Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2013/2014 - Mathematik 10e
Funktionsuntersuchungen
2014-02-04
- Ein Blatt Papier soll so gefaltet werden, dass sich das Unterteil
einer Schachtel ergibt. Das Volumen dieser Schachtel soll maximal groß
werden.
Zeichnung:
Plan: An den Ecken wird das Papier im Abstand x vom Rand gefalzt.
Die herausgefalteten Stücke werden später mit Kleber zur Stabilität der
Konstruktion befestigt.
- Vorüberlegung: Wie groß darf oder muss x sein, damit überhaupt ein
offener Raum in der Schachtel entsteht?
Ist x=0, so ist die Höhe der Schachtel gleich 0. Die Grundfläche ist
zwar maximal groß, aber da sich das Volumen aus Grundfläche mal Höhe
berechnet, hat das Volkumen den Wert 0.
Ist x=B/2, so werden der obere und der untere Teil aufeinandergefaltet
und es bleibt die Grundfläche 0 übrig. Auch dann hat das Volumen den
Wert 0.
Der x-Wert muss also zwischen 0 und B/2 liegen.
Da für solche Werte das Volumen einen Wert größer als 0 hat, muss auch
ein maximales Volumen existieren.
- Erster Versuch (Die Einheiten cm, cm2 und cm3
werden der Übersichtlichkeit halber in den Rechnungen unterschlagen):
x=5 : Daraus folgt y = 20-2·5 = 20-10 = 10 und z = 30-2·5 = 30-10 = 20
und V = x·y·z = 5·10·20 = 1000
Beträgt die Breite des umgeschlagenen Falzes 5 cm, so hat das Volumen
die Größe 1000 cm3. Ist das schon das maximal mögliche
Volumen?
- Vorschlag von Julia: Das Volumen in Abhängigkeit von x für viele
x-Werte berechnen und dann graphisch darstellen lassen.
Funktionsgleichung für das Volumen: V(x) = x·y·z = x·(20-2x)·(30-2x)
Es ergibt sich also ein maximales Volumen von 1056,3 cm3,
wenn x die Länge 3,92 cm besitzt.
- Der gefundene Wert ist nur ein Näherungswert. Gibt es auch eine exakte
Lösung?
Wir erinnern uns an das bisher Gelernte: Am höchsten Punkt der Kurve,
der das maximale Volumen kennzeichnet, besitzt die Kurve eine waagrechte
Tangente, also eine Tangente mit der Steigung 0.
Steigungen berechnet man mit Hilfe der Ableitung einer Funktion.
Plan: Wir bilden die Ableitung V '(x) der Funktion V(x) und setzen den
Ableitungsterm gleich 0 (wegen Steigung gleich 0). Dann wird die
Gleichung nach x aufgelöst und wir erhalten die exakte Lösung.
Da der x-Wert zwischen 0 und 10 (=B/2=20/2=10) liegen muss, ist nur x2
eine gültige Lösung des Problems. Es ergibt sich die gleiche Lösung wie
beim Taschenrechner.
- Mit dem GeoGebra-Arbeitsblatt kann die Aufgabe auch in Abänderungen
der Werte experimentell gelöst werden:
Zur Überprüfung beachte man jeweils die Nullstelle der
Ableitungsfunktion!
2014-02-07
- Eine ganzrationale Funktion f(x) ist eine Funktion, die als
Funktionsterm ein Polynom pn(x) enthält.
Ein Polynom pn(x) setzt sich auch der Summe von Potenzen von x, jeweils
versehen mit einem Koeffizienten zusammen.
Die Exponenten sind Elemente der natürlichen Zahlen ( also {0, 1, 2, 3,
... ,n} ) und die Koeffizienten sind Elemente der reellen Zahlen R.
f(x)=pn(x)=a0·x0+a1·x1+a2·x2+a3·x3+
... +an·xn
- Bei folgender Extremwertaufgabe sind alle Funktionen ganzrationale
Funktionen.
Aufgabe: Eine zylinderförmige Litfaßsäule
mit oben bündig abschließender Halbkugel soll die Gesamthöhe 4 m
besitzen.
Zu berechnen ist, für welchen Kugelradius x das Gesamtvolumen V(x)
maximal wird und für welches x die Anschlagfläche M(x) (Mantel der
Mitteilungssäule) maximal wird.
Lösung:
Die zweite Lösung scheidet aus, weil dann das Volumen gleich 0 wäre.
Die erste Lösung kann auch nicht stimmen, da die Maximalhöhe der Säule 4
m beträgt, also 8 m für den senkrecht abgetragenben Radius der Halbkugel
viel zu viel sind.
x kann also maximal 4 m betragen, d. h. das maximale Volumne wäre dann
erreicht, wenn die Säule zu einer Halbkugel entartet.
Für den Radius 2 m ergibt sich also die größte Plakatierfläche. Der
Zylinder ist dann so hoch wie der Radius der Halbkugel.
