Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Physik 11Ph1e

Schwingungen und Wellen

2013-02-26

Einführung in das Thema Schwingungen mit Berechnungen zu nicht-harmonischen Schwingungen

Hin- und Herpendeln eines Luftkissengleiters mit konstanter Geschwindigkeit
Springen eines Flummi-Balles

Laden des Arbeitsblattes durch Klick auf das Bild

2013-02-28

Harmonische Schwingung
Als Beispiel für eine harmonische Schwingung haben wir das Federpendel kennengelernt.
Wiederholung bzw. Einführung zu den Größen der Kreisbewegung

Die Geschwindigkeit v, mit der sich ein Körper auf einem Kreis bewegt, nennt man Bahngeschwindigkeit.
Da die Bahngeschwindigkeit vom Radius abhängt, definiert man zur Beschreibung einer Kreisbewegung eine Größe, die unabhängig vom Radius ist, die Winkelgeschwindigkeit.
Die Winkelgeschwindigkeit ω ist dadurch festgelegt, welche Winkelgröße pro Zeit zurückgelegt wird:
Betrachtet man einen gesamten Umlauf, so wurde der Winkel 2π (im Bogenmaß) zurückgelegt in der Zeit T (Umlaufdauer).
Damit ergibt sich .

Die Bewegung eines schwingenden Federpendels sieht zunächst sehr kompliziert aus, da sich die Geschwindigkeit des Pendels ständig ändert.
Der Vergleich mit einer Kreisbewegung mit konstanter Winkelgeschwindigkeit zeigt jedoch, dass die senkrechte Komponente bei der Kreisbewegung genau der Schwingung des Federpendels entspricht.
Download der GeoGebra-Datei
Die senkrechte Komponente s lässt sich angeben als r·sin α, wobei r gleich der maximalen Auslenkung s_m ist.
Mit α=ω·t und unter Beachtung der Tatsache, dass s von der Zeit abhängt, kann als Schwingungsgleichung geschrieben werden .
Da die Geschwindigkeit und die Beschleunigung durch Ableiten der Wegfunktion gewonnen werden kann, ergibt sich für die harmonische Schwingung

2013-03-05

Schwingungsdauer eines Federpendels
Es sollte untersucht werden, welche Faktoren bei der Länge der Schwingungsdauer eine Rolle spielen.
Genannt wurden: Masse, Material und Bauform der Feder, Amplitude.

Zunächst wurden mit gleicher Feder und gleicher Masse Schwingungen bei verschiedenen Amplituden erzeugt.
Ergebnis: Die Schwingungsdauer ist unabhängig von der Amplitude.

Bei zwei unterschiedlichen Federn wurde mit gleicher Masse zunächst die Federkonstante D und dann die Schwingungsdauer T bestimmt.
Ergebnis:

Eine vermutete Antiproportionalität bestätigte sich nicht.
Weitere Überlegungen zur Beziehung zwischen D und T wurden zunächst zurückgestellt.

Mit Feder 1 wurde nun die Abhängigkeit zwischen Masse und Schwingungsdauer untersucht:

Als Funktionsgleichung zum Graph ergibt sich

.
Da in der Schulphysik meistens nur ganzzahlige oder halbzahlige Exponenten vorkommen, wird hier gerundet:

Die Schwingungsdauer T könnte also proportional zur Wurzel aus der Masse m sein.

Um das genauer zu untersuchen, wird der Vorgang theoretisch untersucht:

Nach dem Hooekeschen Gesetz ist die Kraft proportional zur Auslenkung. Da die Auslenkung und die Kraft in verschiedene Richtungen zeigen, wird in der Formel ein Minuszeichen gesetzt: F = - D·s.
Die Kraft ist identisch mit der Kraft aus dem Newtonschen Kraftgesetz, die zur Beschleunigung der Masse führt: F = m·a.
Gleichsetzen der Kräfte und Umformen ergibt eine Differentialgleichung:
Aus der letzten Stunde war folgende Beziehung bekannt:

Setzt man diese Beziehungen in die Differentialgleichung ein, ergibt sich

Hier zeigt sich auch, dass T proportional zur Wurzel aus m ist.
Gleichzeitig liefert diese Formel auch noch die Beziehung zwischen T und D. Multipliziert man die T und Wurzel aus D mit den Messwerten von oben, so ergibt sich für beide Federn etwa der Wert 0,21.

