden:
Mit dieser Formel sieht dan die Tabelle so aus:
- Da
der Kreisumfang proportional zum Radius ist (Ähnlichkeit /
Stahlensätze) gilt für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius
r: .
Als Abkürzung für die Hälfte der unhandlichen Dezimalzahl hat man den griechischen Buchstaben pi (π) eingeführt, so dass man schreiben kann: U=2·π·r
Die 2 steht da, weil man π definiert hat als den Quotienten aus U und d, dem Durchmesser eines Kreises: U=π·d
2008-01-14
- Nachdem
wir nun wissen, wie wir den Umfang eines Kreises bestimmen können,
geht es jetzt um den Flächeninhalt eines Kreises.
Es gibt dazu zahlreiche Vorgehensweisen, von denen hier eine genannt und eine durchgeführt werden soll: - Näherungsweise lässt sich der Inhalt bestimmen durch die "Regentropfenmethode".
- Rechnerisch und exakt geht es sehr einfach auf Grund folgender Darstellung:
Um einen Kreis wird ein regelmäßiges n-Eck gelegt, das in n gleichschenklige Teildreiecke zerlegt wird.
Jedes der Teildreiecke hat die Höhe r (=Radius des Kreises) und die Grundseite sn.
Ein Teildreieck hat damit den Flächeninhalt An = 1/2 · sn · r .
Alle n Teildreiecke haben dann den Flächeninhalt Agesamt = n · 1/2 · sn · r .
n · sn ist der Umfang des n-Ecks.
Für n→∞ wird dieser Umfang zum Umfang des Kreises: AKreis = 1/2 · UKreis · r = 1/2 · 2πr · r = π · r2
2008-01-16
- Die Hausaufgabe war relativ leicht bis auf folgende Figur:
Die Flächenberechnung ist (wenn ich das richtig sehe) mit einfachen Mitteln nicht möglich.
Die Integralrechnung (kommt in der Klasse 12 dran) liefert folgendes Ergebnis: , wobei a die Seitenlänge des Quadrates ist. - Der
Flächeninhalt eines Kreisausschnittes (Pizzastück) kann berechnet
werden, wenn man das Verhältnis des zugehörigen Winkels zu 360°
ermittelt. Bitte Formel aufstellen.
- Noch eine genauere Angabe zum Buch, das ich in der Stunde erwähnt und empfohlen habe:
Ian Stewart: Flacherland - Die unglaubliche Reise der Vikki Line durch Raum und Zeit, ISBN 3-406-50179-6
(kann bei einem großen Buchversand günstig gebraucht erstanden werden)
Nicht verwechseln mit dem ebenfalls zu empfehlenden Buch
Edwin A. Abbott: Flächenland - Ein mehrdimensionaler Roman, verfasst von einem alten Quadrat, ISBN 3-608-95048-6
Flacherland
ist übrigens als Steigerung von Flächenland zu verstehen, es
ist eine Fortsetzung durch einen anderen Autor.
2008-01-17
- Die Bemerkung, die gestern betrachtete Fläche lasse sich nicht mit einfachen Mitteln berechnen, ist falsch.
Bis morgen habt Ihr noch die Chance, die Lösung selbst zu finden und eine gute Note zu bekommen! - Zwei neue Formeln für die Berechnung am Kreis sind heute dazu gekommen:
Kreisauschnitt (z.B. Pizza- oder Tortenstück):
Kreisbogen (Teil des Kreisumfangs):
Ordnet
man die Kreisausschnitte eines ganzen Kreises so wie in der Zeichnung
angegeben an, so erkennt man näherungsweise ein Rechteck mit den
Seitenlängen r und 1/2·U.
Für den Grenzfall, dass der Mittelpunkts-Winkel zu 0° wird, ergibt sich exakt dieses Rechteck.