2014-02-11
2014-02-14
- Fortsetzung zum Thema Achsen- und Punktsymmetrie
Herleitung der Bedingung f(x)=-f(-x+2u)+2v für das Vorhandensein von Punktsymmetrie
zum Punkt (u/v).
GeoGebra-Arbeitsblatt zur Veranschaulichung und Unterstützung bei der
Herleitung der Formel:
- Mit Hilfe der hergeleiteten Formeln kann man überprüfen, ob eine
beliebige senkrechte Gerade x=u eine Spiegelachse oder ein beliebiger
Punkt (u/v) ein Spiegelpunkt eines Funktionsgraphen ist.
Man kann aber auch unbekannte Spiegelachsen und Spiegelpunkte mit Hilfe
der Formeln durch Lösen eines Gleichungssystems finden.
Ein Beispiel dazu (Koordinaten
des Spiegelpunkt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades finden)
im verlinkten Arbeitsblatt.
2014-02-18
- Bei Untersuchungen zur Symmetrie müssen häufig Potenzen von
Klammertermen berechnet werden.
Hilfreich ist da die Betrachtung des erweiterten Pascalschen Dreiecks:
- Rechnung zum Auffinden des Spiegelpunktes einer Funktion 3. Grades
(Lösung der Hausaufgabe):
Bedingung für die Existenz eines Spiegelpunktes (u/v) ist die Gültigkeit
der Gleichung f(x)=-f(-x+2u)+2v
Die Klammern müssen alle den Wert 0 haben, damit die Gleichung stimmt.
- Intervalle
und Monotonie
2014-02-21
- Monotonieverhalten von Funktionsgraphen - Untersuchung mit Hilfe der
Abeitungsfunktion - 3 Beispiele
- Funktion 2. Grades (2 Bereiche)
- Funktion 3. Grades (3 Bereiche)
Zur Vereinfachung der Rechnung wird erst der Fall mit "=" gelöst.
Die Grenzen zwischen Fallen und Steigen liegen also bei den x-Werten
-2 und +2,5.
Durch Einsetzen geeigneter Werte aus den 3 Bereichen in die
Ableitungsfunktion wird das Vorzeichen der Ableitungsfunktion in den 3
Bereichen ermittelt.
Ergebnis: monoton steigend für x<-2 und x>2,5 ; monoton fallend
für -2<x<2,5.
- Funktion 3. Grades (1 Bereich)
2014-02-25
- Übungen zum Monotonieverhalten von Funktionsgraphen und dem
Zusammenhang zwischen den Graphen einer Funktion und der
Ableitungsfunktion.
2014-02-28
- Berechnung von Extremstellen und Analyse der Extrempunkte auf
Hochpunkt und Tiefpunkt
Um die Extremstellen zu finden, wird die 1. Ableitung gleich 0 gesetzt.
Damit findet man alle Stellen mit waagerechter Tangente.
Zwischen den Stellen mit waagerechter Tangente muss die Kurve monoton
verlaufen, denn sonst müsste ja beim Übergang vom monotonen Fallen zum
Steigen (oder umgekehrt) ja noch eine Stelle mit waagerecher Tangente
existieren.
Um zu entscheiden, ob monotones Steigen oder Fallen vorliegt, wird aus
den Bereichen mit Monotonie jeweils für einen Punkt das Vorzeichen der
Steigung berechnet. Dieses gilt dann jeweils für das gesamte Intervall.
Ein Hochpunkt liegt dann vor,
wenn links von der Stelle mit
waagerechter Tangente die Kurve monoton
steigend und rechts
davon monoton fallend ist.
Ein Tiefpunkt liegt dann vor,
wenn links von der Stelle mit
waagerechter Tangente die Kurve monoton
fallend und rechts
davon monoton steigend ist.
- Beispiel:
2014-03-04
- Nachweis für die Nicht-Existenz eines Extrempunktes (mit Wiederholung
des Themas "Substitution")
Die Funktionsgleichung wird abgeleitet und der Ableitungsterm gleich 0
gesetzt. Hat diese Gleichung keine Lösung, existiert auch keine Stelle
mit waagerechter Tangente.
Beispiel:
Die Lösungsformel
für eine Gleichung 4. Grades ist sehr schwierig zu benutzen.
Da hier nur gerade Exponenten auftreten, bietet es sich an, mit Hilfe
der Substitution die Lösung zu vereinfachen:
Man setzt x2=z und erhält damit z2+11·z+18=0.
Diese Gleichung lässt sich mit der p-q-Formel lösen.
Nun müssen noch durch Resubstitution aus den z-Werten die x-Werte
ermittelt werden: x2=-2 ; x2=-9
Diese Gleichungen haben aber keine Lösungen (links steht ein Quadrat,
also eine positive Zahl, rechts steht eine negative Zahl), so dass man
daraus schließen kann, dass keine Stellen mit waagerechter Tangente
existieren.
