Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2008/2009 - Mathematik 12MA1e

Zufallsgrößen - Wahrscheinlichkeitsverteilungen

• Neue Definitionen
• Zufallsgröße
  Wird jedem Ausgang eines Zufallsexperiments eine Zahl zugeordnet, so heißt die Funktion, die diese Zuordnung beschreibt "Zufallsgröße".
  Zufallsgrößen bezeichnet man oft mit X , Y oder Z ohne oder X₁, X₂, X₃, ... mit Index.
  Die Werte (oder Realisationen) einer Zufallsgröße werden häufig mit k oder k₁, k₂, k₃, ... bezeichnet.
• Häufigkeitsverteilung einer Zufallsgröße
  Wird in einem Zufallsversuch zu jedem Wert k einer Zufallsgröße X die relative Häufigkeit h(k) bestimmt, so heißt die Zuordnung von Wert der Zufallsgröße zu relativer Häufigkeit Häufigkeitsverteilung.
• Wahrscheinlichkeitsverteilung oder kurz: Verteilung
  Jedem Wert k_i der Zufallsgröße X wird eine Wahrscheinlichkeit p(X=k_i) zugeordnet. Die Zurodnungsvorschrift nennt man Wahrscheinlichkeitsverteilung oder einfach nur Verteilung.
• kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung
  Wird in einer Tabelle nicht jeweils die Wahrscheinlichkeit p(X=k_i), sondern die Summe von Wahrscheinlichkeiten p(X<=k_i) gelistet, so nennt man dies kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung.
• Beispiel:
  Wir haben in 4 Gruppen jeweils 10-mal mit 5 Heftzwecken gewürfelt und dabei notiert, wie viele Heftzwecken in den beiden möglichen Lagen und gefallen sind.
  In einer Tabelle wurde die relative Häufigkeit dafür aufgelistet, dass bei einem Wurf 1, 2, ... mal die Lage aufgetreten ist.
  
  
  Die 1. Zeile enthält lediglich eine Zählvariable für den Index.
  Die 2. Zeile enthält die Zahl der schräg liegenden Heftzwecken.
  Die 3. Zeile enthält die relativen Häufigkeiten für das Schrägliegen.
  Die 4. Zeile enthält die kumulierte Häufigkeit für das Schrägliegen.
• Berechnungen mit Hilfe der Tabelle:
• h(X<=4) = 0,83
• h(X>=3) = 1 - h(X<3) = 1 - 0,275 = 0,725
• h(X=3) = h(X<=3) - h(X<=2) = 0,475 - 0,275 = 0,200

• Mit Hilfe der folgenden Aufgabe haben wir gelernt, was ein Erwartungswert ist und wie man den Erwartungswert mit dem Taschenrechner berechnet.
• Aufgabe: Ein Getränkevertrieb verkauft verschiedene Mineralwasser zu folgenden Preisen: Produkt 1 zu 0,99€, Produkt 2 zu 1,49€, Produkt 3 zu 0,49€ und Produkt 4 zu 4,79€.
  Im Einkauf kosten die Produkte der Reihe nach 0,60€, 0,50€, 0,45€ und 0,20€.
  Die einzelnen Produkte werden der Reihe nach zu 60%, 10%, 25% und 5% gekauft.
  Mit welchem Gewinn kann der Inhaber des Getränkevertriebs im Mittel rechnen?
• Vorgehen bei der Lösung:
  Als Zufallsgröße X wählen wir: X=Gewinn pro Flasche
  Die Variable k gibt an, welchen Wert X annimmt.
  p(X=k) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass eine Flasche, die den Gewinn k ergibt, gekauft wird und ist identisch mit den oben genannten Prozentangaben.
  k·p(X=k) gibt den Anteil an, den eine Flasche zum Gesamtgewinn beisteuert.
  Summiert man für alle k die Produkte k·p(X=k), so erhält man den durchschnittlich bei jeder Flasche erzielten Gewinn.
  Diesen Wert nennt man Erwartungswert der Zufallsgröße X.
• Beim Taschenrechner nutzt man Listen, um den Erwartungswert schnell bestimmen zu können:
  
         
  
