0708 Unterricht Mathematik ma4 - Stochastik

Unterrichts-Einsichten - Schuljahr 2007/2008 - Mathematik Ma4-g

Stochastik - Binomialverteilung

2008-04-08

Bernoulli-Kette: Ein mehrstufiger Zufallsversuch, bei dem es nur 2 verschiedene Ausgänge gibt (z. B. Erfolg und kein Erfolg), die unterschiedliche Wahrscheinlichkeit haben können. Die Wahrscheinlichkeiten bleiben bei jeder Stufe des Zufallsversuch erhalten, d. h. es liegt ein Ziehen mit Zurücklegen vor.
Als Beispielaufgabe haben wir berechnet: Wie groß ist die Wahrascheinlichkeit, beim 24-fachen Würfeln genau 7 Sechser zu erhalten?
Durch grundlegende Überlegungen kamen wir zum Ergebnis .
In der nächsten Stunde werden wir sehen, wie man dieses Ergebnis verallgemeinern kann.

2008-04-11

Wird jedem Ausgang eines Zufallsversuches eine reelle Zahl zugeordnet, so nennt man eine Variable, die diese Zahlenwerte annehmen kann "Zufallsvariable".
Zufallsvariable werden meistens mit den Großbuchstaben X, Y und Z bezeichnet.
Für die Wahrscheinlichkeit, dass z. B. die Zufallsvariable X den Wert 4 annimmt, schreibt man p(X=4).
Bei einer Bermoulli-Kette müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
- Es gibt nur zwei verschiedene Ergebnisse, z. B. "Erfolg" und "nicht Erfolg"
- Die Wahrscheinlichkeiten für diese Ergebnisse bleiben auch bei mehrstufigen Zufallsversuchen konstant. Sie werden mit p und q bezeichnet (q=1-p)
Bei einem n-stufigen Bernoulli-Zufallsversuch berechnet man die Wahrscheinlichkeit dafür, dass man k-mal Erfolg hat durch
Wie man die Wahrscheinlichkeiten bei Bernoulli-Versuchen mit dem TI-84+ berechnen und graphisch darstellen kann, können Sie unter TI84-Funktionen sehen.

2008-04-14

Wir haben eine Aufgabe zur Binomialverteilung gerechnet.
Dabei wurde als neue Funktion binomcdf(n,p,a) eingeführt, die bei einem Bernoulli-Versuch alle Wahrscheinlichkeiten von p(X=0) bis p(X=a) summiert.

2008-04-15

Der Begriff Erwartungswert wurde an Hand eines Beispiels eingeführt:
Bei einem Glücksrad mit 10 Feldern steht in jedem Feld eine Ziffer. Insgesamt sind es 1 Eins, 2 Zweien, 4 Dreien und 3 Vieren.
Ergibt sich beim Drehen eine Eins, so erhält man 5 Euro Gewinn, bei einer Zwei 2 Euro, bei einer Drei 1 Euro und bei einer Vier nichts.
Frage: Mit welchem Gewinn kann der Betreiber des Spiels rechnen, wenn der Einsatz 1,50 Euro beträgt?
Wir haben gesehen, dass sich pro Spiel der durch eine bestimmte Ziffer erzielte Gewinn berechnen lässt, wenn man den Gewinn mit der Wahrscheinlichkeit, dass die entsprechende Ziffer gezogen wird, multipliziert. Addiert man alle diese pro Spiel erzielten Gewinne, so erhält man den Gesamtgewinn pro Spiel. Diesen Wert nennt man Erwartungswert.
Lösung für das Einführungsbeispiel:

Der Erwartungswert beträgt 1,30 Euro, d. h. bei einem Einsatz von 1,50 Euro gewinnt der Spiele-Anbieter im Schnitt 0,20 Euro pro Spiel.

2008-04-18

Bei Bernoulli-Versuchen berechnet sich der Erwartungsweert der Zufallsvariable X aus E(X)=n·p.
Beispiele: Wirft man 10-mal eine Münze, so wird etwa 5-mal Wappen erscheinen (p=1/2; E(X)=10·1/2=5)
Wird ein Würfel 60-mal geworfen, so wird die 6 ca. 10-mal erscheinen (p=1/6; E(X)=60·1/6=10)
Die Taschenrechner-Funktionen (TI-84+) zum Erwartungswert sind nun in der Datei TI84-Funktionen.pdf enthalten.
Wir haben uns über eine "sichere" Methode zu einem unendlich hohen Gewinn beim Roulette unterhalten.
Das Phänomen ist unter dem Namen Sankt-Petersburg-Paradoxon bekannt.