2013-03-07

Energiebetrachtung zur Schwingung bei einer Schraubenfeder

Energie haben wir bis jetzt meist als E=F_s·s kennengelernt.
Wenn die Kraft aber entlang des Weges nicht konstant ist, muss man die Energien für kleinste Wegstrecken berechnen und addieren. Exakt wird es dann, wenn man Integralrechung benutzt: E= ∫F(s) ds.
Beispiele dazu:

Lageenergie/potentielle Energie
Die Kraft F ist die nicht veränderliche Gravitationskraft F_G:
Kinetische Energie
Ausgangspunkt ist die Newtonsche Bewegungsgleichung F=m·a. Daraus folgt:
Spannenergie einer Feder
Es gilt das Hooekesche Gesetz F=D·s. Daraus folgt:

Bei jeder Auslenkung s(t) hat die Feder die Spannenergie

Bei jeder Geschwindigkeit v(t) hat die Feder die kinetische Energie
Die Gesamtenergie ergibt sich zu

Mit folgt

Die Summe der Energien ist demnach immer gleich der maximalen Spannenergie und damit auch der maximalen kinetischen Energie.

Hausaufgabe: Seite 112 Aufgabe 2 und Seite 113 Aufgabe 1

2013-03-12

Mathematisches Pendel

Mit der Glasfahrbahn haben wir die Schwingung eines (fast) mathematischen Pendels (Massenpunkt an masselosem Faden schwingt (fast) ohne Reibung bei kleinen Auslenkungen aufgezeichnet.
Der Schwingungsverlauf schien durch eine Sinusfunktion darstellbar, was wir mit Hilfe deer 1. Ableitung (Geschwindigkeit) und der 2. Ableitung (Beschleunigung) "überprüft" haben. Die zugehörigen Graphen schienen zu einer Kosinus- und einer (negativen) Sinusfunktion zu gehören:
Eine theoretische Überprüfung sollte Klarheit bringen, ob der Eindruck "Mathematisches Pendel schwingt mit harmonischer Schwingung" richtig ist:
Aus der Skizze lassen sich folgende Beziehungen ablesen und miteinander verknüpfen:

Man sieht, dass F nicht proportional zu s, sondern F proportional zu sin s ist.
Also liegt keine harmonische Schwingung vor.
Andererseits ist für kleine Winkel der Sinus von s/L etwa so groß wie s/L selbst (im Bogenmaß - wir haben das an mehreren Beispielen ausprobiert).
Näherungsweise kann man also schreiben:

Näherungsweise (für kleine Winkel) ist also die Schwingungsdauer beim mathematischen Pendel unabhängig von der Masse m und nur abhängig von der Pendellänge L.
Wir haben als Beispiel die Länge eines Sekundenpendels berechnet:
1 Halbschwingung in 1s: L=0,25m
1 volle Schwingung in 1s: L=1,00m
Die Pendellänge im Versuch betrug etwa 80cm. Daraus folgt nach der Formel eine Schwingungsdauer von T=1,79s. Die Auswertung mit Cassy ergibt 1,86s.

2013-03-14

Schwingung von Wasser in einem U-Rohr

Zur Herleitung der Schwingungsformel hier die Lösung zu einer Klausur:
Hier ein Link zur Adhäsion und zur Kohäsion.

2013-04-04

Die bisher betrachteten Schwingungen konnte man gut mit dem Auge verfolgen.
Bei einer Stimmgabel sieht man aber nicht mehr, wie die Zinken der Stimmgabel schwingen.
Zur Veranschaulichung dieser Schwingung wird an einer Zinke der Schreib-Stimmgabel ein spitzer Dorn befestigt, der auf eine rußgeschwärzte Platte die Schwingungsfigur zeichnet.
Überlagerung von Schwingungen

Beim Anschlagen einer einzelnen Stimmgabel ergab das Oszilloskop-Bild nicht eine "glatte" Sinuskurve, sondern eine sehr gezackte Sinuskurve.
Grund ist, dass nicht allein 1 Ton erzeugt wird, sondern durch vielfache verschiedene Schwingungen der Zinken viele verschiedene Töne.
Man hört das durch sehr hohe beigemengte Töne.
Der "richtige" Ton bildet sich erst dann allein aus, wenn die anderen Töne durch Dämpfung verschwunden sind.
Das Schwingungsspektrum kann man mit einem geeigneten Gerät erzeugen:
Neben dem akustischen Untergrund (Hintergrundgeräusche) entsteht beim Anschlagen einer Stimmgabel ein Ton bei einer ganz bestimmten Frequenz (im Messgraphen ist waagrecht die Frequenz und senkrecht die Intensität abgetragen) (siehe Bild links).
Wird der Ton mit menschlicher Stimme erzeugt (allerdings 3 Oktaven tiefer), so sieht man im Klangspektrum, dass der Ton aus vielen Teiltönen zusammengesetzt ist (mehrere Spitzen im Bild rechts).
Zwei gleiche Stimmgabeln werden angeschlagen: Man hört nur einen Ton.
Eine der Stimmgabeln wird durch Aufsetzen eines Reiters verstimmt: Man hört zwei Töne fast gleicher Tonhöhe. Die Lautstärke des Klanges nimmt periodisch zu und wieder ab.
Wird der Reiter nicht am oberen Rand der Stimmgabel sondern weiter unten aufgesetzt, so gleichen sich die Frequenzen der beiden Töne mehr an und das An- und Abschwellen der Lautstärke geschieht langsamer.

