Unterrichts-Einsichten
- Schuljahr 2007/2008 -
Mathematik Ma4-g
Stochastik - Einführung - Kombinatorik
08-02-11
- Als
Entstehungsjahr der modernen Wahrscheinlichkeitsrechnung wird das Jahr
1654 angesehen.
Blaise Pascal (1623 - 1662, französischer Philosoph und Mathematiker)
und Pierre de Fermat (1601 - 1665, französischer Jurist und
Mathematiker) haben damalserstmals in einem berühmt gewordenen
Briefwechsel Probleme des Glücksspiels systematisch untersucht.
Heute
ist die Wahrscheinklichkeitsrechnung aus unserem Leben nicht
wegzudenken: Bei Wahl-Umfragen, bei Planungen zur Auslastung von
Flugzeugen, Hotelbetten,..., bei der Verkehrsregelung durch Ampeln, in
der Physik bei der Untersuchung kleinster Teilchen usw. usw. - Wichtige
Größen bei Zufallsversuchen (Versuche, bei denen der Ausgang ungewiss
ist, nicht nur, weil man den Ausgang nicht kennt, sondern weil der
Ausgang durch keine noch so gute Theorie vorhergesagt werden kann) sind
die absolute Häufigkeit, die relative Häufigkeit und die
Wahrscheinlichkeit. Ein Beispiel soll helfen, die Bedeutung dieser
Größen zu verstehen:
Man
würfelt 600 mal mit einem Würfel W6 und fragt danachm, wie häufig eine
6 erscheint. Angenommen, die 6 tritt 114 mal auf, dann gilt:- absolute Häufigkeit H:
die Anzahl der Erfolge beim Zufallsversuch, hier also H = 114.
Für
sich allein ist diese Angabe aber nicht sehr aussagekräftig, da man
nicht angegeben hat, wieviel Versuche man unternommen hat.
Deshalb
definiert man die - relative Häufigkeit h:
Die absolute Häufigkeit dividiert durch dir Anzahl aller Versuche
ergibt die relative Häufigkeit.
h gibt in Prozent
an, welchen Erfolg man beim Zufallsversuch hatte.
Im Beispiel
gilt h = 114/600 = 0,19 , d.h. in 19 Prozent aller Fälle hat man eine 6
gewürfelt.
Die relative Häufigkeit wird auch bei denselben
Versuchsvoraussetzungen fast immer verschiedene Werte annehmen.
Allerdings
ändert sich die relative Häufigkeit bei sehr großem Stichprobenumfang
nicht mehr wesentlich bei einer Erhöhung der Stichprobenanzahl. - Wahrscheinlichkeit p:
Unter
der Wahrscheinlichkeit versteht man einen theoretisch festgelegten
Wert, der im Prinzip beliebig gewählt werden kann. Sinnvoll ist es
aber, diesen Wert so zu wählen, dass bei Zufallsversuchen die
ermittelten relativen Häufigkeiten mit der Wahrscheinlichkeit so gut
wie möglich übereinstimmen. Dann kann man die Wahrscheinlichkeit als
eine Vorhersage für die im Versuch sich ergebende relative Häufigkeit
ansehen.
Im Beispiel könnte man z.B. die Wahrscheinlichkeit
als p = 0,19 festlegen.
Hat
man aber einen "echten" Würfel, also einen Würfel, bei dem keine der
Zahlen bevorzugt fällt, so überlegt man sich: Wir haben 6 Seiten, von
denen keine bevorzugt ist. Erfolg habe ich aber nur mit 1 Seite. Dann
werde ich die Wahrscheinlichkeit als p = 1/6 = 0,1666 festlegen.
- Regeln
für relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten:
- Da
man nicht mehr Erfolge als Versuche haben kann, ist die relative
Häufigkeit immer kleiner oder gleich 1 und das sollte dann auch für die
Wahrscheinlichkeit gelten:
h <= 1 ;
p <= 1 - Da
man nicht weniger als 0 mal Erfolg haben kann, ist die relative
Häufigkeit immer größer oder gleich 0 und das sollte dann auch für die
Wahrscheinlichkeit gelten:
h >= 0 ;
p >= 0 - Dem unsicheren Ergebnis,
das nie eintreten kann, wird man die Wahrscheinlichkeit p = 0
zuschreiben.
- Dem sicheren Ergebnis, das auf alle
Fälle eintreten wird, wird man die Wahrscheinlichkeit p = 1 zuschreiben.
