Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 12MA1e

Stochastik

• Vor den Ferien haben wir einen Film zum Thema "Haben wir einen freien Willen" gesehen.
  In mehreren Versuchen haben wir in dieser Stunde nun getestet, wie frei unser Wille wirklich ist:
  Jede(r) Kursteilnehmer(in) wählte aus zwei gegebenen Dingen frei eines aus, ohne den anderen Mitschüler(innen) bekannt zu geben, was gewählt wurde.
  Bei der anschließenden Umfrage stellte sich heraus, dass beide Wahlmöglichkeiten etwa gleich häufig gewählt wurden.
  Obwohl wir also einen freien Willen haben (wirklich?), lassen sich unsere Entscheidungen in der Gesamtheit vorhersagen.
• Auch in anderen zufälligen Erscheinungen ist eine Ordnung zu erkennen, wenn man sehr viele Ergebnisse eines Zufallsversuchs betrachtet (empirisches Gesetz der großen Zahl).
  Einzelne Ergebnisse sind, sofern sie wirklich zufällig sind, aber nicht vorherzusagen.
• Die ersten Stunden dieses Kurses enthalten keine neuen Inhalte. Wir müssen versuchen, aus unterschiedlichen Lerngruppen herkommend, einen gemeinsamen Grundstock für den weiteren Unterricht zurecht zu legen.
• Zur Wiederholung und zur Begleitung beim Unterricht könnten Ihnen folgende Links Hilfe geben:
• Unterrichts-Einsichten zur Stochastik (g-Kurs im Schuljahr 2007/2008) 
• Wiederholungskurs zur Stochastik (Stoff der Sek.I)

• Drei Aufgaben zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten:
  
• In einem Quadrat ist die eine Hälfte eingefärbt:
  
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man, wenn man einen Punkt des Quadrats zufällig auswählt, einen Punkt der roten Fläche findet?
  Die Wahrscheinlichkeit errechnet sich aus dem Verhältnis von roter Fläche zur gesamten Quadratfläche: p=Fläche_rot/Fläche_gesamt.
  Dieses Berechnungsverfahren lässt sich auch bei anderer Größe und Form der roten Fläche anwenden.
  
• Ein Ball mit dem Durchmesser d wird auf einen Zaun geworfen, der aus quadratischen Maschen der Seitenlänge a besteht.
  Der gelbe und der blaue Ball kommen durch, der rote und der grüne Ball treffen auf den Draht.
  
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Ball ohne anzustoßen durch die Maschen fliegt?
  Hier kommt es nicht auf die Querschnitts-Fläche der Bälle in Bezug auf die Fläche der einzelnen Maschen an, sondern darauf, wo der Mittelpunkt der Kreisflächen im Quadrat auftrifft.
  
  An den Seiten muss der Mittelpunkt der Kreisscheibe einen Abstand von mindestens dem halben Radius haben.
  Damit bleibt für den Ort des Mittelpunktes innerhalb eines Maschendraht-Quadrates nur die blau eingezeichnete Fläche mit dem Flächeninhalt (a-d)².
  Die Wahrscheinlichkeit für ein ungestörtes Durchfliegen des Zaunes beträgt also p=(a-d)²/a².
  
• Auf einem Zahlenstrahl werden zwischen 0 und 1 zwei Punkte mit den x-Koordinaten A und B durch Zufall ausgewählt.
  
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Punkte einen Abstand a besitzen, der größer als 0,5 ist?
  Es muss gelten B-A>0,5 oder wenn B links von A liegt A-B>0,5.
  Diese Ungleichungen kann man umformen zu B>A+0,5 und B<A-0,5.
  Jede Wahl von A und B kann durch einen Punkt im A-B-Koordinatensystem dargestellt werden, wobei waagrecht der A-Wert und senkrecht der B-Wert abgetragen wird.
  
  Die möglichen Punkte sind dann im gelb unterlegten Quadrat zu finden.
  Durch die Ungleichung B>A+0,5 ist der rot eingefärbte Bereich und
  durch die Ungleichung B<A-0,5 ist der grün eingefärbte Bereich festgelegt.
  Der orangefarbene und der gelb-grüne Überlagerungs-Bereich geben also die Punkte an, für die der Abstand zwischen A und B größer als 0,5 ist.
  Der Flächeninhalt dieser Bereiche beträgt 0,25, der des gesamten gelben Bereichs 1.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass A und B also um mehr als 0,5 auseinanderliegen, beträgt p=0,25/1=0,25.