- Sattelpunkte
Gefragt sind Stellen mit waagerechter Tangente bei folgender Funktion f.
Es wird die übliche Rechnung mit dem Bilden der 1. Ableitung und
Nullsetzen des Ableitungsterms durchgeführt:
Es gibt nur eine (doppelte) Lösung. Um die Eigenschaft des Punktes mit
waagerechter Tangente zu finden, wird links und rechts dieser Stelle die
Steigung bestimmt.
Da es nur eine waagrechte Tangente gibt, kann man ruhig x-Werte
aussuchen, die auch weiter von der Stelle x=4 entfernt sind.
Der Funktionsgraph muss ja auf beiden Seiten streng monoton steigend
bzw. fallend sein, weil es sonst zusätzliche Stellen mit waagerechten
Tangenten geben würde.
f '(0)=16>0 ; f '(5)=25-40+16=41-40=1>0
Da die Steigungswerte auf beiden Seiten positiv sind, können kein
Hochpunkt und kein Tiefpunkt vorliegen.
Monoton steigende oder fallende Kurven besitzen, wenn sie einen Punkt
mit waagerechter Tangente haben, dort einen Sattelpunkt.
2014-03-07
- Weitere Übungen zu den Themen Monotonie und Extrempunkte (Seite 210 im
Buch)
2014-03-11
- Wiederholung zur Arbeit (Ableitungsregeln, Symmetrieüberprüfung)
Die Tafelbild der letzten beiden Stunden gibt es bei Moodle.
2014-03-14
- Wiederholung zur Arbeit (Symmetrie, Tangentengleichung)
Die Tafelbild der Stunden gibt es bei Moodle.
- Lösung der nicht beendeten Aufgabe:
2014-03-18
- Wiederholung zur Arbeit (Monotonie, Extrema, Sattelpunkte, lineare
Kettenregel, Symmetrie, graphisches Differenzieren)
Die Tafelbild gibt es bei Moodle.
2014-03-21
2014-03-25
- Rückgabe der Klassenarbeit 3 [ Aufgaben
| Lösungen
]
- Besprechung der mündlichen Noten
- Während der Notenbesprechung habt ihr untersucht, was die 2. Ableitung
einer Funktion über den Funktionsgraphen sagen kann.
Dazu hier das Tafelbild:
Mehr dazu in der nächsten Stunde.
2014-03-28
- Aus Zeitgründen hier nur das Tafelbild aus der Stunde zu den Themen
Krümmung - 2. Ableitung - Polynomdivision
2014-04-01
- Faktorisierte Funktionsterme und Nullstellen
Der Funktionsterm einer Funktion n-ter Ordnung kann maximal in n
Klammern faktorisiert werden.
Der Grad einer Klammer gibt die Ordnung der Nullstelle an.
Bei Nullstellen gerader Ordnung liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt auf der
x-Achse vor.
Bei Nullstellen ungerader Ordnung größer als 2 liegt ein Sattelpunkt auf
der x-Achse vor.
Bei Nullstellen erster Ordnung schneidet der Graph die x-Achse.
Im Beispiel gilt:
Bei x=-1 liegt eine Nullstelle 1-ter Ordnung vor. Die x-Achse wird
geschnitten.
Bei x=0 liegt eine Nullstelle 2-ter Ordnung vor. Hier existiert ein
Hochpunkt.
Bei x=2 liegt eine Nullstelle 3-ter Ordnung vor. Hier existiert ein
Sattelpunkt.
Der Term x²+1 lässt sich nicht faktorisieren und ergibt nie den Wert 0.
Deshalb gibt es bei dieser Funktion nur 3 verschiedene Nullstellen.
2014-04-25
- Kurvendiskussion
Mit Hilfe der Funktionsgleichung und der ersten 3 Ableitungen kann man
Informationen über die Nullstellen, Extrema und Wendepunkte eines
Funktionsgraphen erhalten.
Tabelle zu den Ergebnissen:
Hier ein GeoGebra-Arbeitsblatt,
mit dem man durch graphisches Ableiten die Ergebnisse nachvollziehen
kann:
- Beispiel für eine Kurvendiskussion mit den oben angegebenen
Untersuchungspunkten
- Funktionsgleichung und Ableitungen:
- Nullstellen:
- Extrema/Stellen mit waagerechter Tangente
- Wendepunkte
2014-05-06
- Wiederholungsstunde zur Polynomdivision, zum Finden von Nullstellen
und zu besonderen Stellen bei Funktionsgleichungen mit großem Grad
- Polynomdivision
Beispielaufgabe:
- Nullstellen bestimmen
Gegeben ist die Funktion mit der Gleichung
Zur Bestimmung der Nullstellen muss der Funktionsterm gleich 0 gesetzt
werden.
