Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2013/2014 - Mathematik 10e

Wachstumsprozesse

• Wissenstest zu Themen aus dem letzten Schuljahr
• Potenzrechnung
• Strahlensätze
• Trigonometrie
• Flächenberechnung (Kreis)
• Parabeln und ihre Gleichungen (Scheitelpunktform und Normalform)
• Es hat sich gezeigt:
• Vor allem bei der Potenzrechnung und bei den Parabeln und ihren Gleichungen sind größere Lücken vorhanden.
  Schaut Euch bitte die Aufgaben und die Lösungen noch einmal zu Hause an!
• Werden beim Strahlensatz Abschnitte auf den Parallelen und den Strahlen betrachtet, so muss man auf den Strahlen immer vom Schnittpunkt der Strahlen aus die Entfernungen berücksichtigen.

2013-08-12

• Potenzielles Wachstum
  
  Auf dem Skulpturenpfad von Diepholz zum Dümmer kommt man bei den Fibonacci-Kuben vorbei.
  (Informationen zu Fibonacci und der Fibonacci-Folge)
  Die Fibonacci-(Zahlen-)Folge ergibt sich daraus, dass jede neue Zahl der Folge aus der Summe der beiden vorangegangenen Zahlen gebildet wird:
  Man beginnt mit 0 und 1. Dann ergeben sich die nächsten Zahlen der Folge durch 0+1=1, 1+1=2, 1+2=3, 2+3=5, 3+5=8, 5+8=13, ...
  Ist f(n) das n-te Element der Fibonacci-Folge, so wird die Folge rekursiv definiert durch f(0)=0; f(1)=1; f(n)=f(n-2)+f(n-1).
  Die explizite Darstellung lautet .
• Gefragt war nach Formeln, um die Gesamtlänge L(x) aller Kanten, die Gesamt-Oberfläche O(x) und das Volumen V(x) eines Kubus zu berechnen und vor allem auch des Würfels, der als nächster in der Reihe gebaut wird und noch nicht ausgestellt ist (x ist die Seitenlänge eines Würfels).
  Lösung: L(x)=12·x ; O(x)=6·x² ; V(x)=x³
• Die beiden kleinsten Würfel haben jeweils die Seitenlänge 0,2m.
  Damit haben die schon vorhandenen Würfel die Seitenlängen 0,2m ; 0,2m ; 0,4m ; 0,6m ; 1,0m ; 1,6m ; 2,6m.
  Der nächste zu bauende Würfel besitzt also
  die Seitenlänge 4,2m und damit
  die Gesamt-Kantenlänge L(4,2m)=12·4,2m=50,4m,
  die Gesamt-Oberfläche O(4,2m)=6·(4,2m)²=105,84m² und
  das Volumen V(4,2m)=(4,2m)³=74,088m³.
• Der größte Zahlenwert tritt hier bei der Oberfläche auf.
  Gefragt war nun, für welche Würfel L, für welche O und für welche V den größten Zahlenwert haben.
  Dazu sollten die Graphen der Funktionen gezeichnet werden.
          
  Hausaufgabe: Bestimmung der Schnittpunkte und damit der geforderten Lösung.
• Allgemein werden nun Funktionen der Art f(x)=xⁿ untersucht:
  Hausaufgabe: Klassifikation der Funktionen, also z. B.
  - für welche n gibt es ähnliche Graphen?
  - gibt es Punkte, die alle Graphen gemeinsam haben?
  - gibt es Punkte, die nur ein Teil der Graphen gemeinsam hat?