Flächeninhalt des Rechteckes und damit Flächeninhalt des gesamten Kreises: - Ebenso
kann man den Zusammenhang zwischen Flächeninhalt des
Kreisausschnittes und Länge des zugehörigen Kreisbogens
angeben:
2008-01-18
- Lösung
der Aufgabe aus der vorletzten Stunde: Berechne den Flächeninhalt der
gelb unterlegten Fläche. Das Quadrat habe die Seitenlänge a:
Zunächst
wird der Inhalt der freien Fläche am oberen Rand des Quadrats
berechnet. Es hilft, wenn man nur Teile der Figur und einige
Hilfslinien zeichnet:
Die Fläche des weißen Abschnittes am oberen Rand ergibt sich aus Aweiß = AQuadrat - Arot - Arot - Agrün.
Die
roten Flächen sind Kreisausschnitte eines Kreises mit Radius a, denn
die gelben Flächen ergeben sich durch Kreisbögen mit Mittelpunkt in den
Ecken des Quadrates und Radius a.
Die
grüne Fläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit den
Seitenlängen a. Die Höhe im gleichseitigen Dreieck
beträgt .
Da
im gleichseitigen Dreieck alle Winkel 60° messen, hat der spitze Winkel
im roten Kreisausschnitt den Wert 30° (Ergänzungswinkel zu 90°).
Berechnung der Flächeninhalte:
ein roter Kreisausschnitt:
grünes gleichseitiges Dreieck:
weiße Fläche:
Die gesuchte gelbe Fläche ergibt sich, wenn man vom Quadrat 4-mal die weiße Fläche subtrahiert:
- Im
Zusammenhang mit dieser Aufgabe stellten wir fest, dass manche
geometrischen Probleme sehr einfach sind, wenn man erst einmal
geeignete Hilfslinien gezeichnet hat.
Es bleibt aber die Frage, wie man denn solche Hilfslinien finden soll.
Zunächst ist natürlich viel Routine im Lösen solcher Aufgaben wichtig.
Dazu
gehört aber auch, die ausgetretenen Bahnen des Denkens zu
verlassen und neue Wege zu sehen und dann auch einzuschlagen.
Man
sollte also nicht nur in ganzen Zahlen denken oder nur waagrechte oder
senkrechte Linien vor dem geistigen Auge sehen, sondern mit sehr viel
Phantasie bekannte und neue Dinge in vielfältigster Art miteinander
verknüpfen. Ein Beispiel: - 4
Orte, die in den Eckpunkten eines gedachten Quadrates liegen, sollen
durch Kabel so verbunden werden, dass jeder Ort mit jedem anderen Ort
verbunden ist und die Kabellänge minimal wird.
Folgende Möglichkeiten wurden von Euch vorgeschlagen. Die Länge der benötigten Kabel haben wir ausgerechnet:
Der Reihe nach ergeben sich die Kabellängen
Die Lösung der minimalen Kabellänge findet man nun, wenn man die beiden rechten Bilder miteinander verknüpft:
Denkt
man sich bei der "Kreuz"-Abbildung den Schnittpunkt in der Mitte als 2
Punkte und bewegt man dann einen der Punkte nach rechts und den anderen
nach links und fügt zwischen den Punkten eine waagrechte Strecke ein,
so gelangt man schließlich zur "H"-Abbildung.
Habt Ihr diese
Möglichkeit der Überführung der einen in die andere Abbildung gesehen?
Wer es geschafft hat, ist ein guter "Querdenker"!
Ein mögliches Zwischenergebnis sieht z.B. so aus:
Hausaufgabe:
Erstellt ein Geogebra-Arbeitsblatt, bei dem man in dieser Figur die
Punkte E und F waagrecht nach links und rechts verschieben kann und
bestimmt mit der Rechenfunktion von Geogebra die Gesamtlänge der grünen
Linien. Findet Ihr die kürzeste Kabellänge? Welche besondere
Eigenschaft hat in diesem Fall die Zeichnung?
2008-01-21
- Zur Lösung des Leitungs-Problems der letzten Stunde siehe das verlinkte Geogebra-Arbeitsblatt "kurzeLeitung".