  In L1 stehen die Kosten für eine Flasche Wasser. Die Produkte sind durchgehend von oben nach unten angeordnet.
  In L2 stehen die Verkaufspreise für eine Flasche Wasser.
  In L3 steht der Gewinn k pro Flasche. Formel: L3=L2-L1
  In L4 stehen die Wahrscheinlichkeiten p(X=k), mit denen eine Flasche eines Produkts verkauft werden.
  In L5 steht das Produkt k·p(X=k). Formel: L5=L3*L4
  Im normalen Arbeitsbereich wird mit 2nd > LIST > MATH > SUM die Summe der Produkte k·p(X=k) gebildet. Formel: SUM(L5).
  Es ergibt sich der Erwartungswert 0,5825, d.h. man kann pro Flasche mit einem Gewinn von etwa 58 Cent rechnen.
• Um ein Maß dafür zu erhalten, wie im alltäglichen Leben der Gewinn ausfallen wird, d. h. ob es immer Gewinne in der Nähe von 58 Cent oder erheblich unterschiedliche Gewinne geben wird, haben wir zunächst einmal die Differenz zwischen den Gewinnen und dem berechneten Erwartungswert in Liste L6 berechnet.
  Näheres dazu in der nächsten Stunde.

• Fortsetzung des Gedankengangs aus der letzten Stunde:
  Will man wissen, wie stark die Gewinne für die einzelnen Flaschensorten vom Erwartungswert E(X) = Σ(k·p(X=k)) abweichen, muss man die Werte in L6 noch mit den Wahrscheinlichkeiten aus L4 wichten (d.h. multiplizieren), weil ja einige Flaschensorten besser als andere verkauft werden.
  Alternativ könnte man 60-mal den Wert der 1. Flaschensorte, 10-mal den der 2. Flaschensorte, 25-mal den der 3. Flaschensorte und 5-mal den der 4. Flaschensorte aufschreiben und davon den Mittelwert bilden.
  So rechnen wir aber den Mittelwert aus durch -0,1925*0,6 + 0,4075*0,1 + (-0,5425)*0,25 + 4,2075*0,05 aus.
  Es ergibt sich 0. Warum? Weil der Erwartungswert als Mittelwert des Gewinns natürlich gerade so gewählt ist, dass sich Abweichungen nach oben und unten ausgleichen!
• Zur Bestimmung des Maßes für die Abweichung müssen wir uns also etwas anderes ausdenken.
  Es wäre möglich, alle Abweichungen positiv zu nehmen, also den Betrag der Abweichungen zu verwenden.
  Oft ist es aber sinnvoll, größere Abweichungen stärker zu berücksichtigen als kleine Abweichungen.
  Deshalb wählt man die Methode der quadratischen Abweichung: es wird (k-E(X))² berechnet. Erstens ergeben sich durch das Quadrat bei größeren Abweichungen sehr viel größere Werte, zweitens sind alle Werte positiv. Wichtet man dann diese Werte noch mit der jeweiligen Wahrscheinlichkeit p(X=k), so ergibt sich (k-E(X))²·p(X=k) und als Summe dieser Werte die Größe
  V(X) = Σ(k-E(X))²·p(X=k) .
  V(X) nennt man Varianz.
• Die Varianz ist ein Maß für die quadratische Abweichung von einem Erwartungswert. Rechne ich mit Euro-Werten, hat die Varianz die wenig aussagekräftige Einheit Euro².
  Um eine lineare Abweichung zu erhalten (z.B. in der Einheit Euro), berechnet man die Wurzel aus der Varianz und nennt das Ergebnis
  Standardabweichung σ(X) = √V(X)
• Was sagt uns nun aber der Wert der Standardabweichung?
  Im weiteren Verlauf des Unterrichts werden wir sehen:
• In etwa 2/3 aller Zufallsversuche liegt das Ergebnis im Intervall [ E(X) - 1·σ , E(X) + 1·σ ]
• In etwa 95% aller Zufallsversuche liegt das Ergebnis im Intervall [ E(X) - 2·σ , E(X) + 2·σ ]
• In etwa 99% aller Zufallsversuche liegt das Ergebnis im Intervall [ E(X) - 3·σ , E(X) + 3·σ ]
• Die entsprechenden Rechnungen für unsere Aufgabe aus der letzten Stunde:
  
  
  
  L7: (k-E(X))·p(X=k)  Die Summe aller Elemente von L7 ergibt 0 .
  L8: (k-E(X))²  
  L9: (k-E(X))²·p(X=k) Die Summe aller Werte von L9 ergibt V(X) = 0,99756875. Die Wurzel daraus ergibt σ(X) = √V(X) = 0,9987836352 ≈ 1
  Man sieht, dass die Standardabweichung gegenüber dem Erwartungswert von 0,85 Euro sehr groß ausfällt. Grund ist hier der "Ausreißer-Preis" von 4,79€ für die teuerste Flaschensorte.