- Laplace-Versuche
Bei
einer sehr häufig vorkommende Versuchsbedingung gilt, dass alle
Versuchs-Ausgänge gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Das trifft z.B. auf
das Werfen einer Münze, auf das Würfeln mit einem echten Würfel, auf
das Ziehen einer Karte aus einem Stapel gleicher Karten zu usw.
Bei
derartigen Versuchsbedingungen spricht man von Laplace-Versuchen.
Man
kann die (sinnvollen) Wahrscheinlichkeiten dann berechnen: p = Anzahl
der gewünschten Versuchsergebnisse / Anzahl aller möglichen
Versuchsergebnisse. - Empirisches Gesetz der großen
Zahlen
Je
mehr Versuchsergebnisse bei einem Zufallsversuch berücksichtigt werden,
desto mehr strebt die relative Häufigkeit einem festen Wert zu. Dieser
Wert wird dann häufig als Wahrscheinlichkeit verwendet.
Beispiel
für die Stabilisierung der relativen Häufigkeiten: OOo.Calc-Datei
(neue Werte mit CTRL + SHIFT + F9)
2008-02-12
- Die
Ergebnisse eines Zufallsversuches nennt man Elementar-Ereignisse.
Beispiele: die Zahlen von 1 bis 6 beim Würfeln, jede der 32 Karten
eines Skatspiels, Wappen und Zahl bei einer Münze, jede der Kugeln, die
sich in einer Urne befindet.
- Mehrere
Elementarereignisse fasst man zu einen Ereignis zusammen.
Die
Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis kann man bestimmen, indem man die
Wahrscheinlichkeiten für die Elementar-Ereignisse addiert:
Elementare
Summenregel: p(E) = p(e1) + p(e2)
+ ... + p(en) - Häufig ist es
einfacher, statt der Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis die
Wahrscheinlichkeit für das entsprechende Gegenereignis zu berechnen und
dann auf Grund folgender Beziehung zur Lösung zu kommen:
Sehr umfangreicher Link,
u.a. auch zum Gegenereignis. - Mit Baumdiagrammen
(oder Pfaddiagrammen) kann man mehrstufige Zufallsversuche sehr gut
untersuchen.
Die
Wahrscheinlichkeiten entlang der Zweige (bzw. Pfade) werden
multipliziert. Die Ergebnisse der gewünschten Ausgänge dann addiert.
2008-02-15
- Achtung:
Bevor man Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe eines mehrstufigen
Baumdiagramms berechnet, muss man sicher sein, dass die Ereignisse der
einzelnen Stufen voneinander unabhängig sind.
Beispiel: Wenn
40% einer Klasse gute Noten in Mathematik und 10% gute Noten in Deutsch
haben, so darf man nicht mit Hilfe eines Baumdiagramms die
Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, wie viel Prozent der SchülerInnen
gute Noten in Mathematik und Deutsch haben, indem man die oben genanten
Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Es kann nämlich sein, dass ...- wie
bei 1 die Mengen der guten SchülerInnen in Mathematik und die Menge der
guten SchülerInnen in Deutsch disjunkt sind, d. h. dass es keine
Schülerin gibt, die in beiden Fächern zugleich gute Leistungen zeigt.
- wie
bei 2 es einige SchülerInnen gibt, die sowohl in Mathematik als auch in
Deutsch gute Noten haben, dass es aber auch SchülerInnen gibt, die nur
in Mathematik und andere, die nur in Deutsch gute Noten haben.
- wie
bei 3 alle SchülerInnen, die gute Noten in Deutsch haben, auch gute
Noten in Mathematik haben.
Aus den oben
gemachten Angaben kann man also nicht schließen, wie viel Prozent in
beiden Fächern gute Noten haben.
2008-02-18
- Besprechung der Hausaufgaben und Wiederholung zur Arbeit
- Noch
einmal zur Erinnerung: Bei Pfaddiagrammen werden die
Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade multipliziert. Die
Wahrscheinlichkeiten der gewünschten Ausgänge werden dann addiert.
- Die
Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet man dann über die
Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, wenn sich diese
Wahrscheinlichkeit besser berechnen lässt als die gesuchte
Wahrscheinlichkeit.
- Vorsicht bei der Berechnung von Wahrscheinlichkeiten! Kontrollierern Sie immer wieder, ob die Rechnungen richtig sind:
Beispiel für eine fehlerhafte Berechnung, die von Galileo Galilei korrigiert wurde:
Ist es wahrscheinlicher, beim 3-maligem Würfeln die Augensumme 11 oder 12 zu erhalten?