- Für einige war der Begriff "Pythagoräische Zahlentripel" neu.
Es handelt sich bei diesen Tripeln um 3 ganze Zahlen a, b und c, die die Bedingung a2 + b2 = c2 erfüllen.
Beispiele sind: 3,4,5 - 5,12,13 - 152,285,323
Hausaufgabe:
Berechnet die Fläche der beiden "Möndchen des Hippokrates"
(gelb) und vergleicht mit der roten Fläche des Dreiecks.
Es
sind in der Figur keine Werte angegeben, weder für die Seitenlängen und
Radien, noch für die Winkel im Dreieck. Das ist kein Fehler!
2008-01-23
- Die Figur mit den "Möndchen des Hippokrates" aus der letzten Stunde wird bezeichnet:
Die Seiten a und b sind gegeben.
Da das Dreieck rechtwinklig ist, gilt a2 + b2 = c2
Die Kreise kX sind Kreise mit dem Durchmesser x (setze für x die Buchstaben a, b und c ein).
Die gelbe Gesamtfläche ergibt sich aus Addition und Subtraktion folgender Flächeninhalte: Halbkreis kA + Halbkreis kB + Dreieck - Halbkreis kC =
Der Flächeninhalt der gelben Möndchen ist also genau so groß wie der Flächeninhalt des roten Dreiecks.
Da konkrete Längen für a und b nicht gegeben sind, gilt das für alle Werte von a und b. - Besprechung der Hausaufgabe:
Sind beim Gleichungssystem
A und b gegeben, so kann man sehr einfach zu einer Lösung kommen,
indem man die beiden Gleichungen durcheinander dividiert.
Es ergibt sich dann .
Merke:
1. Da
bei Gleichungen auf beiden Seiten dasselbe steht, darf man mit den
Gleichungen auf beiden Seiten beliebige Rechnungen ausführen, natürlich auf beiden Seiten dieselben Rechnungen.
Man darf also Gleichungen addieren, subtrahieren, multiplizieren, dividieren, potenzieren, man darf den Kehrwert bilden, ...
2. Man sollte nie für π
oder andere Konstanten Zahlenwerte einsetzen, bevor man die Gleichungen
nicht fertig umgeformt hat. Sonst kann es leicht zu Ungenauigkeiten
oder sogar zu schlimmeren Fehlern kommen. Hier fällt z. B. das π aus der Rechnung heraus.
2008-01-24
- Mit dem Satz des Cavalieri (weiterer Link) haben wir gezeigt, dass das Volumen eines Prismas sich berechnet aus "Grundfläche mal Höhe": VPrisma = G · h
- Auch das Volumen eines Zylinders lässt sich so einfach mit Hilfe des Kreisinhaltes berechnen: VZylinder = π · r2 · h
Durch
Abrollen des Zylindermantels zu einem Rechteck und der Berechnung der
Kreisflächen von Grundfläche und Deckfläche lässt sich die Oberfläche
des Zylinders schreiben als
OZylinder = 2 · π · r2 + 2 · π · r · h = 2 · π · r · ( r + h) - Da bei Rechnungen mit Winkel oft die Einheit ° stört, gibt man Winkel häufig nicht im Winkelmaß sondern im Bogenmaß an.
Statt des Winkels α nimmt man dabei die zum Winkel α gehörende Länge des Kreisbogens eines Kreises mit dem Radius 1 (Einheitskreis).
360° entspricht dabei dem Umfang 2π des Einheitskreises.
Weitere wichtige Entsprechungen sind: 180° ↔ π ; 90° ↔ π/2 ; 60° ↔ π/3 ; 45° ↔ π/4 ; 30° ↔ π/6 ; 0° ↔ 0 - Umformungen vom Winkelmaß (α) ins Bogenmaß (x) und vom Bogenmaß (x) ins Winkelmaß (α):
- Übungen zu den neuen Formeln fanden in der 8.Stunde statt.
2008-01-25
- Besprechung von Aufgaben aus der letzten Stunde.