2008-04-21

Übungsstunde zur den Themen "Bernoulli-Versuch", "Erwartungswert", "TI84+" (siehe auch TI84-Funktionen.pdf )

2008-04-22

Wir haben folgende Aufgabe bearbeitet:
Ein Würfel wird 60-mal geworfen, die Anzahl der dabei erscheinenden Sechsen wird bestimmt.
Der Erwartungswert für die Sechsen beträgt E = n·p = 60·1/6 = 10.

An der Verteilung erkennt man, dass Ergebnisse mit 9-mal oder 11-mal "Sechs" ähnlich häufig wie 10-mal "Sechs" auftreten.
Frage: 90% der Ergebnisse dieses Zufallsversuchs liefern eine Anzahl von Sechsen, die in einem bestimmten Zahlbereich [a,b] vorkommen. Berechne a und b.
Zur Lösung kann man sehr gut mit der kumulierten Wahrscheinlichkeit rechnen. Man betrachtet also nicht einzelne Wahrscheinlichkeiten für Einzelergebnisse, sondern betrachtet die Summe von Wahrscheinlichkeiten aus einem bestimmten Intervall.
Auf dem Taschenrechner TI-84+ können Sie dazu die Funktion binomcdf aus dem Menü DISTR benutzen (siehe TI84-Funktionen)
Hier wird gefordert: p(X<=b) - p(X>=a) = 0,90 , d. h. die Summe der Wahrscheinlichkeiten für die Ergebnisse von a bis b soll 0,90 ergeben.

In den Screenshots sind in L1 die Ergebnisse (Anzahl der Sechsen) abgetragen. In L2 findet man die dazu gehörenden Wahrscheinlichkeiten.
L3 enthält die kumulierten (=summierten) Wahrscheinlichkeiten, d. h. der schwarz unterlegte Wert in der rechten Abbildung zeigt die Summe aller Wahrscheinlichkeiten aus L2 von Anfang an bis zum k-Wert 14. Die Gesamtwahrscheinlichkeit für alle Ergebnisse von 0 bis 14 Sechsen ist also 93,5%.
Für b kann man den Wert 14 wählen.
Da dieser Wert aber um 3,5% über dem Wunschwert 90% liegt, können am Tabellenanfang noch so viel Ergebnisse weggelassen werden, wie diesen 3,5% entspricht.
In der linken Abbildung liest man bei 4 den Wert 2,0% und bei 5 den Wert 5,1% ab. Die ersten 4 Zahlen können also unberücksichtigt bleiben.
Die Bedingung 90% ist also erfüllt, wenn man für a den Wert 5 und für b den Wert 14 wählt.
Es gilt dann p(X<=14) - p(X>=5) >= 0,9

2008-04-25

Wir haben noch einmal den Gebrauch der Tabellen zur Binomialverteilung (für einzelne und summierte Wahrscheinlichkeiten) geübt, diesmal nicht mit dem Taschenrechner, sondern an Hand der Tabellen, die Sie hier herunterladen können.
Für den Eigengebrauch können Sie sich auch diese individuell gestaltbare Tabelle benutzen:
als OpenOffice.Calc-Datei oder wenn Sie es denn lieber hätten auch als Excel-Datei
Das Beispiel zum Auslastungsmodell (Kopierer in einem Betrieb mit 10 Mitarbeitern) können Sie im Buch auf Seite 495 nachlesen.

2008-04-28

Die Lösung zum Geburtstagsproblem (Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von n Personen mindestens 2 am gleichen Tag Geburtstag haben?) kann aus folgender Grafik entnommen werden:
auch als Ooo-Calc-Datei oder als Excel-Datei erhältlich
Wir haben gesehen, dass sich viele Aufgaben auf das Kugel-Fächer-Modell übertragen lassen (auf wie viele Arten lassen sich n Kugeln auf f Fächer aufteilen?).
Zur Vorbereitung auf das Kennenlernen eines interessanten und wichtigen Gesetzes rechnen Sie bitte Folgendes aus:
Beim Kugel-Fächer-Modell beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Belegen eines von n Feldern 1/n. Insgesamt n Kugeln werden auf die Fächer verteilt.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei 0 Kugeln in einem Feld liegen?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei 1 Kugel in einem Feld liegt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass dabei mehr als 1 Kugel in einem Feld liegen?

