Unterrichtseinsichten
- Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 9a
Figuren und Körper
2010-06-02
- Bisher haben wir uns mit geradlinig begrenzten Flächen und Körpern beschäftigt.
Das
Messen der Randlängen und das Berechnen der Flächeninhalte
und Volumina war dabei kein großes Problem: Wenn die Strecken
nicht parallel zu den Koordinatenachsen lagen, konnte man mit
dem Satz des Pythagoras die Längen berechnen. - Als
erstes Objekt mit gekrümmten Rändern betrachten wir nun
Kreise mit der Aufgabe, den Umfang eines Kreises mit dem Radius r zu
bestimmen.
Näherungsweise soll dabei der Kreis von innen und
außen durch gleichseitige Dreiecke, Vierecke und Sechsecke
angeglichen werden.
Durch Intervallschachtelung können wir so Grenzen angegeben, in denen der Kreisumfang liegen muss. - Bei
jeder Figur werden die Seitenlängen s der einbeschriebenen und S
der umbeschriebenen Figur berechnet und daraus der Umfang der Figuren
ermittelt.
- Einbeschriebenes und umbeschriebenes Dreieck
(ausgenutzt wird, dass M der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist
und dass dieser Schnittpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis
1:2 teilt).
- einbeschriebenes Dreieck
- umbeschriebenes Dreieck
- Einbeschriebenes und umbeschriebenes Viereck
- einbeschriebenes Viereck
- umbeschriebenes Viereck
- Einbeschriebenes und umbeschriebenes Sechseck
- einbeschriebenes Sechseck
- umbeschriebenes Sechseck
- Übersicht über die bisher erhaltenen Ergebnisse:
Je größer das n des n-Ecks, desto besser die Eingrenzung des Wertes für den Kreisumfang.
Da
dieses Verfahren aber sehr zeitaufwändig ist, müssen wir uns
in der nächsten Stunde ein effektiveres Vorgehen ausdenken.
2010-06-03
2010-06-09
- In der letzten Stunde haben wir den Umfang eines Kreises zu U=2·π·r gefunden.
- Die Kreisfläche lässt sich mit Hilfe der Umfangsformel leicht herleiten:
Um den Kreis wird ein regelmäßiges n-Eck gelegt.
Dieses lässt sich in gleichschenklige Dreiecke zerlegen, deren einer Eckpunkt immer in der Mitte des Kreises liegt.
Die Dreiecke haben dann jeweils die Grundseite Sn, die Höhe r und damit die Fläche ADreieck=1/2·r·Sn.
Alle n Dreiecke zusammen bilden die Fläche des Kreises: AKreis=n·1/2·r·Sn.
Da im Grenzfall für sehr große n gilt n·Sn=UKreis, gilt AKreis=1/2·r·UKreis=1/2·r·2·π·r=π·r2. - Folgende Formeln gelten also bei einem Kreis:
- Umfang eines Kreises: U=2·π·r
- Fläche eines Kreises: A=π·r2
- Hausaufgabe: Seite 210 Aufgabe 39
- Hier ein Link zum unterschiedlichen Höhennormal in Deutschland und der Schweiz
und hier ein Link zu den "Bergen" auf dem Meer
und hier noch besser und sehr(!) eindrucksvoll erklärt: Das Potsdamer Geoid - Satelliten vermessen das Schwerefeld der Erde
2010-06-16
- Fläche eines Kreisringes
- 1. Methode:
Flächeninhalt des Kreises mit dem Radius r2 minus Flächeninhalt des Kreises mit dem Flächeninhalt r1:
- 2. Methode:
Umfang des Kreises berechnen, dessen Radius rm gleich ist dem Mittelwert der beiden Radien r1 und r2 (gestrichelter Kreis), dann mit der Dicke d=r2-r1 des Kreisringes multiplizieren:
- Flächen- und Umfangsberechnungen
- Flächeninhalt
- Man sieht unmittelbar, dass in allen Zeichnungen die gelben Flächen innerhalb der Figur gleich groß sind.
Die
kleinen nach unten gewölbten Halbkreise kann man nämlich in
die fehlenden weißen nach oben gekrümmten Halbkreise setzen
und es ergibt sich jedesmal ein Halbkreis mit dem Radius 6.
Auch bei
noch feineren Unterteilungen der x-Achse ergibt sich (wenn genau gleich
viele nach unten wie nach oben gerichtete Halbkreise existieren)
für die Flächeninhalte immer derselbe Wert.
Das gilt auch
für den Grenzfall, bei dem die kleinen Kreisbögen auf der
x-Achse nur als waagrechte Strecke zu erkennen sind.
- Umfang
- In
der linken Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen
für einen großen Halbkreis (Radius 6) und einem ganzen
Kreisumfang für einen Kreis mit dem Radius 3:
- In der mittleren Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen
Halbkreis (Radius 6) und 2 ganzen Kreisumfängen für einen Kreis mit
dem Radius 1,5:
- In der rechten Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen
Halbkreis (Radius 6) und 3 ganzen Kreisumfängen für einen Kreis mit
dem Radius 1:
- Das Ergebnis ist immer der Umfang eines groeßen Kreises mit dem Radius 6.
Das
gilt auch für den Grenzfall, bei dem die kleinen Kreisbögen
auf der x-Achse optisch nicht von einer Strecke zu unterscheiden sind.
Der Umfang eines großen Halbkreises würde aber nur 6π+12 betragen.
- Die Möndchen des Hippokrates
Zu berechnen ist der Flächeninhalt der gelb unterlegten Fläche.
Lösung:
Die Flächeninhalte der beiden Halbkreise über AC und BC und
der Flächeninhalt des roten Dreiecks werden addiert. Davon wird
der Flächeninhalte des Halbkreises über AB subtrahiert.
Die Fläche der beiden gelben Sichelmöndchen ist also genau so groß wie die Fläche des roten Dreiecks.
Dieser Sachverhalt (genannt: Möndchen des Hippokrates) war schon vor über 2000 Jahren in Griechenland bekannt.
weiter mit Figuren und Körper (Fortsetzung)