Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Physik 11ph2g

Schwingungen und Wellen

2013-02-27

Einführung in das Thema Schwingungen mit Berechnungen zu nicht-harmonischen Schwingungen

Hin- und Herpendeln eines Luftkissengleiters mit konstanter Geschwindigkeit
Springen eines Flummi-Balles

Laden des Arbeitsblattes durch Klick auf das Bild

2013-03-04

Schwingungsversuch mit Verwendung der Glasfahrbahn

Die Glasfahrbahn besteht aus einer Glasplatte, die drehbar wie eine Wippe aufgehängt ist.
Vorne links wird sie durch 2 Halterungen mit Dehnungsmessstreifen fixiert.
Damit lassen sich Auslenkungen als Widerstandsänderungen bzw. Spannungen registrieren.
Angehängt wurde eine Schraubenfeder mit Massestücken.
Mit Hilfe des Cassy-Interfaces und einem Computer wurden dann die Schwingungen registriert und ausgewertet.

Eine Messreihe mit unterschiedlichen Massen ergab folgende Schwingunsdauern:

Auswertung mit dem Taschenrechner: Werte in Listen eingeben, Fenstermaße einstellen, Graph zeichnen lassen, Regression (Potenzfunktion) durchführen

Es ergibt sich eine Funktion mit dem Exponenten 0,458 oder gerundet 0,5, d. h. es liegt eine Wurzelfunktion vor.
Dazu mehr in der Theorie in der nächsten Stunde.

2013-03-06

Vor der Theorie noch ein Versuch zur Abhängigkeit der Schwingungsdauer einer Schraubenfeder von der Federkonstante einer Feder.
Folgende 3 Federn wurden untersucht (von links nach rechts)

Die Federn wurden jeweils mit 110g belastet, die Federkonstanten wurden über die Auslenkung bei verschiedenen Massen bestimmt und für die Schwingungsdauer wurde die Zeit für 10 Schwingungsperioden gemessen:

x steht für D und f(x) für T
Die Regressionsgleichung zeigt:
Zusammen mit dem Ergebnis aus der letzten Stunde ergibt sich
Ob diese Beziehung richtig ist und welcher Proportionalitätsfaktor sich ergibt, zeigt folgende theoretische Überlegung:

Nach dem Hooekeschen Gesetz ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Da die Auslenkung und die Kraft in verschiedene Richtungen zeigen, wird in der Formel ein Minuszeichen gesetzt: F = - D·s.
Die Kraft ist identisch mit der Kraft aus dem Newtonschen Kraftgesetz, die zur Beschleunigung der Masse führt: F = m·a.
Gleichsetzen der Kräfte und Umformen ergibt eine Differentialgleichung:
Gesucht ist nun eine Funktion, die im Wesentlichen mit ihrer 2. Ableitung identisch ist. Es bieter sich die Sinusfunktion an:

Setzt man diese Beziehungen in die Differentialgleichung ein, ergibt sich

Hier zeigt sich, dass T tatsächlich proportional zur Wurzel aus m/D ist und der Proportionalitätsfaktor den Wert 2·π hat.

2013-03-13

Energiebetrachtung zur Schwingung bei einer Schraubenfeder

Bei jeder Auslenkung s(t) hat die Feder die Spannenergie

Bei jeder Geschwindigkeit v(t) hat die Feder die kinetische Energie
Die Gesamtenergie ergibt sich zu

Mit folgt

Die Summe der Energien ist demnach immer gleich der maximalen Spannenergie und damit auch der maximalen kinetischen Energie.

Mathematisches Pendel

Mit der Glasfahrbahn haben wir die Schwingung eines (fast) mathematischen Pendels (Massenpunkt an masselosem Faden schwingt (fast) ohne Reibung bei kleinen Auslenkungen aufgezeichnet.
Der Schwingungsverlauf schien durch eine Sinusfunktion darstellbar, was wir mit Hilfe der 1. Ableitung (Geschwindigkeit) und der 2. Ableitung (Beschleunigung) "überprüft" haben. Die zugehörigen Graphen schienen zu einer Kosinus- und einer (negativen) Sinusfunktion zu gehören:
Eine theoretische Überprüfung sollte Klarheit bringen, ob der Eindruck "Mathematisches Pendel schwingt mit harmonischer Schwingung" richtig ist:
Aus der Skizze lassen sich folgende Beziehungen ablesen und miteinander verknüpfen:

Man sieht, dass F nicht proportional zu s, sondern F proportional zu sin s ist.
Also liegt keine harmonische Schwingung vor.
Andererseits ist für kleine Winkel der Sinus von s/L etwa so groß wie s/L selbst (im Bogenmaß - wir haben das mit LibreOffice-Calc ausprobiert).

