Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 9a

Potenzen - Exponentialfunktionen

2010-03-03

Eine Stärke der mathematischen Schreibweise ist, dass sie knapp gehalten und dennoch eindeutig ist.
Die Multiplikation ist z.B. eine abgekürzte Schreibweise für eine Addition vieler gleicher Summanden
Beispiel: 3+3+3+3+3+3+3+3 = 8·3 = 24
Auch die Subtraktion mit vielen gleichen Subtrahenden kann mit Hilfe der Multiplikation vereinfacht dargestellt werden
Beispiel: 25-3-3-3-3-3-3-3-3 = 25-8·3 = 25-24 = 1
Auch für mehrere Multiplikationen mit gleichen Faktoren gibt es eine vereinfachte Darstellung: die Potenzschreibweise.
Man schreibt z.B. 3·3·3·3·3·3·3·3 = 3⁸ = 6561
Die Hochzahl (oder der Exponent) gibt also an, wie oft man eine Zahl mit sich selbst multiplizieren muss.
Da zu einer Multiplikation mindestens 2 Faktoren benötigt werden, ist es sinnvoll, für die Hochzahlen nur ganze Zahlen zuzulassen, die größer oder gleich 2 sind.
Wir werden sehen, dass es aber durchaus auch sinnvoll sein kann, Exponenten aus anderen Zahlbereichen zu benutzen.
Was soll man nun unter einer Potenz mit einem Exponenten 1, 0 oder sogar mit einem negativen Exponenten verstehen?
Dazu haben wir folgende Aufstellung betrachtet:

Wenn man links immer den Exponenten um 1 verkleinert und rechts die Zahlen jeweils durch 3 dividiert, so erhält man für 3¹ den Wert 3 und 3⁰ den Wert 1.
Es scheint also sinnvoll zu sein (wenn auch nicht mehr durch Multiplikationen zu erklären), dass man definiert (also festlegt - ohne Beweis!), dass 3¹=3 und 3⁰=1.
Auf gleiche Weise kann man den Zahlbereich für den Exponenten auch auf negative ganze Zahlen erweitern.
Im mittleren Teil der Abbildung wird dann das Dreieck aus 3-en durch ein weiteres Dreieck zu einer "Eieruhr" ergänzt.
Um auch dabei eine Regelmäßigkeit aufzuzeigen, werden die Werte im oberen Dreieck als Bruch mit dem Nenner 1 geschrieben:
Folgende neue Definitionen bzw. Rechenregeln haben wir aus den Abbildungen herausgelesen:

Irritiert hat einige die Festlegung a⁰=1, da für a=0 doch eigentlich 0⁰=0 sein müsste, weil 0 hoch irgendeine Zahl doch immer 0 sei.
Der Taschenrechner zeigt beim Eingeben von 0^0 "ERROR" an.
Folgende Sequenz hat uns weiter geholfen:

Auf Grund der Sequenzen müsste 0⁰ sowohl den Wert 0 als auch den Wert 1 haben.
Das geht nicht und deshalb wird 0⁰ in der Mathematik kein definierter Wert zugeordnet.
Es ist also genau so unsinnig 0⁰ zu schreiben wie 1/0.
Allerdings werden wir später sehen, dass bei Grenzwertbetrachtungen für den Fall "0⁰" doch jeweils ein bestimmter Wert zugeordnet werden kann, je nachdem, wie sich die Werte in der Basis und dem Exponenten der 0 nähern.

2010-03-04

Bei den Übungen zu negativen Exponenten haben wir gesehen, dass man genau darauf achten muss, auf welchen Teilterm sich die negative Hochzahl bezieht.
Hier einige Beispiele:
An Hand von Beispielen wie 5·10⁴·10³=5·(10·10·10·10)·(10·10·10)=5·10⁷ oder 7·10^-4·10⁶=7·1/(10·10·10·10)·(10·10·10·10·10·10)=7·10² haben wir folgende Rechenregel gefunden:

2010-03-09

Wurzeln vom Grad n
Beispiel: Ein Würfel hat das Volumen 125 cm³. Zu berechnen ist die Seitenlänge des Würfels.
Es ist also eine Zahl x gesucht, die 3-mal mit sich multipliziert 125 cm ergibt. Ohne Einheit als Gleichung: x³=125.
Man kann die Lösung 5 cm raten. Um die Gleichung nach x auflösen zu können, führt man die Schreibweise ein.
Den mittleren Term bezeichnet man als "dritte Wurzel aus 125" und meint damit die Zahl, die 3-mal mit sich selbst multipliziert 125 ergibt.
Allgemein schreibt man als Lösung einer einfachen Gleichung n-ten Grades

und bezeichnet die Lösung als die n-te Wurzel aus a.
Dabei gilt wie bei Quadratwurzeln: Der Radikand (=die Zahl unter der Wurzel) und das Ergebnis der Wurzel müssen positiv sein (einschließlich 0).
Beispiel für eine Potenzgleichung:
Hausaufgabe: Seite 139, Aufgaben 8 und 17 und Seite 142, Aufgabe 4