Summe
11 erhält man mit den Wurfzahlen 1+4+6 , 1+5+5 , 2+3+6 , 2+4+5 , 3+3+5
, 3+4+4 , also mit 6 verschiedenen Zahlenkombinationen.
Summe 12
erhält man mit den Wurfzahlen 1+5+6 , 2+4+6 , 2+5+5 , 3+3+6 , 3+4+5 ,
4+4+4 , also auch mit 6 verschiedenen Zahlenkombinationen.
Die
Wahrscheinlichkeiten sind aber nicht gleich, was man leicht einsieht,
wenn man aufschreibt, wie häufig jede Zahlenkombination beim Würfeln
auftreten kann.
Die
Summe mit 1, 4 und 6 kann in folgenden Kombinationen auftreten: 1+4+6 ,
1+6+4 , 4+1+6 , 4+6+1 , 6+1+4 , 6+4+1. Es gibt also 6 Möglichkeiten.
Sind 2 Zahlen gleich, so ergeben sich 3 Möglichkeiten. Bei 1, 5 und 5 z. B. : 1+5+5 . 5+1+5 , 5+5+1
Eine Kombination wie 4+4+4 kommt nur 1-mal vor.
So
gibt es für die Summe 11 insgesamt 6+3+6+6+3+3=27 Ergebnisse, für die
Summe 12 dagegen 6+6+3+3+6+1=25 Ergebnisse. (Reihenfolge wie oben
angegeben)
Es ist also wahrscheinlicher, die Augensumme 11 als die Aufgensumme 12 zu erhalten.
2008-02-19
- Wiederholung zur Klausur
- Hier die Lösungen einiger der Übungsaufgaben
- Seite 452 Aufgabe 8
(1)
ist falsch; (2) ist falsch; (3) ist falsch; (4) ist richtig; (5) ist
falsch; (6) ist richtig - man kann bei (6) auf alle Fälle 5 Euro
setzen. Ob man damit gewinnt, ist ja noch nicht gesagt, aber bei diesem
Einsatz wäre das Spiel fair. - Seite 462 Aufgabe 7
a1) p(2 gleiche Hälften) = 7/28 = 1/4 a2) p(Summe=5) = 3/28 ; p(Summe=8) = 3/28
b) ohne 6 Augen: p(2 gleiche Hälften) = 6/21 = 2/7 ; p(Summe=5) = 3/21 = 1/7 ; p(Summe=8) = 2/21
ohne 5 und 6 Augen: p(2 gleiche Hälften) = 5/15 = 1/3 ; p(Summe=5) = 2/15 ; p(Summe=8) = 1/15 - Seite 462 Aufgabe 10
25% = 1 - (48% + 66% - 39%) - Seite 462 Aufgabe 11
mindestens 63%, höchstens 63% + 18% = 81% - Seite 462 Aufgabe 12
90% = 70% + 80% - 60% - Seite 465 Aufgabe 3
(1): 1/8 ; (2): 7/8 ; (3): 7/8 ; (4): 4/8 = 1/2 ; (5): 2/8 = 1/4 ; (6): 7/8 ; (7): 4/8 = 1/2 ; (8): 4/8 = 1/2 - Seite 466 Aufgabe 7
gefragt
ist nach einem "repräsentativem" Ergebnis, d. h. p(2 Mädchen, 1 Junge):
p(2M1J) = p(MMJ oder MJM oder JMM) = 3 · 0,175 = 0,525
In 52,5% aller Fälle wird ein "repräsentatives" Ergebnis auftreten.
Alle
anderen Fälle sind "nicht repräsentativ": p(nicht
repräsentativ) = 1 - p(repräsentativ) = 1 - 0,525 = 0,475
- Die Inhalte der von uns besprochenen Vektorrechnung finden Sie auf den Seiten 329 bis 344
- Viel Erfolg bei der Vorbereitung auf die Arbeit!
2008-02-22
2008-02-25
- Zur Bestimmung von Wahrscheinlichkeiten bei Laplace-Versuchen benötigt man die Anzahl von Ergebnissen mit bestimmter Eigenschaft.
Die Kombinatorik stellt Modelle zur Verfügung, die bei der Berechnung der Zahlenwerte helfen. - Zieht
man aus den Mengen A (mit a Elementen), B (mit b Elementen), C (mit c
Elementen) ... je ein Element, so hat man dabei a · b · c · ...
