Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2013/2014 - Mathematik 10d

Wachstumsprozesse

• Wiederholung und Vertiefung wichtiger mathematischer Begriffe und Definitionen.
  Merke: Bei "sin x" steht zwischen sin und x kein Multiplikationszeichen! sin ist ein Symbol, keine Variable!
  Genau so ist es bei f(x) oder a(n).
• Potenzielles Wachstum
  
  Auf dem Skulpturenpfad von Diepholz zum Dümmer kommt man bei den Fibonacci-Kuben vorbei.
  (Informationen zu Fibonacci und der Fibonacci-Folge)
  Die Fibonacci-(Zahlen-)Folge ergibt sich daraus, dass jede neue Zahl der Folge aus der Summe der beiden vorangegangenen Zahlen gebildet wird:
  Man beginnt mit 0 und 1. Dann ergeben sich die nächsten Zahlen der Folge durch 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ...
  Ist f(n) das n-te Element der Fibonacci-Folge, so wird die Folge rekursiv definiert durch f(0)=0; f(1)=1; f(n)=f(n-2)+f(n-1).
  Die explizite Darstellung lautet .
• Gefragt war nach Formeln, um die Gesamtlänge L(x) aller Kanten, die Gesamt-Oberfläche O(x) und das Volumen V(x) eines Kubus zu berechnen und vor allem auch des Würfels, der als nächster in der Reihe gebaut wird und noch nicht ausgestellt ist (x ist die Seitenlänge eines Würfels).
  Lösung: L(x)=12·x ; O(x)=6·x² ; V(x)=x³
• Die beiden kleinsten Würfel haben jeweils die Seitenlänge 0,2m.
  Damit haben die schon vorhandenen Würfel die Seitenlängen 0,2m ; 0,2m ; 0,4m ; 0,6m ; 1,0m ; 1,6m ; 2,6m.
  Der nächste zu bauende Würfel besitzt also
  die Seitenlänge 4,2m und damit
  die Gesamt-Kantenlänge L(4,2m)=12·4,2m=50,4m,
  die Gesamt-Oberfläche O(4,2m)=6·(4,2m)²=105,84m² und
  das Volumen V(4,2m)=(4,2m)³=74,088m³.
• Der größte Zahlenwert tritt hier bei der Oberfläche auf.
  Gefragt war nun, für welche Würfel L, für welche O und für welche V den größten Zahlenwert haben.
  Dazu sollten die Graphen der Funktionen gezeichnet werden.
           

2013-11-06

• Wiederholung zum Thema "Potenzfunktionen"
• Zur Klassifikation der Potenzfunktionen haben wir uns die Graphen der Funktionen f(x)=xⁿ mit n∈R in GeoGebra angesehen:
      
  Download der GeoGebra-Datei.
• Folgende Eigenschaften haben wir gefunden:
• Die Graphen aller Funktionen mit positivem geraden n sehen U-förmig aus (Bild links) und laufen durch den Punkt C(-1/1).
• Die Graphen aller Funktionen mit positivem ungeraden n sehen so aus wie die Kurve im Bild rechts und laufen durch den Punkt D(-1/-1).
• Die Graphen aller Funktionen laufen durch die Punkte A(0/0) und B(1/1).
• Sonderfälle:
• Bei n=1 ergibt sich eine Ursprungsgerade der Steigung 1.
• Bei n=0 ergibt sich eine Parallele zur x-Achse beim y-Wert 1. DIe Gerade hat eine Lücke bei (0/1), da ein Wert für 0⁰ nicht definiert ist.
• Für negative ganze n ergeben sich Hyperbeln, die durch B und C/D verlaufen.
• Für nicht-ganzzahlige n finden wir Graphen von Wurzelfunktionen.
  Da die Argumente von Wurzeln nicht negativ sein dürfen, ist der Graph nur für positive x definiert.
• Die Graphen aller Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl scheinen achsensymmetrisch zur y-Achse zu sein.
  Um das zu beweisen, haben wir uns überlegt, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit eine Kurve diese Eigenschaft hat.
  