• Besprechung und Rückgabe der Klausur  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Soll beim Taschenrechner in einer Liste die Formel bestehen und editierbar bleiben, so muss die Formel in Anführungsstriche " und " eingeschlossen werden.
  Beim Ändern eines Wertes werden die so geschriebenen Formel-Werte aktualisiert.

• Bernoulli-Versuche
  Ein Zufallsversuch, bei dem mit Zurücklegen mehrfach gezogen wird und bei dem es nur zwei verschiedene Ausgänge mit den Wahrscheinlichkeiten p und q=1-p gibt, nennt man Bernoulli-Versuch.
• Beispiel:
  Ein Hersteller legt jedem 5. Exemplar eines Produktes ein kleines Geschenk bei. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim Kauf von 10 Exemplaren 3 Geschenke zu finden?
• Für jedes Exemplar besteht die Wahrscheinlichkeit 1/5 dafür, dass ein Geschenk beigelegt ist.
• Es gibt nur die Versuchsausgänge "Geschenk" und "kein Geschenk" mit den Wahrscheinlichkeiten p = 1/5 und q = 1 - p = 4/5.
• Der Versuch wird n=10 mal wiederholt.
• Die Voraussetzungen für einen Bernoulli-Versuch sind gegeben.
• Der Fall "die ersten 3 Exemplare enthalten das Geschenk, die letzten 7 Exemplare sind ohne Geschenk" hat die Wahrscheinlichkeit 
• Dieser Fall ist aber nur 1 Fall von sehr vielen anderen Fällen, bei denen auch 3 Geschenke in den Waren gefunden werden. Das Geschenk kann z. B. in dem 4., dem 7. und dem 9.Exemplar zu finden sein.
• Die Anzahl der Möglichkeiten, das Geschenk in bestimmten Exemplaren zu finden, ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 3 Kugeln aus 10 Kugeln mit einem Griff zu ziehen.
  Es sind Möglichkeiten.
• Die Wahrscheinlichkeit, in beliebigen 3 der 10 Exemplare ein Geschenk zu finden, beträgt also
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, in 20 Exemplaren 6 Geschenke zu finden?
  Sie vermuteten, dass die Wahrscheinlichkeit so groß wie bei 3 Geschenken in 10 Exemplaren sein müsste.
  Die Rechnung ergibt aber: .
  Der Grund liegt darin, dass sich in diesem Fall die Gesamtwahrscheinlichkeit von 1 auf doppelt so viel Ausgänge aufteilen muss. Damit ist jeder einzelne Ausgang weniger wahrscheinlich.
  Fasst man hier jeweils 2 Ausgänge zusammen, so kommt man näherungsweise zum gleichen Ergebnis wie bei 3 Geschenken in 10 Exemplaren.
• Übliche Schreibweise für Bernoulli-Versuche bei k Erfolgen in n Versuchen:

• Wiederholung: Bernoulli-Versuche und Binomialverteilung
• Es liegt ein Bernoulli-Versuch vor, wenn
• es genau 2 Versuchsausgänge gibt (häufig als Erfolg und Misserfolg bezeichnet) mit den Wahrscheinlichkeiten p und q=1-p,
• auch bei mehrstufigen Versuchen die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen).
• Bei einem n-stufigen Bernoulli-Versuch berechnet sich die Wahrscheinlichkeit für k-maligen Erfolg aus
  
  Da die Summe aller Wahrscheinlichkeiten für k=0 bis k=n gleich 1 ist, erfüllt die angegebene Formel die Bedingungen für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung. Man nennt diese Verteilung Binomialverteilung.
• Berechnung von B_n;p(k) auf dem Taschenrechner:
  Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 10-maligen Würfeln genau 4-mal eine 6 zu werfen?
  2ND > DISTR -->   für n=10, p=1/6 und k=4
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 10-maligen Würfeln höchstens 4-mal eine 6 zu werfen?
  Gesucht ist also P(X<=4) = B_10;1/6(0) + B_10;1/6(1) + B_10;1/6(2) + B_10;1/6(3) + B_10;1/6(4) 
  Auf dem Taschenrechner wird die Funktion binomcdf benutzt:
  2ND > DISTR -->      
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim 10-maligen Würfeln mindestens 4-mal eine 6 zu werfen?
  Gesucht ist also P(X>=4) = 1 - P(X<=3) = 1 - B_10;1/6(0) + B_10;1/6(1) + B_10;1/6(2) + B_10;1/6(3)  
  Auf dem Taschenrechner wird die Funktion binomcdf benutzt:  
• Die gesamte Wahrscheinlichkeitsverteilung (Wahrscheinlichkeiten für alle k-Werte) für die Beispiele kann man sich graphisch darstellen lassen:
  In Liste L1 wird seq(X,X,0,10,1) eingegeben (nach dem Schema seq(<zu berechnender Term>,<Variable>,<Anfangswert>,<Endwert>,<Schrittweite>).
  In Liste L2 wird binompdf(10,1/6,L1) eingegeben.
  STAT > EDIT    
  