• Zur Wiederholung:
• absolute Häufigkeit
  Die Anzahl der bei einem Zufallsversuch erreichten Erfolge nennt man absolute Häufigkeit.
  Die absolute Häufigkeit H ist gegeben durch eine natürliche Zahl (0, 1, 2, 3, ... )
• relative Häufigkeit
  Die absolute Häufigkeit dividiert durch die Anzahl der möglichen Versuchsausgänge nennt man relative Häufigkeit.
  Die relative Häufigkeit ist das Ergebnis aus einem Zufallsversuch (empirische Ermittlung des Wertes)
  Die relative Häufigkeit h ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (0<=h<=1) 
• Wahrscheinlichkeit
  Die Wahrscheinlichkeit ist ein theoretisch ermittelter oder auch beliebig angenommener Wert.
  Die Wahrscheinlichkeit p ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (0<=p<=1) 
• Ereignisse sind Mengen, die als Elemente einzelne Versuchsausgänge (auch Elementarereignisse genannt) enthalten.
  Man benutzt häufig Schreibweisen der Mengenlehre, um kombinierte Ereignisse darzustellen.
  Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen König oder eine Herzkarte aus einem vollständigen Skatblatt zu ziehen?
  K sei das Ereignis "König" und H sei das Ereingnis "Herz".
  Gefragt ist nach einem König oder einem Herzblatt oder beidem (Herz-König). In Mengenschreibweise:
  Es gilt für die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: p(K)=4/32 und p(H)=8/32
  Zusammen wäre das die Wahrscheinlichkeit 12/32. Da aber bei dieser Zählung der Herzkönig 2-mal gezählt würde, muss man 1/32 subtrahieren.
  Das entspricht dem Schnitt der Mengen K und H. In Mengenschreibweise:
  Also muss man rechnen: = 4/32 + 8/32 - 1/32 = 11/32 
• Manchmal ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses einfacher, wenn man die Wahrscheinlichkiet des Gegenereignisses (=alles das, was nicht zum Ereignis gehört) berechnet und diesen Wert von 1 subtrahiert. Schreibweise: 

• Wiederholung von Pfaddiagrammen bzw. Baumdiagrammen an Hand zweier Beispiele
• Ziegenproblem (Artikel in der Zeit zur Behandlung des Problems im Unterricht, gute alternative Behandlung des Problems)
  Übrigens hat Gero von Randow ein gutes Buch über "Das Ziegenproblem" geschrieben, in dem das Problem und der Wirbel um das Problem beschrieben werden.
• Geburtstagsproblem (weitere Links: 1 , 2 , 3 , 4 )

• Film zum Thema "Statistik"
  Einige Themen werden auch im Schulbuch besprochen, z. B. zum Benfordschen Gesetz.

• Nachdem alle vom Ski-Lehrgang wieder da sind, haben wir noch einmal wegen deren Wichtigkeit die Themen vom 2009-01-12 besprochen. Bitte dort auch die Links ansehen!

• Übungen zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe des Additionssatzes.
  Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten in Verbindung mit Regentropfen-Simulationen.

• Additionssatz mit mehr als 2 Ereignissen (Beweis mit Venn-Diagrammen siehe auch hier)
  
• Übungen zu Baumdiagrammen

• Weitere Übungsaufgaben zu Baumdiagrammen.