2013-08-15

• Zur Klassifikation der Potenzfunktionen haben wir uns die Graphen der Funktionen f(x)=xⁿ mit n∈R in GeoGebra angesehen:
      
  Download der GeoGebra-Datei.
• Folgende Eigenschaften haben wir gefunden:
• Die Graphen aller Funktionen mit positivem geraden n sehen U-förmig aus (Bild links) und laufen durch den Punkt C(-1/1).
• Die Graphen aller Funktionen mit positivem ungeraden n sehen so aus wie die Kurve im Bild rechts und laufen durch den Punkt D(-1/-1).
• Die Graphen aller Funktionen laufen durch die Punkte A(0/0) und B(1/1).
• Sonderfälle:
• Bei n=1 ergibt sich eine Ursprungsgerade der Steigung 1.
• Bei n=0 ergibt sich eine Parallele zur x-Achse beim y-Wert 1. DIe Gerade hat eine Lücke bei (0/1), da ein Wert für 0⁰ nicht definiert ist.
• Für negative ganze n ergeben sich Hyperbeln, die durch B und C/D verlaufen.
• Für nicht-ganzzahlige n finden wir Graphen von Wurzelfunktionen.
  Da die Argumente von Wurzeln nicht negativ sein dürfen, ist der Graph nur für positive x definiert.
• Die Graphen aller Potenzfunktionen mit gerader Hochzahl scheinen achsensymmetrisch zur y-Achse zu sein.
  Um das zu beweisen, haben wir uns überlegt, welche Bedingung erfüllt sein muss, damit eine Kurve diese Eigenschaft hat.
  
  Download des GeoGebra-Arbeitsblattes
• Hausaufgabe: Überprüfen der gegebenen Funktionen auf Achsensymmetrie und Seite 68 Aufgabe 16, 17 und 18.

2013-08-19

• Herleitung der Formel zur Überprüfung auf Punktsymmetrie zum Punkt (0/0):
  
  Download des GeoGebra-Arbeitsblattes
• Ergebnis der Herleitungen:
  
• Hausaufgabe: Seite 69 Aufgaben 20, 21

2013-08-22

• Besprechung der Hausaufgabe und Training zum Zuordnen von Graphen zu Funktionsgleichungen
• Potenzfunktionen mit positiven ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit negativen ganzzahligen Exponenten
• Potenzfunktionen mit Exponenten aus dem Bereich der reellen Zahlen
• Bei einer Aufgabe ging es darum, mit dem Taschenrechner die Nullstellen eines Funktionsgraphen (← Stellen, an denen der Graph die x-Achse schneidet) zu bestimmen.
  Wir haben dazu die GTR-Funktionen TRACE, ZERO und INTERSECT wiederholt und neu das Lösen von Gleichungen mit dem SOLVER besprochen.
  Siehe dazu auch die Hilfestellungen unter TI-84-SekI und TI84-Funktionen.
• Das Verschieben und Strecken von (einfachen) Graphen kann man mit folgendem Trainingsprogramm üben:
  

2013-08-26

• Wiederholung in Verbindung mit dem Verschieben von Graphen im Koordinatensystem:
• Die Werte für sin α, cos α und tan α können am Einheitskreis abgelesen werden.
  Die Werte können als Funktionswerte interpretiert und graphisch dargestellt werden.
  
• Man kann auch für Winkel größer als 90° die Werte für sin α, cos α und tan α definieren:
  sin α : senkrechte Strecke zwischen Punkt auf dem Kreis und der x-Achse unter Berücksichtigung des Vorzeichens
  cos α : waagrechte Strecke zwischen Punkt (0/0) und einem Punkt auf der x-Achse unter Berücksichtigung des Vorzeichens
  tan α : senkrechte Strecke zwischen Punkt auf der Tangente rechts am Kreis und der x-Achse unter Berücksichtigung des Vorzeichens
  Auch hier lassen sich die Werte als Funktionsgraph darstellen:
   