  2ND > STAT PLOT      
  
  WINDOW     GRAPH  
  
  Auf gleiche Art kann man auch die Summenfunktion binomcdf(10,1/6,L1) darstellen lassen:

• Nachlese zur Studienfahrt in die Toskana
• Im Artikel Goldener Schnitt finden Sie das im Unterricht Besprochene und weiter unten neben vielem Anderen auch den Vitruvianischen Menschen, eine Analyse zum Bild Mona Lisa und Anmerkungen zum Auftreten des Goldenen Schnitts in der Natur.
• Zum DIN-Papierformat: Tabelle zu den DIN-Formaten, weitere Informationen (Vorsicht: Spoiler) 
• Links zur Erinnerung auf unten auf dieser Seite

• Erwartungswert bei binomialverteilten Zufallsgrößen
  Wir haben für n=1, n=2 und n=3 den Erwartungswert allgemein für die Erfolgswahrscheinlichkeit p und die Misserfolgswahrscheinlichkeit q ausgerechnet:
  
  
• Es fiel auf, dass die Werte in der Spalte P(X=k) gebildet werden aus (q+p)¹, (q+p)², (q+p)³   
  Dass das so sein muss, kann man gut eisehen, wenn man die Ausgänge eines entsprechenden Baumdiagramms betrachtet.
• Vereinfachungen der Erwartungswerte:
• n=1 --> E(X) = p
• n=2 --> E(X) = 2p²+2pq = 2p²+2p·(1-p) = 2p²+2p-2p² = 2p
• n=3 --> E(X) = 3p³+6p²q+3pq² = 3p³+6p²(1-p)+3p·(1-p)² = 3p³+6p²-6p³+3p-6p²+3p³ = 3p
• Es sieht so aus, als würde bei einem n-stufigen Bernoulli-Versuch gelten: E(X) = n·p
  Dass das tatsächlich so ist, zeigt der Beweis im Buch auf Seite 124. Bitte jeden Schritt nachvollziehen!

• Das Ergebnis für den Erwartungswert E(X)=n·p bei der Binomialverteilung kann man z.B. bei folgenden Fragestellungen anwenden:
• Mit wie vielen Sechsen kann man beim Würfeln rechnen, wenn man 300-mal würfelt?
  Antwort: n=300, p=1/6 --> n·p=300·1/6=50  Man wird also etwa 50-mal eine 6 würfeln.
• Wie lange muss man würfeln, bis man im Schnitt eine Sechs würfelt?
  Antwort: 1 Sechs bedeutet, dass der Erwartungswert 1 beträgt: n·p=1 --> n·1/6=1 --> n=6
  Allgemein gilt: n·p=1 --> n=1/p
• Aufgabe zum Auslastungsmodell (als Hausaufgabe):
  Den 15 Schüler(inne)n im Kurs sollen für das Abitur Taschenrechner zur Verfügung gestellt werden. Aus Erfahrung weiß man, dass jeder Schüler während einer Stunde etwa 20 Minuten den Taschenrechner benutzen muss. Die Schulleitung schätzt deshalb (warum wohl?), dass 5 Taschenrechner für den Kurs ausreichend sind.
  Mit welcher Wahrscheinlichkeit reichen die 5 Taschenrechner aus? Anders formuliert: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nicht mehr als 5 Schüler(innen) den Taschenrechner zur selben Zeit benötigen? (Kurzform: P(X<=5))

• Lösung zur Hausaufgabe:
  Man darf zur Lösung die Binomialverteilung heranziehen, denn
• es gibt beim Testen, ob ein Schüler den Taschenrechner benutzt oder nicht, 2 Ausgänge und
• beim Testen mehrerer Schüler bleibt diese Wahrscheinlichkeit konstant.
• Es gilt n=15 und p=20/60=1/3.
• Wahrscheinlich überlegte sich die Schulleitung, dass 5 Rechner ausreichen würden, weil der Erwartungswert E(X)=n·p=15·1/3=5 ist.
• Zur Frage, ob 5 Taschenrechner ausreichen, muss man die Wahrscheinlichkeit B_15;1/3(X<=5) berechnen.
  Der Taschenrechner liefert  
• Erscheint die Wahrscheinlichkeit von ca. 62% zu gering, muss man mehr Taschenrechner anschaffen.
  Eine erweiterte Tabelle im Taschenrechner für weitere k-Werte liefert für die Summenfunktion der Binomialverteilung
  