2010-03-11

Eine Bakterienkultur wächst so stark, dass sie von Tag zu Tag jeweils die 4-fache Fläche bedeckt. Am Tag 0 bedeckt sie die Fläche 1 cm².
Wie heißt das Wachstumsgesetz und welche Fläche bedeckt die Bakterienkultur nach einem halben Tag und nach 1,5 Tagen?
Die Kultur nach 0, 1, 2, 3 und 4 Tagen.
Wenn B die von den Bakterien bedeckte Fläche und t die Zeit in Tagen ist, gilt B(t)=1cm²·4^t.
Nach einem halben Tag müsste eigentlich mit t=1/2 gelten: B(1/2)=1cm²·4^1/2.
Ein Bruch also Hochzahl ist aber (noch nicht) definiert.
Deshalb eine andere Herangehensweise: Gehen wir davon aus, dass die Bakterienkultur am halben Tag auf das x-fache anwächst, dann ist sie nach einem ganzen Tag (=2 halbe Tage) um das x²-fache angewachsen und es muss gelten x²=4. Damit ist x=√4=2.
Es gilt also 4^1/2=√4 und die Bedeutung von 1/2 als Hochzahl ist also "Wurzel von ...".
In 1,5 Tagen wächst die Kultur um 4^3/2 an oder um x³=√4³, also gilt 4^3/2=√4³.
Generell gilt, dass bei einem Bruch also Hochzahl der Nenner des Bruches den Grad der Wurzel angibt und der Zähler den Exponenten:

2010-03-17

Übungen zu den Wurzel-Formeln
An Beispielen mit anschließenden Verallgemeinerungen habt Ihr folgende Formeln gefunden:

Beweis der Formeln:

2010-04-07

Rückgabe der Klassenarbeit 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
Wiederholung der Rechenregeln zur Potenz- und Wurzelrechnung und Rechenübungen
Hausaufgabe: Seite 154, Aufgaben 25 bis 31, jeweils a)

2010-04-08

Besprechung der Hausaufgabe

Potenzen dürfen nur dann addiert und subtrahiert werden, wenn sie identisch sind (d.h. gleiche Basis, gleicher Exponent).
3a²b⁵+6a²b⁵=9a²b⁵ , aber 3a²b⁵+6a²b⁴ oder 3a²b⁵+6c²b⁵ können nicht addiert werden.

Zusammenstellung und Präsentation aller Formeln für die Potenz- und Wurzelrechnung.

2010-04-22

Hier einige Eurer Zusammenstellungen zum erlernten Stoff:
Ein Dank an die Autoren.
Aufgabe für alle anderen: Ist alles richtig? Wo würdet Ihr noch etwas ergänzen?
Hausaufgabe: Seite 161, Aufgabe 3 und Seite 163 durcharbeiten

2010-04-29

Wiederholung und Fragen zur Potenzrechnung
Einführendes Beispiel zum Thema "Wachstum"
Ein bestehender See mit einer Wasserfläche von 400m² soll als Baggersee genutzt werden.
Durch die Entnahme von Sand und Kies wird der See in jeder Woche um 100m² größer.
Zu Beginn war auf dem See eine kleine Fläche von 5m² mit schnell wachsenden Pflanzen bedeckt.
Diese Pflanzen vermehren sich so stark, dass sich die durch sie bedeckte Fläche innerhalb einer Woche verdoppelt.
Wird der See einmal gänzlich von den Pflanzen bedeckt sein. Wann wird das sein?

Einige haben in den Listen des GTR die wöchentlichen Flächeninhalte aufgelistet und nachgesehen, wann die Pflanzen-Fläche größer als die See-Fläche ist:
Kurz bevor 8 Wochen vergangen sind, ist die Seefläche mit den Pflanzen gefüllt.
Andere haben die Werte geplottet und aus der Zeichnung das Ergebnis abgelesen.
Hausaufgabe: Aufstellen zweier Funktionsgleichungen, die das Anwachsen der beiden Flächen beschreiben.

2010-05-05

Weiterführung der Aufgabe aus der letzten Stunde: Nach wie viel Wochen ist der See vollkommen mit Pflanzen bedeckt?