• Winkel können im Winkelmaß (in der Einheit °) oder im Bogenmaß (reine Zahl) angegeben werden.
  Der Wert für den Winkel im Bogenmaß erhält man, wenn man am Einheitskreis die Länge des Kreisbogens berechnet, der sich zwischen den freien Schenkeln des Winkels befindet.
  Häufig gibt man die Winkelgrößen im Bogenmaß als Vielfache der Zahl π an.
  360° ↔ 2π ; 180° ↔ π ; 90° ↔ π/2 ; 60° ↔ π/3 ; 45° ↔ π/4 ; 30° ↔ π/6
• Auf dem Taschenrechner bezeichnet RADIAN das Bogenmaß und DEGREE das Winkelmaß in Grad, einzustellen unter MODE.
• Einführendes Beispiel zu Exponentialfunktionen
  Für einen 16 Tage dauernden Aushilfsjob werden 3 Entlohnungsmodelle angeboten:
  1. 15 € am 1. Tag, dann jeden Tag 30 €,
  2. jeden Tag 25 €,
  3. 4 Cent am 1. Tag, dann jeden Tag so viel, dass man insgesamt doppelt so viel wie am Tag vorher hat.
  a) Welches ANgebot ist am günstigsten?
  b) Eine Formel für jedes Angebot erstellen.
• a) lässt sich durch Probieren mit dem Taschenrechner gut ermitteln:
  Als Verdienst bei 1. ergibt sich 465 €, als Verdienst bei 2. ergibt sich 400 € und als Verdienst bei 3. ergibt sich 1310 €.
  b) Als Formeln ergeben sich
  a(n)=30·(n-1)+15 für den Fall1.,
  b(n)=25·n für den Fall 2. und
  c(n)=0,04·2^n-1 für den Fall 3.
  Graphen der Funktionsgleichungen, aus denen man ersehen kann, wie sich die Einnahmen über die Tage entwickeln:
          
  Mit Gleichungen vom Typ c(n) werden wir uns demnächst mehr beschäftigen.

2013-08-29

• Funktion
• Werden die Elemente einer Menge (z. B. x-Werte) den Elementen einer anderen Menge (z. B. y-Werte) zugeordnet, so spricht man von einer "Relation". Dabei ist es gleich, ob einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet werden oder ob zu einem y-Wert mehrere x-Werte gehören.
• Es gibt Relationen, die man "Funktion" nennt, wenn eine Zusatzbedingung erfüllt ist: Zu jedem x-Wert darf es nur genau einen y-Wert geben. Eine solche Funktion heißt "eindeutig", da für jeden x-Wert eindeutig feststeht, welcher y-Wert dazu gehört.
• Gilt bei Funktionen sogar, dass auch zu jedem y-Wert nur ein x-Wert gehört, so nennt man diese Funktionen "eineindeutig", weil die Eindeutigkeit für beide Richtungen gilt.
• In folgender Abbildung sind die für die Unterscheidung wichtigen Zuordnungspfeile in grün gezeichnet.
   
   

• Schreibweise für Funktionen
  y=m·x+b (oder mit speziellen Werte y=3·x-5) bedeutete bis jetzt, dass x die unabhängige Variable war, deren Wert man frei vorgeben kann und dass y die abhängige Variable ist, deren Wert sich aus der Wahl des x-Wertes ergibt.
  Da demnächst vermehrt mit Buchstaben gerechnet wird, könnte unklar sein, welches die unabhängige Variable ist.
  Man könnte deshalb y(x)=m·x+b schreiben und damit zeigen, dass die unabhängige Variable x ist oder y(b)=m·x+b, wenn b die unabhängige Variable ist und x für einen festen Zahlenwert steht.
  Da aber häufig mehrere Funktionen gleichzeitig betrachtet werden und diese Funktionen unterschieden werden müssen, setzt man statt y einen Buchstaben (meistens f, g oder h) und dahinter in Klammern die unabhängige Variable:
  f(x)=m·x+b
  g(b)=m·x+b ist damit die Funktion mit dem Namen g, deren unabhängige Variable durch den Buchstabe b bezeichnet wird.
• Exponentialfunktion f(x)=2^x
  Der Graph dieser Funktion verläuft von links kommend sehr nah an der x-Achse (die x-Achse ist eine Asymptote), um dann im Bereich der y-Achse immer weiter nach oben anzusteigen.
  Experimentell haben wir mit dem Taschenrechner herausgefunden, wie wir die Skalierung der y-Achse wählen müssen, damit wir den Funktionswert bei x=10 abgebildet bekommen:
          