2008-05-05

Ergebnisse der Hausaufgabe (siehe 2008-04-28) für wachsendes n:

Merkwürdig ist, dass sich für wachsendes n die Wahrscheinlichkeiten in den Zeilen 2 und 3 immer mehr annähern.
Erklärung dieses Phänomens:
In Zeile 2 steht die Formel
In Zeile 3 ergibt sich
In Zeile 4 steht dann
Dass die Terme aus Zeile 2 und Zeile 3 für große n gleich werden, sieht man, wenn man den Term in Zeile 2 umformt:

Der rechte Faktor wird für großes n zu 1, weil der Bruch dann gegen 0 geht.
An anderer Stelle wird im Unterricht gezeigt, dass . e ist dabei die Eulersche Zahl 2,71828...
Ergebnis:
Bei einer Binomialverteilung mit p=1/n gilt für große n:

2008-05-09

Alternativtest
Einführendes Beispiel:

Ein Medikament, das schon lange auf dem Markt ist, hilft erfahrungsgemäß in 60% aller Fälle bei einer bestimmten Krankheit.
Nun wurde ein Zusatz zum Medikament entwickelt, von dem der Hersteller behauptet, damit würde das neue Medikament in 80% aller Fälle helfen.
In einem Test mit 100 Kranken soll herausgefunden werden, ob das neue Medikament tatsächlich die versprochene Wirksamkeit hat oder ob es auch nur in 60% aller Fälle hilft.
Mit Hilfe des Erwartungswertes E(X)=n·p bei der Binomialverteilung ergibt sich:
Falls das neue Medikament in 80% aller Fälle hilft, kann man mit 100·0,8=80 Geheilten rechnen.
Falls das neue Medikament nicht besser ist als das alte Medikament, kann man mit 100·0,6=60 Geheilten rechnen.
Da die Wahrscheinlichkeit, dass genau 60 oder 80 Personen geheilt werden, sehr gering ist (8,1% für 60 Personen bzw. 9,9% für 80 Personen) muss man damit rechnen, dass das Ergebnis um den jeweiligen Erwartungswert herum streut.
Bei mehr als 80 Geheilten wird man wohl das neue Medikament als besser geeignet ansehen können, bei weniger als 60 Geheilten wird man eine bessere Wirksamkeit des neuen Medikamentes abstreiten.
Wie soll man sich aber entscheiden, wenn zwischen 60 und 80 Personen geheilt werden?
Ob die Grenze beim Mittelwert von 60 und 80, also bei 70 Personen liegt?
Der Taschenrechner kann dabei helfen:
In Liste L1 werden alle Zahlen k von 0 bis 100 erzeugt mit SEQ(X,X,0,100)
In Liste L2 werden die summierten Wahrscheinlichkeiten für p(X≤k) für p=0,6 dargestellt mit BINOMCDF(100,0.6) . Wir sehen dabei also, in wie viel Prozent aller Fälle 0 bis k Personen geheilt werden.
In Liste L3 werden die summierten Wahrscheinlichkeiten für p(X≥k) für p=0,8 dargestellt mit 1-BINOMCDF(100,0.8) . Wir sehen dabei also, in wie viel Prozent aller Fälle (k+1) bis n Personen geheilt werden.
Das Taschenrechner-Display zeigt in L2, dass in 98,5% aller Fälle ein Versuchsergebnis von 0 bis 70 Geheilten zu erwarten ist, wenn das neue Medikament nicht besser ist als das alte Medikament.
Aus L3 kann man ablesen, dass 70 bis 100 Geheilte in 99,4% aller Fälle zu erwarten sind, wenn das neue Medikament wirksamer als das alte Medikament ist. (Da 70=69+1, muss man wegen (k+1) bei 69 nachsehen!).
Man sieht: Bei 70 Geheilten ist die richtige Entscheidung zwischen den Medikamenten sehr unsicher. Man könnte sich eventuell besser entscheiden, wenn mna den Test mit wesentlich mehr Personen durchführt.
Der Hersteller des neuen Medikaments könnte nun ja auch auf die Idee kommen, nach dem Test seine Aussage zu verändern, indem er behauptet, das neue Medikament würde in 70% aller Fälle heilen. Ein solches Vorgehen ist jedoch nicht statthaft! Wenn man das Ergebnis eines Versuchs kennt und dann eine "angepasste" Behauptung aufstellt, gilt das in jedem Fall als Betrug! Es wäre ja möglich, immer wieder neue Messreihen durchzuführen, bis das Ergebnis "passt". Damit könnte man sich dann auf die Ergebnisse solcher Versuche überhaupt nicht verlassen.
Test wie der oben beschriebene müssen im Doppelblindversuch durchgeführt werden (weder der Arzt noch der Patient wissen, ob das verabreichte Medikament das alte oder das neue ist).
Nähere Informationen über Testbedingungen kann man hier einsehen.