Man sieht, dass die Werte für x (im Bogenmaß) und sin(x) sehr gut bis etwa 16° übereinstimmen.
Näherungsweise kann man also für kleine Winkel schreiben:

Näherungsweise (für kleine Winkel) ist also die Schwingungsdauer beim mathematischen Pendel unabhängig von der Masse m und nur abhängig von der Pendellänge L.

2013-04-03

Die bisher betrachteten Schwingungen konnte man gut mit dem Auge verfolgen.
Bei einer Stimmgabel sieht man aber nicht mehr, wie die Zinken der Stimmgabel schwingen.
Zur Veranschaulichung dieser Schwingung wird an einer Zinke der Schreib-Stimmgabel ein spitzer Dorn befestigt, der auf eine rußgeschwärzte Platte die Schwingungsfigur zeichnet.
Überlagerung von Schwingungen

Beim Anschlagen einer einzelnen Stimmgabel ergab das Oszilloskop-Bild nicht eine "glatte" Sinuskurve, sondern eine sehr gezackte Sinuskurve.
Grund ist, dass nicht allein 1 Ton erzeugt wird, sondern durch vielfache verschiedene Schwingungen der Zinken viele verschiedene Töne.
Man hört das durch sehr hohe beigemengte Töne.
Der "richtige" Ton bildet sich erst dann allein aus, wenn die anderen Töne durch Dämpfung verschwunden sind.
Das Schwingungsspektrum kann man mit einem geeigneten Gerät erzeugen:
Neben dem akustischen Untergrund (Hintergrundgeräusche) entsteht beim Anschlagen einer Stimmgabel ein Ton bei einer ganz bestimmten Frequenz (im Messgraphen ist waagrecht die Frequenz und senkrecht die Intensität abgetragen) (siehe Bild links).
Wird der Ton mit menschlicher Stimme erzeugt (allerdings 3 Oktaven tiefer), so sieht man im Klangspektrum, dass der Ton aus vielen Teiltönen zusammengesetzt ist (mehrere Spitzen im Bild rechts).
Zwei gleiche Stimmgabeln werden angeschlagen: Man hört nur einen Ton.
Eine der Stimmgabeln wird durch Aufsetzen eines Reiters verstimmt: Man hört zwei Töne fast gleicher Tonhöhe. Die Lautstärke des Klanges nimmt periodisch zu und wieder ab.
Wird der Reiter nicht am oberen Rand der Stimmgabel sondern weiter unten aufgesetzt, so gleichen sich die Frequenzen der beiden Töne mehr an und das An- und Abschwellen der Lautstärke geschieht langsamer.

Deutung der Versuche:
Durch das Aufsetzen des Reiters wird wegen der zusätzlichen Masse die Schwingung langsamer und damit der Ton tiefer.
Die beiden Töne überlagern sich. Die gesamte Amplitude ergibt sich zu jeder Zeit aus der Addition der Amplituden beider Schwingungen.
Weitere Überlegungen in der nächsten Stunde.

2013-04-15

Zu den Versuchen der letzten Stunde:
Durch das Aufsetzen des Reiters wird wegen der zusätzlichen Masse die Schwingung langsamer und damit der Ton tiefer.
Die beiden Töne überlagern sich. Die gesamte Amplitude ergibt sich zu jeder Zeit aus der Addition der Amplituden beider Schwingungen.
Beispiel für 2 Schwingungen mit T_f=2·T_g