Deutung der Versuche:
Durch das Aufsetzen des Reiters wird wegen der zusätzlichen Masse die Schwingung langsamer und damit der Ton tiefer.
Die beiden Töne überlagern sich. Die gesamte Amplitude ergibt sich zu jeder Zeit aus der Addition der Amplituden beider Schwingungen.
Beispiel für 2 Schwingungen mit T_f=2·T_g

Beispiel für 2 Schwingungen mit Tf ≈ Tg

Hier wechseln sich Abschnitte ab, in denen die Schwingungen fast in Phase sind, mit Abschnitten, bei denen die Schwingungenentgegengesetzt sind.
Es ergibt sich eine "Schwebung", die zumindest durch Lautstärkeunterschiede wahrgenommen wird.

2013-04-16

Wiederholung zur Überlagerung von Schwingungen und Berechnung der Schwebuingsfrequenz:
Die Amplitude der Schwebung schwankt mit einer Frequenz f_s, die sich aus f_s=f₂-f₁ ergibt.
Beispiel: f₂=1,00Hz, f₁=0,99Hz. Dann ist die Schwebungsfrequenz f_s=0,01Hz und von Maximum zu Maximum vergeht die Zeit T=1/f_s=1=0,01s=100s.
Versuche zum Thema erzwungene Schwingungen und Resonanz

Schwingungserreger mit unterschiedlich langen Blattfedern

Der Schwingungserreger (Lautsprecher) kann mit dem Sinusgenerator durchgestimmt werden.
Bei Frequenzen, denen die Resonanzfrequenzen der Blattfedern entsprechen, schwingen die Blattfedern stark mit, hier links unten.

Pohlsches Drehpendel

Hier wird durch einen Motor eine Stange waagrecht hin und hergeschoben, wodurch über die Spiralfeder das Drehpendel angetrieben wird.
Katharina hat es in kurzer Zeit geschafft, die "richtige" Frequenz zu finden, sodass das Drehpendel bis zum Anschlag ausgelenkt wurde.

Bei allen Versuchen (einschließlich eines Pendels, bestehend aus Faden und Korken) war folgendes "Gesetz" zu finden.
Um eine große Pendelauslenkung zu erzwingen, muss die anregende Schwingung um eine Viertel Schwingung (Phasendifferenz π/2) vorherlaufen.
Bei der Phasendifferenz 0 schwingen beide Schwingungen im Gleichtakt. Es wird dabei fast keine Energie von der einen Schwingung auf die andere Schwingung übertragen.
Ebenso wird bei der Phasendifferen π fast keine Energie übertragen. Dann schwingen die Schwinger gegeneinander.

Dass Schwingungen auch anders als durch eine weitere Schwingung angeregt werden können, haben wir am Beispiel des Weihrauchkessels in der Kathedrale von Santiago de Compostela gesehen.
Hier der Film zur Schwingung des Weihrauchkessels.
Die Anregung der Schwingung geschieht hier durch Verkürzung des Seils beim Heraufschwingen und der Verlängerung des Seils am Umkehrpunkt des Pendels.
Man könnte die Anregung auch als Rechteckschwingung auffassen.
Weiteres Beispiel für Resonanz:
Je nach Frequenz werden verschiedene Teile des Autos (Kotflügel, Achsen, usw.) zum heftigen Schwingen angeregt.
Film zum Thema Resonanzkatastrophe (Tacoma Narrows Bridge)

2013-04-18

Ergänzender Versuch zum Thema erzwungene Schwingungen und Resonanz
Pendel unterschiedlicher Länge

Am Tonnenfuß wird die waagrechte Stange hin- und hergedreht.
Je nach Frequenz schwingen die Pendel mit, deren Eigenfrequenz gerade getroffen wurde, im Bild ist das beim 2. Pendel von rechts der Fall.
Gekoppelte Pendel

Wird eine Kugel am Rand ausgelenkt, so überträgt sie durch die Kopplung (waagrechter Bindfaden in der Mitte) einen Teil ihrer Energie auf die benachbarte Kugel.
Die wiederum gibt auch Energie weiter, so dass ein Energiefluss von einer Seite zur anderen Seite stattfindet, allerdings ohne jeglichen Massentransport.
Wird die Kopplung "härter" gestaltet, z. B. durch eine feste lange Schraubenfeder, so findet der Energietransport mit größerer Geschwindigkeit statt.