Da wir die Lösungsformel
für eine Gleichung dritten Grades nicht besprochen haben, müssen
wir den Taschenrechner zu Rate ziehen (Graph zeichnen lassen) oder
einfach raten.
Mit x=0 und x=1 haben wir keinen Erfolg, aber für x=-1 ist der Term
gleich 0.
Wir können den Term also faktorisieren (Produkt zweier Klammern),
wobei eine Klammer (x+1) ist, da diese Klammer für den Fall x=-1 zu 0
wird.
Das Faktorisieren geschieht mittels Polynomdivision.
Die entstehende Gleichung 2. Grades können wir mit der p-q-Formel
lösen:
- Funktionsgleichungen mit Potenzen hohen Grades
Wir haben in den letzten Stunden gesehen, dass die Ableitungen einer
Funktion uns Informationen zu Extremstellen (Stellen mit waagerechter
Tangente) und Wendepunkten liefern können.
Die Ableitungen einer Funktion mit Potenzen hohen Grades liefern z. B.
Die Funktion hat Nullstellen bei x=0 und x=1 (Funktionsgleichung zu 0
setzen).
Die 1. Ableitung hat Nullstellen bei x=0 und x=5/6. Bei x=0 ist aber
auch die 2. Ableitung gleich 0, so dass wir keine AUssage über Hoch-
oder Tiefpunkt machen können.
Auch die 3. Ableitung hat bei x=0 den Wert 0. Erst die 5. Ableitung
ist bei x=0 nicht 0 sondern hat den negativen Wert -120.
Wir haben den Taschenrechner um Hilfe gebeten:
Wir haben erkannt:
Ist eine gerade Ableitung (2., 4., 6. usw.) die erste, die an einer
Stelle von 0 verschieden ist, so liegt ein Hoch- oder Tiefpunkt vor,
ist eine ungerade Ableitung (3., 5., 7. usw.) die erste, die an einer
Stelle von 0 verschieden ist, so liegt ein Wendepunkt vor.
2014-05-09
- Zwei Beispiele für kompliziertere Polynomdivisionen
- Polynomdivision durch eine Klammer mit mehr als 2 Summanden
- Polynomdivision mit Rest
- Extremwertaufgabe
Eine Konservendose mit Ananasringen hat den Durchmesser 10,0 cm und die
Höhe 11,8 cm.
Berechne das Volumen der Dose.
Damit beim Bau der Dose Material gespart werden kann, soll die minimale
Oberfläche A bei festgelegtem Volumen V bestimmt werden.
Die Fläche A berechnet sich aus zwei Kreisflächen und der Mantelfläche
des Zylinders:
Die Fläche A ist von d und h abhängig. Zur Berechnung der minimalen
Fläche darf aber die Funktion A nur von einer Variabloen abhängig sein.
Mit Hilfe der umgestellten Volumen-Formel kann die Variable h durch d
ersetzt werden:
Jetzt wird mit Hilfe der Differenzialrechnung die minimale Fläche und
der zugehörige Durchmesser d bestimmt:
Berechnung der Höhe h:
Im Idealfall minimalsten Materialverbrauchs sind also Durchmesser und
Höhe der Dose gleich!
Mit dem oben berechneten Volumen würde sich ergeben d=h=10,6 cm.
Die Abweichungen zu den gemessenen Werten ergeben sich möglicherweise
aus benötigtem Zusatzmaterial für Falzstreifen.
2014-05-13
- Von einem rechteckigen Metallstück mit den Seitenlängen 6 cm und 10 cm
wurde eine Ecke abgetrennt, indem von der Mitte der kürzeren Seite aus
unter dem Winkel von 45° geschnitten wurde.
Vom Reststück soll eine rechteckiges Stück zugeschnitten werden, dessen
Seiten parallel zu den Seiten des ursprünglichen Metallstücks liegen.
Außerdem soll das neue Rechteck maximalen Flächeninhalt besitzen. Es
dürfte klar sein, dass ein Eckpunkt des neuen Rechtecks auf der schrägen
Schnittlinie liegen muss. Gesucht sind die Koordinaten dieses Eckpunktes
und der Flächeninhalt des neuen Metallstücks.
- Zeichnung:
- Berechnung des maximalen Flächeninhaltes:
Der Flächeninhalt berechnet sich aus A(h,b)=h∙b.
Mit Hilfe der Streckenlänge z kann A in Abhängigkeit einer einzigen
Variablen als A(z) ausgedrückt werden.
Lässt man A(z) zeichnen, erhält man einen Graphen, bei dem beim Maximum
der zugehörige z-Wert zum größten Flächeninhalt führt.
Mit Hilfe der zu 0 gesetzten Ableitung kann z bestimmt werden:
Wegen b = h ergibt sich als maximaler Flächeninhalt ein Quadrat.