Beispiel für 2 Schwingungen mit Tf ≈ Tg

Hier wechseln sich Abschnitte ab, in denen die Schwingungen fast in Phase sind, mit Abschnitten, bei denen die Schwingungenentgegengesetzt sind.
Es ergibt sich eine "Schwebung", die zumindest durch Lautstärkeunterschiede wahrgenommen wird.
Die Amplitude der Schwebung schwankt mit einer Frequenz f_s, die sich aus f_s=f₂-f₁ ergibt.
Beispiel: f₂=1,00Hz, f₁=0,99Hz. Dann ist die Schwebungsfrequenz f_s=0,01Hz und von Maximum zu Maximum vergeht die Zeit T=1/f_s=1=0,01s=100s.
Vorversuch zu den Themen erzwungene Schwingungen und Wellen:

Wird das rechte Pendel angestoßen, fangen der Reihe nach die links befindlichen Pendel an zu schwingen, bis schließlich nur noch das Pendel ganz links schwingt.
Die Energie des rechten Pendels ist dabei ganz nach links gewandert.
Anschließend wandert die Energie wieder zurück zum rechten Pendel.
Je stärker die Kopplung ist, desto schneller wird die Energie transportiert.
Beim Energietransport wird keine Masse weitergeleitet, sondern nur Energie.

2013-04-17

Wiederholung zur Überlagerung von Schwingungen und Berechnung der Schwebuingsfrequenz:
Die Amplitude der Schwebung schwankt mit einer Frequenz f_s, die sich aus f_s=f₂-f₁ ergibt.
Beispiel: f₂=1,00Hz, f₁=0,99Hz. Dann ist die Schwebungsfrequenz f_s=0,01Hz und von Maximum zu Maximum vergeht die Zeit T=1/f_s=1=0,01s=100s.
Versuche zum Thema erzwungene Schwingungen und Resonanz

Pendel unterschiedlicher Länge

Am Tonnenfuß wird die waagrechte Stange hin- und hergedreht.
Je nach Frequenz schwingen die Pendel mit, deren Eigenfrequenz gerade getroffen wurde, im Bild ist das beim 2. Pendel von rechts der Fall.

Schwingungserreger mit unterschiedlich langen Blattfedern

Der Schwingungserreger (Lautsprecher) kann mit dem Sinusgenerator durchgestimmt werden.
Bei Frequenzen, denen die Resonanzfrequenzen der Blattfedern entsprechen, schwingen die Blattfedern stark mit, hier links unten.

Pohlsches Drehpendel

Hier wird durch einen Motor eine Stange waagrecht hin und hergeschoben, wodurch über die Spiralfeder das Drehpendel angetrieben wird.
Katharina hat es in kurzer Zeit geschafft, die "richtige" Frequenz zu finden, sodass das Drehpendel bis zum Anschlag ausgelenkt wurde.

Bei allen Versuchen (einschließlich eines Pendels, bestehend aus Faden und Korken) war folgendes "Gesetz" zu finden.
Um eine große Pendelauslenkung zu erzwingen, muss die anregende Schwingung um eine Viertel Schwingung (Phasendifferenz π/2) vorherlaufen.
Bei der Phasendifferenz 0 schwingen beide Schwingungen im Gleichtakt. Es wird dabei fast keine Energie von der einen Schwingung auf die andere Schwingung übertragen.
Ebenso wird bei der Phasendifferen π fast keine Energie übertragen. Dann schwingen die Schwinger gegeneinander.

Dass Schwingungen auch anders als durch eine weitere Schwingung angeregt werden können, haben wir am Beispiel des Weihrauchkessels in der Kathedrale von Santiago de Compostela gesehen.
Hier der Film zur Schwingung des Weihrauchkessels.
Die Anregung der Schwingung geschieht hier durch Verkürzung des Seils beim Heraufschwingen und der Verlängerung des Seils am Umkehrpunkt des Pendels.
Man könnte die Anregung auch als Rechteckschwingung auffassen.
Weiteres Beispiel für Resonanz:
Je nach Frequenz werden verschiedene Teile des Autos (Kotflügel, Achsen, usw.) zum heftigen Schwingen angeregt.
Film zum Thema Resonanzkatastrophe (Tacoma Narrows Bridge)

2013-04-22

Koppelt man einzelne Schwinger (siehe oben das Bild mit den Fadenpendeln), so wird über die Kopplung Energie übertragen, nicht jedoch Masse.
Wird die Kopplung "härter" gestaltet, z. B. durch eine feste lange Schraubenfeder, so findet der Energietransport mit größerer Geschwindigkeit statt.