• Besprechung der Hausaufgaben.
• Das sogenannte "Paradox des Chevalier de Méré":
  Ereignis A: "Beim 4-maligen Werfen eines Würfels tritt mindestens einmal eine 6 auf."
  Ereignis B: "Beim 24-maligen Werfen zweier Würfel tritt mindestens einmal eine Doppel-6 auf."
  Welches Ereignis ist wahrscheinlicher?
• Falsch ist folgende Überlegung:
  > Die Wahrscheinlichkeit für eine 6 beim einmaligen Wurf ist 1/6, d. h. beim 4-maligen Wurf 4·1/6=4/6
  > Die Wahrscheinlichkeit für eine Doppel-6 beim einmaligen Wurf ist 1/36, d. h. beim 24-maligen Wurf 24·1/36=24/36=4/6
  > Also sind die beiden Ereignisse gleich wahrscheinlich.
  Man sieht leicht, dass diese Überlegung falsch ist, wenn man 6 Würfe mit einem Würfel bzw. 36 Würfe mit 2 Würfeln durchführen lässt. Es ergäbe sich jeweils die Wahrscheinlichkeit 1. Es ist aber durchaus möglich, dass bei noch mehr Würfen auch einmal keine 6 und keine Doppel-6 erscheint.
• Richtig und günstig ist folgende Überlegung mit den Gegenwahrscheinlichkeiten:
  p(A) = 1 - p(beim 4-maligen Wurf mit einem Würfel erscheint keine 6) = 1 - (5/6)⁴ = 1 - 625/1296 = 671/1296 = 0,5177...
  p(B) = 1 - p(beim 24-maligen Würfeln mit 2 Würfeln erscheint keine Doppel-6) = 1 - (35/36)²⁴ = 0,4914...
  Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A ist also größer als für das Ereignis B.

• Besprechung der Hausaufgabe (Verwendung der Sterbetafel, siehe Buch Seite 18).
  Aktuelle Sterbetafeln (mit mehr Informationen als im Buch) erhalten Sie beim Statistischen Bundesamt Deutschland.
• Kombinatorik (anschaulich1, anschaulich2)
• Allgemeines Zählprinzip
  Wird aus einer beliebigen Anzahl von Urnen, die jeweils beliebig viele (auch unterschiedlich viele), unterscheidbare Kugeln enthalten, jeweils 1 Kugel entnommen, so berechnet sich die Anzahl aller Ergebnisse dieser Ziehung aus dem Produkt der Anzahlen der Kugeln aller Urnen.
  Beispiel: 3 Urnen: In Urne 1 sind 4 Kugeln, in Urne 2 sind 3 Kugeln, in Urne 3 sind 7 Kugeln. Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt 4·3·7=84.
  allgemein: n Urnen: In Urne i sind a_i Kugeln. Dann gibt es insgesamt a₁·a₂·a₃· ... ·a_n Ergebnisse.
• Ziehen mit Wiederholung unter Berücksichtigung der Reihenfolge
  Das n-malige Ziehen aus einer einzigen Urne mit Zurücklegen der gezogenen Kugel ist ein Spezialfall des jeweils 1-maligen Ziehens aus n Urnen mit der gleichen Anzahl von Kugeln in jeder Urne (siehe Allgemeines Zählprinzip).
  Sind in der Urne n Kugeln und zieht man k-mal mit Zurücklegen, so gibt es n^k mögliche Ergebnisse.
• Ziehen ohne Wiederholung unter Berücksichtigung der Reihenfolge
  Legt man die gezogenen Kugeln nicht wieder zurück, so ist bei jeder folgenden Ziehung eine Kugel weniger in der Urne.
  Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln k-mal eine Kugel ohne Zurücklegen, so berechnet sich die Anzahl der Ergebnisse aus
  
  Um eine kompakte Schreibweise dieses Terms zu erhalten, multipliziert man ihn mit (n-k)! und teilt ihn durch (n-k)! Dadurch ändert sich der Wert des Terms nicht:
  

• Kombinatorik
• Ziehen ohne Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
  Beim Ziehen mit Berücksichtigung der Reihenfolge hat man bei k Ziehungen aus n Kugeln Möglichkeitten, wie am 2009-02-06 gezeigt.
  Wenn es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, sind alle k! Möglichkeiten, mit denen man die k Elemente anordnen kann, identisch.
  Man muss also die Anzahl aller Möglichkeiten noch durch k! dividieren und erhält für die Anzahl aller verschiedenen Ergebnisse .
  Als Abkürzung für diesen Ausdruck hat man den Binomialkoeffizienten definiert, welcher "n über k" gelesen wird.
  Es gilt also .
• Ziehen mit Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
  Ohne Herleitung wird hier gegeben: Die Anzahl beträgt
  Herleitung1, Herleitung 2