Die einzelnen nebeneinander liegenden Schwinger bilden dann eine sinusförmige Welle.
An Hand der Simulation "Wellenmaschine" der Uni Erlangen haben wir die Wellengleichung hergeleitet:

2013-04-23

Wellen breiten sich als Transversalwellen (Querwellen) und als Longitudinalwellen (Längswellen) aus.
Bei Transversalwellen schwingen die Schwinger senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
Bei Longitudinalwellen schwingen die Schwinger in Richtung der Ausbreitung der Wellen.
Beispiel für Longitudianlwellen:

Wird die Schraubenfeder kurzfristig am Ende zusammengedrückt oder auseinandergezogen, so pflanzt sich diese Störung über die gesamte Schraubenfeder als Verdichtung bzw. als Verdünnung bis zur Aufhängung fort.
Die Geschwindigkeit ist abhängig von der Spannung der Schraubenfeder. Je mehr sie gespannt wird, desto schneller ist die Ausbreitung.
Transversalwellen kann man gut mit einer dünneren und härteren Schraubenfeder darstellen:

Hier pflanzt sich eine seitwärts erfolgte Auslenkung über die gesamte Schraubenfeder fort.
Polarisation
Bei Transversalwellen kann man unterscheiden, in welche Ebene sie die einzelnen Schwinger bewegen.
Wird wie im Bild die Schraubenfeder durch einen schmalen Spalt zwischen zwei Stativstangen geführt, so kann nur eine senkrechte Schwingung dieses Hindernis überwinden. Auch links davon schwingt dann die Schraubenfeder.
Schwingt die Schraubenfeder in waagrechter Ebene, so gelangt keine Schwingungsenergie durch das Hindernis und die Schraubenfeder bleibt zwischen Hindernis und Aufhängung (fast) in Ruhe.
Schwingt der Schwinger schräg mit dem Winkel α zu den Stativstangen (=der Polarisationsrichtung), so wird nur ein Teil der Schwingungsenergie durchgelassen.

Ist s die Amplitude der einzelnen Schwinger, so berechnet sich die senkrechte Komponente von s, die durchgelassen wird, aus

Bei Longitudinalwellen gibt es keine Polarisation, weil nur eine Schwingungsrichtung möglich ist.
Doppler-Effekt

Eine klingende Stimmgabel wird durch einen Bindfaden gehalten im Kreis herum geschwungen.
Bewegt sie sich auf den Zuhörer zu, so erklingt der Ton höher als wenn sie sich vom Zuhörer weg bewegt.
Doppler-Effekt bei bewegtem Empfänger und ruhendem Sender
Herleitung der Gesetzmäßigkeit für die gehörte Tonhöhe (hier für einen auf den Sender zu bewegten Empfänger):
Ein Sender S sendet ein Signal mit der Frequenz f_S aus.
Die Schallgeschwindigkeit sei c.
Die Geschwindigkeit des Empfängers sei v.
Die Wellenlänge λ_S ergibt sich (nach dem Weg-Zeit-Gesetz s=v·t) aus der Formel λ_S=c·T=c/f_S mit T als Zeit, die ein Schwinger für eine ganze Schwingung gebraucht, und in der die Welle um eine Wellenlänge weitergelaufen ist.

Startet der Empfänger, wenn ein Wellenberg bei ihm ankommt, mit der Geschwindigkeit v zum Sender, so erreicht er den nächsten Wellenberg nach der Zeit T_E und einer Strecke, die der Empfänger als λ_E interpretiert.
Der Wellenberg selbst hat sich in dieser Zeit T_E um die Strecke x=c·T_E fortbewegt.
Es gilt also .
Weiter gilt:
Entfernt sich der Empfänger vom Sender, muss man einfach alle Pluszeichen durch Minuszeichen ersetzen.
Es ergibt sich dann die Formel
(Empfänger bewegt sich von ruhendem Sender weg)

2013-04-25

Dopplereffekt für eine auf den Empfänger zu bewegte Schallquelle:
Ein Sender S sendet ein Signal mit der Frequenz f_S aus.
Die Schallgeschwindigkeit sei c.
Die Geschwindigkeit der Schallquelle sei v.
Die Wellenlänge λ_S ergibt sich (nach dem Weg-Zeit-Gesetz s=v·t) aus der Formel λ_S=c·T=c/f_S mit T als Zeit, die ein Schwinger für eine ganze Schwingung gebraucht, und in der die Welle um eine Wellenlänge weitergelaufen ist.

Angenommen, in der Skizze sendet der Sender am linken Ende einen Wellenberg aus.
Der vorherige Wellenberg ist dann gerade am rechten Ende angekommen. Dazwischen liegt die Strecke λ_S.
In der Zeit, in der die Welle die Strecke λ_S zurücklegt, bewegt sich der Sender um die Strecke x=v·T weiter.
Am Ende der Strecke x wird vom Sender also wieder ein Wellenberg ausgesendet.
Damit bewegen sich die Wellenberge im Abstand λ_E weiter, den der Empfänger als Wellenlänge λ_E misst.
Daraus folgt:

Weiter gilt:
(Sender bewegt sich auf ruhenden Empfänger zu)
Diese Formel gibt an, einen Ton welcher Frequenz f_E der Empfänger hört, wenn sich der Sender mit der Geschwindigkeit v auf den Empfänger zu bewegt und dabei einen Ton mit der Frequenz f_S aussendet.
Insgesamt ergeben sich also für die verschiedenen Voraussetzungen folgende Formeln:

2013-04-30

Überlagerung von Schallwellen

Zwei Lautsprecher strahlen identische Töne (durch einen Sinusgenerator erzeugt) aus.
Der Bereich um die Lautsprecher herum wird subjektiv von den Kursteilnehmern durch Herumgehen im Raum und objektiv durch ein Mikrophon abgetastet.
Beobachtung: An manchen Stellen ist der Ton sehr laut, an anderen Stellen eher leise.
Die theoretische Betrachtung dieses Phänomens ergibt:
Stellen, an denen der Gangunterschied der beiden Wellen gleich 0 oder ein Vielfaches der Wellenlänge beträgt, sind Orte hoherSchallintensität.
Stellen, an denen der Gangunterschied der beiden Wellen ein ungeradzahliges Vielfaches von λ ist, sind Orte minimaler Schallintensität.

2013-05-02

Weitere Überlegungen zum Entstehen von Maxima und Minima bei der Überlagerung zweier Wellen:

GeoGebra-Simulation
Überlagerung zweier Bilder mit konzentrischen Kreisen:

2 Sender am oberen Rand des Bildes senden phasengleiche Wellen aus.
An den Stellen, an denen sich schwarze und weiße Streifen abwechseln, liegt der Gangunterschied n·λ vor, d. h. es entstehen maximale Auslenkungen.
An den Stellen, die durchgehend schwarz sind, sind die Wellen um 180° phasenverschoben, d. h. es entstehen minimale Auslenkungen.
Die schwarzen und auch die "Zebra"-Streifen liegen auf Hyperbeln, wobei die Krümmung der Hyperbeln fast nur in der Nähe der Sender zu erkennen ist.
Mit GeoGebra haben wir die Lage der konstruktiven Überlagerung genauer betrachtet:

S1 und S2 (rot) sind die Sender. Alle Punkte, die den Gangunterschied λ besitzen, liegen auf der blauen Linie.
r ist der Radius des kleinen Kreises, r+λ der Radius des großen Kreises.
Eine Gerade durch den Mittelpunkt der Strecke S1S2 ist Asymptote an diese blaue Linie.

2013-05-07

Huygenssche Elementarwellen - gerade Wellenfront trifft Spalt
Von links läuft eine gerade Wellenfront auf einen Spalt zu.
Zieht man die Punkte E und D so, dass der Spalt sehr schmal wird, sieht man hinter dem Spalt kreisförmige Wellen, die, vereinfacht gesagt, von einem Schwinger zwischen E und D stammen. Eine Huygenssche Elementarwelle breitet sich aus.
Öffnet man den Spalt weiter, entstehen überall zwischen E und D Elementarwellen, die sich so überlagern, dass sich rechts vom Spalt wieder eine gerade Wellenfront ergibt. Zu den Seiten hin findet aber keine vollständige Auslöschung statt, sodass sich dort kreisförmige Wellen ausbreiten.
Je weiter man vom Spalt entfernt ist, desto mehr gewinnen die Kreiswellen die Oberhand und die geraden Abschnitte sind fast nicht mehr erkennbar.
Download der GeoGebra-Datei
Snelliussches Brechungsgesetz

Eine Wellenfront trifft von links oben auf die waagrecht liegende Grenzschritt zwischen zwei Medien.
Im oberen Medium breitet sich die Welle mit der Geschwindigkeit c1 aus, im unteren mit c2.
Es gilt c1=k·c2.
Da die Geschwindigkeit im unteren Medium kleiner ist als im oberen, knickt die Wellenfront an der Grenzschicht ab.
Die GeoGebra-Datei zum Bild oben kann hier heruntergeladen werden.
Man kann die Richtung der einfallenden Welle mit dem Punkt C variieren und mit dem Schieberegler das Verhältnis zwischen den beiden Geschwindigkeiten.
Herleitung der Beziehung zwischen dem Einfallswinkel α, dem Ausfallswinkel β und den Geschwindigkeiten c1 und c2:
Da sich die Wellen in den einzelnen Medien mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, kann man s1 und s2 ersetzen durch
s1=c1·t1 und s2=c2·t2. Da die Zeiten für die Wegstrecken s1 und s2 identisch sind, vereinfachen sich die Gleichungen zu
s1=c1·t und s2=c2·t.
Dividiert man die Gleichungen, so folgt s1/s2=c1/c2.
Da die Dreiecke ABE und BAG rechtwinklig sind, folgt:

2013-05-14

Wiederholung zur Lernzielkontrolle

2013-05-16

Lernzielkontrolle 1 [ Aufgaben | Lösungen ]

2013-05-28

Besprechung und Rückgabe der Lernzielkontrolle 1 [ Aufgaben | Lösungen ]
Reflexionen von Wellen

Am losen Ende werden Wellenberge als Wellenberge und Wellentäler als Wellentäler reflektiert.
Am festen Ende werden Wellenberge als Wellentäler und Wellentäler als Wellenberge reflektiert.