Die einzelnen nebeneinander liegenden Schwinger bilden dann eine sinusförmige Welle.
An Hand der Simulation "Wellenmaschine" der Uni Erlangen haben wir die Wellengleichung hergeleitet:

Allgemein für x gilt dann:

2013-04-24

Wellen breiten sich als Transversalwellen (Querwellen) und als Longitudinalwellen (Längswellen) aus.
Bei Transversalwellen schwingen die Schwinger senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
Bei Longitudinalwellen schwingen die Schwinger in Richtung der Ausbreitung der Wellen.
Beispiel für Longitudianlwellen:

Wird die Schraubenfeder kurzfristig am Ende zusammengedrückt oder auseinandergezogen, so pflanzt sich diese Störung über die gesamte Schraubenfeder als Verdichtung bzw. als Verdünnung bis zur Aufhängung fort.
Die Geschwindigkeit ist abhängig von der Spannung der Schraubenfeder. Je mehr sie gespannt wird, desto schneller ist die Ausbreitung.
Transversalwellen kann man gut mit einer dünneren und härteren Schraubenfeder darstellen:

Hier pflanzt sich eine seitwärts erfolgte Auslenkung über die gesamte Schraubenfeder fort.

2013-04-29

Wiederholung zur Klausur

2013-05-08

Klausur 3 [ Aufgaben | Lösungen ]

2013-05-13

Überlagerung von Schallwellen

Zwei Lautsprecher strahlen identische Töne (durch einen Sinusgenerator erzeugt) aus.
Der Bereich um die Lautsprecher herum wird subjektiv von den Kursteilnehmern durch Herumgehen im Raum und objektiv durch ein Mikrophon abgetastet.
Beobachtung: An manchen Stellen ist der Ton sehr laut, an anderen Stellen eher leise.
Die theoretische Betrachtung dieses Phänomens ergibt:
Stellen, an denen der Gangunterschied der beiden Wellen gleich 0 oder ein Vielfaches der Wellenlänge beträgt, sind Orte hoherSchallintensität.
Stellen, an denen der Gangunterschied der beiden Wellen ein ungeradzahliges Vielfaches von λ ist, sind Orte minimaler Schallintensität.

Weitere Überlegungen zum Entstehen von Maxima und Minima bei der Überlagerung zweier Wellen:

GeoGebra-Simulation
Überlagerung zweier Bilder mit konzentrischen Kreisen:

2 Sender am oberen Rand des Bildes senden phasengleiche Wellen aus.
An den Stellen, an denen sich schwarze und weiße Streifen abwechseln, liegt der Gangunterschied n·λ vor, d. h. es entstehen maximale Auslenkungen.
An den Stellen, die durchgehend schwarz sind, sind die Wellen um 180° phasenverschoben, d. h. es entstehen minimale Auslenkungen.
Die schwarzen und auch die "Zebra"-Streifen liegen auf Hyperbeln, wobei die Krümmung der Hyperbeln fast nur in der Nähe der Sender zu erkennen ist.
Mit GeoGebra haben wir die Lage der konstruktiven Überlagerung genauer betrachtet:

S1 und S2 (rot) sind die Sender. Alle Punkte, die den Gangunterschied λ besitzen, liegen auf der blauen Linie.
r ist der Radius des kleinen Kreises, r+λ der Radius des großen Kreises.
Eine Gerade durch den Mittelpunkt der Strecke S1S2 ist Asymptote an diese blaue Linie.

