Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2015/2016 - Mathematik 12ma5g

Matrizen

2015-11-03

• Was sind Matrizen und wozu braucht man Matrizen?
  Beispiel: Schoko-Artikel-Verkauf im Internet
• In der Gründungsphase verkauft man lediglich ein Produkt (Schoko-Weihnachtsmann). Eine Packung besteht aus 8 Weihnachtsmännern.
  Ein Kunde bestellt 3 Packungen.
  Dann rechnet man die Anzahl der Weihnachtsmänner so aus: 8 mal 3 gleich 24.
  
  Dafür braucht man keine Matrizen!
• Da nicht alle Kunden 8-er Packungen kaufen wollen, wird ein zweites Produkt angeboten: Packung mit 6 Weihnachtsmännern.
  Ein Kunde möchte 3 Packungen von Produkt 1 und 1 Packung von Produkt 2 kaufen.
  Dazu muss man rechnen: 8 mal 3 plus 1 mal 6 = 30.
  Wir erinnern uns, dass wir vor einigen Wochen solche Rechnungen schon durchgeführt haben beim Skalarprodukt. Also kann man auch schreiben:
  
• Die Kunden wünschen sich ein etwas vielfätigeres Angebot: Die Packungen werden ergänzt durch Schoko-Kugeln, wobei nun das Produkt 1 aus 8 Weihnachtsmännern und 2 Schokokugeln und Produkt 2 aus 6 Weihnachtsmännern und 4 Schokokugeln besteht.
  Der treue Kunde bestellt wieder die selbe Menge wie beim letzten Mal: 3 mal Produkt 1 und 1 mal Produkt 2. Was wird er erhalten?
  Er bekommt 8 mal 3 plus 6 mal 1 Weihnachtsmänner und 2 mal 3 plus 4 mal 1 Schokokugeln, also 30 Weihnachtsmänner und 10 Schokokugeln.
  Nun wird die Berechnung etwas umständlich.
  In Skalarprodukt-Form müssten nun links 2 Vektoren stehen, die jeweils mit dem rechten Vektor multipliziert würden.
  Man schreibt das so:
  
  Das linke Gebilde nennt man 2x2-Matrix, da 2 Zeilen und 2 Spalten vorhanden sind.
  Den Kunden-Vektor nennt man 2x1-Matrix, da dieser aus 2 Zeilen und 1 Spalte besteht.
  In den Spalten stehen die Zusammensetzungen jedes Produkts, in den Zeilen die Anzahl der Artikel für jedes Produkt.
  Um die Multiplikation durchzuführen, werden die Zeilen der linken Matrix mit den Spalten (bzw. der Spalte) der rechten Matrix multipliziert.
• Die Matrizen lassen sich erweitern, z. B. für mehr Produkte, für weitere Packungsinhalte, für weitere Besteller...
  Im Folgenden nun erst einmal die Definitionen und Rechenregeln für Matrizen.
• Eine Matrix besteht aus Zahlen, die in Reihen und Spalten angeordnet sind und von einer Klammer umschlossen werden.
  Beispiele:
  
• 2x3-Matrix:
  
  
• 4x2-Matrix:
• Werden 4 ähnliche Produkte aus den gleichen Bestandteilen unterschiedlich zusammengesetzt, so schreibt man die folgende Übersicht für Berechnungen als Matrix:
  
• Mit Matrizen kann man rechnen:
• Das Produkt einer Zahl mit einer Matrix wird gebildet, indem jedes Element der Matrix mit der Zahl multipliziert wird.
  Beispiel: 
• Zwei Matrizen werden addiert, indem man jedes Element der einen Matrix mit dem entsprechenden Element der anderen Matrix addiert.
  Beispiel: 
• Die Skalarmultiplikation und die Addition waren unmittelbar einleuchtend.
  Gibt es aber auch eine Skalarmultiplikation?
• Bei der Multiplikation von Matrizen werden die Zeilenvektoren der 1. Matrix mit den Spaltenvektoren der 2. Matrix als Skalarprodukt multipliziert.
  