Dabei
haben wir wiederholt, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV)
zweier Zahlen finden kann (u.a. wichtig beim Suchen des Hauptnenners,
beim periodischen Abrollen von Kreisen und bei der Beobachtung der
Mars-Monde.
kgV von 24 und 50:
1. Zerlegen der Zahlen in
Primfaktoren (Primzahlen sind Zahlen, die sich nur durch sich selbst
oder durch 1 ohne Rest teilen lassen. 1 ist keine Primzahl)
24 = 2 · 2 · 2 · 3 = 23 · 3
50 = 2 · 5 · 5 = 2 · 52
2.
Von allen Primfaktoren nimmt man so viele, wie die größte vorkommende
Hochzahl bei dieser Zahl angibt und multipliziert diese Zahlen dann:
23 · 3 · 52 = 8 · 3 · 25 = 600
3. Das Ergebnis ist das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Zahlen: kgV(24;50) = 600 - Einführung
in die Berechnungen zur Pyramide: Ihr habt "leider" viel zu schnell die
Pyramiden zu einem Würfel zusammengesetzt. Meine Hochachtung!
Falls es am Wochenende langweilig sein sollte.... Bastelt doch mal die Formen auf dem Ausschneidebogen zusammen und setzt sie zu einer Pyramide zusammen. Schafft Ihr das auch?!
So
sehen die beiden Bauteile aus. Man schaut durch die Vorderfläche ins
Innere hinein und erkennt die auf der Rückseite liegende untere Kante.
2008-01-28
- Wir haben heute mehrere Formeln kennengelernt und hergeleitet (G = Grundfläche ; h = Höhe ; s = Seitenkante):
- Volumen einer Pyramide: V = 1/3 · G · h
- Volumen eines Kegels: V = 1/3 · π · r2 · h , da G = π · r2
- Oberfläche eines Kegels: O = π · r2 + π · r · s = π · r · ( r + s )
Herleitung: Rollt
man den Mantel eines Kegels zu einer Fläche aus, so erhält man einen
Kreisausschnitt A mit dem Radius s und dem Kreisbogen 2 · π · r (Umfang des Grundkreises)
Es gilt: A = 1/2 · bFormel · rFormel = 1/2 · 2 · π · r · s = π · r · s
2008-01-30
- Lösung der Hausaufgabe:
Seite 120 Aufgabe 2
Gegeben waren
2 der 6 Größen eines Kegels: r Grundkreisradius; h Höhe; s Mantellinie;
G Grundfläche; V Volumen; M Mantelfläche
Die restlichen 4 Größen sollten berechnet werden.
Benutzt werden durften die Formeln aus der Formelsammlung:
In der unten stehenden Tabelle sind die für die Hausaufgabe benötigten Formeln enthalten:
In
derSpalte ganz links und in der Reihe ganz sucht man die gegebenen
Größen. Im Schnittpunkt der Koordinaten stehen dann die Formeln.
Einige Fragen zur Tabelle: - Habe ich Fehler in die Tabelle eingebaut?
- Warum sind einige Felder grau eingefärbt?
- Warum sind einige Felder schwarz eingefärbt?
- Warum ist ein Feld mit einem Fragezeichen versehen?
- Wie viele Felder muss man noch berechnen(!), um alle Formeln in allen Feldern zu kennen?
- Wie heißen die Formeln in den frei gelassenen Feldern?