Aufstellen zweier Funktionsgleichungen, zeichnen der Graphen, den Cursor auf den Schnittpunkt setzen und den x-Wert ablesen:

Es ergibt sich der x-Wert 7,893617, d.h. nach ca. 7,9 Wochen ist der See ganz mit Pflanzen bedeckt.
Genauer wird der Wert, wenn man z.B. mit dem Calc-->Intersect-Befehl arbeitet:
x-Wert ist 7,8941026. Am Ergebnis 7,9 Wochen ändert sich aber nichts.
Auch eine Lösung mit dem Math-->Solver-Befehl ist möglich:

Hier werden noch einige Dezimalstellen mehr angegeben, die aber auf das Ergebnis keinen Einfluss haben.

Die Gerade gehört zu Y1. Bei diesem Wachstumsverhalten spricht man von linearem Wachstum.
Trägt man die y-Werte in einer Liste auf und berechnet in einer zweiten Liste mit dem Befehl List-->Ops-->ΔList die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden y-Werten, so ergibt sich in diesem Beispiel und auch allgemein beim linearen Wachstum eine Konstante (hier die wöchentliche Zunahme der Fläche).
Die Kurve gehört zu Y2. Bei diesem Wachstum, bei dem die y-Werte bei wachsendem x immer stärker ansteigen, nennt man exponentielles Wachstum.
Trägt man die y-Werte in einer Liste auf und berechnet in einer zweiten Liste mit dem Befehl List-->Ops-->ΔList die Differenz zwischen zwei aufeinander folgenden y-Werten, so ergibt sich in diesem Beispiel und auch allgemein beim exponentiellen Wachstum dieselben Zahlenwerte (hier die wöchentliche Zunahme der Pflanzen-Fläche).
Hausaufgabe: Seite 167, Aufgabe 3 beenden

2010-05-06

Beim prozentualen Wachstum spricht man von

prozentualer Wachstumsrate p% (um p% steigt eine Population oder ein Kapital in einem Zeitabschnitt)
Wachstumsfaktor (1+p/100) (am Ende eines Zeitabschnitts besitzt man immer noch das Ganze (1) und dazu erhält man noch die Zinsen/den Zuwachs (p/100)
Verdoppelungszeit d (die Zeit, in der sich eine Population oder ein Kapital verdoppelt hat)

Für die Entwicklung eines Kapitals gilt die Formel K(t)=K(0)·(1+p/100)^t.
K(0): Kapital zu Beginn ; K(t): Kapital zur Zeit t ; t: Zeit
Wann hat sich ein Kapital verdoppelt? d: Verdoppelungszeit
Ansatz und Berechnung von d:
Da die Formel für die Verdoppelungszeit d in Abhängigkeit von der Wachstumsrate p% etwas unhandlich ist, rechnet man manchmal auch mit der
Näherungsformel:
Bei welchen Wachstumsraten darf man die Näherungsformel einsetzen und wie stark ist die Abweichung zwischen exaktem und genäherten Wert?
Der GTR liefert mit L1=seq(X,X,1,20) ; L2=72/L1 ; L3=logBASE(2,1+L1/100) und L4=L2-L3 folgende Ergebnisse:
Tabelle:
L2 und L3 in Abhängigkeit von L1:
Die Näherung ist sehr gut, wie man an den überlappenden Punkten sieht.
Die Differenz der Werte in L2 und L3 ist ein Maß für den Unterschied zwischen den Näherungswerten und den exakten Werten:
und für weitere Wachstumsraten bis 100%:
Die Differenz beträgt bei 2% noch 1 Zeitschritt, aber ab 3% immer weniger als einen Zeitschritt.

2010-05-12

Wiederholung zur Klassenarbeit
Noch einmal zur Erinnerung:

Die Listen L₁, L₂ usw. findet man unter STAT --> EDIT
Versehentlich gelöschte Listen kann man wiederherstellen mit STAT --> SETUPEDITOR
Eine Liste mit Funktionswerten füllen kann man mit 2ND --> LIST --> OPS --> SEQ(<Funktionsterm>,<Variable>,<Startwert>,<Endwert>)
Die natürlichen Zahlen von 0 bis 20 erzeugt man mit der Funktionsgleichung y=x: SEQ(X,X,0,20)
Lineares Wachstum erkennt man daran, dass die Differenz zweier untereinander stehender Werte in der Liste konstant ist.
Beispiel: Die Differenz berechnet man mit 2ND --> LIST --> OPS --> ΔList
Exponentielles Wachstum erkennt man daran, dass sich bei der Differenz zweier untereinander stehender Werte in der Liste keine Konstante ergibt, sondern wieder dieselben Listenwerte, wenn man die Differenz noch durch den Quotienten zweier untereinander stehender Werte minus 1 dividiert.
Dazu lieber ein Beispiel:

In der Liste L₃ dividiert man die Differenz der Werte in Liste L₂ durch 3.
Diese 3 ergibt sich so:
Man dividiert zwei aufeinander folgende Listenwerte in Liste L₂, z.B. 8:2=4 oder 32:8=4 oder 128:8=4. Von diesem Ergebnis subtrahiert man 1, und das ergibt 3.
Die Begründung für dieses Vorgehen werden wir nach der Klassenarbeit besprechen.
Zum Berechnen von Exponenten mit dem Logarithmus hier das Tafelbild:
Die Spar-Aufgabe

Bitte unbedingt die Seite 163 (Bist du fit?) durcharbeiten!

2010-05-19

Klassenarbeit 4

2010-05-26

Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 4 [ Aufgaben , Lösungen ]
In einer Liste sind die Werte eines Wachstumsverhaltens für gleiche Zeitabschnitte bzw. gleiche Distanzen gegeben.

Am 2010-05-12 haben wir gesehen, dass man lineares Wachstum daran erkennen kann, dass die Differenz zwischen zwei Werten immer denselben Wert annimmt.
Bei exponentiellem Wachstum ist der Quotient aus zwei aufeinander folgenden Werten gleich.
Man erhält den Steigungsfaktor, wenn man einen Wert der Liste durch den vorhergehenden dividiert.
Leider lässt sich das mit dem Taschenrechner nicht ganz so einfach durchführen. Deshalb hier eine schrittweise Anleitung:

Die Werte des Wachstums in die Listen eingeben:
Liste L2 in Liste L3 übertragen mit L3=L2:
In Liste L3 den obersten Eintrag löschen: Die Werte werden dadurch gegenüber Liste L2 um einen Platz verschoben.
In Liste L2 den untersten Eintrag löschen: Dadurch erhält Liste L2 die gleiche Länge wie Liste L3.
In Liste L4 die Werte von L3 durch L2 dividieren:
Es ergibt sich in allen Zeilen eine Konstante, d.h. es liegt exponentielles Wachstum mit dem Wachstumsfaktor 3,42 vor.

Exponentielles Wachstum lässt sich mit der Gleichung y=a·b^x beschreiben.
Hausaufgabe: Wie wirkt sich die Variation von a und b auf den Kurvenverlauf der Funktionsgraphen aus?

2010-05-27

Die Abhängigkeit des Graphen der Exponentialfunktion y=a·b^x lässt sich gut am GeoGebra-Applet erforschen:

Der Faktor a gibt die Lage des y-Achsenabschnitts an.
Für positive a verläuft die Kurve oberhalb der x-Achse, für negative a unterhalb der x-Achse.
Der Faktor b gibt den Grad der Krümmung an.
Für b>1 ist die negative x-Achse Asymptote zum Graph.
Je größer b ist, desto näher an der y-Achse verläuft der Graph.
Für b=1 ergibt sich die Funktion mit der Gleichung y=a (Parallele zur x-Achse im Abstand a).
Für 0<b<1 ist die postive x-Achse Asymptote zum Graph.
Je kleiner b ist, desto näher an der y-Achse verläuft der Graph.
Für b=0 ergibt sich die x-Achse mit Lücke bei (0/0).
Werte für b<0 sind nicht erlaubt.

Um einen Eindruck davon zu bekommen, wie schnell die Kurve der Exponentialfunktion y=1·2^x nach oben ansteigt, haben wir überlegt:
Da der Platz im Heft nicht ausreicht, legen wir das Heft auf den Boden und zeichnen (in Gedanken) auf dem Erdboden immer weiter, bis aus der Schule, aus der Stadt heraus und so lange, bis wir einmal die Erde umrundet haben und wieder an der x-Achse ankommen. An welcher Stelle treffen wir die x-Achse wieder?
Zeichnen wir im Maßstab 1cm pro Einheit, so suchen wir den x-Wert, dessen y-Wert den Erdumfang in cm angibt.
Erdumfang: 40 000 km=40 000 000 m = 4 000 000 000 cm.
Zu lösen ist also die Gleichung 4 000 000 000 = 2^x ---> x = log ₂ 4 000 000 000 = 31,9.
Nach fast 32 cm ist der Graph einmal um die Erde gewandert! Exponentielles Wachstum ist also ein extrem starkes Wachstum.
Welche Exponentialfunktion der Form y=a·b^x verläuft durch die Punkte (1/2) und (5/10)?

weiter mit Figuren und Körper