2013-05-15

Huygenssche Elementarwellen - gerade Wellenfront trifft Spalt
Von links läuft eine gerade Wellenfront auf einen Spalt zu.
Zieht man die Punkte E und D so, dass der Spalt sehr schmal wird, sieht man hinter dem Spalt kreisförmige Wellen, die, vereinfacht gesagt, von einem Schwinger zwischen E und D stammen. Eine Huygenssche Elementarwelle breitet sich aus.
Öffnet man den Spalt weiter, entstehen überall zwischen E und D Elementarwellen, die sich so überlagern, dass sich rechts vom Spalt wieder eine gerade Wellenfront ergibt. Zu den Seiten hin findet aber keine vollständige Auslöschung statt, sodass sich dort kreisförmige Wellen ausbreiten.
Je weiter man vom Spalt entfernt ist, desto mehr gewinnen die Kreiswellen die Oberhand und die geraden Abschnitte sind fast nicht mehr erkennbar.
Download der GeoGebra-Datei
Snelliussches Brechungsgesetz

Eine Wellenfront trifft von links oben auf die waagrecht liegende Grenzschritt zwischen zwei Medien.
Im oberen Medium breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit c1 aus, im unteren mit c2.
Es gilt c1=k·c2.
Da die Geschwindigkeit im unteren Medium kleiner ist als im oberen, knickt die Wellenfront an der Grenzschicht ab.
Die GeoGebra-Datei zum Bild oben kann hier heruntergeladen werden.
Man kann die Richtung der einfallenden Welle mit dem Punkt C variieren und mit dem Schieberegler das Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten.
Herleitung der Beziehung zwischen dem Einfallswinkel α, dem Ausfallswinkel β und den Geschwindigkeiten c1 und c2:
Da sich die Wellen in den einzelnen Medien mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, kann man s1 und s2 ersetzen durch
s1=c1·t1 und s2=c2·t2. Da die Zeiten für die Wegstrecken s1 und s2 identisch sind, vereinfachen sich die Gleichungen zu
s1=c1·t und s2=c2·t.
Dividiert man die Gleichungen, so folgt s1/s2=c1/c2.
Da die Dreiecke ABE und BAG rechtwinklig sind, folgt:

2013-05-27

Besprechung und Rückgabe der Klausur 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
Reflexionen von Wellen

Am losen Ende werden Wellenberge als Wellenberge und Wellentäler als Wellentäler reflektiert.
Am festen Ende werden Wellenberge als Wellentäler und Wellentäler als Wellenberge reflektiert.

2013-05-29

Im Versuch mit der langen dünnen Schraubenfeder haben wir gesehen:
Durch die Reflexionen am festen Ende (Befestigung der Schraubenfeder und Hand des Experimentators) überlagern sich die Wellen so, dass an manchen Stellen (den Knoten) die Schwinger ständig in Ruhe sind und an anderen Stellen (den Schwingungsbäuchen) die Schwinger in maximaler Bewegung sind.
An den beiden festen Enden sind Schwingungsknoten.
Dazwischen können beliebig viele weitere Knoten sein.
Der Abstand zwischen den festen Ende betrage L.
Die grünen Kurven stellen jeweils die Maximalausschläge der stehenden Welle dar.
Die punktierten roten Kurven zeigen die Ausdehnung der Wellenlänge λ an.
Von unten nach oben gilt:
λ=2·L
λ=L
λ=2/3·L
λ=1/2·L
Wir hatten Schwierigkeiten, hier eine Gesetzmäßigkeit herauszulesen bzw. die zuständige Formel aufzuschreiben.
Erkenntnis: Manchmal wird eine Aufgabe leichter, wenn man sie von einer anderen Perspektive betrachtet:
Von unten nach oben gilt auch:
L=1/2·λ
L=λ
L=3/2·λ
L=2·λ
Hier sahen wir, dass man auch schreiben kann:
L=1/2·λ
L=2/2·λ
L=3/2·λ
L=4/2·λ
Allgemein gilt also, das bei L=k/2·λ (L ist ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2) eine stehende Welle entstehen kann.
Für die Frequenzen der Schwingungen gilt mit der Formel c=f·λ:
Anwendung der Formeln auf ein akustisches Beispiel:

In einem alten Aquarium mit der Länge 30 cm und der Breite 20 cm wird ein Lautsprecher positioniert.
Mit Hilfe eines Sinusgenerators werden Töne unterschiedlicher Frequenz erzeugt.