- Die Lösungen der Aufgabe mit den gegebenen Werten (auf 1-2 Stellen nach dem Komma gerundet):
- a) gegeben: r = 9 cm ; h = 12 cm → s = 15 cm ; G = 254,5 cm2 ; V = 1017,9 cm3 ; M = 424,1 cm2
- b) gegeben: r = 1 m ; h = 1 m → s = 1,4 m ; G = 3,1 m2 ; V = 1,0 m3 ; M = 4,4 m2
- c) gegeben: h = 40 cm = 4 dm ; V = 2 dm3 → r = 0,7 dm ; s = 4,1 dm ; G = 1,5 dm2 ; M = 8,8 dm2
- d) gegeben: r = 0,15 m = 15 cm ; V = 30 cm3 → h = 0,13 cm ; s = 15,00054 cm ; G = 706,858 cm2 ; M = 706,883 cm2
- e) gegeben: G = 30 cm2 = 3000 mm2 ; h = 75 mm → r = 30,9 mm ; s = 81,1 mm ; V = 30901,9 mm3 = 30,9 cm3 ; M = 7874,9 mm2 = 78,7 cm2
- f) gegeben: r = 2,5 m ; s = 8 m → h = 7,6 m ; G = 19,6 m2 ; V = 49,7 m3 ; M = 62,8 m2
- g) gegeben: h = 7 dm ; s = 11 dm → r = 8,5 dm ; G = 226,2 dm2 ; V = 527,8 dm3 ; M = 293,2 dm2
- h) gegeben: V = 2 m3 ; G = 1m2 → r = 0,56 m ; h = 6,00 m ; s = 6,03 m ; M = 10,7 m2
- Zur Volumenberechnung:
Wenn Ihr Schwierigkeiten haben solltet, Euch die zu berechnenden Körper vorzustellen, probiert doch einmal das Programm Google-Sketchup aus.
Nach dem Erstellen der Zeichnung könnt Ihr das Gebilde von allen Seiten ansehen:
Hier die entsprechende Sketchup-Datei zum Download
2008-02-04
- Lösung der Volumenberechnung:
vollständiges Haus ohne Dach: 4 · 2 · 3 = 24
Dach: 1/3 · 4 · 2 · 1 = 8/3
Durchbruch:
Grundfläche besteht aus einem vollständigen Kreis mit Radius
1/2 und einem Quadrat mit Seitenlänge 1: π · 1/4 + 1
Zum Volumen des Durchbruchs muss noch mit der Haustiefe 2 multipliziert werden: 2 · ( π · 1/4 + 1 ) = 1/2 · π + 2
Volumen = Haus + Dach - Durchbruch = 24 + 8/3 - 1/2 · π - 2 = 24 + 2/3 - 1/2 · π ≈ 23,1 - Hausaufgabe:
Seite 121 Aufgaben 10b und 10c
Datei und Skizze zu 10b:
2008-02-05
- Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?
Es kamen mehrere gute Vorschläge für Näherungen.
Für ein exaktes Ergebnis haben wir dann die Methode nach Archimedes untersucht.
Zentrale
Behauptung dieser Rechnung ist, dass die Schnittfläche mit einer
Halbkugel in jeder Höhe gleich ist der Schnittfläche eines Zylinders,
dem ein auf den Kopf gestellter Kegel entnommen wurde. Siehe Geogebra-Arbeitsblatt. - Zeigt durch eigene Rechnung, dass die beiden Flächen gleich groß sein müssen.
2008-02-06
- Herleitung des Kugelvolumens mit Hilfe einer erweiterten Abbildung aus dem oben angegebenen Geogebra-Arbeitsblatt:
Von oben betrachtet ergibt sich links ein Kreis mit Radius x und rechts ein Ring mit dem Radius r und der Dicke k bzw. j.
Zu zeigen ist, dass die Flächeninhalte dieser Gebilde übereinstimmen.
Vorüberlegung:
links ist der Schnitt senkrecht zu h, d. h. das aus h, x und r gebildete Dreieck ist rechtwinklig
rechts
liegt ein Quadrat vor, da Breite und Höhe gleich 2r sind. Die
Diagonalen verlaufen also unter einem Winkel von 45° und es gilt: RS =
SK = h - Kreis links: A = π · x2 mit x2 = r2 - h2, also A = π · (r2 - h2)
- Ring rechts: Der Außenradius ist r und der Innenradius h, die Fläche also A = π · r2 - π · h2 = π · (r2 - h2)
- Die beiden Flächeninhalte stimmen also überein.