Einige wichtige Begriffe zu Hypothesentests

Hypothese
Eine Hypothese ist eine Behauptung, die getestet werden soll, z.B. "Das Medikament heilt in mindestens 80% aller Fälle". Dann gilt p₁≥0,8.
Gegenhypothese
Die Gegenhypothese sagt das Gegenteil der Hypothese voraus, hier also "Das Medikament heilt in weniger als 80% aller Fälle". Dann gilt p₂<0,8.
Annahmebereich
Vor Versuchsbeginn legt man fest, wann das Versuchsergebnis die Hypothese bestätigen soll. Dazu geht man davon aus, p₁≥0,8 würde gelten und ermittelt den Bereich, in dem zu einem bestimmten Prozentsatz (z. B. 90% oder 95% oder 99%) das Versuchsergebnis liegen wird. Bei n Versuchspersonen wäre das hier ein Bereich {k, k+1, k+2, ... , n-1, n}.
Ablehnungsbereich
Alle Ergebnisse, die nicht im Annahmebereich liegen, liegen im Ablehnungsbereich. Das wäre hier der Bereich {0, 1, 2, ... , k-2, k-1}.
Fehler 1. Art
Liegt das Versuchsergebnis im Annahmebereich und gilt tatsächlich p₁≥0,8, so ist alles in Ordnung.
Liegt das Versuchsergebnis dagegen im Ablehnungsbereich, obwohl p₁≥0,8 gilt, also obwohl die Hypothese richtig ist, so macht man einen Fehler, den man Fehler 1. Art nennt.
Fehler 2. Art
Liegt das Versuchsergebnis im Ablehnungsbereich und gilt tatsächlich p₂<0,8, so ist alles in Ordnung.
Liegt das Versuchsergebnis dagegen im Annahmebereich, obwohl p₂<0,8 gilt, also obwohl die Hypothese falsch ist, so macht man einen Fehler, den man Fehler 2. Art nennt.
Zusammenfassung der möglichen Fälle beim Hypothesentest:

2008-05-16

Zur Übung hier noch einmal die im Unterricht besprochene Aufgabe:
Eine Münze soll auf Echtheit getestet werden. Man wirft 10-mal und registriert, wie oft Wappen kommt.

Hypothese: Die Münze ist "echt", d.h. Wappen kommt mit der Wahrscheinlichkeit p₁(Wappen) = 0,5.
Die Hypothese soll verworfen werden, wenn in mehr als 55% der Würfe Wappen auftritt.
Für den Fehler 1. Art folgt daraus α=0,45.
alternative Hypothese: Die Münze ist nicht echt, sondern die Wahrscheinlichkeit für Wappen beträgt p₂(Wappen) = 0,6.
Berechnung des Annahmebereichs für p₁=0,5 bei n=10 und α=0,45 (mit seq(X,X,0,10) in L1 und binomcdf(10,0.5) in L2)

Annahmebereich: A(p₁)={0,1,2,3,4}. Die 5 gehört nicht mehr in den Bereich, da dann schon 62,3% aller Würfe zum Annahmebereich gehören würden.
Der Ablehnungsbereich ist entsprechend B(p₁)={5,6,7,8,9,10}.
Da mit dem Annahmebereich nur 37,7% der Würfe abgedeckt sind, erhöht sich der Wert für α auf α = 1-0,377 = 0,623.
Einen Fehler 2.Art tritt auf, wenn das Ergebnis im Annahmebereich für p₁ liegt, aber in Wirklichkeit p₂ gilt.
Berechnungen der Wahrscheinlichkeit für p₂=0,6 und n=10 (mit seq(X,X,0,10) in L1 und binomcdf(10,0.6) in L2)

Die Wahrscheinlichkeit, dass für p₂ das Ergebnis im Bereich {0,1,2,3,4} liegt, beträgt 16,6%.
Der Fehler 2.Art beträgt also β=0,166.