      
• Angenommen, man würde einen Papierstreifen um die ganze Erde legen, darauf ein Koordinatensystem mit der Einheit 1 cm zeichnen und dann den Graph der Funktion f(x)=2^x abtragen. Wo würde man dann nach der Umrundung der Erde wieder auf die x-Achse treffen?
  Lösung: Die Erde hat den Umfang 40 000 km = 40 000 000 m = 4 000 000 000 cm.
  Man muss also die Gleichung 2^x=4 000 000 000 lösen. Da wir noch nicht wissen, wie man diese Gleichung nach x auflösen kann, haben wir das Ergebnis durch Probieren gefunden:
   
  Der Papierstreifen müsste also nur um 2 cm breiter sein als eine DIN A-4-Seite im Querformat!
  Noch überraschender ist, dass die nächste Erdumrundung schon nach einem einzigen weiteren cm auf die x-Achse trifft.
  Der Graph verläuft, nachdem er erst einmal den Weg nach oben angetreten hat, fast senkrecht, aber eben nur fast: Der Bereich ab etwa x=35 wäre bis ins Unendliche ganz schwarz vor lauter Graph, weil beliebig große x-Werte in die Gleichung eingesetzt werden können!

2013-09-02

• Exponentielles Wachstum kann durch Funktionen der Art f(x)=a·b^x beschrieben werden, wobei b>1 sein muss.
  Beispiel für f(x)=1000·1,03^x
          
• Exponentielle Abnahme (oder Expoentieller Zerfall) kann durch Funktionen der Art f(x)=a·b^x beschrieben werden, wobei 0<b<1 sein muss.
  Beispiel für f(x)=30·0,78^x
         

2013-09-05

• Exponentielle Abnahme
  Ist von einer bestimmten Substanz von 10mg nach 1 Zeiteinheit nur noch 75% vorhanden, so kann die Gleichung f(t)=10mg·0,75^t den Zerfallsvorgang beschreiben.
  Nach 2 Zeiteinheiten sind dann noch f(2)=10mg·0,75²=5,625mg übrig.
  Rechnet man in der Einheit "2 Zeiteinheiten", so ändert sich die Basis der Potenz in der Funktionsgleichung: g(t)=10mg·0,5625^t.
  1 t steht jetzt für 2 Zeiteinheiten. 
• Regression
  Folgende Wertetabelle ist gegeben: .
  Es ist eine Funktionsgleichung gesucht, die die Abhängigkeit zwischen x und y gut beschreibt.
  Dazu werden zunächst die Werte graphisch dargestellt:
             
  Da nicht eindeutig der Funktionstyp auszumachen ist, soll überprüft werden, ob eine lineare Funktion, eine Exponentialfunktion oder eine Potenzfunktion die Lage der Punkte am besten beschreibt.
• Mit STAT > CALC > 4:LinReg(ax+b) wird vom Rechner eine Ausgleichsgerade durch die Punkte gelegt.
  Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen des GTR "LinReg(ax+b) L1,L2,Y1" eingegeben werden.
  Hier muss man natürlich die Listen angeben, in die man die Werte eingegeben hat.
  L1 und L2 erhält man mit der 2nd-Taste, gefolgt von der 1- bzw. 2-Taste (es steht blau oberhalb der Taste L1 bzw. L2).
  Y1 erhält man mit der ALPHA-Taste, gefolgt von der F4-Taste. Die gewünschte Funktion kann dann mit Cursor und abschließendem ENTER ausgewählt werden.
  Das Komma erhält man über die Komma-Taste (oberhalb der 7-Taste).
  Nach Durchführen der Regression (←Anpassung) Zeigt der Rechner die Werte für a und b an.
  Zusätzlich erhält man über den Wert für r eine Information, wie gut die Anpassung ausfällt.
  Ist r=1 oder r=-1, so ist die Anpassung perfekt. Ist r=0, so ist die Anpassung vollkommen fehlgeschlagen.
  Je näher der Wert an 1 oder -1 liegt, desto besser ist die Anpassung.
  Zeigt der Rechner den Wert für r nicht an, kann das durch MODE > STAT DIAGNOSTICS > ON angeschaltet werden.
             