  Download des GeoGebra-Arbeitsblattes
• Herleitung der Formel zur Überprüfung auf Punktsymmetrie zum Punkt (0/0):
  
  Download des GeoGebra-Arbeitsblattes
• Ergebnis der Herleitungen:
  

2013-11-12

• Exponentialfunktion f(x)=2^x
  Der Graph dieser Funktion verläuft von links kommend sehr nah an der x-Achse (die x-Achse ist eine Asymptote), um dann im Bereich der y-Achse immer weiter nach oben anzusteigen.
  Experimentell haben wir mit dem Taschenrechner herausgefunden, wie wir die Skalierung der y-Achse wählen müssen, damit wir den Funktionswert bei x=10 abgebildet bekommen:
          
      
• Angenommen, man würde einen Papierstreifen um die ganze Erde legen, darauf ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm zeichnen und dann den Graph der Funktion f(x)=2^x abtragen.
  Wo würde man dann nach der Umrundung der Erde wieder auf die x-Achse treffen?
  Lösung: Die Erde hat den Umfang 40 000 km = 40 000 000 m = 4 000 000 000 cm.
  Man muss also die Gleichung 2^x=4 000 000 000 lösen. Da wir noch nicht wissen, wie man diese Gleichung nach x auflösen kann, haben wir das Ergebnis durch Probieren gefunden:
   
  Der Papierstreifen müsste also nur um 2 cm breiter sein als eine DIN A-4-Seite im Querformat!
  Noch überraschender ist, dass die nächste Erdumrundung schon nach einem einzigen weiteren cm auf die x-Achse trifft.
  Der Graph verläuft, nachdem er erst einmal den Weg nach oben angetreten hat, fast senkrecht, aber eben nur fast: Der Bereich ab etwa x=35 wäre bis ins Unendliche ganz schwarz vor lauter Graph, weil beliebig große x-Werte in die Gleichung eingesetzt werden können!
• Beispiel zu Exponentialfunktionen
  Für einen 16 Tage dauernden Aushilfsjob werden 3 Entlohnungsmodelle angeboten:
  1. 15 € am 1. Tag, dann jeden Tag 30 €,
  2. jeden Tag 25 €,
  3. 4 Cent am 1. Tag, dann jeden Tag so viel, dass man insgesamt doppelt so viel wie am Tag vorher hat.
  a) Welches Angebot ist am günstigsten?
  b) Eine Formel für jedes Angebot erstellen.
• a) lässt sich durch Probieren mit dem Taschenrechner gut ermitteln:
  Als Verdienst bei 1. ergibt sich 465 €, als Verdienst bei 2. ergibt sich 400 € und als Verdienst bei 3. ergibt sich 1310 €.
  b) Als Formeln ergeben sich
  a(n)=30·(n-1)+15 für den Fall1.,
  b(n)=25·n für den Fall 2. und
  c(n)=0,04·2^n-1 für den Fall 3.
  Graphen der Funktionsgleichungen, aus denen man ersehen kann, wie sich die Einnahmen über die Tage entwickeln:
       
  Mit Gleichungen vom Typ c(n) werden wir uns demnächst mehr beschäftigen.

2013-11-13

• Exponentielles Wachstum kann durch Funktionen der Art f(x)=a·b^x beschrieben werden, wobei b>1 sein muss.
  Beispiel für f(x)=1000·1,03^x
          
• Exponentielle Abnahme (oder Expoentieller Zerfall) kann durch Funktionen der Art f(x)=a·b^x beschrieben werden, wobei 0<b<1 sein muss.
  Beispiel für f(x)=30·0,78^x
         
• Für b=1 ergibt sich eine Parallele zur x-Achse im Abstand a:  f(x)=a·1^x=a·1=a
• Für b=0 ergibt sich die x-Achse, aber ohne den Punkt (0/0), weil 0⁰ nicht definiert ist: f(x)=a·0^x=a·0=0