2008-05-19

Weitere Übung zu den Themen Annahmebereich, Ablehnungsbereich, Fehler 1. und 2. Art
Ein Würfel ist echt (p₁=1/6 für die Augenzahl 6) oder gezinkt (p₂=0,1 für die Augenzahl 6).
Es wird n=100 mal gewürfelt. Bezüglich der Wahrscheinlichkeit p₂=0,1 sollen für bestimmte α- und β-Werte die Fehler 1. und 2. Art ermittelt werden.
Vorbereitung:

In Liste 1 werden mit SEQ(X,X,0,100) die Zahlen k von 0 bis 100 erzeugt.
In Liste 2 werden mit BINOMCDF(100,1/6) die summierten Wahrscheinlichkeiten für p=1/6 erzeugt.
In Liste 3 werden mit BINOMCDF(100,0.1) die summierten Wahrscheinlichkeiten für p=0,1 erzeugt.

Auswertung:

α=10%
Aus L1 und L3 (Grenze bei 90%) liest man den Annahmebereich {0,1,2,...,12,13} und den Ablehnungsbereich {14,15,...,99,100} für p₂=0,1 ab.
Fehler 1. Art ist α=10%
Den Fehler 2. Art erhält man für den Fall, dass man für p₁=1/6 ein Ergebnis aus dem Annahmebereich für p₂=0,1 erhält:
In L1 liest man neben 13 ab: 0.20001, also gilt β=20%
β=60%
Aus L1 und L2 (Grenze bei 60%) liest man den Annahmebereich {0,1,2,...,16,17} und den Ablehnungsbereich {18,19,...,99,100} für p₂=0,1 ab.
Fehler 2. Art ist β=60%.
Den Fehler 1. Art erhält man für den Fall, dass man für p₂=0,1 ein Ergebnis aus dem Ablehnungsbereich für p₂=0,1 erhält:
In L2 liest man neben 17 ab: 0.98999, also gilt α=1%.

2008-05-23

Analog zur letzten Stunde eine weitere Übung zu den Themen Annahmebereich, Ablehnungsbereich, Fehler 1. und 2. Art.
Hier geht es aber darum, dass die Wahrscheinlichkeit für die Hypothese größer ist als die Wahrscheinlichkeit für die Gegenthese.
Es werden also nicht die Ergebnisse von 0 bis ... im Annahmebereich sein, sondern die Ergebnisse von ... bis n.
Der Versuch wird n=84 mal durchgeführt.
Die Wahrscheinlichkeit für die Hypothese beträgt p₁=0,63, die für die Gegenthese p₂=0,41.
Für α=12,4% soll der Annahmebereich für die Hypothese und die Wahrscheinlichkeit β für den Fehler 2. Art berechnet werden.
Vorbereitung:

In Liste 1 werden mit SEQ(X,X,0,84) die Zahlen k von 0 bis 84 erzeugt.
In Liste 2 werden mit BINOMCDF(84,0.63) die summierten Wahrscheinlichkeiten für p₁=0,63 erzeugt.
In Liste 3 werden mit BINOMCDF(84,0.41) die summierten Wahrscheinlichkeiten für p₂=0,41 erzeugt.

Auswertung:

α=12,4% . Da p1>p2, befindet sich der Ablehnungsbereich für die Hypothese bei kleinen Werten und der Annahmebereich bei großen Werten.
Aus L1 und L2 (Grenze bei 12,4%) liest man den Annahmebereich {48,49,...,83,84} und den Ablehnungsbereich {0,1,2,...,46,47} für p₁=0,63 ab.
Fehler 1. Art ist α=12,4%
Den Fehler 2. Art erhält man für den Fall, dass man für p₂=0,41 ein Ergebnis aus dem Annahmebereich für p₁=0,63 erhält:
In L3 liest man neben 47(!) ab: 0.99795. Man muss nun die Gegenwahrscheinlichkeit ausrechnen: Es gilt β=1-0,99795=0,00205=0,205%.

Neues Thema: Erwartungswert,Varianz und Standardabweichung
Zwei Maschinen sollen getestet werden, die 3 Bauteile in eine Tüte füllen sollen.
Bei 100 Versuchen stellt man fest, dass manche Tüten falsch gefüllt wurden, mit 1, 2, 4 oder 5 Teilen.