Nach
dem Satz von Cavalieri sind dann auch das Volumen der Halb-Kugel und
das Volumen des Zylinders vermindert um das Volumen des Kegels gleich:
Das Volumen der ganzen Kugel beträgt also - Zur Berechnung der Kugeloberfläche zunächst folgende Überlegung:
Ein
Kreis lässt sich näherungsweise darstellen durch ein
regelmäßiges n-Eck, hier in der Abbildung als 12-Eck.
Der Flächeninhalt des Kreises ist dann näherungsweise gleich dem Inhalt aller eingezeichneten Dreiecke.
Die
Fläche eines Dreiecks beträgt 1/2 · g · h = 1/2 · b · r , wenn b die
rötliche Grundseite des Dreiecks und r der Radius des Kreises und damit
fast gleich der Höhe des Dreiecks ist.
Für die Kreisfläche
ergibt sich also näherungsweise A = n · 1/2 · b · r und da n · b gleich
dem Umfang U des 12-Ecks ist: A = 1/2 · U · r
Da U = 2 · π · r, gilt also A = 1/2 · 2πr · r = π · r2
Diese Gesetzmäßigkeit lässt sich auch in den 3-dimensionalen Raum übertragen.
Eine
Kugel kann man sich näherungsweise aus vielen Pyramiden zusammengesetzt
denken, wobei die Spitzen der Pyramiden im Kugelmittelpunkt liegen und
die Grundflächen der Pyramiden insgesamt (in Näherung) die Kugeloberfläche bilden.
Google-Sketchup-Datei zu dieser Abbildung
Wenn
G die Grundfläche einer Pyramide ist und der Kugelradius r
(näherungsweise) ihre Höhe, so bilden alle n Pyramiden zusammen das
Innere der Kugel:
VKugel = n · 1/3 · G · r = 1/3 · O · r
Da wir wissen, dass VKugel = 4/3 · π · r3 , gilt 4/3 · π · r3 = 1/3 · O · r und damit O = 4 · π · r2 - Merke:
Häufig lassen sich Erkenntnisse und Verfahrensweisen aus niedrigen
Dimensionen in höhere Dimensionen übertragen.
Dabei muss natürlich immer darauf geachtet werden, ob diese Übertragungen auch gültig sind.
Auf alle Fälle taugt dieses Vorgehen, um Arbeitshypothesen aufzustellen, und das nicht nur in der Mathematik!
2008-02-08
- Aufgabe zur Übung:
Eine Kugel ist einem Oktaeder mit den Seitenlängen a einbeschrieben. Berechne den Radius der Kugel.
Google-Sketchup-Datei zur linken Abbildung, rechts Abbildung mit verwendeter Schnittfläche
Abbildungen zur Rechnung:
Links eine der Oktaeder-Flächen (gleichseitiges Dreieck).
Rechts der Querschnitt durch den Oktaeder (siehe auch oben die 3-dim-Abbildung). r ist der gesuchte Radius der Kugel. - Berechnung von h:
- Berechnung von H:
- 2-mal Pythagoras bei den rechtwinkligen Dreiecken rechts anwenden und dann erst x und daraus r bestimmen:
2008-02-11
- Bei Üben für die Arbeit fanden wir folgende Aufgabe mit überraschender Lösung:
- Die von den Halbkreisen eingeschlossene Fläche ist in jeder der Abbildungen gleich groß.
Beweis:
Die unter der x-Achse liegenden Halbkreise können in die Lücken
oberhalb der x-Achse eingefügt werden, sodass sich ein vollständiger
Halbkreis ergibt. - Die Längen aller Halbkreisbögen sind in jeder Abbildung gleich lang.
Beweis:
Der Radius des großen oberen Halbkreises beträgt 6, die
Länge des oberen Halbkreisbogens also (wegen 1/2 · 2πr = πr) 6π.
Die Halbkreise an der x-Achse lassen sich zu jeweils 2 zu einem Vollkreis vereinigen.