Möglichkeiten
Beispiel:
Zieht man eine Karte aus einem Skatspiel (32 Karten) und wirft eine
Münze (Kopf und Wappen), so kann es dabei 32 · 2 = 64 verschiedene
Ergebnisse geben. - Zieht
man nicht aus verschiedenen Mengen je ein Element, sondern aus einer
einzigen Menge A mit n Elementen mehrfach ein Element und legt dabei
das gerade gezogene Element vor dem nächsten Ziehen wieder zurück,
genannt Ziehen mit Zurücklegen,
so ergeben sich bei k Ziehungen n · n · n · ...
· n (k Faktoren) Möglichkeiten, kürzer geschrieben als
nk .
Beispiel: Würfelt man 9-mal mit einem Würfel W6, so ergebn sich 69 = 10077696 Möglichkeiten. - Legt
man nach dem Ziehen das gezogene Element nicht wieder zurück, so hat
man jedesmal eine Möglichkeit weniger als Auswahl. Man spricht vom Ziehen ohne Zurücklegen.
Werden
der Reihe nach alle Elemente der Menge A mit n Elementen gezogen, so
gibt es n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 3 · 2 · 1 Möglichkeiten.
Da es umständlich ist, die Faktoren alle hinzuschreiben, hat man sich als Abkürzung n! = n · (n-1) · (n-2) · (n-3) · ... · 3 · 2 · 1 ausgedacht.
n! wird n Fakultät ausgesprochen.
Bei der hier besprochenen geordneten Vollerhebung (alle Elemente werden gezogen, es kommt auf die Reihenfolge an) ergeben sich also n! Möglichkeiten.
Beispiel:
Will man von jeder der 4 Geburtstagstorten je 1 Stück essen, so hat man
4 · 3 · 2 · 1 = 24 Möglichkeiten, sich dieses 4-Gänge-Menü
zusammenzustellen. - Werden nur k Elemente aus der n-elementigen Menge gezogen (mit k<n), so gibt es n · (n-1) · (n-2) · ... · (n - (k-1)) Möglichkeiten.
Um auch hier die Fakultät-Schreibweise anwenden zu können, schreibt man beim geordneten Ziehen ohne Zurücklegen:
Beispiel: Zieht man aus einem Skatspiel 3 Karten ohne Zurücklegen, so gibt es 32 · 31 · 30 = 29760 Möglichkeiten.
Man kann hier auch rechnen:
Keine
Angst vor den großen Zahlen: Auf dem Taschenrechner gibt es die
Fakultät-Funktion: Zahl eingeben, dann MATH, dann PRB, dann 4:!, dann
2-mal ENTER und das Ergebnis steht da.
2008-02-26
- Nachtrag zum geordneten Ziehen ohne Zurücklegen:
Mit dem Taschenrechner lässt sich die Anzahl aller Möglichkeiten noch einfacher berechnen:
Beispiel
(wie oben): 3 Karten werden aus 32 Karten gezogen: 32 eingeben, dann
MATH, dann PRB, dann 2:nPr, dann ENTER, dann 3 eingeben, dann ENTER und
das Ergebnis 29760n erscheint. Übrigens: Das P in nPr steht für
"Permutation". - Es fehlt noch der Fall ungeordnetes Ziehen ohne Zurücklegen oder auch Ziehen mit einem Griff genannt:
Kommt
es auf die Reihenfolge nicht an, so kann man die k gezogenen Elemente
beim Ziehen ohne Zurücklegen in beliebiger Anordnung angeben - es ist
immer dasselbe Ergebnis.
Die Anzahl der möglichen Fälle gegenüber
dem geordneten Ziehen ohne Zurücklegen verringert sich also - man muss
die diese Anzahl noch durch die Zahl dividieren, die angibt, auf wie
viele Arten man die k Elemente anordnen kann.
Beispiel: Kommt es bei
den 3 Spielkarten, die man aus den 32 Skatkarten zieht, nicht auf die
Reihenfolge an, muss man 29760 (siehe oben) durch die Zahl dividieren,
die angibt, wie man 3 Karten anordnen kann: 3 · 2 · 1 = 3! = 6
Also gilt hier: Es gibt Möglichkeiten. - Allgemein gibt es beim ungeordneten Ziehen ohne Zurücklegen von k Elementen aus einer Gesamtheit von n Elementen Möglichkeiten.