In Spalte A steht, wie viel Teile in die Tüte gepackt wurden, in B steht, wie häufig das Maschine M1 und in C, wie häufig das M2 gemacht hat.
In D und E kann man ablesen, wie groß die Abweichung bei einer bestimmten Bestückungszahl war.
Beispiel: In der Tüte befindet sich nur 1 Teil. Das geschah bei M2 4-mal und folglich sind 8 Teile zu wenig verpackt worden. In E2 steht also -8.
Summiert man alle Abweichungen für eine Maschine auf, so ergibt sich 0 (Zellen D7 und E7).
Man erhält so also keine Information über die Güte der einzelnen Maschinen.
Summiert man dagegen die Beträge der Abweichungen, so sieht man, dass M1 mit 12 Abweichungen besser ist als M2 mit 28 Abweichungen.
Damit größere Abweichungen von der Sollzahl mehr gewichtet werden, quadriert man die Abweichungen und erhält die Zellen H7 und I7. Damit wird der Unterschied zwischen M1 und M2 noch deutlicher.
Ein Maß für die Abweichung ist die Varianz V.
Dazu berechnet man erst den Erwartungswert μ (My) für die Befüllung einer Tüte aus k (Stückzahl in der Tüte) und p (Wahrscheinlichkeit für diese Stückzahl bei der entsprechenden Maschine):

Man sieht, dass die Erwartungswerte (D7 und E7) übereinstimmen.
Nun subtrahiert man von den k-Werte die Erwartungswerte (Spalte F) und quadriert diese (Spalte G).
Das Ergebnis multipliziert man mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten (Spalten H und I).
Die Summen der Werte.die sich dabei ergeben, nennt man Varianz.
Die Wurzel aus der Varianz heißt Standardabweichung σ (Sigma). Hier ergeben sich die Werte σ(M1)=0,4 und σ(M2)=0,66.

2008-05-26

Nach der Besprechung der Hausaufgabe haben wir ein weiteres Beispiel für die Berechnung der Varianz begonnen. Hier (wegen der Übersichtlichkeit mit OOo-Calc) die Berechnung:
Aufgabe: 2 unterscheidbare Würfel (z.B. 1 schwarzer Würfel und 1 weißer Würfel) werden geworfen und die Aufgensumme wird berechnt.
Berechnen Sie den Erwartungswert μ, die Varianz V und die Standardabweichung σ.
Als Erwartungswert ergibt sich μ = 7. Das ist verständlich, weil die 7 die meisten Würfelkombinationen erlaubt (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1) und sonst die Anzahl der Würfelkombinationen symmetrisch zur 7 ist.
Als Varianz ergibt sich V = 35/6 = 5 5/6 ≈ 5,8. Dieser Wert, der "Erwartungswert der quadratischen Abweichungen", hat keine anschauliche Bedeutung.
Die Standardabweichung ergibt sich als Wurzel aus der Varianz zu σ ≈ 2,4. Was das bedeutet, dass ein Ergebnis innerhalb einer Umgebung um μ, die durch die Standardabweichung gegeben ist, liegt, besprechen wir später. Hier ergibt sich das Intervall [7-2,4;7+2,4] = [4,6;9,4]

2008-05-27

Wir haben heute geübt, wie man mit dem TI-84 den Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung berechnen kann.
Eine Anleitung dazu finden Sie unter TI-84-Funktionen ganz hinten auf Seite 7.
Für die Wahrscheinlichkeiten müssen Sie (wegen der Binomialverteilung) mit "binompdf" arbeiten.

2008-05-30

Aus Beispielrechnungen haben mehrere von Ihnen die Formel für die Varianz hergeleitet. Gut!
Zusammenfassung:
Bei einer Binomialverteilung mit dem Stichprobenumfang n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p gilt:

Erwartungswert E(X) oder μ: μ = n · p
Varianz V(X): V = n · p · q (mit q = 1 - p)
Standardabweichung σ:
Bei genügend hohem Stichprobenumfang und nicht zu kleinem oder zu großem p gilt:

in einer 1σ-Umgebung um den Erwartungswert μ liegen ca. 2/3 aller Ergebnisse
in einer 2σ-Umgebung um den Erwartungswert μ liegen ca. 95% aller Ergebnisse
in einer 3σ-Umgebung um den Erwartungswert μ liegen ca. 99% aller Ergebnisse

In der Klausur werden Themen zur Kombinatorik, 4-Felder-Tafel, Binomialverteilung, Hypothesentest und Erwartungswert/Varianz/Standardabweichung vorkommen.
Bei der Klausur benötigen Sie die Formelsammlung und den TI-84 (mit ausreichend frischen Batterien!).