• Mit STAT > CALC > 4:ExpReg wird vom Rechner der Ausgleichsgraph einer Exponentialfunktion durch die Punkte gelegt.
  Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen des GTR "ExpReg L1,L2,Y1" eingegeben werden.
  Weitere Informationen wie bei LinReg.
             
• Mit STAT > CALC > 4:PowReg wird vom Rechner der Ausgleichsgraph einer Exponentialfunktion durch die Punkte gelegt.
  Abweichend vom folgenden Screenshot muss bei älteren Betriebssystemen des GTR "PowReg L1,L2,Y1" eingegeben werden.
  Weitere Informationen wie bei LinReg.
            
• Auswertung
  Der r-Wert bei LinReg ist zwar vielversprechend (0,993), aber man sieht am Graph, dass die Punkte auf einer Linkskurve liegen.
  Bei PwrReg ist der Graph anders gekrümmt als eine gedachte Kurve, die durch die Punkte gelegt wird.
  Also kommen eine lineare Funktion und eine Potenzfunktion für die Annäherung nicht in Frage.
  Die Exponentialkurve beschreibt den Verlauf der Punkte sehr gut. Man sollte also als Näherungskurve eine Exponentialfunktion zu Grunde legen.

2013-09-09

• Aufgabe: Ein Guthaben von 50 € wird mit 3% jährlich verzinst. Wie lange muss man warten, bis sich das Kapital verdoppelt hat?
  Ihr habt durch Probieren mit Hilfe des Taschenrechners das Ergebnis schnell gefunden:
  In die Gleichung y=50·1,03^x werden für x Werte eingesetzt, die so gewählt werden, dass das Ergebnis für y sich immer besser an 100 annähert.
  Kann man aber nicht einfach die Gleichung 100=50·1,03^x oder 2=1,03^x nach x auflösen?
  Mit bekannten Hilfsmitteln geht das nicht.
  Deshalb schreibt man die Lösung für x einfach als Aufgabe mit folgender Schreibweise: x=log_1,03 2 und meint damit, dass die Zahl x gesucht wird, mit der man 1,03 potenzieren muss, um 2 zu erhalten.
  Diese Festlegung sieht zunächst einmal eigenartig aus, ist aber gar nicht so verschieden von der Wurzelschreibweise: x=∛8 bedeutet, dass man die Zahl x suchen soll, die 3-mal mit sich selbst multipliziert 8 ergibt.
  Und auch Brüche sind eigentlich Rechenaufgaben: x=5/7 bedeutet, dass eine Zahl gesucht ist, die man erhält, wenn man 5 durch 7 dividiert.
  Die Zahlen (Aufgaben) mit dem Zeichen log nennt man Logarithmen.
  Das, was links und rechts des Doppelpfeils steht, ist genau dasselbe, nur in anderer Schreibweise:
  

2013-09-12

• Besprechung der Hausaufgabe
• Es gibt folgende abkürzende Schreibweisen beim Logarithmus:
• lg x = log₁₀ x
• ln x = log_e x  mit e=2,71828182846... (Eulersche Zahl hier kann man auch nachlesen, wozu man Logarithmen braucht)
• lb x = ld x = log₂ x
• Manche Logarithmen kann man auch ohne Taschenrechner berechnen (bzw. in anderer Form darstellen)
  Beispiele:
• Vorgehen bei Regressionen mit dem Taschenrechner:
• STAT > EDIT : Eingeben der Werte in 2 Listen (z. B. in L1 und L2)
• 2nd > STAT PLOT, dort Plot einrichten
• WINDOW-Einstellungen 
• GRAPH zeichnen lassen
• STAT > CALC , dort gewünschte Regression auswählen (z. B. LinReg(ax+b) für eine lineare Funktion, ExpReg für eine Exponentialfunktion, PwrReg für eine Potenzfunktion)
• Listen (z. B. L1 und L2) und die gewünschte Funktionsgleichung (z.B. Y1) eingeben
• Mit GRAPH Regressionskurve zeichnen lassen
• Bewertung der Regression (Werden die Punkte gut angenähert? Passt die Funktion zum beschriebenen Vorgang? Verhält sich der Funktionsgraph so, dass er bei Extrapolationen zum gegebenen Vorgang passt?)