• Wie kommen die Binomischen Formeln zu ihrem Namen?
• Es gilt: (a+b)⁵ = (a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b).
  Löst man diese Klammern paarweise auf, so muss jedes Element der einen Klammer mit jedem Element der anderen Klammer multipliziert werden.
  Es ergeben sich dabei schließlich Produkte mit jeweils 5 Faktoren, die dann noch addiert werden müssen.
  Die Produkte enthalten die Faktoren a und b in unterschiedlicher Anordnung.
  Produkte mit 2 mal a und 3 mal b können z. B. folgende Forme annehmen: aabbb ; ababb ; abbab; abbba ; baabb ; babab ; babba ; bbaab ; bbaba ; bbbaa.
  Die Buchstaben a und b lassen sich also auf 12 verschiedene Arten anordnen und kommen als 12 mal im ausmultiplizierten Ergebnis vor.
  Die Zahl 12 kann man auch erhalten, wenn man fragt, auf wie viele Arten man 2 Dinge (a) auf fünf Plätzen anordnen kann oder auch, wie viele Möglichkeiten es gibt, 2 Elemente aus 5 Elementen zu ziehen - ohne Zurücklegen und ohne die Reihenfolge zu beachten. Wir haben gelernt, dass es Möglichkeiten gibt.
• Man kann nun (a+b)⁵ ausrechnen, indem man alle möglichen Kombinationen hinschreibt, in denen a und b auftreten können (a⁵ ; a⁴b ; a³b² ; a²b³ ; ab⁴ ; b⁵) und jeweils als Faktor davor die Anzahl der Möglichkeiten, mit denen das a in dem Produkt mit 5 Faktoren auftaucht:
  
  
• Diese Überlegungen gelten ebenso für alle positiven ganzen Hochzahlen:
  ,
  also auch für (1. Binomische Formel)
• Schreibt man für viele n die Terme auf, so erhalt man
  
  
• Die Koeffizienten in dieser Darstellung entsprechen den Zahlen des Pascalschen Dreiecks, das Sie aus der Sek.I her kennen:
  
  
• Wir können also auch das Pascalsche Dreieck mit Hilfe von Binomialkoeffizienten schreiben:
  
  
• Wenn man sich erinnert (oder oben nachschaut), dass die Zahlen des Pascalschen Dreiecks achsensymmetrisch sind, erhält man eine wichtige Rechenregel für das Rechnen mit Binomialkoeffizienten:
  
  
• Da sich eine Zahl im Pascalschen Dreieck immer als Summe der beiden schräg darüber stehenden Zahlen ergibt, gilt folgende Formel für Binomialkoeffizienten:
  
  
• Wenn Sie Schwierigkeit haben einzusehen, dass 0! = 1, hier noch einmal unsere Überlegung:
  

• Ziehen ohne Zurücklegen ohne Reihenfolge ("Ziehen mit einem Griff") bei inhomogener Ausgangsmenge
• Befinden sich in einer Urne n Kugeln, die sich unterteilen in G gelbe Kugeln, R rote Kugeln und B blaue Kugeln,
  und zieht man insgesamt k Kugeln, so berechnet sich die Wahrscheinlichkeit, dass man g gelbe, r rote und b blaue Kugeln zieht, aus
  mit G+R+B=n und g+r+b=k.
  Begründung:
  Zieht man k Kugeln aus n Kugeln ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge, so gibt es Möglichkeiten.
  Die Wahrscheinlichkeit, genau eine dieser Möglichkeiten zu erhalten ist also 1/.
  Geht es nur darum, g gelbe Kugeln aus allen G gelben Kugeln zu ziehen, ohne diese gelben Kugeln zu unterscheiden, so erfüllen Ausgänge diese Bedingung.
  Man muss also die oben genannte Wahrscheinlichkeit 1/also mit diesem Wert multiplizieren.
  Analog gilt das für die roten und blauen Kugeln.
• Allgemein: In einer Urne befinden sich n Kugeln, die sich unterteilen in Teilmengen n1, n2, n3, ...
  Die Kugeln einer Teilmenge lassen sich nicht unterscheiden, Kugeln von verschiedenen Teilmengen lassen sich unterscheiden.
  Man zieht insgesamt k Kugeln ohne Zurücklegen und ohne auf die Reihenfolge im Ergebnis zu achten.
  Dann ist die Wahrscheinlichkeit, k1 Kugeln der n1 Kugeln, k2 Kugeln der n2 Kugeln, ... zu ziehen:
  

• Übungen zu Binomialkoeffizienten und zum Ziehen mit einem Griff (ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge).
• Hier noch einmal der Beweis für :
  
  
  Bitte selbst rechnen ohne hier abzuschauen und dann erst vergleichen!