2013-11-19

• Exponentielle Abnahme
  Ist von einer bestimmten Substanz von 10mg nach 1 Zeiteinheit nur noch 75% vorhanden, so kann die Gleichung f(t)=10mg·0,75^t den Zerfallsvorgang beschreiben.
  Nach 2 Zeiteinheiten sind dann noch f(2)=10mg·0,75²=5,625mg übrig.
  Rechnet man in der Einheit "2 Zeiteinheiten", so ändert sich die Basis der Potenz in der Funktionsgleichung: g(t)=10mg·0,5625^t.
  1 t steht jetzt für 2 Zeiteinheiten. 
• Regression
  Folgende Wertetabelle ist gegeben: .
  Es ist eine Funktionsgleichung gesucht, die die Abhängigkeit zwischen x und y gut beschreibt.
  Dazu werden zunächst die Werte graphisch dargestellt:
             
  Da nicht eindeutig der Funktionstyp auszumachen ist, soll überprüft werden, ob eine lineare Funktion, eine Exponentialfunktion oder eine Potenzfunktion die Lage der Punkte am besten beschreibt.
• Mit STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b) wird vom Rechner eine Ausgleichsgerade durch die Punkte gelegt.
  Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen des GTR "LinReg(ax+b) L1,L2,Y1" eingegeben werden.
  Hier muss man natürlich die Listen angeben, in die man die Werte eingegeben hat.
  L1 und L2 erhält man mit der 2nd-Taste, gefolget von der 1- bzw. 2-Taste (es steht blau oberhalb der Taste L1 bzw. L2).
  Y1 erhält man mit der ALPHA-Taste, gefolgt von der F4-Taste. Die gewünschte Funktion kann dann mit Cursor und abschließendem ENTER ausgewählt werden.
  Das Komma erhält man über die Komma-Taste (oberhalb der 7-Taste).
  Nach Durchführen der Regression (←Anpassung) Zeigt der Rechner die Werte für a und b an.
  Zusätzlich erhält man über den Wert für r eine Information, wie gut die Anpassung ausfällt.
  Ist r=1 oder r=-1, so ist die Anpassung perfekt. Ist r=0, so ist die Anpassung vollkommen fehlgeschlagen.
  Je näher der Wert an 1 oder -1 liegt, desto besser ist die Anpassung.
  Zeigt der Rechner den Wert für r nicht an, kann das durch MODE > STAT DIAGNOSTICS > ON angeschaltet werden.
             
• Mit STAT > CALC > 4:ExpReg wird vom Rechner der Ausgleichsgraph einer Exponentialfunktion durch die Punkte gelegt.
  Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen des GTR "ExpReg L1,L2,Y1" eingegeben werden.
  Weitere Informationen wie bei LinReg.
             
• Mit STAT > CALC > 4:PowReg wird vom Rechner der Ausgleichsgraph einer Exponentialfunktion durch die Punkte gelegt.
  Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen des GTR "PowReg L1,L2,Y1" eingegeben werden.
  Weitere Informationen wie bei LinReg.
            
• Auswertung
  Der r-Wert bei LinReg ist zwar vielversprechend (0,993), aber man sieht am Graph, dass die Punkte auf einer Linkskurve liegen.
  Bei PwrReg ist der Graph anders gekrümmt als eine gedachte Kurve, die durch die Punkte gelegt wird.
  Also kommen eine lineare funktion und eine Potenzfunktion für die Annäherung nicht in Frage.
  Die Exponentialkurve beschreibt den Verlauf der Punkte sehr gut. Man sollte also als Näherungskurve eine Exponentialfunktion zu Grunde legen.