  Man liest ab:
• Damit in 90% aller Fälle die Taschenrechner ausreichen, muss man 7 Taschenrechner anschaffen.
• Damit in 95% aller Fälle die Taschenrechner ausreichen, muss man 8 Taschenrechner anschaffen.
• Damit in 99% aller Fälle die Taschenrechner ausreichen, muss man 9 Taschenrechner anschaffen.
• Wir haben gesehen, wie man mit den Tabellen aus der Formelsammlung die Wahrscheinlichkeiten berechnen kann.
  Dabei kam es zu Irritationen, warum das Vorgehen für p-Werte größer als 0,5 funktioniert (man nehme den Tabellenwert, der sich aus der unteren und der rechten Markierung ergibt und subtrahiere ihn von 1).
  Hier die Begründung für einen n-stufigen Bernoulliversuch mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p>0,5:
• Sei X die Zufallsvariable für die Wahrscheinlichkeit p und Y die Zufallsvariable für die Wahrscheinlichkeit q=1-p.
• Dann gilt P(X=0) = P(Y=n), denn wenn man 0-mal Erfolg hat, dann hat man n-mal Misserfolg.
  Entsprechend gilt P(X=1) = P(Y=n-1) und P(X=2) = P(Y=n-2) und P(X=3) = P(Y=n-3) und allgemein P(X=k) = P(Y=n-k)
• Somit gilt
  P(X<=k) =
  P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=k) =
  P(Y=n) + P(Y=n-1) + P(Y=n-2) + ... P(Y=n-k) =
  1 - ( P(Y=n-k-1) + P(Y=n-k-2) + ... + P(Y=2) + P(Y=1) + P(Y=0)) =
  1 - P(Y<=n-k-1)
• Benötigen z.B. die 15 Schüler jeweils 40 Minuten pro Stunde den Rechner, so gilt n=15 und p=2/3.
  Die Wahrscheinlichkeit, dass 5 Rechner ausreichen, beträgt also P(X<=5).
  Wir müssen also in der Summen-Tabelle für n=15 in der Spalte für p=2/3 bei k=5 nachschauen.
  Da es diese Spalte nicht gibt, können wir wegen der oben gezeigten Herleitung P(X<=k) = 1 - P(Y<=n-k-1) nach Einsetzen der Werte zu P(X<=5) = 1 - P(Y<=15-5-1) = 1 - P(Y<=9) auch nachschauen in der Summentabelle für n=15 in der Spalte für p=1/3 bei 9 und erhalten den Wert 0,9915.
  Es gilt dann P(X<=5) = 1 - 0,9915 = 0,0085
  Der Taschenrechner bestätigt mit binomcdf(15,2/3,L1) in L2 dieses Ergebnis: .
• Folgerung: In den Tabellen müssen sich die Spaltenbeschriftungen oben und unten zu 1 ergänzen
  und die Zahlen in der rechten Spalte müssen sich aus den Zahlen k aus der linken Spalte ergeben zu n-k-1.
  Prüfen Sie das in den Tabellen nach!

• Das Kugel-Fächer-Modell kann immer dann angewendet werden, wenn ein Zufallsversuch auf folgende Bedingungen reduziert werden kann:
• Es stehen f Fächer zur Verfügung, die mit n Kugeln gefüllt werden sollen.
• Die Wahrscheinlichkeit, eine Kugel in ein bestimmtes Fach zu legen, ist immer konstant gleich p=1/f.
• Da es nur 2 Versuchsausgänge gibt (Fach wird durch die Kugel gefüllt oder nicht gefüllt) und da die Wahrscheinlichkeit für das Füllen konstant ist (p=1/f), darf mit der Binomialverteilung gerechnet werden.
• Die Wahrscheinlichkeit, dass genau k Kugeln in einem Fach liegen, beträgt .
• Als Beispiel einige Rechnungen mit dem Rosinenbrötchenproblem (Ein Bäcker backt f Brötchen und verteilt in diese n Rosinen)
  Sei f=100 und n=500
  Zur Lösung den Bereich zwischen den Zeichen < und > markieren. Die Lösung wird dann sichtbar.
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verteilen der 1. Rosine das 1. Brötchen eine Rosine erhält?  <p = 1/f = 1/100>
• Mit wieviel Rosinen pro Brötchen kann man  im Schnitt rechnen? <E(X) = n·p = n·1/f = 500·1/100 = 500/100 = 5>
• Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Brötchen 0 Rosinen erhält? <P(X=k) = B_n,1/f(k) = B_n,1/100(0) =1·(1/100)⁰·(99/100)^500-0 = 0,00657 = 0,657%>
• Weitere Aufgaben im Buch auf den Seiten 135-136. Seite 135, Aufgabe 2 als Hausaufgabe