Im Versuch mit der langen dünnen Schraubenfeder haben wir gesehen:
Durch die Reflexionen am festen Ende (Befestigung der Schraubenfeder und Hand des Experimentators) überlagern sich die Wellen so, dass an manchen Stellen (den Knoten) die Schwinger ständig inRuhe sind und an anderen Stellen (den Schwingungsbäuchen) die Schwinger in maximaler Bewegung sind.
An den beiden festen Enden sind Schwingungsknoten.
Dazwischen können beliebig viele weitere Knoten sein.
Der Abstand zwischen den festen Ende betrage L.
Die grünen Kurven stellen jeweils die Maximalausschläge der stehenden Welle dar.
Die punktierten roten Kurven zeigen die Ausdehnung der Wellenlänge λ an.
Von unten nach oben gilt:
λ=2·L
λ=L
λ=2/3·L
λ=1/2·L
Wir hatten Schwierigkeiten, hier eine Gesetzmäßigkeit herauszulesen bzw. die zuständige Formel aufzuschreiben.
Erkenntnis: Manchmal wird eine Aufgabe leichter, wenn man sie von einer anderen Perspektive betrachtet:
Von unten nach oben gilt auch:
L=1/2·λ
L=λ
L=3/2·λ
L=2·λ
Hier sahen wir, dass man auch schreiben kann:
L=1/2·λ
L=2/2·λ
L=3/2·λ
L=4/2·λ
Allgemein gilt also, dass bei L=k/2·λ (L ist ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2) eine stehende Welle entstehen kann.
Für die Frequenzen der Schwingungen gilt mit der Formel c=f·λ:
Anwendung der Formeln auf ein akustisches Beispiel:

In einem alten Aquarium mit der Länge 30 cm und der Breite 20 cm wird ein Lautsprecher positioniert.
Mit Hilfe eines Sinusgenerators werden Töne unterschiedlicher Frequenz erzeugt.

Die Frequenzen, bei denen die Töne besonders verstärkt werden, werden registriert.
Es zeigt sich, dass die Frequenzen mit der gefundenen Formel in Einklang stehen (für L=0,3m und L=0,2m):
Für f=1760Hz ergibt sich die Strecke 10cm, die sich mit k=2 zu L=20cm und mit k=3 zu L=30cm kombinieren lässt.
Für f=2386Hz ergibt sich die Strecke 7cm, die sich mit k=3 zu L=21cm und mit k=4 zu L=28cm kombinieren lässt.
Auch eine Vorhersage, bei der Resonanz eintreten sollte (also Bildung einer stehenden Welle) glückte:
Für k1=4 und L1=0,2m und k2=6 und L2=0,3m ergibt sich dieselbe Frequenz f=3400Hz.
Tatsächlich wurde ein Ton dieser Frequenz mehr verstärkt als Töne mit etwas abweichender Frequenz.

2013-05-30

Stehende Wellen können sich auch ergeben, wenn die beiden Enden lose sind oder wenn es ein festes und ein loses Endee gibt:

2 lose Enden

Hier gelten dieselben Formeln wie bei 2 festen Enden:
Allgemein gilt also, dass bei L=k/2·λ (L ist ein ganzzahliges Vielfaches von λ/2) eine stehende Welle entstehen kann.
Für die Frequenzen der Schwingungen gilt mit der Formel c=f·λ:
1 loses Ende und 1 festes Ende

Von unten nach oben gilt:
L=1/4·λ
L=3/4·λ
L=5/4·λ
Allgemein gilt also

Beispiel für stehende Wellen bei Longitudinalwellen

Eine Schraubenfeder wird in Achsen-Richtung zu Schwingungen angeregt.
In der Ausschnittsvergrößerung sieht man die Knoten (klare und scharfe Abbildung des Metalldrahtes) und die Bäuche (unscharfe Stellen wegen der schnellen Bewegung).
Beispiel für eine stehende Welle in Luft mit einem losen und einem festen Ende:

Durch änderbaren Wasserstand in der rechten Röhre entsteht eine Luftsäule in der Röhre über dem Wasser, deren Höhe kontinuierlich verändert werden kann.
Eine über die Röhrenöffnung gehaltene angeschlagene Stimmgabel erzeugt einen Ton, der bei bestimmten Luftsäulen-Längen besonders verstärkt wird.
Diese Resonanz haben wir bei etwa 20 cm und bei 60 cm Luftsäule gefunden.
Hausaufgabe: Frequenz des Tones der Stimmgabel ermitteln.