2013-11-20

• Aufgabe zur Regression mit dem Taschenrechner
  Die Bestzeiten bei den Olympiaden von 1960 bis 2004 im 100m-Lauf der Frauen sollten daraufhin untersucht werden, ob eine lineare Funktion, eine Potenzfunktion oder eine Exponentialfunktion die beste Annäherung bringt.
  Dazu werden zunächst die Werte dargestellt, waagrecht die Zeit in Jahren (beginnend bei 1950 mit 0) und senkrecht die Zeit:
         
  Nun werden die Regressionen durchgeführt:
  Lineare Funktion :    
  
  Potenzfunktion:    
  
  Exponentialfunktion:    
  
  Alle 3 Regressionen liefern zwar (siehe Wert für r) keine gute Annäherung, die zugehörigen Graphen können aber durchaus alle im Bereich der Messwerte als Näherungskurven eingesetzt werden.
  Welche der Funktionen ist nun die "beste"?
  Bei Extrapolation zu späteren Zeiten hin (waagrechte Achse) werden bei der linearen Funktion immer kleinere Werte angenommen. Schließlich würde sogar die waagrechte Achse geschnitten, d. h. es würde dann "negative Zeiten" für den 100m-Lauf geben. Das geht nicht.
  Bei der Potenzfunktion würde sich für 1950 (auf der senkrechten Achse) ein unendlich hoher Wert für die Zeit ergeben. Das geht nicht.
  Bei der Exponentialfunktion treten diese Ungereimtheiten nicht auf. Deshalb sollte diese Funktion als Näherungsfunktion gewählt werden.
  Hier noch einmal alle 3 Kurven, betrachtet für einen viel umfangreicheren Zeitbereich:
     
• Logarithmen
  Aufgabe: Ein Guthaben von 50 € wird mit 3% jährlich verzinst. Wie lange muss man warten, bis sich das Kapital verdoppelt hat?
  Ihr habt durch Probieren mit Hilfe des Taschenrechners das Ergebnis schnell gefunden:
  In die Gleichung y=50·1,03^x werden für x Werte eingesetzt, die so gewählt werden, dass das Ergebnis für y sich immer besser an 100 annähert.
  Kann man aber nicht einfach die Gleichung 100=50·1,03^x oder 2=1,03^x nach x auflösen?
  Mit bekannten Hilfsmitteln geht das nicht.
  Deshalb schreibt man die Lösung für x einfach als Aufgabe mit folgender Schreibweise: x=log_1,03 2 und meint damit, dass die Zahl x gesucht wird, mit der man 1,03 potenzieren muss, um 2 zu erhalten.
  Diese Festlegung sieht zunächst einmal eigenartig aus, ist aber gar nicht so verschieden von der Wurzelschreibweise: x=∛8 bedeutet, dass man die Zahl x suchen soll, die 3-mal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt.
  Und auch Brüche sind eigentlich Rechenaufgaben: x=5/7 bedeutet, dass eine Zahl gesucht ist, die man erhält, wenn man 5 durch 7 dividiert.
  Die Zahlen (Aufgaben) mit dem Zeichen log nennt man Logarithmen.
  Das, was links und rechts des Doppelpfeils steht, ist genau dasselbe, nur in anderer Schreibweise:
  

2013-11-26

• Besprechung der Hausaufgabe
• Es gibt folgende abkürzende Schreibweisen beim Logarithmus:
• lg x = log₁₀ x = log x (ganz rechts die Schreibweise auf dem benutzten Taschenrechner)
• ln x = log_e x  mit e=2,71828182846... (Eulersche Zahl hier kann man auch nachlesen, wozu man Logarithmen braucht)
• lb x = ld x = log₂ x
• Manche Logarithmen kann man auch ohne Taschenrechner berechnen (bzw. in anderer Form darstellen)
  Beispiele:
• Das Logarithmieren ist die Umkehrung des Potenzierens: a^x=b ↔ x=log_ab
  Daraus folgt z. B.
• Steht das x in der Basis, ist das Wurzelziehen die Umkehrung des Potenzierens: .
• Gleichungen mit Logarithmus:

2013-11-27

• Rechengesetze für Logarithmen
  
• Anwendung der Formeln beim Rechenstab
  Siehe dazu Rechnen mit dem Rechenstab

2013-12-03

• Übungen zu den Logarithmengesetzen - Lösen von Gleichungen
•  
•  
• Falls mal das Lösen einer Gleichung zu schwierig sein sollte, kann man auch eine Näherungslösung mit dem Taschenrechner berechnen lassen: MATH > SOLVER
  Informationen dazu auf der Seite TI84-Funktionen (dort auf Seite 3).