• Besprechung der Hausaufgabe:
  Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Roulettespiel (37 Felder, bezeichnet von 0 bis 36) in n Runden die Kugel nie auf dem Feld mit der Bezeichnung 0 liegen bleibt?
  Lösung (Bereich zwischen < und > markieren):
  <Im Kugel-Fächer-Modell sind die n Kugeln die Anzahl der Runden und die f Fächer die 37 Felder.>
  <Die Wahrscheinlichkeit, dass 1 Kugel nicht auf dem Feld 0 liegen bleibt, ist 36/37.>
  <Die Wahrscheinlichkeit, dass alle n Kugeln nicht auf dem Feld 0 liegen bleiben, beträgt (36/37)ⁿ.>
  Nach n Runden gibt es 10 von den 37 Feldern, auf denen die Spielkugel noch nicht liegen geblieben ist. Wieviel Runden sind etwa gespielt worden?
  <Da für jedes Feld die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel dort nicht liegen bleibt (36/37)ⁿ beträgt (s.o.), gibt es etwa 37·(36/37)ⁿ Felder, die immer frei geblieben sind.>
  <Da 10 Felder frei geblieben sind, gilt 37·(36/37)ⁿ=10 ---> (36/37)ⁿ=10/37 ---> n=log_36/37 10/37=47,75>
  <Es wurden also etwa 48 Spiele durchgeführt.>

• An Hand der Diagramme zweier Binomialverteilungen wurde uns klar, dass die Darstellungen sehr ähnlich aussehen, wenn der Erwartungswert der beiden Verteilungen übereinstimmt.
  Allerdings ist die Einhüllende für größeres n etwas breiter und nicht ganz so hoch. (OOo-Calc-Tabellenkalkulation herunterladen mit Klick auf das Bild und "Speichern unter...").
  
• Ein Maß für die Abweichung vom Erwartungswert ist die Varianz bzw. die Standardabweichung (=Wurzel aus der Varianz), wie wir schon früher gesehen haben.
• Die Binomialverteilung ist nicht zuletzt deswegen bei Anwendungen so beliebt, weil dabei Erwartungswert und Varianz bzw. Standardabweichung sehr einfach zu berechnen sind.
  Für den Erwartungswert gilt E(X)=n·p, wie wir schon gesehen haben.
• Heute haben wir für kleine n per Hand die Varianz ausgerechnet (siehe Buch Seite 144) und haben auf Grund der Ergebnisse vermutet, dass für die Varianz V(X) und die Standardabweichung σ(X) gilt:
  V(X)=n·p·q und damit σ(X)=√(n·p·q) .(Auf einen allgemeinen Beweis haben wir verzichtet. Siehe zum Beweis Seite 145 Aufgabe 5).
• Da sich die Formeln für E(X), V(X) und σ(X) sehr einfach aus den Größen n, p und q ergeben, kann man aus einigen dieser Größen leicht auf andere Größen schließen.
  Beispiel: Wenn E(X)=36 und σ(X)=3, so gilt n·p=36 und n·p·q=9 ---> 36·q=9 ---> q=1/4 ---> p=3/4 ---> n=36/p=36·4/3=48

• Besprechung der Hausaufgabe (Seite 145 Aufgabe 7)
• a) siehe Beispiel zur letzten Stunde
• b) Gegeben n=72; σ=2. Gesucht p. 
  σ²=n·p·q  --->  4=72·p·(1-p)  --->   4/72=p-p²  --->  p²-p+1/18=0  --->  p_1,2=1/2+-√(1/4-1/18)=1/2+-√(7/36) , also 2 verschiedene Werte für p - wegen der Symmetrie mit q (p₁+p₂=1).
• c) Gegeben σ=6 ; p=0,4. Gesucht μ.
  σ²=n·p·q  --->  36=n·0,4·0,6  --->   n=36/0,24=3/0,02=300/2=150  --->  μ=n·p=150·0,4=60
• Wir haben schon erkannt, dass der Erwartungswert bei der Binomialverteilung den k-Wert angibt, an dem die größte Wahrscheinlichkeit auftritt (Maximum bei der Einhüllenden).
  Um zu sehen, was nun "Standardabweichung" bedeutet, haben wir für verschiedene n und p=0,5 in der Summierten-Binomialverteilungs-Tabelle die Wahrscheinlichkeit für den k-Bereich berechnet, für den gilt: μ-σ<=k<=μ+σ.
  Die Werte, die Ihr in Gruppen gefunden habt, müssen wir noch einmal überdenken.
  DieTabellenkalkulation zeigt teilweise andere Ergebnisse (herunterladen der OOo-Calc-Tabelle mit Rechts-Klick auf das Bild und "Ziel speichern unter..."):
  