- Abkürzend schreibt man: .
Die Klammer links nennt man "Binomialkoeffizient" (warum, werden wir
demnächst noch sehen) und spricht es "n über k" aus.
Auch wenn ein Binomialkoeffizient wie ein Vektor aussieht, ist es kein Vektor. Zwischen n und k darf kein Bruchstrich stehen.
Mit
dem Taschenrechner kann man Binomialkoeffizienten sehr einfach berechnen: n eingeben,
dann MATH, dann PRB, dann 3:nCr, dann ENTER, dann k eingeben, dann
ENTER und das Ergebnis erscheint. Übrigens: Das C in nCr steht für
"Combination". - Beispiel: Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige im Lotto "6 aus 49":
- Übersicht zur Kombinatorik.
2008-02-29
- Wie kommen die Binomischen Formeln zu ihrem Namen?
- Es gilt: (a+b)5 = (a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b)·(a+b).
Löst
man diese Klammern paarweise auf, so muss jedes Element der einen
Klammer mit jedem Element der anderen Klammer multipliziert werden.
Es ergeben sich dabei schließlich Produkte mit jeweils 5 Faktoren, die dann noch addiert werden müssen.
Die Produkte enthalten die Faktoren a und b in unterschiedlicher Anordnung.
Produkte
mit 2 mal a und 3 mal b können z. B. folgende Forme annehmen: aabbb ;
ababb ; abbab; abbba ; baabb ; babab ; babba ; bbaab ; bbaba ; bbbaa.
Die
Buchstaben a und b lassen sich also auf 12 verschiedene Arten anordnen
und kommen als 12 mal im ausmultiplizierten Ergebnis vor.
Die
Zahl 12 kann man auch erhalten, wenn man fragt, auf wie viele Arten man
2 Dinge (a) auf fünf Plätzen anordnen kann oder auch, wie viele
Möglichkeiten es gibt, 2 Elemente aus 5 Elementen zu ziehen - ohne
Zurücklegen und ohne die Reihenfolge zu beachten. Wir haben gelernt,
dass es Möglichkeiten gibt. - Man kann nun (a+b)5 ausrechnen, indem man alle möglichen Kombinationen hinschreibt, in denen a und b auftreten können (a5 ; a4b ; a3b2 ; a2b3 ; ab4 ; b5) und jeweils als Faktor davor die Anzahl der Möglichkeiten, mit denen das a in dem Produkt mit 5 Faktoren auftaucht:
- Diese Überlegungen gelten ebenso für alle positiven ganzen Hochzahlen:
,
also auch für (1. Binomische Formel) - Schreibt man für viele n die Terme auf, so erhalt man
- Die Koeffizienten in dieser Darstellung entsprechen den Zahlen des Pascalschen Dreiecks, das Sie aus der Sek.I her kennen:
- Wir können also auch das Pascalsche Dreieck mit Hilfe von Binomialkoeffizienten schreiben:
- Wenn
man sich erinnert (oder oben nachschaut), dass die Zahlen des
Pascalschen Dreiecks achsensymmetrisch sind, erhält man eine wichtige
Rechenregel für das Rechnen mit Binomialkoeffizienten:
- Da
sich eine Zahl im Pascalschen Dreieck immer als Summe der beiden schräg
darüber stehenden Zahlen ergibt, gilt folgende Formel für Binomialkoeffizienten:
- Da Sie Schwierigkeit hatten einzusehen, dass 0! = 1, hier noch einmal unsere Überlegung:
2008-03-03
- Pfaddiagramm und Vierfelder-Tafel
In
einer Urne liegen 10 Kugeln: 2 sind rot und tragen den Buchstaben a, 4
sind rot und tragen den Buchstaben b, 3 sind gelb und tragen den
Buchstaben a und 1 ist gelb und trägt den Buchstaben b.
Nun sollen
zwei Pfaddiagramme gezeichnet werden, aus denen hervorgeht, wie groß
die Wahrscheinlichkeit ist, dass nach Ziehen einer bestimmten Farbkugel
diese den Buchstaben a oder b trägt.
Je nachdem, nach welchem Merkmal als erstes geschaut wird, gibt es folgende Pfaddiagramme:
Eine andere Darstellungsform ist die 4-Felder-Tafel:
In der Mitte der Tafel (in den 4 Feldern) stehen die Ergebnisse, die bei den Pfaddiagrammen ganz rechts zu finden sind. - In
den Pfaddiagrammen nennt man die Wahrscheinlichkeiten bei der 2. Stufe
"bedingte Wahrscheinlichkeit", weil diese davon abhängig ist, was zu
Beginn gezogen wurde.