2008-06-02

Wiederholung zur Klausur
In der nächsten Stunde bitte die Formelsammlungen mitbringen.

2008-06-03

Wiederholung zur Klausur

2008-06-06

Klausur 3

2008-06-09

Die Binomialverteilung wird häufig als Modell eingesetzt.
Wir haben gesehen, dass es umständlich ist, immer die Listen zur Binomialverteilung zu erstellen und dann die entsprechenden Werte abzulesen.
Man hat sich deshalb überlegt, die Glockenkurve, die sich ergibt, wenn man die Binomialverteilung graphisch darstellt, durch eine Funktion zu beschreiben.
Wir haben diesen Findungsprozess in einigen Teilen nachvollzogen und eine Näherung für eine Binomialverteilung gefunden.
Allgemein verwendet man die Funktion
Ein Geogebra-Arbeitsblatt zur Normalverteilung zeigt den Graph in Abhängigkeit von n und p und gibt die Lage der 1σ-, 2σ- und 3σ-Umgebungen um den Erwartungswert an.

2008-06-10

Mit Hilfe des Taschenrechners haben wir gesehen, dass die 1σ-Umgebung um den Erwartungswert herum für alle n denselben Wert hat, etwa 0,68. Es liegen also in der 1σ-Umgebung etwas mehr als 2/3 aller Ergebnisse, unabhängig von den Werten für n und p.
Für die 2σ- und 3σ-Umgebungen gelten etwa die Werte 95% und 99%, d. h. bei einer 2σ-Umgebung liegen nur etwa 5% aller Ergebnisse außerhalb der Umgebung und bei einer 3σ-Umgebung liegen nur etwa 1% der Ergebnisse außerhalb.

2008-06-13

Wir haben die Normalverteilung mit ihrem glockenförmigen Graph eingeführt, weil damit die Binomialverteilung sehr gut angenähert werden kann und weil mit einer einzigen Funktionsgleichung wesentlich einfacher gerechnet werden kann als mit all den einzelnen Wahrscheinlichkeiten bei der Binomialverteilung.
Außerdem haben wir gesehen, dass unabhängig von n und p bei der Normalverteilung die Standardabweichung mit genau festgelegten Häufigkeiten verknüpft ist (siehe letzte Stunde 2008-06-10).
Heute haben wir nun ein Beispiel besprochen, das nicht mit Hilfe der Binomialverteilung zu behandeln ist, wohl aber mit der Normalverteilung:

Ausfall einer Klassenarbeit

In L1 stehen die Noten und in L2 die Anzahl der Schüler(innen) mit der entsprechenden Note. Rechts das zugehörige Histogramm.
Berechnung des Erwartungswertes:

In L3 wird die relative Häufigkeit für das Auftreten der betreffenden Note berechnet (Anzahl der Arbeiten geteilt durch 30).
L4 enthält die Formel L1*L3 (also k·p(X=k)). Die einzelnen Werte aus L4 ergeben summiert den Erwartungswert.

In L5 wird nun die Varianz ermittelt mit der Formel (k-μ)²·p(X=k) oder (L1-sum(L4))^2*L3 auf dem Taschenrechner.
Die Summe aller Werte in L5 ergibt 1,51 für die Varianz V und 1,23 für die Standardabweichung σ.

Mit den gefundenen Werten für μ und σ wird nun die Normalverteilung berechnet:

Die Graphen des Klassenarbeitsausfalls (Listen L1 und L3, hier nicht als Histogramm sondern als kleine Quadrate) und der Normalverteilung werden überlagert:

Man sieht, dass die Werte sehr genau zueinander passen.
Die Bedingungen für eine Binomialverteilung (nur 2 Ergebnisse, Ziehen mit Zurücklegen) sind nicht gegeben, der Ausfall der Klassenarbeit lässt sich aber gut mit der Normalverteilung beschreiben.

2008-06-16

Besprechung der Anwendungsaufgabe Seite 526 Aufgabe 2 im Buch (Größe von 4-jährigen Kindern)
Wir haben gesehen, wie man die Standardabweichung σ bestimmen kann, wenn man den Erwartungswert μ kennt und weiß, wie viel Prozent der Kinder es zwischen 2 angegebenen Größen k₁und k₂ gibt: normalcdf(k1,k2,μ,σ)
Für σ schreibt man X und lässt sich zur Funktion die Wertetabelle anzeigen (mit TABLE, Einstellungen unter TBLSET). Dort sucht man, für welches X der Prozentwert angezeigt wird.
Alternativ kann man auch 2 Graphen zeichen lassen: Y1=normalcdf(k1,k2,μ,σ) und Y2=p, wenn p der gegebene Prozentwert ist. Dann benutzt man im CALC-Menü den Befehl INTERSECT, wählt beide Graphen aus und erhält als x-Loordinate des Schnittpunktes den gesuchten Wert.
Hausaufgabe dazu: Seite 527 Aufgaben 4a und 4b, jeweils (1).