2013-12-04

• Weitere Übungen zu Gleichungen und Formeln in Verbindung zum Logarithmus
  Beispielaufgabe:
• Umformungen mit Rechenregeln zur Potenzrechnung:
  
• Unformungen mit Rechenregeln zur Logarithmusrechnung:
  
• Graph der Logarithmusfunktion:
  Man erhält den Graph durch Spiegelung der entsprechenden Exponentialfunktion an der 1. Winkelhalbierenden (Vertauschung von x und y):
  
   
  Lage der Logarithmusfunktionen mit verschiedener Basis:
   

2013-12-10 und 2013-12-11 und 2013-12-17

• Wiederholung zur Klassenarbeit

2013-12-18

• Klassenarbeit 2  [ Aufgaben | Lösungen ]

2014-01-07

• Rückgabe der Klassenarbeit 2  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Einführung in das Thema "Folgen"
  Folgen sind Funktionen, bei denen die unabhängige Variable nur ganze Zahlen annimmt (meist 0, 1, 2, ... oder auch 1, 2, 3 ,4, ...).
• Neben der expliziten Darstellung von Folgen ist oft auch die rekursive Darstellung gebräuchlich.
  Beispiel: Folge der geraden positiven Zahlen 2, 4, 6, 8, ...
• explizite Darstellung:
  u(n)=2·n
  Durch Einsetzen der Nummer n des gesuchten Folgengliedes kann der Folgenwert unmittelbar berechnet werden.
  Beispiel: u(7)=2·7=14
• rekursive Darstellung:
  u(1)=2
  u(n)=u(n-1)+2
  Als Anker (oder Fundament) wird der Wert des Folgengliedes mit dem kleinsten n angegeben.
  Zur Berechnung des n-ten Folgengliedes bezieht man sich auf den Wert des vorhergehenden Folgengliedes mit der Nummer n-1.
  Beispiel: u(4)=u(4-1)+2=u(3)+2                                                               =2+2+2+2=8
                                     u(3)=u(3-1)+2=u(2)+2                             =2+2+2
                                                           u(2)=u(2-1)+2=u(1)+2=2+2
                                                                                 u(1)=2
• Folgen auf dem Taschenrechner:
• Modus SEQ einstellen:     
• Gleichung der Folge eingeben bei Y1:
  explizite Darstellung    
  rekursive Darstellung 
• Window-Einstellungen:       
• Graph:   
• Tabelle:       