- In der Lösung ist nun aber ein Fehler enthalten, obwohl formal richtig
gerechnet wurde.
z darf nämlich keinen negativen Wert annehmen, sondern nur Werte aus dem
Intervall [0,3].
Das Maximum liegt aber nicht in diesem Intervall,sondern außerhalb bei
x=-0,5.
In einem solchen Fall muss bei einer stetigen Funktion der Maximalwert
am Rand des Intervalls liegen.
Man muss also für z die Werte 0 und 3 einsetzen und jeweils den
Flächeninhalt bestimmen.
An Hand des Graphen kann man schon erkennen, dass der Wert z=0 zum Ziel
führt: A(0)=6∙7=42.
- Mit GeoGebra (hier die GeoGebra-Datei
zum Download) haben wir den Suchvorgang noch einmal anschaulich
dargestellt:
2014-05-16
- Mögliches Vorgehen beim Lösen von Extremwertaufgaben
- Zeichnung / Hilfslinien / Bezeichnungen
- Formel aufstellen (Funktion oft abhängig von mehreren Variablen)
- Umformen der Funktionsgleichung so, dass nur eine
Variable vorkommt.
- Ableiten der Funktionsgleichung, Nullsetzen, Extremwert ermitteln.
- Randbedingungen betrachten / beachten!
- Parabel-Aufgabe
Aus einem 10cmx6cm großen Rechteck aus Holz ist ein Stück ausgesägt
worden, das einen Parabelförmigen Rand besitzt (siehe Skizze).
Aus dem Reststück soll ein maximal großes rechteckiges Stück gesägt
werden, dessen Seitenkanten parallel zu den Kanten des ursprünglichen
Rechtecks liegen.
Die Seitenlängen des neuen Rechtecks sind zu berechnen.
2014-05-23
- Rundbogenfenster-Aufgabe
In der Romanik
(siehe auch Baustile)
hatten rechteckige Fenster nach oben hin einen Abschluss durch einen
Halbkreis.
Angenommen, der Umfang U0 eines solchen Fensters sei
festgelegt.
Wie muss man dann den Radius r des Halbkreises und die Höhe h des
rechteckigen Teils wählen, damit das Fenster maximalen Flächeninhalt A
erhält?
Lösung:
Für einen maximalen Flächeninhalt muss man also die Höhe des
rechteckigen Teils genau so groß wie den Radius des Halbkreises wählen:
- Rundbogenfenster mit Nebenbedingungen
Wegen steinerner Verzierungen lässt das rechteckige Fensterstück nur das
a-fache des Lichts durch und das Rundbogenstück nur das b-fache (mit a
und b zwischen 0 und 1).
Wie ist jetzt das Verhältnis von r zu h zu wählen, damit möglichst viel
Licht ins Zimmer kommt?
Da die durchgelassene Lichtmenge proportional zur Fensterfläche ist,
wird die obige Rechnung abgewandelt: A=a∙ARechteck+b∙AHalbkreis:
2014-05-27
- Wiederholungen zu Themen aus den vergangenen 2 Schuljahren.
- Zur Erinnerung:
Hausaufgabe: Seite 220 Aufgabe 9b und 9c, Seite 224 Aufgabe 6c und 6f,
Seite 227 Aufgabe 2e und 3e
2014-06-06
- Besprechung der Hausaufgabe zu den Themen Polynomdivision,
Nullstellenberechnung, lineare Faktorisierung
Die restlichen Aufgaben zur nächsten Stunde bearbeiten.
- Extremwertaufgabe "Postpaket" (Hausaufgabe: beenden der Aufgabe)
2014-06-13
- Besprechung der Hausaufgabe
- Immer wieder kommt es zu Fehlern bei der Termumformung.
Hier ein paar oft auftretende Fehler:
Die folgende Gleichung soll so umgeformt werden, dass auf der einen
Seite eine 0 und auf der anderen Seite ein ganzrationaler Term ohne
Brüche steht:
Die Umformung
ist falsch, weil nur das x2 im Nenner weggelassen wurde und
die anderen Summanden nicht geändert wurden.
Der Versuch ist
falsch, weil 1. links der Summand 3x auch mit x2
multipliziert werden muss und weil 2. rechts die Rechenregel "2 Potenzen
mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten
addiert" nicht beachtet wurde.
ist nun richtig und auch richtig so umgeformt, dass rechts die 0 steht.
Dagegen ist
wieder falsch! "0 mal irgendwas ist 0"!
Das richtige Ergebnis:
.