Der Reihe nach ergeben sich dann 1 ; 2 ; 3 ; 6 Vollkreise.
Die Radien dieser Vollkreise sind der Reihe nach: 3 ; 1,5 ; 1 ; 0,5 und damit die Kreisumfänge der Reihe nach 6π ; 3π ; 2π ; 1π.
Die Umfänge, jeweils multipliziert mit der Anzahl der Vollkreise ergeben der Reihe nach: 1 · 6π = 6π ; 2 · 3π = 6π ; 3 · 2π = 6π ; 6 · 1π = 6π.
Es ergeben sich also immer 6π
als Länge aller Halbkreisbögen an der x-Achse. Diese
Länge ist also immer genau so lang wie der große
Halbkreisbogen. - Macht
man die Halbkreise auf der x-Achse immer kleiner, so ergibt sich
schließlich eine von einer Strecke nicht zu unterscheidende Bogenlinie
der Länge 6π, obwohl die sichtbare Strecke eine Länge von 12 besitzt.
2008-02-12
- Wiederholung: Das Bogenmaß kennzeichnet eine Winkelgröße durch eine einfache Zahl. Einem Winkel α
im Winkelmaß ordnet man dabei die Länge des Kreisbogens des
Einheitskreises (Kreis mit Radius 1) zu, der zu dem Winkel α gehört.
Es gilt die Verhältnisgleichung , mit Hilfe der man nach Umformung leicht vom Winkelmaß in das Bogenmaß und umgekehrt umformen kann:
- Bei der weiteren Wiederholung bitte besonders auch auf die Aufgaben auf den Seiten 123 und 131 achten!
2008-02-15
- Bei
den Aufgaben, die wir zur Wiederholung bearbeitet haben, hattet Ihr
Schwierigkeiten, Euch das Gebilde auf Seite 123 Aufgabe 19b
vorzustellen:
Google-Sketchup-Datei zu dieser Abbildung
Es
lohnt sich, diese Figur im Programm zu drehen! Dann erkennt man sehr
leicht Besonderheiten, die in dieser Abbildung nicht bzw. nur
undeutlich zu sehen sind.
2008-02-18
- Wiederholung zur Arbeit.
- Die
Aufgabe mit dem Herzen bereitete uns Schwierigkeiten. Sie ist wohl auch
nicht mit den bisher bekannten Hilfsmitteln zu lösen:
Die Flächeninhalte der beiden Halbkreise (zusammen ein Vollkreis) sind leicht auszurechnen:
Der Radius der Kreise im unteren Bildbereich lässt sich schwerer berechnen: Der Radius entspricht den Strecken KI und KJ
Gleichsetzen:
Den Winkel α können wir erst in ein paar Wochen bestimmen (mit tan α). Es ergeben sich 67,38° .
Nun
berechnet man den Flächeninhalt des Kreisausschnittes KIJ und
subtrahiert davon den Flächeninhalt des Dreieckes KGJ:
Dieses Ergebnis wird verdoppelt und mit dem Flächeninhalt der beiden oberen Halbkreise addiert.
Die Herz-Fläche ergibt sich dadurch zu etwa 0,74·a2.
2008-02-19
- Wiederholung zur Klassenarbeit
- Wir haben uns über die Berechnung von Kreisringen unterhalten und dabei die Methode "Umfang mal Dicke" kennengelernt:
Fläche des Ringes zwischen den Kreisen c und d:
Es gilt aber auch: Umfang des Kreises e (D liegt mitten zwischen B und C) mal Dicke des Ringes (d = Strecke BC) =
Da sich derselbe Wert ergibt, kann man auch die zweite Berechnungsmethode wählen.
Die
Methode kann man auch verwenden, wenn man zum Beispiel die Fläche einer
gewundenen Straße berechnen soll, die überall die gleiche Breite hat:
Einfach die Länge des (durchgehenden) Mittelstrichs mit der Straßenbreite multiplizieren!
2008-02-20
weiter geht es mit Trigonometrie