  Mit folgender Anordnung lässt sich diese Aufgabe übersichtlich erledigen:
  
  Damit die Multiplikation gelingen kann, muss die 1. Matrix so viele Spalten haben wie die 2. Matrix Zeilen enthält.
  Allgemein: Eine n x m - Matrix (mit n Zeilen und m Spalten) kann mit einer m x k - Matrix multipliziert werden, wodurch sich eine n x k - Matrix ergibt.
• Zu der Anwendung mit Produktionsmatrix, Auftragsmatrix und Ergebnismatrix siehe die durchgerechneten Aufgaben im Buch ab Seite 306.
• Gibt es zwei Matrizen E und A mit der Eigenschaft E·A=A?
  Durch Probieren kommt man bei 2 x 2 - Matrizen leicht zur Lösung .
  Matrizen mit lauter Einsen in der Diagonale von links oben nach rechts unten und sonst lauter Nullen nennt man Einheitsmatrix.
  Wird eine Matrix mit der Einheitsmatrix multipliziert, so ändert sich die Matrix nicht.
• Hausaufgabe: Wenn , gibt es dann eine Matrix B, sodass A·B=E?

• Lösung der Hausaufgabe:
  
• Bei mehrstufigen Produktionsprozessen benutzt man Übergangsmatrizen für den Übergang zwischen je zwei Fertigungsstufen, die dann multipliziert die Übergangsmatrix für den gesamten Prozess lieferten.
• Beispielaufgabe:
  
  Bei einem Produktionsprozess werden 2 verschiedene Endprodukte erstellt, die aus jeweils 3 Zwischenprodukten bestehen, die wiederum aus 2 Rohstoffen zusammengesetzt sind.
  Der Übergangsgraph (auch Gozinto-Graph genannt) lässt sich in zwei Übergangsmatrizen darstellen:
   
  Die Multiplikation dieser beiden Matrizen ergibt die Gesamt-Übergangsmatrix:
  
  Wünscht ein Kunde 10-mal das Produkt E1 und 20-mal das Produkt E2, so rechnet man:
  
  Zur Fertigung werden 410 Teile des Rohstoffes R1 und 430 Teile des Rohstoffes R2 benötigt.
• Codierung mit Hilfe von Matrizen
  Ein Text soll per e-Mail übertragen werden und dabei durch Verschlüsselung für Nichtberechtigte unleserlich sein.
  Dazu kann man folgendermaßen vorgehen:
• Zunächst ordnet man jedem Buchstaben (oder anderen Zeichen) eine Zahl zu. Beispiel:
  
• Nun wird die Nachricht codiert, indem für jeden Buchstaben die entsprechende Zahl geschrieben wird:
  Für die Nachricht "Weihnachtsferien" gilt:
  
  Würde nur diese Zahlenreihe übertragen, könnte man sehr einfach den Originaltext herausfinden.
• Deshalb muss die Information nun verschlüsselt werden.
  Dazu schreibt man sich die Zahlen in Matrixform auf (freie Plätze werden mit Nullen aufgefüllt) und multipliziert eine Verschlüsselungsmatrix mit dieser Informations-Matrix.
  Verschlüsselungsmatrix: V=
  Informationsmatrix: M1=
  Es ergibt sich für V·M1=M2:
  Die Zahlenfolge in der rechten Matrix M2 ist für jemanden, der die 2x2-Matrix V nicht kennt, nicht (oder nur sehr schwer) zu entschlüsseln.
• Wie kann aber der Absender die Information lesen?
  Multipliziert man die Gleichung V·M1=M2 linksseitig mit der zu V inversen Matrix V^-1, so ergibt sich mit der Einheitsmatrix E:
  V^-1·V·M1=V^-1·M2 → E·M1=V^-1·M2 → M1=V^-1·M2
  Man muss also die zur Verschlüsselungsmatrix inverse Matrix bilden und damit die zugeschickte Matrix multiplizieren um den Klartext zu erhalten.
  V^-1 liefert uns der Taschenrecher:
  Daraus folgt M1=V^-1·M2=
• Die Verschlüsselungsmatrix kann auch anders gewählt werden, muss aber quadratisch sein, weil sonst die für die Entschlüsselung notwendige inverse Matrix nicht existiert.