- Wiederholung "Biquadratische Gleichung":
Beispielaufgabe: Faktorisiere den Gleichungsterm
Allgemein gilt:
2014-06-17
- Themen zur nächsten Klassenarbeit
- Ableitungen 2. und höheren Grades
- Nullstellen, Punkte mit waagerechter Tangente, Wendepunkte finden
mit Ableitungen und Bedingungen (notwendig/hinreichend)
- Faktorisieren von Polynomen
- Polynomdivision
- Extremwertaufgaben
- Betragsfunktionen und abschnittsweise definierte Funktionen
- globale und lokale Extrema
- Betragsfunktionen
- Kurvendiskussion
2014-06-20
- Hoch- und Tiefpunkte bei ganzrationalen Funktionen
- Damit ein Hoch- oder ein Tiefpunkt an einer Stelle x0
existiert, muss an
dieser Stelle die 1. Ableitung eine Nullstelle besitzen.
Die Nullstelle der 1.
Ableitung ist notwendig.
Wenn die 1. Ableitung an dieser Stelle keine Nullstelle hat, existiert
dort auch kein Hoch- oder Tiefpunkt.
- Aber: Wenn die 1. Ableitung eine Nullstelle hat, muss noch nicht
unbedingt auch ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegen, es kann auch ein
Sattelpunkt sein.
Die Nullstelle der 1. Ableitung ist also nicht hinreichend dafür, dass
mit Sicherheit ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt.
Hinreichend ist es,
wenn neben der Nullstelle der 1. Ableitung die 2.
Ableitung ungleich 0 ist.
- Wichtig: Ist die 2. Ableitung an einer Stelle ungleich 0, heißt das
auf keinen Fall, dass dort unbedingt ein Hoch- oder Tiefpunkt
vorliegt.
- Noch ein Beispiel für eine Extremwertaufgabe:
An einer Scheune (links unten in rot) soll ein Freilaufgehege angebracht
werden. Ein Zaun (gestrichelt) der Länge 40 m steht zur Verfügung und
soll so parallel zu den Scheunenwänden angeordnet werden, dass die zur
Verfügung stehende Auslauf-Fläche maximalen Flächeninhalt besitzt. Der
Zaun soll 2 m bzw. 5 m von der Scheunen-Ecke entfernt befestigt werden
(siehe Zeichnung).
- Plan:
1. Zeichnung (schon erledigt)
2. Zielfunktion und Nebenbedingungen als Gleichungen
3. Zielfunktion in Abhängigkeit einer einzigen Variablen darstellen.
Dazu die Nebenbedingung benutzen.
4. Ableitung der Zielfunktion gleich 0 setzen.
5. Überprüfen auf Existenz der gefundenen Werte, Hoch- und Tiefpunkt.
- Rechnung:
2014-06-24
- Wiederholung zur Klassenarbeit 4
- Hier noch einmal die Umformung der Funktionsgleichung in einen
betragsfreien Term und der Graph:
2014-06-27
2014-07-01
2014-07-04
2014-07-08
- Parallel zur Zeugnisnotenbesprechung das Thema "Periodische
Funktionen" zum Selbstlernen.
Als Beispiel:
Ein gleichseitiges Dreieck dreht sich mit Hilfe einer senkrecht zu
seiner Fläche verlaufenden Welle um sein Zentrum.
Oben auf dem Dreieck liegt ein Brett waagerecht ausgerichtet.
Durch die Dreiecksspitzen wird es ständig hochgehoben und wieder
abgesenkt.
Gesucht ist die Abhängigkeit zwischen der Höhe des Bretts und der Zeit.
Die GeoGebra-Simulation
zeigt, dass sich für die Werte der Höhe im t-h-Graph Kreisbögen ergeben.
Um die Animation der GeoGebra-Datei zu sehen, muss GeoGebra auf dem
Rechner installiert sein:
http://www.geogebra.org/cms/de/download/
2014-07-11
- Graphen der sin- und cos-Funktion.
Zuordnung verschiedener Winkel zu denselben Funktionswerten.
2014-07-15
- Einführung der allgemeinen Sinusfunktion: y=a∙sin(d∙x-b)+c
a: Streckung in y-Richtung; je größer a, desto größer ist die Amplitude
b: Verschiebung in x-Richtung
c: Verschiebung in y-Richtung
d: Streckung in x-Richtung; je größer d, desto kleiner wird die
Periodenlänge der Sinuskurve
- Übungen zu der allgemeinen Sinusfunktion mit dem Programm Training:
- Auch mit dem Taschenrechner kann man dieses Übungsspiel nachstellen:
- Auswertung einer Drehbewegung mit dem Programm Tracker:
Die Messpunkte lassen sich ähnlich wie beim "Training"-Spiel durch eine
Sinusfunktion annähern.
Ihr habt folgende Vorschläge gemacht:
y=0,12∙sin(0,8∙x+3)
y=0,121∙sin(0,77∙x-3,14)
y=0,12∙sin(0,8∙x-3,36)
- Der Taschenrechner ermittelt bei einer Regression ("SinReg")
Folgendes:
y=0,121∙sin(0,784∙x+3,052)+0,00087
Zur Gültigkeit dieser Gleichung mehr in der nächsten Stunde.