2013-09-16

• Herleitung mit Beweisen und Plausibilitätsbetrachtungen sowie Übungen zu den Logarithmus-Formeln:
  
   

2013-09-19

• Besprechung der Hausaufgaben und Übungen zu den Logarithmusformeln
  Beispielaufgabe: Suche Lösungen für folgende Gleichung (die keine allgemeine Formel für Logarithmen ist!):
  
  Es gibt unendlich viele Lösungen. Ein Beispiel: für x=5 gilt y=5/(5-1)=5/4=1,25

2013-09-23

• Weitere Übungen zum Rechnen mit Logarithmen.
• Logarithmusfunktion
  Mit dem Java-Programm Kurven-Training könnt Ihr den Zusammenhang zwischen Funktionsgleichungen und Graphen - auch mit Logarithmus-Graphen - einüben.
  Versucht mit den verschiedenen Graphen die Kreise zu treffen.
  
  Die dargestellten Graphen gehören zu den Funktionen y=log₂x und y=log_1/2x.

2013-09-26

• Wiederholung zur Klassenarbeit
  

2013-09-30

• Klassenarbeit 1  [ Aufgaben | Lösungen ]

2013-11-04

• Rückgabe der Klassenarbeit 1  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Einführung in das Thema "Folgen"
  Folgen sind Funktionen, bei denen die unabhängige Variable nur ganze Zahlen annimmt (meist 0, 1, 2, ... oder auch 1, 2, 3 ,4, ...).
• Neben der expliziten Darstelung von Folgen ist oft auch die rekursive Darstellung gebräuchlich.
  Beispiel: Folge der geraden positiven Zahlen 2, 4, 6, 8, ...
• explizite Darstellung:
  u(n)=2·n
  Durch Einsetzen der Nummer n des gesuchten Folgengliedes kann der Folgenwert unmittelbar berechnet werden.
  Beispiel: u(7)=2·7=14
• rekursive Darstellung:
  u(1)=2
  u(n)=u(n-1)+2
  Als Anker (oder Fundament) wird der Wert des Folgengliedes mit dem kleinsten n angegeben.
  Zur Berechnung des n-ten Folgengliedes bezieht man sich auf den Wert des vorhergehenden Folgengliedes mit der Nummer n-1.
  Beispiel: u(4)=u(4-1)+2=u(3)+2                                                               =2+2+2+2=8
                                     u(3)=u(3-1)+2=u(2)+2                             =2+2+2
                                                           u(2)=u(2-1)+2=u(1)+2=2+2
                                                                                 u(1)=2
• Folgen auf dem Taschenrechner:
• Modus SEQ einstellen:     
• Gleichung der Folge eingeben bei Y1:
  explizite Darstellung    
  rekursive Darstellung 
• Window-Einstellungen:       
• Graph:   
• Tabelle:       

2013-11-08

• Besprechung der Hausaufgabe
  Hier einige Lösungen für die schwierigeren Aufgaben (leicht abgewandelt).
  Gesucht waren rekursive Darstellungen der vorgegebenen Folgen.
• 
  Den Nenner des Bruchs ergibt sich daraus, dass man den Nenner des vorherigen Bruchs um 1 vergrößert.
  Den Nenner erhält man durch Kehrwertbildung:
  
  
• 
•  
• Anwendung von rekursiven Formeln bei finanzmathematischen Berechnungen:
  Aufgabe:
  Bei der Eröffnung eines Kontos zum Jahresbeginn wird der Betrag 4500 € eingezahlt.
  In den weiteren Jahren wird zu Jahresbeginn immer 380 € angelegt.
  Das Konto wird mit 1,35% verzinst.
  Wie hoch ist der Kontostand nach 14 Jahren?
  Lösung:
  In jedem Jahr wird das Kapital des vergangenen Jahres verzinst (K(n-1)·1,0135)
  und es wird 380 € dazugelegt (+380).
  Somit ergibt sich die Rekursionsformel K(n)=K(n-1)·1,0135+380 ; K(0)=4500
  Taschenrechner:
          