2014-01-08

• Eine Folge ist eine spezielle Funktion
  Bei einer Funktion f(x) ist f der Name der Funktion und x ist die Variable, die (bei uns in der 10. Klasse) meistens eine Zahl aus dem Bereich der reelen Zahlen darstellt.
  Bei einer Folge a(n) ist a der Name der Folge und n ist die Variable, die aus dem Bereich der natürlichen Zahlen gewählt wird (meistens 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ... oder 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...)
  Die Graphen derartiger Funktionen und Folgen unterscheiden sich damit dadurch, dass bei einer Funktion der Graph aus durchgehenden Linien/Kurven besteht, während er bei einer Folge aus einzelnen Punkten zusammengesetzt ist.
• Wir haben weitere Beispiele für Folgen kennengelernt und dabei erkannt, dass manchmal die explizite Form und manchmal die rekursive Form besser zu finden ist:
• explizite Form
  Die Definition der Folge ist so aufgebaut, dass man allein durch Kenntnis des Wertes der Variablen n den Wert des Folgengliedes ermitteln kann.
  Beispiel: a(n)=3·n-4 Damit weiß man, dass für n=7 folgendes gilt: a(7)=3·7-4=21-4=17
• rekursive Form
  Es wird der Wert des ersten Folgengliedes angegeben (Anker). Das allgemeine Folgenglied ergibt sich dann aus dem Wert des vorhergehenden Folgengliedes.
  Beispiel: Anker a(1)=5; allgemeines Folgenglied a(n)=3·a(n-1)-4
  Daraus folgen der Reihe nach die Folgenglieder:
  a(1) = 5
  a(2) = 3·a(2-1)-4 = 3·a(1)-4 = 3·5-4 = 15-4 = 11
  a(3) = 3·a(3-1)-4 = 3·a(2)-4 = 3·11-4 = 33-4 = 29
  a(4) = 3·a(4-1)-4 = 3·a(3)-4 = 3·29-4 = 87-4 = 83 usw.
• Fibonacci-Folge (siehe ganz oben auf dieser Seite)
  Die Folge setzt sich aus folgenden Zahlen zusammen: 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; ...
  Man sieht (bzw. man kann vermuten - was aber auch zutrifft), dass sich jedes Folgenglied aus der Summe der beiden vorhergehenden Folgenglieder ergibt:
  Anker: a(1)=1 ; a(2)=1   allgemeines Folgenglied: a(n) = a(n-1) + a(n-2)
  Dieses Bildungsgesetz ist sehr einfach. Die explizite Form (ganz oben auf dieser Seite) ist dagegen sehr kompliziert zu finden.

• Während der Zeugnisnotenbesprechung:
  Berechnungen zur Überlagerung von linearem und exponentiellem Wachstum mit Hilfe von Tabellenkalkulationen.
  Hier als Beispiel eine Aufgabe mit Lösung:
  Für den Bau eines Hauses wird ein Kredit von 180 000 € aufgenommen. Der Zinssatz beträgt 4,7%. Jährlich werden 12 600 € zurückgezahlt.
  Nach wie viel Jahren ist das Haus abbezahlt?
  

2014-01-15

• Begrenztes Wachstum
  Beim begrenzten Wachstum ist der Zuwachs proportional zur der Menge, die an der Maximalmenge G noch fehlt.
  Ist S der Startwert, G der Grenzwert und q der Wachstumsfaktor, so lässt sich das Wachstum durch folgende rekursive Formel beschreiben:
  a(0)=S ; a(n) = a(n-1) + q·(G-a(n-1))
• Beispiele:
• begrenztes Wachstum
  Eine Flasche Wasser mit Kühlschranktemperatur (4°C) wird an einem Sommertag auf den Gartentisch gestellt (32°C im Schatten).
  Pro Minute erwärmt sich das Wasser um 16% des Wertes, der den Unterschied zwischen der aktuellen Wassertemperatur und der Schattentemperatur beschreibt.
  Zu berechnen ist, wann das Wasser die Temperatur 25°C erreicht hat.
  Rekursive Gleichung: u(0)=4 ; u(n) = u(n-1) + 0,16·(32 - u(n-1))
  In der Tabelle wird die Lösung abgelesen:
       
     
  Nach 8 Minuten ist die Temperatur erreicht.
• begrenzte Abnahme
  Bei einem Besuch in Charleville (Queensland, Australien)
  