In
der 4-Felder-Tafel erhält man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten,
wenn man die Wahrscheinlichkeiten aus den 4 Feldern durch die
Wahrscheinlichkeiten in der unteren Zeile oder der rechten Spalte
dividiert.
2008-03-07
- Wir haben heute folgende Aufgabe bearbeitet:
In Buntdorf wohnen genau so viel Männer wie Frauen. Man weiß, dass 1/10
aller Männer farbenblind ist, aber nur 1/200 aller Frauen. Nun stellt
man fest, dass eine Person per Zufall aus dem Dorf ausgewählte Person
farbenblind ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das ein Mann?
Zunächst
lässt sich nur ein Pfaddiagramm zeichnen, bei dem die erste
Entscheidung zwischen Mann und Frau fällt, weil man das Verhältnis der
Anzahlen von Frauen und Männern kennt.
Aus diesem Baumdiagramm kann man aber nicht die gesuchte Wahrscheinlichkeit ersehen.
Wenn man aber bedenkt (der Index kennzeichnet, dass die Bedingung im Index als gegeben angesehen wird):
so gilt:
und allgemein: ,
d.h. durch die Umkehrung des Baumdiagramms kann man die gesuchte Wahrscheinlichkeit bestimmen.
Die Lösung findet man bei folgender Lösung zur Klassenarbeit.
2008-03-28
- Rückgabe der Klausur
- Die
am 2008-03-07 besprochenen umgekehrten Baumdiagramme lassen sich auch
nutzen, um mit Hilfe von Stichproben Mengen zu unterscheiden, deren
Zusammensetzung unterschiedlich ist.
Beispiel: In Kiste K1 liegen 4 blaue und 4 rote Bälle, in Kiste K2 5 blaue und 3 rote Kugeln.
Eine
Kiste wird gewählt. Man möchte wissen, welche Kiste es ist. Hineinsehen
in die Kiste ist nicht erlaubt. Zu Testzwecken darf immer nur 1 Ball
aus der Kiste entnommen werden, der aber sofort wieder zurück gelegt
werden muss.
Da man nicht weiß, welcher der beiden Kisten K1 oder K2
man gewählt hat, nimmt man im 1. Baumdiagramm zunächst die
Wahrscheinlichkeit 1/2 für jede Kiste an:
Aus Addition der rechts stehenden Wahrscheinlichkeiten ergibt sich p(b)=9/16 und p(r)=7/16.
Diese
Wahrscheinlichkeiten benutzt man im umgekehrten Baumdiagramm (die
Wahrscheinlichkeiten ganz rechts bleiben erhalten, da sie von der
Reihenfolge im Baumdiagramm nicht abhängen) und die rot eingetragenen
Wahrscheinlichkeiten werden aus den gegebenen Daten errechnet und geben
zuverlässigere Wahrscheinlichkeiten dafür an, dass man Kiste 1 gewählt
hat:
Hat
man eine blaue Kugel gezogen, dann sollte man nun die
Wahrscheinlichkeit dafür, dass man die Kiste1 gewählt hat, mit 4/9
annehmen.
Für den Fall, dass die gezogene Kugel rot war, kann man die Wahrscheinlichkeit für Kiste1 mit 4/7 annehmen. - Um das Ergebnis sicherer zu machen, kann nun eine weitere Kugel (mit Zurücklegen) gezogen werden.
Im
oberen Baumdiagramm werden links die "roten" Wahrscheinlichkeiten für
K1 und K2 eingesetzt, die Wahrscheinlichkeiten für b und r bleiben
gleich.
Entsprechend wie oben gezeigt ergeben sich dann aus dem
unteren umgekehrten Baumdiagramm neue Wahrscheinlichkeiten dafür, dass
man Kiste 1 gewählt hat.
2008-04-07
- Wir haben noch eine Aufgabe zur Mehrfeldertafel gerechnet (Seite 480 Aufgabe 9).
Achtung:
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten der 2. Stufe in einem 2-stufigen
Baumdiagramm kommen in der 4-Felder-Tafel nicht vor, sondern müssen
berechnet werden!
weiter mit Stochastik - Binomialverteilung