2015-11-10

• In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass eine Matrix M, multipliziert mit ihrer inversen Matrix M^-1, die Einheitsmatrix E ergibt: M·M^-1=E.
  Hier die allgemeine Rechnung für eine 2x2-Matrix:
  
  
  
  
  
• Bei den bisherigen Beispielen zu Produktionsprozessen wurden aus Rohstoffen zunächst Zwischenprodukte und aus diesen dann Endprodukte gefertigt.
  Die entsprechenden Materialverbrauchsmatrizen wurden multipliziert und man erhielt so eine Matrix, die direkt den Bedarf an Rohstoffen für die Endprodukte angab.
  Wenn aber sowohl Rohstoffe als auch Zwischenprodukte direkt in die Endprodukte eingearbeitet werden, kann man die einzelnen Matrizen nicht erstellen. Man bildet dann eine Gesamtbedarfsmatrix.
  Beispiel: Es soll "Reis bolognese" und "Süßer Reis mit Zucker und Zimt" hergestellt werden:
  
  In einer einzigen Matrix M werden diese Zuordnungen eingetragen:
  
  Nun werden noch ein Auftragsvektor y aufgestellt, der eine Bestellung enthält und ein Produktionsvektor x, der Angaben über alle zur Produktion erforderlichen Rohstoffe und Zwischenprodukte enthält:
  
  Die Komponenten des x-Vektors haben wir mühsam im Kopf berechnet.
  Die folgende Rechnung zeigt, wie man diese unbekannten Komponenten mit Hilfe der Gesamtbedarfsmatrix und des bekannten Auftragsvektors erhält:
  Wird die Matrix M mit x multipliziert, ergibt sich
  
  Man erkennt leicht, dass dieser Vektor gleich x-y ist.
  Daraus folgt mit der Einheitsatrix E:
  
  Berechnet man also die Differenz der Einheitsmatrix E und der Matrix M und bestimmt dazu die inverse Matrix, so ergibt sich dann durch Multiplikation mit dem Auftragsvektor der Gesamt-Bedarfs-Vektor x.
• Hier die ausführliche Rechnung:
   

2015-11-12

• Übungsaufgaben zur Materialverflechtung und zur Gesamtbedarfsmatrix

2015-11-17

• Beschreibung von Zustandsänderungen mit Matrizen
  Einführendes Beispiel:
  In unserer Region werden 3 (fiktive) Zeitungen vertrieben: "Diepholzer Blatt" (DB), "Barnstorfer Nachrichten" (BN), "Lemförder Mitteilungen" (LM).
  Aktuell lesen 30% das DB, 20% die BN und 50% die LM.
  Man weiß, dass jedes Jahr Abonnenten die Zeitungen wechseln.
  60% bleiben beim DB, 30% wechseln vom DB zu den BN und 10% wechseln vom DB zu den LM.
  30% bleiben bei den BN, 40% wechseln von den BN zum DB und 30% wechseln von den BN zu den LM.
  40% bleiben bei den LM, 50% wechseln von den LM zum DB und 10% wechseln von den LM zu den BN.
  Die Entwicklung der Abonnentenzahlen lassen sich mit Matrizen so beschreiben:
  
  Die Multiplikation der linken mit der mittleren Matrix ergibt die obere Zeile des rechten Zahlenfeldes (1. Jahr).
  Um das Ergebnis für die nächsten Jahre zu erhalten, muss immer wieder mit der mittleren Matrix multipliziert werden.
  Fürs 6. Jahr könnte man die mittlere Matrix auch mit 6 potenzieren:
          
  Man sieht, dass ab dem 4. Jahr keine Änderen des Abonnementenbestands stattfindet.
• Die Schreibweise mit der 1x3-Matrix ist analog zur Materialverflechtung sinnvoll.
  Üblich ist es aber, bei Zustandsänderungen die mittlere Matrix an einer Geraden von links oben nach rechts unten zu spiegeln und dann mit einer 3x1-Matrix zu multiplizieren:
  
• Hier kann die zugehörige Calc-Tabelle heruntergeladen werden.

2015-11-19

• In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass eine immer wiederkehrende Anwendung einer Übergangsmatrix irgendwann zu einem Ergebnisvektor führt, der sich nicht mehr ändert.
  Einen solchen Vektor nennt man Fixvektor.
  Man findet diesen Vektor, indem man den Bestandsvektor gleich dem Ergebnisvektor setzt und die Komponenten durch Variable angibt.
  Die Ausführung der Matrizenmultiplikation führt dann zu einem Gleichungssystem.
  Zusätzlich zu diesen Gleichungen muss noch gefordert werden, dass die Summe aller Komponenten des Fixvektors gleich 1 ist (also 100%).
• Beispielrechnung mit einer im Prinzip beliebigen Übergangsmatrix (allerdings muss die Summe aller Komponenten in einer Spalte immer 1 sein):
  Hier wird die Matrix der letzten Stunde gewählt.
   
