Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 11ma3g

Integralrechnung

• Einstieg in das Thema:
  Umfang einer Download-Datei
  
  Abgebildet ist die Download-Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Zeit.
  (Anmerkung: Es gilt eigentlich 2¹⁰ Byte = 1024 Byte = 1 kB und 2¹⁰ kB = 1024 kB = 1 MB)
  Aufgabe war, den Umfang der Download-Datei zu ermitteln.
• Zunächst sollte die mittlere Downloadrate pro Sekunde gefunden werden. Dazu gab es mehrere Ansätze, die zu entsprechend unterschiedlichen Ergebnissen führten.
  Wir einigten uns darauf, dass der Mittelwert von höchster und niedrigster Geschwindigkeit im Allgemeinen nicht mit der mittleren Downloadgeschwindigkeit übereinstimmt.
  Ein besseres Ergebnis erhält man, wenn man "die Spitzen abschneidet und in die Täler stopft". Im Idealfall ergibt sich dann ein Rechteck und die Höhe des Rechtecks gibt die mittlere Downloadgeschwindigkeit an. Das Produkt aus Breite (Zeit) und Höhe (Downloadumfang pro Zeit) gibt den Umfang des Downloads an.
  
• Bei den Untersuchungen stellten wir fest: Nicht nur beim Rechteck, sondern bei jeder Form der Downloadkurve gibt der Flächeninhalt unter dem Graphen die Downloadmenge an. Nähert man die Fläche durch Rechtecke an, so kann man näherungsweise den Flächeninhalt auf einfache Art bestimmen. Je schmaler die Rechtecke sind, desto besser ist das Ergebnis.
• Mit dem Beispiel eines (auf einer leeren Autobahn mit Tempomat fahrenden) Autos haben wir die Begriffe "positiv" und "negativ orientierter Flächeninhalt" kennengelernt.
  
  Bei einer 1-dimensionalen Bewegung bedeutet positive Geschwindigkeit die Bewegung in die eine Richtung und negative Geschwindigkeit die Bewegung in die entgegengesetzte Richtung.
  Im Beispiel fuhr das Auto zunächst 3 Stunden mit Tempo 80 in die eine Richtung und dann 4 Stunden mit Tempo 60 in deie andere Richtung.
  Auf jeder Teilstrecke wurden 3·80=4·60=240 Kilometer zurückgelegt (wieder Flächeninhalt zwischen Kurve und waagrechter Achse, wie oben) und am Ende ist das Fahrzeug wieder am Startort angekommen (3·80-4·60=0).
  
  
• Wie kann man nun den Flächeninhalt zwischen Kurve und x-Achse bestimmen, wenn keine geradlinige Begrenzung vorliegt?
  Dazu haben wir die Funktion f(x)=x² im Bereich 0 ≤ x ≤ 1 untersucht. Wie groß ist in diesem Bereich der Flächeninahlt zwischen Kurve und x-Achse?
  
  Mit Ober- und Untersummen haben wir den Flächeninhalt eingegrenzt.
  Siehe dazu die ausführliche Darstellung auf den Seiten 1 und 2.

• Fortsetzung des Flächen-Berechnungs-Problems aus der letzten Stunde. Siehe dazu die Ausarbeitung auf den Seiten 2 und 3.
• Bei der Berechnung musste die Summe von Quadraten ermittelt werden (siehe dazu den Link).
  
• Exkurs zur Teilbarkeit von Zahlen (siehe dazu auch die Informationen zur 9-er- und 11-er-Probe).

• Folgende Probleme haben wir untersucht und die Lösungen gefunden
• Flächeninhalt A₁ der Fläche, die zwischen dem Graphen der Funktion f(x)=x² und der x-Achse liegt und seitlich durch die senkrechten Geraden bei x=0 und x=1 begrenzt wird. Ergebnis: A₁=1/3
• Änderung: rechte Begrenzung der Fläche A_b statt bei x=1 nun bei x=b. Ergebnis: A_b=b³/3.
• Weitere Änderung: linke Begrenzung der Fläche A_ab statt bei x=0 nun bei x=a. Ergebnis: A_ab=b³/3-a³/3.
• Gleiche Problemstellung bei der Funktionsgleichung f(x)=1 (=x⁰). Ergebnis: Aab=b-a (=b¹/1-a¹/1)
• Gleiche Problemstellung bei der Funktionsgleichung f(x)=x³. Ergebnis: Aab=b⁴/4-a⁴/4
• Allgemeine Potenzfunktion:
  
• Abkürzende Schreibweise:
• In den eckigen Klammern steht eine Funktion in Abhängigkeit von x. Diese Funktion nennt man Stammfunktion F(x) der Funktion f(x).
• Ausführlich kann man die behandelten Themen hier nachlesen (bis Seite 6).