Die Frequenzen, bei denen die Töne besonders verstärkt werden, werden registriert.
Es zeigt sich, dass die Frequenzen mit der gefundenen Formel in Einklang stehen (für L=0,3m und L=0,2m):
Für f=1760Hz ergibt sich die Strecke 10cm, die sich mit k=2 zu L=20cm und mit k=3 zu L=30cm kombinieren lässt.
Für f=2386Hz ergibt sich die Strecke 7cm, die sich mit k=3 zu L=21cm und mit k=4 zu L=28cm kombinieren lässt.
Auch eine Vorhersage, bei der Resonanz eintreten sollte (also Bildung einer stehenden Welle) glückte:
Für k1=4 und L1=0,2m und k2=6 und L2=0,3m ergibt sich dieselbe Frequenz f=3400Hz.
Tatsächlich wurde ein Ton dieser Frequenz mehr verstärkt als Töne mit etwas abweichender Frequenz.

2013-06-03

Stehende Wellen können sich auch ergeben, wenn die beiden Enden lose sind oder wenn es ein festes und ein loses Endee gibt:

2 lose Enden

Hier gelten dieselben Formeln wie bei 2 festen Enden:
Allgemein gilt also, dass bei L=k/2·λ (L ist ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2) eine stehende Welle entstehen kann.
Für die Frequenzen der Schwingungen gilt mit der Formel c=f·λ:

Beispiel für eine Schallwelle mit 2 losen Enden:
1 loses Ende und 1 festes Ende

Von unten nach oben gilt:
L=1/4·λ
L=3/4·λ
L=5/4·λ
Allgemein gilt also

Beispiel für stehende Wellen bei Longitudinalwellen

Eine Schraubenfeder wird in Achsen-Richtung zu Schwingungen angeregt.
In der Ausschnittsvergrößerung sieht man die Knoten (klare und scharfe Abbildung des Metalldrahtes) und die Bäuche (unscharfe Stellen wegen der schnellen Bewegung).
Beispiel für eine stehende Welle in Luft mit einem losen und einem festen Ende:

Durch änderbaren Wasserstand in der rechten Röhre entsteht eine Luftsäule in der Röhre über dem Wasser, deren Höhe kontinuierlich verändert werden kann.
Eine über die Röhrenöffnung gehaltene angeschlagene Stimmgabel erzeugt einen Ton, der bei bestimmten Luftsäulen-Längen besonders verstärkt wird.
Die Resonanz 1. Ordnung haben wir bei 19,5 cm gefunden.
Die Berechnung der Frequenz ergab 335 Hz, was mit dem Aufdruck auf der Stimmgabel übereinstimmt.
Mit Hilfe dieser Frequenz wurde dann die Resonanz-Länge 2. Ordnung berechnet und im Versuch verifiziert.

2013-06-05

Selbstinduktion und Induktivität

In einem Stromkreis, bestehend aus Schalter, Spule mit Eisenkern, Lampe und Gleichspannungsquelle zeigen sich beim Ein- und Ausschalten folgende Besonderheiten:

Einschalten:
Die Lampe leuchtet nicht sofort, sondern erst eine knappe Sekunde nach dem Einschalten.
Deutung: Nach der Lenzschen Regel wird in der Spule beim Einschalten der Spannung eine Gegenspannung induziert, die das Ansteigen des Stromes in der Glühlampe verzögert.
Ausschalten:
Am Schalter ist ein Blitz zu erkennen.
Deutung:
Das Zusammenbrechen des Magnetfeldes beim Abschalten der Spannung wird wegen der Lenzschen Regel durch eine induzierte Spannung herausgezögert, indem der bisherige Stromfluss (teilweise) aufrecht erhalten wird. Da aber der Stromkreis unterbrochen wurde, bildet sich an der Trennstelle, dem Schalter, ein starker Ladungsunterschied, der schließlich in einem Überspringen der Ladungen und damit einem Blitz mündet.

Da die Spule mit ihrem Magnetfeld nicht in einer anderen Spule, sondern in sich selbst eine Spannung induziert, spricht man von Selbstinduktion.
Die Fläche der Spule bleibt gleich, das Magnetfeld ändert sich:

L wird als Abkürzung für die Konstanten geschrieben und wird mit Induktivität bezeichnet.
Die Einheit von L ist abgekürzt Henry (H).
Elektromagnetischer Schwingkreis

Schaltbild:

Der Kondensator wird aufgeladen. Mit dem Oszilloskop wird die Spannung am Kondensator registriert.
Wird der Stromkreis aus Spule und Kondensator dann sich selbst überlassen, erkennt man am Oszilloskop, dass die Spannung zwischen positiven und negativen Werten pendelt, sie schwingt (gedämpft) um die 0-Volt-Marke herum.