2014-07-18
- Es wird ein Ton von etwa 500 Hz erzeugt (etwas höher als der
Kammerton a) und mittels Lautsprecher hörbar gemacht und außerdem mit
einem Messinterface auf dem Computer registriert.
Es ergibt sich folgende Messkurve:
Man beachte die Einheit an der waagerechten t-Achse: "Sekunden".
Es ergibt sich in etwa eine Schwingungsdauer (bzw. Periodenlänger der
Sinusfunktion) zwischen 2 und 3 Sekunden.
Das Ergbenis kann aber nicht stimmen, da ein zur Messkurve gehörender
Ton eine Frequenz von unter 1 Hz hätte, also nicht gehört werden könnte
(Untergrenze der Hörbarkeit bei etwa 50 Hz).
Der "Fehler" liegt an der Abtastrate: Wird häufiger pro Sekunde
gemessen, ergibt sich folgende Kurve:
Hier erkennt man eine Periodenlänge von etwa 2 Milli-Sekunden, d. h. in
1 Sekunde sind 500 vollständige Periodenlängen ethalten, die Frequenz
beträgt 500 Hz.
- Wie kommt die falsche Messung zustande?
Misst man in zeitlichen Abständen, die etwa mit der Periodenlänge
übereinstimmen (durch rote Punkte im Graphen gekennzeichnet), ergibt
sich bei Verbinden der Punktre eine Kurve, die mit der Wirklichkeit
nichts mehr zu tun hat.
Ähnliche Effekte findet man auch bei Moiree-Mustern
oder in alten Filmen, in denen die Räder von Fahrzeugen in voller Fahrt
scheinbar rückwärts laufen oder sogar stehen bleiben.
Eine Untersuchungsmethode (Frequenzkamm),
für die ein Nobelpreis vergeben wurde, nutzt diesen Effekt auch aus.
2014-07-22
- Wir haben uns über verschiedene Koordinatensysteme
und das GPS
unterhalten.
- Genauer eingegangen sind wir auf Polarkoordinaten.
Anders als im bekannten kartesischen
Koordinatensystem durch Angabe der x- und y-Werte für einen Punkt
wird bei Polarkoordinaten ein Punkt durch einen Radius r (= Abstand vom
Koordinatenursprung) und einen Winkel α (= Winkel von der positiven
x-Achse aus im Gegenuhrzeigersinn, also im mathematisch positiven Sinn)
festgelegt.
Zur Beschreibung von Graphen wird r dann in Abhängigkeit von α
angegeben.
- Einige Beispiele:
- Radius ist konstant
r=2 → r(α)=2
- Radius gleich α
r=α → r(α)=α
- Radius gleich sin(α)
r(α)=sin(α)
- Radius gleich cos(α)
r(α)=cos(α)
- Radius gleich sin(α)∙cos(α)
r(α)=sin(α)∙cos(α)
- Radius gleich sin(α/3) cos(α)
r(α)=sin(α/3) cos(α)
- Wie man sieht, lassen sich gekrümmte Kurven bei Polarkoordinaten durch
einfache Gleichungen erstellen.
Schwieriger ist es mit Geraden. Hier 3 Beispiele:
- Parallele zur x-Achse im Abstand 2
r(α)=2/sin(α)
- Parallele zur y-Achse im Abstand 3
r(α)=3/cos(α)
- Gerade mit dem Steigungswinkel 20° im Abstand von 2 zum
Koordinatenursprung
r(α)=2/cos(90°-20°+α)
- Eine Gerade mit der Gleichung y=m∙x+b hat in Polarkoordinaten die
Gleichung r(α)=b/(sin(α)-m∙cos(α))
Hier ein Beispiel mit der Gleichung y=1/2∙x+3 bzw.
r(α)=3/(sin(α)-1/2∙cos(α))
- Die Screenshots wurden mit GeoGebra
angefertigt.
Es geht aber in schlechterer Qualität auch mit dem Taschenrechner.
Dazu muss unter MODE der Funktionsmodus auf POL (Polarkoordinaten)
gesetzt werden.
2014-07-25
- Kurze Einführung in das Rechnen mit komplexen Zahlen:
- Spätestens in der Grundschule lernt man die natürlichen Zahlen N ( 1,
2, 3, ... ) kennen und rechnet mit ihnen.
Leopold
Kronecker soll gesagt haben: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott
gemacht, alles andere ist Menschenwerk."
Dieses "Menschenwerk" wurde nötig, weil manche Rechnungen aus dem
Bereich der natürlichen Zahlen herausführen:
Die Subtraktion 4-5 liefert z. B. keine natürliche Zahl.
Also hat man die ganzen Zahlen Z "erfunden" ( ... -3, -2, -1, 0, +1, +2,
+3, ... ) und erhält das Ergbenis 4-5 = -1.
Beim Dividieren reicht aber auch die Menge Z nicht aus, man benötigt die
Menge Q der rationalen Zahlen (Brüche).