2013-06-04

Selbstinduktion und Induktivität

In einem Stromkreis, bestehend aus Schalter, Spule mit Eisenkern, Lampe und Gleichspannungsquelle zeigen sich beim Ein- und Ausschalten folgende Besonderheiten:

Einschalten:
Die Lampe leuchtet nicht sofort, sondern erst eine knappe Sekunde nach dem Einschalten.
Deutung: Nach der Lenzschen Regel wird in der Spule beim Einschalten der Spannung eine Gegenspannung induziert, die das Ansteigen des Stromes in der Glühlampe verzögert.
Ausschalten:
Am Schalter ist ein Blitz zu erkennen.
Deutung:
Das Zusammenbrechen des Magnetfeldes beim Abschalten der Spannung wird wegen der Lenzschen Regel durch eine induzierte Spannung herausgezögert, indem der bisherige Stromfluss (teilweise) aufrecht erhalten wird. Da aber der Stromkreis unterbrochen wurde, bildet sich an der Trennstelle, dem Schalter, ein starker Ladungsunterschied, der schließlich in einem Überspringen der Ladungen und damit einem Blitz mündet.

Da die Spule mit ihrem Magnetfeld nicht in einer anderen Spule, sondern in sich selbst eine Spannung induziert, spricht man von Selbstinduktion.
Die Fläche der Spule bleibt gleich, das Magnetfeld ändert sich:

L wird als Abkürzung für die Konstanten geschrieben und wird mit Induktivität bezeichnet.
Die Einheit von L ist abgekürzt Henry (H).
Elektromagnetischer Schwingkreis

Schaltbild:

Der Kondensator wird aufgeladen. Mit dem Oszilloskop wird die Spannung am Kondensator registriert.
Wird der Stromkreis aus Spule und Kondensator dann sich selbst überlassen, erkennt man am Oszilloskop, dass die Spannung zwischen positiven und negativen Werten pendelt, sie schwingt (gedämpft) um die 0-Volt-Marke herum.

Die Ladungen des geladenen Kondenstators (kein Strom durch die Spule) fangen an, sich auszugleichen, wodurch ein Strom durch die Spule und damit ein Magnetfeld in der Spule entsteht.
Sind die Ladungen ausgeglichen, ist das Magnetfeld der Spule maximal und beim Zusammenbrechen dieses Magnetfeldes wird auf Grund der Lenzschen Regel eine Spannung induziert, die den Strom weiter fließen lässt, bis der Kondensator wieder geladen ist, nun mit umgekehrter Polung. Nun wiederholt sich der gesamte Vorgang in umgekehrter Richtung.
Herleitung der Formel für die Schwingungsdauer einer elektromagnetischen Schwingung:
Die Spannung U_C am Kondensator ist der induzierten Spannung U_ind entgegengesetzt gerichtet.
Es gilt also:

Diese Differentialgleichung hat die Lösung I(t)=I₀·sin(ω·t):

Die Gleichung zur Berechnung von T nennt man Thomsonsche Schwingungsgleichung.

2013-06-06

Durch magnetische Kopplung lässt sich elektromagnetische Schwingungsenergie von einem Schwingkreis auf einen anderen übertragen.
Wie bei den mechanischen Wellen wird dann auch hier Energie von einem Schwinger auf andere Schwinger weitergegeben.
Bei sehr langsam ablaufender Schwingung bleiben die Effekte auf die nähere Umgebung des Schwingkreises beschränkt.
Techniken wie Rundfunk und Fernsehen benötigen aber die weite Ausbreitung der Schwingungen.
Das lässt sich durch höhere Schwingungsfrequenzen erreichen.
Die Thomsonsche Schwingungsgleichung zeigt, dass durch Verkleinerung der Induktivität L und der Kapazität C die Schwingungsdauer verkleinert werden kann.
Anschaulich lässt sich das so durchführen:

Bei bestehenden Schwingkreis (1) werden die Kondensatorplatten solange verkleinert (2), bis sie nicht mehr da sind und die Leitungsenden die Platten darstellen (3).
Dann wird die Windungszahl verringert (4), bis nur noch ein gerades Leiterstück übrig bleibt (5).
Die Kondensatorplatten=Enden des Leiters werden voneinander entfernt (6), bis nur noch ein gerader Leiter übrig bleibt (7).
Eine gerade Metallstange bildet also einen Schwingkreis von sehr hoher Frequenz bzw. sehr kleiner Schwingungsdauer.
Versuche mit dem Dezimeterwellensender