• Vier-Felder-Tafel mit Übungen  (weiterer Link zum Thema)

• Besprechung der Hausaufgabe (Vier-Felder-Tafel nach Zeitungsbericht erstellen).

• Aufgabe: Die Ansteckungsrate für Malaria beträgt in einem Urlaubsland 6%.
  Bei einem Schnelltest werden 77% der tatsächlich Infizierten positiv getestet, bei 95% der Nichtinfizierten fällt der Test negativ aus.
  Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein positiv Getesteter tatsächlich krank?
• Löst man die Aufgabe mit einem Baumdiagramm, so erkennt man, dass man zur Beantwortung der Frage das umgekehrte Baumdiagramm erstellen sollte zu dem Baumdiagramm, das sich unmittelbar aus der Aufgabenstellung ergibt. (Es sei denn, man geht so souverän wie Sie heute im Unterricht mit der Mathematik um. Dann kann man aus den Ergebnissen auch die Lösung gut ablesen).
  Einige haben eine Vier-Felder-Tafel erstellt und konnten daraus bequem die Lösung ablesen.
• Die Musterlösung könne Sie im Buch auf den Seiten 66/67 nachlesen. 

• Weitere Aufgaben zur Vier-Felder-Tafel und zu umgekehrten Baumdiagrammen.
  Wir haben gesehen: Wenn eine Gesamtmenge (Bevölkerung) in 2 sehr unterschiedlich große Teile (Kranke und Gesunde) aufgeteilt wird, können die Ergebnisse der abhängigen Wahrscheinlichkeiten sehr überraschend sein (Aids-Test).
• Mit Hilfe der Bayes-Statistik kann man auf Grund von Stichproben quantitative Aussagen über Gesamtheiten machen.
  Beispiel: Sind 2 Kisten mit roten und gelben Kugeln gegeben, wobei die Anzahl der roten und gelben Kugeln in den Kisten unterschiedlich ist, so ist zunächst beim Auswählen einer Kiste die Wahrscheinlichkeit 0,5, dass man Kiste 1 oder Kiste 2 genommen hat. Entnimmt man nun eine Kugel und notiert die Farbe, kann man eine sicherere Aussage über die Kistennummer machen.
  Bei wiederholter Stichprobe (mit Zurücklegen) wird dabei die Entscheidung immer sicherer. 

• Mit Hilfe der Bayes-Statistik kann man ermitteln, mit welcher Wahrscheinlichkeit man eine richtige Entscheidung getroffen hat.
  Beispiel:
  Die Verteilungen von roten und gelben Kugeln auf 2 Kisten sind bekannt.
  Eine Kiste wird ausgewählt, von der man nicht weiß, ob es Kiste 1 oder Kiste 2 ist.
  Die Wahrscheinlichkeit, Kiste 1 oder Kiste 2 gewählt zu haben, wird man mangels weiterer Informationen zunächst einmal jeweils zu 0,5 ansetzen.
  Der gewählten Kiste entnimmt man eine Kugel, notiert deren Farbe und legt die Kugel zurück.
  Je nach Farbe der Kugel berechnet man die Wahrscheinlichkeiten, Kiste 1 oder Kiste 2 gewählt zu haben und setzt diese Wahrscheinlichkeiten statt der beiden 0,5-Wahrscheinlichkeiten ein.
  Dieses Verfahren wird immer wieder angewendet und mit den ermittelten Wahrscheinlichkeiten wird immer sicherer ermittelt, welche Kiste gewählt wurde.
  Wahrscheinlichkeiten links: p(K1) und p(K2)
  Wahrscheinlichkeitren in der Mitte: p_K1(r), p_K1(g), p_K2(r), p_K2(g)
  Wahrscheinlichkeiten rechts: p(K1)*p_K1(r), p(K1)*p_K1(g), p(K2)*p_K2(r), p(K2)*p_K2(g)
  Neue Wahrscheinlichkeiten links:
  p_r(K1)=p(K1)*p_K1(r)/(p(K1)*p_K1(r)+p(K2)*p_K2(r) und
  p_r(K2)=p(K2)*p_K2(r)/(p(K1)*p_K1(r)+p(K2)*p_K2(g) bei einer roten Kugel bzw.
  p_g(K1)=p(K1)*p_K1(g)/(p(K1)*p_K1(g)+p(K2)*p_K2(g) und
  p_g(K2)=p(K2)*p_K2(g)/(p(K1)*p_K1(g)+p(K2)*p_K2(g) bei einer gelben Kugel.
• Um die Rechnungen zu erleichtern, kann folgendes Programm eingesetzt werden, bei dem die Farbe der jeweils gezogenen Kugel markiert und dann der Rechenvorgang gestartet wird:
  