  Der Abstand der n-Werte kann in H1 eingestellt werden, die Wahrscheinlichkeit p in F1

• Trägt man in der oben stehenden Tabelle die Spalten A und D gegeneinander auf, so sieht man, dass die Werte in D für große n gegen einen bestimmten Wert konvergieren (etwas kleiner als 0,7)
  
  Diese Gesetzmäßigkeit ("Jedem Radius der Umgebung des Erwartungswertes kommt eine bestimmte Wahrscheinlichkeit zu") gilt nahezu unabhängig von der Erfolgswahrscheinlichkeit p und dem Stichprobenumfang n bei einem Bernoulli-Versuch, wenn die Laplace-Bedingung σ>3 erfüllt ist.
• Hausaufgabe: Seite 149 Aufgaben 5 und 6

• Beim Suchen nach Mathe-Informationen habe ich diese informative Seite gefunden: Ein Script zum Matheunterricht der Oberstufe. Ob es Euch helfen kann?
• Arbeitet man mit den Tabellen für summierte binomiale Wahrscheinlichkeiten oder mit binomcdf auf dem Taschenrechner, so kann man die Wahrscheinlichkeit P(k₁<=X<=k₂) nicht unmittelbar ablesen, sondern muss zunächst umformen: 
• Sind k₁ und k₂ ganze Zahlen so gilt:  P(k₁<=X<=k₂) = P(X<=k₂) - P(X<k₁) = P(X<=k₂) - P(X<=k₁-1)
  Beispiel mit k₁=27 und k₂=42: P(27<=X<=42) = P(X<=42) - P(X<=27-1) = P(X<=42) - P(X<=26)
  Da die Wahrscheinlichkeit für k₁ mit zur gesuchten Wahrscheinlichkeit gehört, darf sie nicht mit der ganz rechts stehenden Summe abgezogen werden. Also muss dort k₁-1 stehen.
• Sind k₁ und k₂ keine ganzen Zahlen, so trennen diese Werte jeweils zwei ganze Zahlen.
  
  Man schreibt dann P(k₁<=X<=k₂) = P(X<=k₂) - P(X<=k₁), wobei die rechte Seite dann identisch ist zu P(X<k₂) - P(X<k₁).
  Beispiel mit k₁=27,7 und k₂=42,3: P(27,7<=X<=42,3) = P(X<=42,3) - P(X<=27,7) = P(X<42,3) - P(X<27,7) = P(X<=42) - P(X<=27)
• Wir haben noch kurz mit dem Thema "Normalisierung von Biniomialverteilungen" begonnen und dabei gesehen, dass man jede Funktionsgleichung sehr einfach so ändern kann, dass der Punkt des Graphen, der normalerweise bei x=0 liegt, dann bei x=x₀ liegt.
  Dazu muss man nur jedes x durch x-x₀ ersetzen.
  Beispiel: Ersetzt man im Graph der Normalparabel y=x² das x durch x-4, so ergibt sich die Gleichung y=(x-4)²=x²-8x+16, deren Graph eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei x=4 ist. 

• Normalisierung von Binomialverteilungen:
  Der Graph einer Binomialverteilung wird folgendermaßen geändert:
• Die Lage des Erwartungswertes wird auf 0 gesetzt, indem man statt der k-Werte k-μ abträgt.
• Die Lage der Werte für μ+σ und μ-σ wird auf +1 und -1 gesetzt, indem man statt der k-μ-Werte (k-μ)/σ abträgt.
• Der Funktionswert für die Wahrscheinlichkeit beim Erwartungswert soll für alle Binomialverteilungen gleich groß sein.
  Da die Wahrscheinlichkeit mit σ abnimmt, muss P(X=k) mit σ multipliziert werden.
• Die sich aus diesen Vorgängen ergebende Funktion nennt man φ(z) mit z=(k-μ)/σ und es gilt σ·P(X=k)=φ(z)
  Man kann also P(X=k) näherungsweise berechnen aus P(X=k)=1/σ·φ((k-μ)/σ).
• Die Werte von φ(z) erhält man aus Tabellen oder vom Taschenrechner oder berechnet man aus φ(z)=1/√(2·π)·e^-(z·z)/2 .
• Hausaufgabe: Seite 152 Aufgabe 6