       
  Tabellenkalkulation (hier mit LibreOffice)
      

2013-11-11

• Rekursive Beschreibungen von Vorgängen sind oft einfacher zu finden als explizite Formeln.
  Wir haben das gesehen an den Beispielen, bei denen sich lineares und exponentielles Wachstum überlagern.
• Beispiele dazu:
• Abzahlung eines Kredits
  Ein Kredit von 32000 € wird durch eine jährliche Zahlung von 4100 € abbezahlt. Der Zinssatz beträgt 6,25%.
  Der Betrag B zur Zeit t berechnet sich so:
  B(0)=32000
  B(1)=32000·1,0625-4100
  ...
  B(t)=B(t-1)·1,0625-4100
  Die Dauer des Kredits wird mit dem Taschenrechner bestimmt:
         
  Damit der Kredit irgendwann abgezahlt ist, muss die jährlich zu zahlende Rate R größer als der anfallende Zins sein:
  R > 0,0625·32000 = 2000
• Aufbauen eines konstanten Wirkstoffspiegels
  Auf einen Acker werden monatlich 4kg Wirkstoff aufgebracht. Davon gehen im Lauf des Monats 28% durch Auswaschungen verloren.
  Wie hoch ist die auf dem Acker vorhandene Wirkstoffmenge nach langer Zeit?
  Mit m als Zeit in Monaten und W(m) als Wirkstoffmenge zur Zeit m gilt:
  W(0)=4
  W(1)=4·(1-0,28)+4=4·0,72+4
  ...
  W(m)=W(m-1)·0,72+4
  Berechnung mit dem Taschenrechner:
          
  Der exakte Wert für die erreichte Wirkstoffmenge ergibt sich durch den Ansatz W(m)=W(m-1), d. h. die Wirkstoffmenge ändert sich nicht mehr:
  W(m)=W(m)·0,72 + 4 → W(m)-W(m)·0,72 = 4 → W(m)·(1-0,72) = 4 → W(m)·0,28 = 4 → W(m)=4/0,28=14,2857...

2013-11-15

• Nach den Beispielen aus den letzten Stunden haben wir eine allgemeine rekursive Formel für eine Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum aufgestellt:
  lineares Wachstum:
  exponentielles Wachstum:
  überlagertes lineares und exponentielles Wachstum:
• Begrenztes Wachstum
  Ein Topf mit kaltem Kaffee (Kühlschrank, 1°C) wird auf eine T=80°C heiße Wärme-Platte gesetzt.
  Durch das Aufheizen nimmt die Temperatur t in jeder Minute um 5% des Unterschieds zwischen der Temperatur des Kaffees und der der Heizplatte zu.
  Wann erreicht der Kaffee die Temperatur 60°C?
  Herleitung der Rekursionsformel:
  Der Unterschied zwischen der Temperatur t(n-1) des Kaffees und der Temperatuir T der Heizplatte beträgt T-t(n-1).
  5% davon sind (T-t(n-1))·0,05. Das ist die Zunahme von der vergangeen Minute bis jetzt.
  Dann ergibt sich mit n als Anzahl der vergangenen Minuten:
  t(n)=t(n-1)+(T-t(n-1))·0,05
  t(0)=1
  
  Nach 27 Minuten ist die Temperatur 60°C erreicht.
• Allgemeine Rekursionsformel für das begrenzte Wachstum:
  Wächst ein Bestand u(n-1) in einem festen Prozentsatz q zur Differenz des maximal erreichbaren Wertes G und des aktuellen Wertes u(n-1) , so berechnet sich der aktuelle Wert zum nächsten Zeitpunkt aus
  u(n)=u(n-1)+q·(G-u(n-1))