  

• Bei unabhängigen Ereignissen muss bei mehrstufigen Versuchen im Baumdiagramm keine Rücksicht darauf genommen zu werden, welche Ergebnisse in den vorhergehenden Versuchsschritten vorliegen.
  Es gilt in einem 2-stufigen Versuch mit den Ereignissen A und B: 
• Bei abhängigen Versuchen muss dagegen auf die Vorgeschichte des Versuches geachtet werden.
  Hier gilt: .

• Übungen und Wiederholung zur Arbeit (Mehrfeldertafel, Baumdiagramm, geometrische Wahrscheinlichkeiten)
• Zur Lösung der Sonntagsaufgabe:
  Aufgabe: Vier Hunde, die sich in den Eckpunkten eines Quadrates befinden, laufen im Uhrzeigersinn immer auf den nächsten Hund direkt zu (Hund 1 zu Hund 2, Hund 2 zu Hund 3, Hund 3 zu Hund 4 und Hund 4 zu Hund 1). Alle Hunde laufen gleich schnell.
• Treffen sich die Hunde irgendwann? 
• Wie lange würden sie laufen, bis sie sich treffen (für eine Quadratseite benötigen sie 10s)?
• Welche Strecke legen sie bis zum Treffen zurück (Das Quadrat hat die Seitenlänge 100m).
• Hilfe: Das Programm zeigt bei Start 1 den von den Hunden zurückgelegten Weg. Mit Start 2 lassen sich die Sichtlinien der Hunde zum jeweils nächsten Hund laufend protokollieren. Mit Dauer kann man einstellen, wie lange der Lauf der Hunde beobachtet werden soll.
  

• Wiederholung zur Klausur
• Hier eine kurze, ungeordnete Auflistung der bisher behandelten Themen

• Übungen zur Klausur
• Die am Freitag zur Verfügung gestellte Formelsammlung kann bei Paetec in elektronischer Form seitenweise abgerufen werden. 
  Für uns sind im Moment wichtig die Seiten 48 ff.
• Es bestehen Fragen zu folgender Aufgabe (Grundkurs-Klausur vom2008-06-06):
  
  Man geht folgendermaßen vor:
• Insgesamt sind es 100%, ganz unten rechts muss also die 1 stehen.
• Da 60% von allen in die Toscana wollen, muss rechts in der Mitte 0,6 stehen.
• Damit ergibt sich rechts oben 0,4.
• 25% der München-Teilnehmre(innen) sind weiblich, deshalb steht oben links 1/4 von 0,4. Das ist 0,1.
• Damit ergibt sich oben in der Mitte 0,3.
• Wenn 40% der männlichen Mitfahrer in die Toscana wollen, dann wollen 60% der männlichen Mitfahrer nach München.
  Oben in der Mitte steht 0,3, das sind 60%, d.h. 20% sind 0,1 (durch 3 geteilt) und 100% sind 0,5 (mit 5 multipliziert). Diese 0,5 steht unten in der Mitte.
  40% von 0,5 sind 0,2 und diese 0,2 steht dann genau in der Mitte (weil 40% der männlichen Mitfahrer in die Toscana wollen).
• Damit ergibt sich links in der Mitte 0,4 und links unten 0,5.

• Klausur 3