Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2015/2016 - Mathematik 12ma5g

Analysis II

2015-12-10

Rückgabe der Abi-Probe-Klausur [ Aufgaben | Lösungen ]
Wiederholung zum Thema Logarithmen.
Hier ein Beitrag zum Rechnen mit dem Rechenstab.
Beweismethode "Vollständige Induktion" am Beispiel einer Rechenregel für Logarithmen.

2015-12-15

Exponentialfunktionen der Form y=a∙b^x:
Ist b>1, so liegt ein exponentielles Wachstum vor.
Ist b<1, so liegt eine exponentielle Abnahme vor.
Beispiel:
Eine Bakterienkultur vergrößert sich in 5 Tagen um das 2,7-fache. Zu Beginn sind 130 Bakterien vorhanden. Wieviel Bakterien sind es nach 17 Tagen?
Die Gleichung y=130∙2,7^x ist falsch, da dann schon nach 1 Tag das 2,7-fache vorhanden wäre.
Man muss den Exponenten so ändern, dass jeweils nach 5 Tagen der Exponent um 1 zunimmt.
Das geschieht durch Division von x durch 5: y=130∙2,7^x/5, denn wenn x=5, dann ist 5/5=1, bei x=10 ist 10/5=2 usw.
Ergebnis
Lösung der Aufgabe:
x=17 → y=130∙2,7^17/5=3807
Man kann die Gleichung auch so umformen, dass im Exponenten nur x steht:

Die Basis gibt jetzt den Wachstumsfaktor für 1 Zeitschritt bzw. 1 Wegschritt an.
Berechnung der Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bei Kenntnis zweier Punkte eines Graphen

2016-01-12

Begrenztes Wachstum
Einführende Aufgabe:
Der Kaffee in einer Tasse hat die Temperatur ϑ=90°C. Die Zimmertemperatur beträgt 20°C. In 1 Minute nimmt die Temperatur des Kaffees um 20% bezogen auf den Unterschied zur Raumtemperatur ab.
Zu berechnen ist, wann die Temperatur 40°C beträgt.
Lösung: Die bisher benutzte Wachstums- und Zerfallsgleichung ϑ=a·e^k·t kann hier nicht benutzt werden, da dann für sehr große t-Werte die Temperatur gegen 0°C gehen würde. Addiert man zum rechten Term aber noch die Zimmertemperatur, so geht für große t die Temperatur gegen diesen Wert: ϑ=a·e^k·t+ϑ_Zimmer.
Aus t=0 folgt ϑ=90°C, aus t=1 folgt ϑ=90°C-0,2·70°C=76°C.
Diese beiden Bedingungen gestatten es, die Parameter a und k zu bestimmen. Dann kann auch leicht die gestellte Frage beantwortet werden.
Lösung der Aufgabe:

Man muss also knapp 6 Minuten warten, bis der Kaffee die richtige Temperatur hat.
Hausaufgabe: Seite 169 Aufgabe 9

2016-01-14

Übungsaufgaben zum beschränkten Wachstum.
Eine Regression zum beschränkten Wachstum erlaubt der Taschenrechner nicht.
Stattdessen geht man folgendermaßen vor:
Von den gegebenen Funktionswerten subtrahiert man den Wert S der Sättigungsgrenze.
Auf die verbleibenden Werte kann man dann eine exponentielle Regression anwenden.
Die gefundene Funktionsgleichung wird dann noch mit dem Wert S addiert.
Beispiel:

Als Grenzwert S wird S=20 gesetzt.
Daraus ergibt sich:

Exponentielle Regression mit dem Taschenrechner durchführen:

Es ergibt sich die Regressionsgleichung 20-f(t)=16∙0,5^t und daraus f(t)=20-16∙0,5^t.
Hausaufgabe:
Gegeben ist die Messreihe
Die Bereiche von t=0 bis t=4 und von t=4 bis t=9 sollen getrennt auf Wachstumsverhalten untersucht werden.

2016-01-19

Zeichnen der Messpunkte:
Für t=0 bis t=4 Ansatz: exponentielles Wachstum (ExpReg)
Für t=4 bis t=9 Ansatz: begrenztes Wachstum
Da der Taschenrechner hierfür keine Regression anbietet, werden die Differenzen von Funktionswert und Grenzwert berechnet (L5=48-L4).
Diese Werte sind Werte einer Exponentialfunktion, für die die Regression ExpReg verwendet werden kann. Das Ergebnis wird unter Y2 gespeichert. Für die richtige Darstellung des Funktionsgraphs wird die Differenzbildung rückgängig gemacht: Y3=S-Y2 mit S=48.

In der Natur tritt häufig ein Wachstumsverhalten auf, das zunächst wie ein exponentielles Wachstum und dann wie ein begrenztes Wachstum erfolgt.
Bei Bäumen ist z. B. die Wachstumsgeschwindigkeit zur Zeit t oft proportional zur Größe des Baumes und proportional zu der Länge, die an der maximalen Höhe des Baumes noch fehlt.
Mit S als maximal möglicher Höhe des Baumes gilt dann für die Wachstumsgeschwindigkeit (Ableitung der Höhe nach der Zeit):
Der Taschenrechner bietet als Regression dazu "Logistic" an.
Die entsprechende Funktion für die Tabelle der Hausaufgabe:

2016-01-21

Wiederholung zum logistischen Wachstum an Hand der Besprechung der Hausaufgabe (Seite 174 Aufgabe 6)
Wiederholung Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel
Anwendung auf e-Funktionen in Verbindung mit einer Kurvendiskussion

2016-01-26

Nach der Besprechung der Hausaufgabe Einführung in das Thema Funktionsscharen am Beispiel der Funktion f(x)=e^x-ax.
Nullstellen können nicht exakt ermittelt werden.
Näherungslösungen kann man aber leicht mit Hilfe des Taschenrechners erlangen: MATH > SOLVER.
Siehe dazu die Anleitung unter TI-84-Funktionen auf Seite 3.

2016-02-02

2016-02-04