2008-06-17

Besprechung der Hausaufgabe.
Boxplot

2008-06-20

Beurteilende Statistik
Wir haben die Begriffe Punktschätzung, Intervallschätzung und Sicherheitswahrscheinlichkeit kennen gelernt.
Für σ>3 kann man die Umgebung des Erwartungswertes, in dem ein bestimmter prozentualer Anteil liegt, nach folgender Regel angeben:

Wahrscheinlichkeit 90% : [μ-1,64·σ , μ+1,64·σ]
Wahrscheinlichkeit 95% : [μ-1,96·σ , μ+1,96·σ]
Wahrscheinlichkeit 99% : [μ-2,58·σ , μ+2,58·σ]

Nähere Einzelheiten und Beispielaufgaben im Buch auf den Seiten 530ff und unter dem oben angegeben Link.

2008-06-23

Besprechung und Rückgabe der Klausur 3

2008-06-24

Einführung in das Thema Regression
5 Werte (54, 42, 47, 59, 48), die eigentlich gleich sein sollten, aus zufallsbedingten Gründen aber leicht unterschiedlich sind, sollen untersucht werden.
Um herauszufinden, welches der "richtige" Wert ist, wird das arithmetische Mittel gebildet: (54+42+47+59+48)/5=50.
Ist 50 wirklich der "richtige" Wert? Warum soll gerade das arithmetische Mittel diesen Wert liefern? Ließen sich noch andere überzeugende Verfahren ausdenken, um den "richtigen" Wert zu finden?
Überlegung: Wenn man die Unterschiede von jedem Wert zu 50 berechnet, sollten alle Unterschiede zusammengefasst den Wert 0 haben:

Das Ergebnis ist tatsächlich 0. Das Verfahren "arithmetisches Mittel" scheint also gut zu sein.
Es könnte sich aber auch bei anderen Abweichungen die Summe 0 ergeben.
Vielleicht sollte man lieber die Beträge der Abweichungen berechnen und dann die Summe bilden. Derjenige Wert, für den diese Summe den kleinsten Wert hat, soll dann der "richtige" Wert sein:

Man sieht, dass hier eher 48 der richtige Wert ist, weil dafür die Summe der positiven Abstände minimal wird.
Um sich nicht mit den ungeliebten Betragstrichen herumschlagen zu müssen und um (was wesentlicher ist) stark abweichende Werte mehr zu gewichten, wird meistens das Quadrat der Abweichungen von einem zentralen Wert berechnet (vergleiche auch Varianz):

Wie man sieht, ist hier wieder 50 der "richtige" Wert. Das Verfahren der "Summe der kleinsten Quadrate" ist hier also gleichbedeutend mit dem Verfahren "arithmetisches Mittel".

2008-06-26

An Hand einer Messung (Schwingungsdauer eines Pendels mit unterschiedlicher Pendellänge) haben wir die Messwerte in einem Diagramm (waagrecht Länge des Pendels, senkrecht Schwingungsdauer) abgetragen.
Ähnlich dem Vorgehen in der letzten Stunde haben wir dann eine Ausgleichsgerade durch die Punkte gelegt und versucht, in einer Rechnung die Abweichungen zu minimieren.
Die Überlegungen können Sie gut im Buch auf den Seiten 214-218 nachlesen (SII Elemente der Mathematik, Gesamtband mit neuen Technologien, Schroedel).
Mit dem TI84 kann man das Finden der Ausgleichsgerade entscheidend vereinfachen: Der Befehl LineReg(ax+b) L1,L2,Y1 gibt die Werte a und b für die Geradengleichung y=ax+b aus und stellt gleichzeitig unter Y1 die Funktionsgleichung zum Zeichnen zur Verfügung.
Obwohl die Punkte durch die Ausgleichsgerade gut beschrieben wurden, liegt dem Vorgang ein anderer Zusammenhang zugrunde: Die Schwingungsdauer ist proportional zur Wurzel aus der Pendellänge.