Die Ladungen des geladenen Kondenstators (kein Strom durch die Spule) fangen an, sich auszugleichen, wodurch ein Strom durch die Spule und damit ein Magnetfeld in der Spule entsteht.
Sind die Ladungen ausgeglichen, ist das Magnetfeld der Spule maximal und beim Zusammenbrechen dieses Magnetfeldes wird auf Grund der Lenzschen Regel eine Spannung induziert, die den Strom weiter fließen lässt, bis der Kondensator wieder geladen ist, nun mit umgekehrter Polung. Nun wiederholt sich der gesamte Vorgang in umgekehrter Richtung.
Herleitung der Formel für die Schwingungsdauer einer elektromagnetischen Schwingung:
Die Spannung U_C am Kondensator ist der induzierten Spannung U_ind entgegengesetzt gerichtet.
Es gilt also:

Diese Differentialgleichung hat die Lösung I(t)=I₀·sin(ω·t):

Die Gleichung zur Berechnung von T nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung.

2013-06-10

Durch magnetische Kopplung lässt sich elektromagnetische Schwingungsenergie von einem Schwingkreis auf einen anderen übertragen.
Wie bei den mechanischen Wellen wird dann auch hier Energie von einem Schwinger auf andere Schwinger weitergegeben.
Bei sehr langsam ablaufender Schwingung bleiben die Effekte auf die nähere Umgebung des Schwingkreises beschränkt.
Techniken wie Rundfunk und Fernsehen benötigen aber die weite Ausbreitung der Schwingungen.
Das lässt sich durch höhere Schwingungsfrequenzen erreichen.
Die Thomsonsche Schwingungsgleichung zeigt, dass durch Verkleinerung der Induktivität L und der Kapazität C die Schwingungsdauer verkleinert werden kann.
Anschaulich lässt sich das so durchführen:

Bei bestehenden Schwingkreis (1) werden die Kondensatorplatten solange verkleinert (2), bis sie nicht mehr da sind und die Leitungsenden die Platten darstellen (3).
Dann wird die Windungszahl verringert (4), bis nur noch ein gerades Leiterstück übrig bleibt (5).
Die Kondensatorplatten=Enden des Leiters werden voneinander entfernt (6), bis nur noch ein gerader Leiter übrig bleibt (7).
Eine gerade Metallstange bildet also einen Schwingkreis von sehr hoher Frequenz bzw. sehr kleiner Schwingungsdauer.
Versuche mit dem Dezimeterwellensender

Mit dem mittleren Gerät wird der aufgelegte Stab zu einem Sender.
Elektronen werden im Stab hin- und herbewegt. Dadurch ändert sich die Polarität an den Stabenden dauernd. Wir haben das durch eine Glimmlampe nachgewiesen.
Die Feldlinien im Außenbereich des Stabes bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit vom Stab weg.
Da der Stab immer wieder umgepolt wird, wechselt die Richtung der ausgesendeten Feldlinien ständig.
Es bilden sich geschlossene elektrische Feldlinien im Außenbereich, die sich losgelöst vom Sendestab mit Lichtgeschwindigkeit entfernen (Bild in der Mitte des Artikels).
Die ausgesendete Energie kann mit einer Antenne aufgefangen werden. Im Bild ist diese Antenne rechts unten zu sehen. In ihrer Mitte ist eine Lampe angebracht, die durch die Energie der ausgesandten Welle gespeist wird.
Die Welle ist polarisiert: Die Empfängerantenne muss dieselbe Richtung wie die Senderantenne haben.
Ein zwischen Sender und Empfänger positioniertes Gitter aus Metallstäben lässt die Sendeenergie durch, wenn die Stäbe senkrecht zur Senderantenne stehen.
Stehen die Metallstäbe parallel zur Senderantenne, empfangen sie die Energie und strahlen sie in alle Richtungen aus, so dass die Empfängerantenne nicht mehr genügend Energie erhält, damit die Lampe zum Leuchten gebracht werden kann.