Beispiel: 3:4 = 3/4
Aber auch die Brüche reichen nicht aus, wenn man Gleichungen der Art x2=5
nach x auflösen möchte.
Dazu ist ein erweiterter Zahlbereich nötig, die reellen Zahlen R. Es
gilt dann z. B. .
- In der Schule begnügt man sich meistens mit der Kenntnis der reellen
Zahlen und spricht ein "Verbot" für manche Rechnungen aus.
Z. B. darf man nicht rechnen 5:0=x. Das Dividieren durch 0 ist nicht
möglich, weil dann im Beispiel x∙0=5 sein müsste, und das geht für keine
Zahl x.
Man darf auch keine Wurzeln aus negativen Zahlen ziehen, denn was sollte
z. B.
sein?
x=-2 geht nicht, denn (-2)∙(-2)=+4 und 2∙2=+4.
Die Multiplikation einer Zahl mit sich selbst führt bei reellen Zahlen
immer zu einem positiven Wert.
Man muss also den Zahlbereich der reellen Zahlen erweitern, wenn man
eine Lösung der gestellten Aufgabe haben möchte.
So definiert man eine neue "Zahl" i mit der Eigenschaft i2=-1
und sucht für diese Zahlen Rechengesetze heraus, die natürlich auch für
alle bisher bekannten Zahlen gelten müssen.
i nennt man (vergleichbar mit der 1 bei den reellen Zahlen) die Einheit
der "imaginären Zahlen" und findet durch Zusammenfügen von reellen
Zahlen und imaginären Zahlen den Zahlbereich C der "komplexen Zahlen".
Jede komplexe Zahl lässt sich als z=a+b∙i schreiben, wobei a der
Realteil und b der Imaginärteil der komplexen Zahl ist. Die reellen
Zahlen sind eine Teilmenge der komplexen Zahlen, für die gilt b=0, also
x=a+0∙i=a ist eine reelle Zahl.
Die komplexen
Zahlen werden schon im 16. Jahrhundert erwähnt. Leonard
Euler hat dann die Bezeichnung i für die Wurzel aus -1 eingeführt.
- Die ganze Theorie der komplexen Zahlen kann hier nicht aufgeführt
werden.
Im Folgenden nur einige Streiflichter:
- Gaussche Zahlenebene
Trägt man in einem rechtwinkligen Koordinatensystem den Realteil a der
komplexen Zahlen auf der x-Achse und den Imaginärteil b auf der
y-Achse auf, so ist jede komplexe Zahl durch einen Punkt in der Ebene
festgelegt: im Beispiel gilt z=3+2∙i
- Addieren von komplexen Zahlen
- Subtrahieren von komplexen Zahlen
- Multiplizieren von komplexen Zahlen
- Dividieren von komplexen Zahlen
- Wurzelziehen
- Mandelbrotmenge
Man wähle eine komplexe Zahl z=0 und eine komplexe Zahl a+bi.
Berechnet man nun z2+a+bi, so wählt man das Ergebnis als
neuen z-Wert und führt die Rechnung immer wieder durch.
Es gibt Werte für a und b, bei denen diese fortlaufende Rechnung immer
Ergebnisse gibt, bei denen der Wert von a2+b2
einen festgelegten Grenzwert nie überschreitet.
Man sagt dann, die dazu gehörenden komplexen Zahlen a+bi gehören zur
Mandelbrotmenge.
Interessant sind die "Randbereiche", d. h. die komplexen Zahlen, die
zunächst kleine Werte für a2+b2 ergeben und erst
nach vielen Rechnungen größere Werte ergeben.
Stellt man die zu den komplexen Zahlen gehörenden Punkte in der Ebene
farbig dar, wobei die Farben angeben, wie "schnell" die Rechnung zu sehr
großen Werten führt, ergeben sich phantastische Bilder:
Wer möchte, darf gern das (Java-)Programm (download)
für "Forschungen" in der fraktalen Welt benutzen.
2014-07-29
- In der letzten Mathematikstunde etwas Unterhaltungsmathematik
- Die Würfel, mit denen man immer gewinnt
Abgebildet sind die Würfelnetze von 4 Würfeln A, B, C und D.
Wird mit 2 Würfeln geworfen und es gewinnt die höhere Zahl, so gewinnt
A gegen B, B gegen C, C gegen D und D gegen A jeweils in 2 von 3
Fällen.
Für die Paarungen A gegen B und B gegen C kann das unmittelbar gesehen
werden.
- Rechentrick für die Multiplikation zweier Zahlen, die nur wenig von
einer 10-er-Potenz abweichen.
Beispiel: 992∙996=988032
Man bildet den Unterschied der Zahlen zu 1000 und addiert diesen zu
der anderen Zahl.
Diese Summe gibt die höheren Stellen des Ergebnisses an.
Das Produkt der Unterschiede gibt die hinteren Stellen an.