• Von der Summe zum Integral
• Summen, deren Summanden die gleiche Struktur haben und deren Werte sich in Abhängigkeit einer Variablen ausdrücken lassen, die von Summand zu Summand um 1 anwächst, werden häufig mit dem Summenzeichen (griechisches großes Sigma: Σ) geschrieben.
  Beispiele:
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• 
• 
• Bei den Unter- und Obersummen haben wir Summen der Art
  
  gebildet. Geht nun n gegen Unendlich, so schreibt man als Abkürzung:
  und spricht "Integral von f von x dx in den Grenzen von a bis b"
• Zusammenhang zwischen Funktion und Stammfunktion
  
• Zur Theorie siehe den ausführlichen Text.

• Besprechung der Hausaufgabe
  Es sollte der Flächeninhalt der getönten Fläche bestimmt werden.
  
• Aufstellen der Funktionsgleichung:
  
• Nullstellen berechnen:
• Integral berechnen:
• Da die getönte Fläche ganz oberhalb der x-Achse liegt, hat der Flächeninhalt den Wert .
• Aufgabe zur Flächenberechnung mit Parameter (Tafelbild)
     

• Lösung der Hausaufgabe:
  
  
• Soll der Flächeninhalt der Fläche berechnet werden, die zwischen zwei Kurven eingeschlossen ist, so muss man jeweils von einem Schnittpunkt bis zum nächsten Schnittpunkt integrieren und die sich ergebenden Werte positiv nehmen. Integriert werden muss die Gleichung der Differenzfunktion der beiden Funktionsgleichungen.
  Nachzulesen unter http://gfs.khmeyberg.de/Materialien/IIMathematik/Integralrechnung1.pdf
  Hier ein Ausschnitt:
  

• Weitere Rechenregeln:
• Werden die Grenzen des Integrals vertauscht, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals:
  
• Unbestimmtes Integral:
  Die Genzen des Integrals fehlen und man gibt nur die Menge aller Stammfunktionen an (c als additive Konstante)
  
• Bei der Berechnung des Flächeninhalts zwischen zwei Kurven kommt es nicht darauf an, ob diese Kurven die x-Achse schneiden.
  Beweis: Jede der Funktionen wird um den gleichen Wert c nach oben verschoben, sodass die gegenseitige Lage der Funktionen erhalten bleibt und sich kein Flächenstück unter der x-Achsebefindet:
  
• Uneigentliches Integral
  
  Zu berechnen ist der Flächeninhalt unter dem Graph von .
  Obwohl die Fläche nach rechts hin nicht begrenzt ist, ergibt sich ein endlicher Flächeninhalt.
  Bei der Rechnung wird benutzt .
  
• Zum Weiterlesen über das Thema Achilles und die Schildkröte: 1 2 3 

• Bestimmung von Rotationsvolumina mit Hilfe der Integralrechnung
  
  Der abgebildete Glaskelch soll durch den rotierenden Graphen der Funktion f(x)=x² gebildet werden.
  
  Zur besseren Bearbeitung lege man den Kelch auf die Seite.
  Der Graph mit der Funktionsgleichung f(x)=√x rotiere dann um die x-Achse.
  Dadurch wird der Rotationskörper erzeugt.
• Zur Volumenbestimmung wird zunächst eine schmale Scheibe (Zylinder) betrachtet, deren Grundflächenradius gleich dem Funktionswert an der betreffenden Stelle ist.
  Die Höhe der Scheibe sei Δx.
  Dann gilt für das Volumen einer einzelnen Scheibe
  und für das Volumen aller Scheiben .
• Exakt wird die Summe beim Grenzwert für Δx→0:
  Als Integrations-Grenzen werden die x-Werte vom linken und rechten Rand des Körpers gewählt.
• Im speziellen Fall ergibt sich
  
• Angenommen, das Volumen soll 200 ml betragen. Wie groß muss dann h gewählt werden, wenn über dem Eichstrich noch 0,5 cm Platz sein soll?
  
  Mit den zusätzlichen 0,5 cm ergibt sich die Kelchhöhe 11,8 cm.
• Weiteres Beispiel zur Volumenberechnung:
  Volumen einer Kugel
  
  Die Kugeloberfläche wird durch Rotation des roten Halbkreises um die x-Achse gebildet.
  Die Funktionsgleichung des Halbkreises ergibt sich an Hand des grünen Dreiecks aus dem Satz des Pythagoras:
  
  Volumenberechnung durch Integration:
  
• Lineare Substitution beim Integrieren
  Wir haben mit Hilfe der Beziehung F'(x)=f(x) herausgefunden:
  
• Beispiel:
  

• Wiederholung und Übungen zur Klausur 2

• Klausur 2  [ Aufgaben | Lösungen ]