2013-06-12

Weitere Versuche mit dem Dezimeterwellen-Sender:

Die Wellenlänge und die Frequenz ist zu bestimmen:
Die Antenne hat eine Länge von 32cm.
Da sich an den Enden die Elektonen fast nicht bewegen, ist dort ein Schwingungsknoten, während sich in der Mitte wegen der starken Elektronenbewegung ein Schwingungsbauch befindet.
Es bildet sich also eine stehende Welle auf der Antenne aus, wobei die Länge der Antenne so lang ist wie die halbe Wellenlänge. Also: λ=64cm.
Daraus ergibt sich mit c=f·λ und c=3·10⁸m/s: f=c/λ=3·10⁸/0,64Hz=469MHz (Literaturwert 434MHz)
Andere Möglichkeit zur Bestimmung der Wellenlänge:
Dem Sender gegenüber wird eine Metallplatte aufgestellt.
Zwischen Sender und Empfänger bildet sich eine stehende Welle.
Die Abstände zwischen zwei Minima werden gemessen.
Es ergibt sich ein ähnlicher Wert wie oben (36cm, daraus folgt f=417MHz).
Ein Gefäß mit zwei Antennen und einer Lampe in der Mitte der Antennen wird vor den Sender gestellt.
ohne Wasser: halb mit Wasser gefüllt: ganz mit Wasser gefüllt:

Ohne Wasser leuchtet die Lampe bei der langen Antenne (wie gehabt).
Wird die lange Antenne unter Wasser gesetzt, verlöscht die (außerhalb des Behälters befindliche) Lampe.
Ist auch die kleine Antenne von Wasser umgeben, so leuchtet nun die Lampe der kleinen Antenne.
Die Wellenlänge wird also unter Wasser kleiner. Da die Frequenz gleich bleibt, muss nach c=f·λ auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Wasser kleiner sein als in Luft (Vakuum).

Wellen mit anderer Frequenz liefert ein Gunn-Oszillator (Mikrowellen).

Das Ausmessen der stehenden Welle zwischen Sender und Metallplatte ergibt einen Wert von ca. 9GHz bei einer Wellenlänge von 3,4cm.
Die Mikrowellen werden von Metallflächen reflektiert.
Durch ein Metallrohr werden sie weitergeleitet, wenn der Krümmungsradius des Rohres nicht allzu groß ist.
Wird eine trockene Schaumgummiplatte zwischen Sender und Empfänger gehalten, so gehen die Wellen ohne merkbare Abschwächung hindurch.
Wird das Schaumgummi aber mit Wasser getränkt, so findet eine merkbare Schwächung des Signals statt.
In der häuslichen Mikrowelle werden deshalb auch die Speisen heiß und nicht das Geschirr, weil die Speisen Wasser enthalten und dadurch effektiv die Energie der Mikrowellen absorbieren, während das Geschirr von den Mikrowellen leicht durchsetzt werden kann.

2013-06-17

Bestimmung der Wellenlänge von Mikrowellen mit Hilfe eines Doppelspalts

Hinter einem Doppelspalt wird im Schülerversuch das Feld eines Mikrowellensenders ausgemessen:
Ein Maximum liegt genau auf der Linie Spalttrenner-Sender.
Die beiden weiteren gemessenen Maxima sind 19cm bzw. 22cm neben dem Hauptmaximum zu finden.
Zwischen Spalt und Messebene beträgt der Abstand 48cm.
Die Spalte haben die Breite 3cm, das Trennstück hat die Breite 6cm.
Befinden sich im Koordinatensystem alle Maxima auf der x-Achse und das Hauptmaximum bei y=0, so liegen die Spaltmitten bei -4,5cm und +4,5cm.
Bestimmt man für sie beiden seitlichen Maxima den Abstand von den Spaltmitten zu den Maxima, so ergibt die Differenz jeweils den Wert fürλ.

Für die Wellenlänge erhält man also die Werte 3,32cm und 3,77cm.
Die Abweichung lässt sich mit den schwierigen Ableseverhältnissen erklären.
Gegenstände im Raum und vor allem der Körper und die Bewegungen des Experimentators stören die Messung nämlich extrem.