2013-11-18

• Grenzwert
  Eine Folge hat einen Grenzwert, wenn sich die Werte der Folgenglieder immer mehr einen bestimmten Wert, dem Grenzwert, nähern.
  Ob dieses "immer mehr annähern" wirklich zutrifft, kann man so überprüfen:
  Wenn man sich einen beliebig kleinen aber positiven Wert ε>0 denken kann, so dass sich ab einem bestimmten Folgenglied n₀ alle weiteren Folgenglieder um weniger als ε von einem Wert g unterscheiden, dann besitzt die Folge den Grenzwert g. In Formeln: 
  g ist der Grenzwert einer Folge, wenn es für jedes noch so kleine ε>0 ein n₀ gibt, sodass für alle n>n₀ gilt: |a(n)-g|<ε.
• Schreibweise für den Granzwert g:
  Sprechweise: Der Grenzwert g ergibt aus dem Limes für n gegen Unendlich von der Folge a(n).
• Beispiele:

• Diese Folge hat keinen Grenzwert, da für wachsendes n der Term über alle Grenzen wächst.
      
• Diese Folge hat den Grenzwert 3, da der Summand 1/n für große n gegen 0 geht.
       
•    Um den Grenzwert dieser Folge zu erkennen, sollte man zunächst denBruch mit n kürzen, d.h. den ganzen Zähler und den ganzen Nenner durch n dividieren.
    Im Nenner wird der Bruch 1/n für n gegen Unendlich zu 0, d.h. esbleibt nur der Bruch 3/1=3 übrig. Grenzwert der Folge ist also 3.
       

2013-11-22

• Logistisches Wachstum
• In der vorletzten Stunde haben wir eine Aufgabe zum begrenzten Wachstum gerechnet, bei der es um das Wachstum einer Tanne ging, die zu Beginn 1m hoch ist, maximal eine Höhe von 80m erreichen kann und in jedem Jahr um 5% von der Länge, die noch an der Maximallänge fehlt, wächst. Das Ergebnis hat euch nicht zufrieden gestellt, weil die Tanne dann im ersten Jahr etwa 4m wachsen müsste, was nicht stimmen kann.
  Gefundene Rekursionsgleichung und Graph:
  u(0)=1 ; u(n)=u(n-1)+0,05·(80-u(n-1))
         
• Bäume wachsen anders: In den ersten Jahren ist das Wachstum gering, steigert sich dann, um dann bei Erreichen der Maximalhöhe wieder abzunehmen.
  Folgendes Modell legt man zu Grunde:
  Der Zuwachs z ist proportional zur vorhandenen Länge (z~u(n-1)) und ist auch proportional zur noch zu wachsenden Länge (z~80-u(n-1)).
  Zusammen gilt also z~u(n-1)·(80-u(n-1)) oder z=q·u(n-1)·(80-u(n-1)) mit q als Wachstumsfaktor. Für q gilt die Bedingung q<1/G mit G als Grenzwert oder im speziellen Fall q<1/80=0,0125.
  Die rekursiv definierte Folge für dieses spezielle Wachstum ist dann z. B.: u(0)=1 ; u(n)=u(n-1)+0,002·(80-u(n-1))
     
• Das Wachstum nach diesem Modell nennt man logistisches Wachstum
  Allgemeine Rekursionsgleichung für das logistische Wachstum mit A als Anfangswert, q als Wachstumsfaktor und G als Grenzwert:
  u(0)=A ; u(n)=u(n-1)+q·(u(n-1)·(G-u(n-1))

2012-11-25

• Wiederholungsstunde mit Aufgaben zu Wachstum, Folgen und Rekursion.
• Hier die Darstellung der Schneeflockenkurve (oder Kochsschen Kurve):
    
  Das Besondere an dieser Kurve ist, dass der Flächeninhalt immer begrenzt bleibt (Grenzwert 1,6, wenn das Ausgangsdreieck mit Tiefe 1 den Flächeninhalt 1 besitzt), während die Umrandung über alle Grenzen wächst.
  Download des Java-Programms, mit dem man die Kurve in unterschiedlicher Tiefe zeichnen lassen kann.

weiter mit Differentialrechnung