   
  Dieses Ergebnis haben wir in der letzten Stunde auch durch 6-faches Anwenden der Übergangsmatrix erhalten.
• Übungen zur Beschreibung von Zustandsänderungen mit Matrizen
• Beispiel: Ameise auf Pyramide
  
  Eine Ameise läuft auf den Kantenflächen einer Pyramide entlang. An jedem Eckpunkt entscheidet sie sich zufällig für die nächste Kante, wobei sie möglicherweise auch wieder zurück geht. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird sich die Ameise an den jeweiligen Eckpunkten befinden, wenn sie 1, 2, 3, viele, sehr viele Kanten durchlaufen hat?
  Übergangsmatrix:
  
  Zu Beginn stehe die Ameise am der Ecke 1. Dann ergibt sich durch Multiplikation mit dem Vektor (1;0;0;0;0) die Wahrscheinlichkeit für den Aufenthalt an den einzelnen Ecken nach dem ersten Durchlaufen einer Kante:
  
  An den Eckpunkten 1 und 3 ist die Ameise nun mit Sicherheit nicht, an den übrigen Eckpunkten mit der Wahrscheinlichkeit 1/3.
  Das hätte man zur Not auch noch "zu Fuß" ausrechnen können.
  Die Ergebnisse für den weiteren langen Marsch erhält man durch Potenzieren der Matrix mit 2, 3, ...
  Die Ergebnisse:
  
  Man sieht, dass die Eckpunkte 1, 2, 3 und 4 auf Dauer gleich wahrscheinlich besucht werden, der Eckpunkt 5 dagegen häufiger (weil er als einziger 4 Nachbarpunkte hat).
• Was ändert sich am Ergebnis, wenn die Wahl für 5 als Zielpunkt nur halb so oft gewählt wird (weil man zu ihm hochsteigen muss) wie die Wahl der Eckpunkte in der Ebene?
  
  Auch hier ist die Wahrscheinlichkeit für einen Aufenthalt an den unteren Eckpunkte gleich und zusätzlich größer als im Beispiel oben, weil ja der Weg nach oben teilweise gemieden wird.

2015-11-24 und 2015-11-26

• Wiederholung zur Klausur (einschließlich hilfsmittelfreier Teil)

2015-12-01

• Klausur 2  [ Aufgaben | Lösungen ]

2015-12-03

• Die Übergangsmatrizen aus den letzten Stunden heißen auch stochastische Matrizen, weil die enthaltenen Zahlen Wahrscheinlichkeiten sind und in den Spalten die Summe der Werte genau 1 ergibt.
• Betrachtet man Populationsentwicklungen (es handelt sich hier um zyklische Prozesse), so haben die zugehörigen Übergangsmatrizen nicht unbedingt die Spaltensumme 1.
• Beispiel zu einer Populationsentwicklung:
  Maikäfer entwickel sich in einem mehrjährigen Rhythmus.
  Beispiel: Ein Muttertier legt in einem Jahr 50 Eier. Von den im folgenden Jahr lebenden Engerlingen (1-jährig) überleben nur 25% bis zum nächsten Jahr.
  Von den 2-jährigen überleben ebenfalls nur 25%. Außerdem entwickeln sich 0,1% der 2-jährigen zu weiblichen Maikäfern.
  Von den 3-jährigen entwickeln sich 70% zu weiblichen Maikäfern. Der Rest stirbt.
  Im Folgenden die Übergangsmatrix, der Stand zum Jahr 0 (erste senkrechte Spalte) und die Entwicklung in den folgenden Jahren (weitere senkrechte Spalten, jeweils Matrix multipliziert mit der links stehenden Spalte. Das Diagramm zeigt die Entwicklung.
  
  Das Modell führt zu einem exponentiellen Anstieg der Maikäferzahl mit einer 4-jährigen Periode.
  Ein gutes Modell liegt noch nicht vor, da im Mittel die Anzahl der Maikäfer gleich bleibt (unter Berücksichtigung der 4-jährigen Periode).
  Eine Änderung in der Matrix (gelb unterlegt) gibt eine bessere Näherung:
  
  Realistisch ist diese Näherung aber auch noch nicht, weil die Zahl der Maikäfer in den starken Jahren oft sehr unterschiedlich ausfällt.
  Eine weitere Verbesserung ergibt sich, wenn man noch 4-jährige Engerlinge berücksichtigt (8% der 3-jährigen überleben bis ins 4. Jahr, von den 4-jährigen werden 50% zu Maikäfern):
  
  Man sieht, dass hier die Periodenlänge etwas mehr als 4 Jahre beträgt.