Mit dem mittleren Gerät wird der aufgelegte Stab zu einem Sender.
Elektronen werden im Stab hin- und herbewegt. Dadurch ändert sich die Polarität an den Stabenden dauernd. Wir haben das durch eine Glimmlampe nachgewiesen.
Die Feldlinien im Außenbereich des Stabes bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit vom Stab weg.
Da der Stab immer wieder umgepolt wird, wechselt die Richtung der ausgesendeten Feldlinien ständig.
Es bilden sich geschlossene elektrische Feldlinien im Außenbereich, die sich losgelöst vom Sendestab mit Lichtgeschwindigkeit entfernen (Bild in der Mitte des Artikels).
Die ausgesendete Energie kann mit einer Antenne aufgefangen werden. Im Bild ist diese Antenne rechts unten zu sehen. In ihrer Mitte ist eine Lampe angebracht, die durch die Energie der ausgesandten Welle gespeist wird.
Die Welle ist polarisiert: Die Empfängerantenne muss dieselbe Richtung wie die Senderantenne haben.
Ein zwischen Sender und Empfänger positioniertes Gitter aus Metallstäben lässt die Sendeenergie durch, wenn die Stäbe senkrecht zur Senderantenne stehen.
Stehen die Metallstäbe parallel zur Senderantenne, empfangen sie die Energie und strahlen sie in alle Richtungen aus, so dass die Empfängerantenne nicht mehr genügend Energie erhält, damit die Lampe zum Leuchten gebracht werden kann.

2013-06-13

Weitere Versuche mit dem Dezimeterwellen-Sender:

Die Wellenlänge und die Frequenz ist zu bestimmen:
Die Antenne hat eine Länge von 32cm.
Da sich an den Enden die Elektonen fast nicht bewegen, ist dort ein Schwingungsknoten, während sich in der Mitte wegen der starken Elektronenbewegung ein Schwingungsbauch befindet.
Es bildet sich also eine stehende Welle auf der Antenne aus, wobei die Länge der Antenne so lang ist wie die halbe Wellenlänge. Also: λ=64cm.
Daraus ergibt sich mit c=f·λ und c=3·10⁸m/s: f=c/λ=3·10⁸/0,64Hz=469MHz (Literaturwert 434MHz)
Andere Möglichkeit zur Bestimmung der Wellenlänge:
Dem Sender gegenüber wird eine Metallplatte aufgestellt.
Zwischen Sender und Empfänger bildet sich eine stehende Welle.
Die Abstände zwischen zwei Minima werden gemessen.
Es ergibt sich ein ähnlicher Wert wie oben (36cm, daraus folgt f=417MHz).
Ein Gefäß mit zwei Antennen und einer Lampe in der Mitte der Antennen wird vor den Sender gestellt.
ohne Wasser: halb mit Wasser gefüllt: ganz mit Wasser gefüllt:

Ohne Wasser leuchtet die Lampe bei der langen Antenne (wie gehabt).
Wird die lange Antenne unter Wasser gesetzt, verlöscht die (außerhalb des Behälters befindliche) Lampe.
Ist auch die kleine Antenne von Wasser umgeben, so leuchtet nun die Lampe der kleinen Antenne.
Die Wellenlänge wird also unter Wasser kleiner. Da die Frequenz gleich bleibt, muss nach c=f·λ auch die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle in Wasser kleiner sein als in Luft (Vakuum).

Wellen mit anderer Frequenz liefert ein Gunn-Oszillator (Mikrowellen).

Das Ausmessen der stehenden Welle zwischen Sender und Metallplatte ergibt einen Wert von ca. 9GHz bei einer Wellenlänge von 3,4cm.
Die Mikrowellen werden von Metallflächen reflektiert.
Durch ein Metallrohr werden sie weitergeleitet, wenn der Krümmungsradius des Rohres nicht allzu groß ist.
Wird eine trockene Schaumgummiplatte zwischen Sender und Empfänger gehalten, so gehen die Wellen ohne merkbare Abschwächung hindurch.
Wird das Schaumgummi aber mit Wasser getränkt, so findet eine merkbare Schwächung des Signals statt.
In der häuslichen Mikrowelle werden deshalb auch die Speisen heiß und nicht das Geschirr, weil die Speisen Wasser enthalten und dadurch effektiv die Energie der Mikrowellen absorbieren, während das Geschirr von den Mikrowellen leicht durchsetzt werden kann.

2013-06-18

Bestimmung der Wellenlänge von Mikrowellen mit Hilfe eines Doppelspalts

Hinter einem Doppelspalt wird im Schülerversuch das Feld eines Mikrowellensenders ausgemessen:
Ein Maximum liegt genau auf der Linie Spalttrenner-Sender.
Die beiden weiteren gemessenen Maxima sind 19cm bzw. 22cm neben dem Hauptmaximum zu finden.
Zwischen Spalt und Messebene beträgt der Abstand 48cm.
Die Spalte haben die Breite 3cm, das Trennstück hat die Breite 6cm.
Befinden sich im Koordinatensystem alle Maxima auf der x-Achse und das Hauptmaximum bei y=0, so liegen die Spaltmitten bei -4,5cm und +4,5cm.
Bestimmt man für sie beiden seitlichen Maxima den Abstand von den Spaltmitten zu den Maxima, so ergibt die Differenz jeweils den Wert fürλ.

Für die Wellenlänge erhält man also die Werte 3,32cm und 3,77cm.
Die Abweichung lässt sich mit den schwierigen Ableseverhältnissen erklären.
Gegenstände im Raum und vor allem der Körper und die Bewegungen des Experimentators stören die Messung nämlich extrem.