  <Quelle: Google-Maps>
  erzählte eine Lehrerin von "School of the Air", dass sie abends um 22:00 Uhr ihr Badewasser in die Badewanne einlasse, wenn sie morgens um 07:00 Uhr baden möchte.
  Als Erklärung fügte sie hinzu, dass ein "artesischer Brunnen" das Badewasser liefern würde. Das Wasser komme von einem Gebirgszug, der bei Brisbane parallel zur Küste verlaufe. Von dort fließe das Wasser in die tiefer gelegene Zone rings um Charleville. Bei seinem 700 km langen Weg heize sich das Wasser sehr auf, so dass es mit einer Temperatur von 80°C aus der Leitung komme. Sie (die Lehrerin) lasse deshalb abends das Wasser ein, damit es sich bis zum Morgen auf die Temperatur 35°C abgekühlt habe. Die Umgebungstemperatur liege nachts bei etwa 15°C.
  Frage: Um wie viel Prozent nimmt die Wassertemperatur pro Stunde ab?
  Lösung: Es liegt ein begrenztes (negatives) Wachstum vor. a(0)=S ; a(n) = a(n-1) + q·(G - a(n-1)) = a(n-1) - q·(a(n-1) - G)
  Gegeben sind a(0)=80 ; wegen der 9 Stunden Abkühlzeit: a(9)=35 ; G=15
  Lösungsmöglichkeit 1:
  Man berechnet alle Werte von a(0) bis a(9) und erhält dann auf Grund dieser Gleichungen den Wert von q:
  a(9) = a(8) - q·(a(8)-15)
  a(8) = a(7) - q·(a(7)-15)
  a(7) = a(6) - q·(a(6)-15)
  a(6) = a(5) - q·(a(5)-15)
  a(5) = a(4) - q·(a(4)-15)
  a(4) = a(3) - q·(a(3)-15)
  a(3) = a(2) - q·(a(2)-15)
  a(2) = a(1) - q·(a(1)-15)
  a(1) = a(0) - q·(a(0)-15) = 80 - q·(80-15) = 80 - 65·q
  Nun wird der a(1)-Wert in der Gleichung darüber bei a(2) eingesetzt usw, bis man bei der Gleichung a(9) gelandet ist:
  a(2) = (80-65·q) - q ·(80-65·q-15) = 80 - 65·q - 65·q - 65·q² = 80 - 130·q - 65·q²
  Das Vorgehen ist sehr aufwändig und führt auf eine Gleichung 9. Grades, die sich nicht(?) lösen lässt.
  Lösungsmöglichkeit 2:
  Man wählt einen Wert für q und findet die Lösung a(9)=35 durch Variation dieses Wertes.
  Der Wert q=0,12 (also 12%) liefert ein gutes Näherungsergbnis: 35,6°C
     

2014-01-21

• Grenzwert
  Eine Folge hat einen Grenzwert, wenn sich die Werte der Folgenglieder immer mehr einen bestimmten Wert, dem Grenzwert, nähern.
  Ob dieses "immer mehr annähern" wirklich zutrifft, kann man so überprüfen:
  Wenn man sich einen beliebig kleinen aber positiven Wert ε>0 denken kann, so dass sich ab einem bestimmten Folgenglied n₀ alle weiteren Folgenglieder um weniger als ε von einem Wert g unterscheiden, dann besitzt die Folge den Grenzwert g. In Formeln: 
  g ist der Grenzwert einer Folge, wenn es für jedes noch so kleine ε>0 ein n₀ gibt, sodass für alle n>n₀ gilt: |a(n)-g|<ε.
• Schreibweise für den Granzwert g:
  Sprechweise: Der Grenzwert g ergibt aus dem Limes für n gegen Unendlich von der Folge a(n).
• Beispiele:

• Diese Folge hat keinen Grenzwert, da für wachsendes n der Term über alle Grenzen wächst.
      
• Diese Folge hat den Grenzwert 3, da der Summand 1/n für große n gegen 0 geht.
       
•    Um den Grenzwert dieser Folge zu erkennen, sollte man zunächst denBruch mit n kürzen, d.h. den ganzen Zähler und den ganzen Nenner durch n dividieren.
    Im Nenner wird der Bruch 1/n für n gegen Unendlich zu 0, d.h. esbleibt nur der Bruch 3/1=3 übrig. Grenzwert der Folge ist also 3.
       