• Besprechung der Hausaufgabe

• Wegen der leichten Berechenbarkeit benutzt man häufig die Binomialverteilung, auch wenn die Bedingungen (konstante Wahrscheinlichkeit für Erfolg, Ziehen mit Zurücklegen) nur näherungsweise erfüllt sind.
• Die hypergeometrische Verteilung berücksichtigt die sich ändernde Wahrscheinlichkeit bei Stichprobenentnahmen. Hier wird ein Ziehen ohne Zurücklegen zu Grunde gelegt.
  Man benutzt die hypergeometrische Verteilung bevorzugt bei Problemen, bei denen es darauf ankommt, wie viele Elemente einer Stichprobe eines von zwei Merkmalen aufweisen und bei denen es darauf ankommt, den Fall "Ziehen ohne Zurücklegen" zu beachten.

• Aufgaben zur hypergeometrischen Verteilung und Theorie zur Poisson-Verteilung.

• Einführung in die beurteilende Statistik
  Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe, Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit, Punkt- und Intervallschätzung

• Besprechung der Hausaufgabe. Punkt- und Intervallschätzung, Vertrauensintervalle.

• Bestimmung des Vertrauensintervalls (oder auch Konfidenzintervalls) für eine unbekannte Wahrscheinlichkeit
  Kennt man die Wahrscheinlichkeit für einem Zufallsversuch nicht und möchte man mit einer bestimmten Sicherheit γ (Vertrauenszahl γ) einen Bereich angeben, in dem diese Wahrscheinlichkeit liegen wird, so führt man einen Zufalls-Versuch mit dem Stichprobenumfang n durch und erhält eine bestimmte relative Häufigkeit h.
• Aus der Ungleichung  erhält man die beiden Lösungen für die p-Werte an den Rändern des Intervalls.
  Das c erhält man aus der Gleichung . Der Taschenrechner hilt dabei mit der Funktion INVNORM im Menü DISTR:
     hier am Beispiel  γ=0,95.
• Die Ungleichung kann man mit dem Taschenrechnerbefehl SOLVER im Menü MATH bestimmen:
      hier am Beispiel n=100, h=7/100
      Näherungswert 0 gibt die 1. Lösung p₁=0,0343
      Näherungswert 1 gibt die 2. Lösung p₂=0,1375
  
  d.h. wenn wir die relative Häufigkeit 7/100 in einem Zufallsversuch gefunden haben, können wir mit 95% Sicherheit davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeit bei diesem Zufallsversuch zwischen p₁=0,0343 und p₂=0,1375 liegt.
• Zusatz (noch nicht behandelt):
  Oben wurde auf Grund einer Stichprobe vom Umfang n für ein Vertrauensintervall (Vertrauenszahl γ) die Grenzen dieses Intervalls (p₁ und p₂) berechnet.
  d = p₂ - p₁ ist dann die Länge dieses Vertrauensintervalls.
  Nun soll diese Länge d bekannt sein und gesucht ist das n, d.h. man fragt sich, wie oft man den Zufallsversuch durchführen muss, damit die Länge des Vertrauensintervalls die Länge d nicht überschreitet.
  Aus folgt näherungsweise .
  Die Mindestgröße von n ist gefragt, d.h. wir müssen annehmen, dass das l größtmöglich ist. Das ist der Fall, wenn p=1/2 ist, da dann das Produkt p·(1-p) den größten Wert annimmt (das kann leicht gezeigt werden, indem man untersucht, wo die Funktion mit der Gleichung y=x·(1-x)=x-x² ein globales Maximum besitzt).
  Setzen wir für p den Wert 1/2 ein, so gilt 
  Da dieser Wert höchstens gleich d sein soll, gilt .
  Das c erhält man wie oben gezeigt durch .
  Führt man den Versuch n mal (mit dem so berechneten n) durch, so kann man davon ausgehen, dass mit der Wahrscheinlichkeit γ der Abstand von h und der wahre Wert von p nicht mehr als d/2 auseinander liegen.

• Abschlussübung zum Thema "Schluss von der Gesamtheit auf eine Stichprobe" (im Buch auf Seite 221 nachzulesen).