• Link zum Thema "Achilles und die Schildkröte"

• Logistisches Wachstum
  Wächst ein Bestand proportional zum vorhandenen Bestand und proportional zu der Menge, die bis zu einem Grenzwert noch fehlt, so nennt man dieses Wachstum "logistisches Wachstum".
• Herleitung der Rekursionsformel:
• Gesucht ist der Bestand u(n) zur Zeit n.
• Man bezieht sich auf den vor einer Zeiteinheit vorhandenen Bestand u(n-1).
• Mit dem Zuwachs z gilt dann die vorläufige Formel u(n)=u(n-1)+z.
• z ist proportional zum vorhandenen Bestand: z~u(n-1)
• z ist proportional zur am Grenzwert G noch fehlenden Menge: z~G-u(n-1)
• Damit gilt z~u(n-1)·(G-u(n-1))
• Mit dem Proportionalitätsfaktor q ergibt sich z=q·u(n-1)·(G-u(n-1))
• In der Schlussphase des Wachstums hat der Bestand fast die Größe des Grenzwertes: u(n-1)=G. Daraus folgt: z(zum Schluss)=q·G·(G-u(n-1)).
• Damit der Bestand nicht über den Grenzwert hinaus wächst, muss der Faktor q·G kleiner als 1 sein. Daraus folgt q<1/G.
• Rekursionsformel: u(0)=<Anfangswert> ; u(n)=u(n-1)+q·u(n-1)·(G-u(n1))
• Beispiel: Die GFS hat etwa 840 Schüler(innen). 6 Schülerinnen setzen in der ersten großen Pause folgendes Gerücht in die Welt: Da Eisregen droht, wird der Unterricht nach der 4. Stunde beendet.
  Dieses Gerücht breitet sich durch logarithmisches Wachstum mit dem Wachstumsfaktor q=0,001 aus (q < 1/G = 1/840 = 0,00119).
  Werden am Ende der 20-minütigen Pause alle Schüler(innen) die Neuigkeit erfahren haben?
  Lösung: u(0)=6 ; u(n)=u(n-1)+0,001·u(n-1)·(840-u(n-1))
          
  Man sieht, dass nach etwa 13 Minuten alle Schüler der Schule vom Gerücht gehört haben.
  Wenn die anfängliche Verdoppelung der wissenden Menschen zu unrealistisch sein sollte, kann man es ja mal mit einem halbierten Steigungsfaktor 0,0005 versuchen ...

2014-01-28

• Mathematik von ihrer überraschenden und schönen Seite
• Herleitung der Summenformel für die geometrische Reihe
• Sierpinski-Teppich
• Berechnungen an Kreisen

2014-01-29

• Ausflug in Fraktale, Chaos und Unendlichkeit ...
• Hier ein Java-Programm zum Chaos-Spiel
  
  
  
• Und hier ein Link zur Mandelbrotmenge
  Dazu ein einfaches und unfertiges Programm zum Experimentieren (Zoomen/Verschieben)
  
  
  
• Fraktale Kopiermaschine
  Kopiert ein Kopierer eine Seite so, dass die Seitenlänge halbiert wird und die Kopie auf einem neuen Blatt 3-mal ausgedruckt wird (einmal zentral oben und zweinam nebeneinander unten), so ergibt sich nach vielen Kopiervorgängen das Ergebnis des Chaosspiels bzw. die Einfärbung des Pascalschen Dreiecks an den Stellen mit ungeraden Zahlen.
  Hier ein einfaches Java-Fraktal-Kopierprogramm
  1.        2.
  
  3. ....... 6.
• Pascalsches Dreieck
  Zum Vergleich hier das Pascalsche Dreieck, bei dem alle ungeraden Zahlen mit rotem Hintergrund gezeichnet sind,
  erstellt mit LibreOffice-Calc und bedingter Formatierung (Hintergrund rot, wenn Zellinhalt gleich 1).