Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Mathematik 9e

Ähnlichkeit

• Die Strichmännchen in der Skizze sehen ganz ähnlich aus.
  
  In der Mathematik bezeichnet man aber mit Ähnlichkeit nur graphische Objekte, bei denen alle Winkel und alle Streckenverhältnisse übereinstimmen.
  Die beiden Strichmännchen links erfüllen zwar diese Bedingung, da aber das 2. Männchen im Gegensatz zum 1. Männchen ein Gesicht besitzt, sind die Figuren nicht ähnlich.
  Die beiden äußeren Männchen sind fast ähnlich, aber die Arme bilden mit dem Körper nicht denselben Winkel.
  Das linke Männchen und das 2. Männchen von rechts sind aber (mathematisch) ähnlich, weil alle Winkel übereinstimmen und alle Streckenverhältnisse gleich sind.
• Teilt man ein DIN A4-Papier durch Knicken in 2 gleich große Teile, so ergibt sich ein ähnlich aussehendes Rechteck (DIN A5-Papier).
  
  Eure Überprüfung brachte kein eindeutiges Ergebnis.
  Die Winkel sind natürlich gleich (90°).
  Das Verhältnis der jeweils längeren zur kürzeren Seite (etwa 1,41) ergab sich aber bei Euch nicht ganz übereinstimmend.
  Anmerkung: Bei sehr genauer Messung hätte sich aber Übereinstimmung zeigen müssen, denn die Seitenlängen der DIN-Formate sind so gewählt, dass das Verhältnis von der längeren zur kürzeren Seite immer übereinstimmt (man kann deshalb auf dem Kopierer sehr gut vergrößern und verkleinern, ohne dass die Aufteilung auf dem Blatt darunter leidet.
  
• Wir haben berechnet, wie lang die längere Seite des DIN A4-Blattes sein muss, wenn die kürzere Seite genau 21 cm lang ist und wenn das Seitenverhältnis bei allen DIN A-Formaten gleich ist:
  
  Die längere Seite ist also etwa 29,7 cm lang.
  Übrigens: Exakt ist die längere Seite -mal so lang wie die kürzere Seite. Wer es nicht glaubt, muss nachrechnen! Es ist nicht schwer!

• Einführung in das Programm GeoGebra (herunterzuladen unter http://www.geogebra.org/cms/ ) mit einem Arbeitsblatt zum Thema Ähnlichkeit und zentrische Streckung:
  

• Wiederholung zu den Themen Ähnlichkeit und zentrische Streckung
• Bei einer zentrischen Streckung mit dem Faktor k erhalten Strecken die k-fache Länge, Flächen den k²-fachen Flächeninhalt (Länge mal Breite) und Körper das k³-fache Volumen (Länge mal Breite mal Höhe)
• Die Koordinaten von Punkten bei der zentrischen Streckung kann man auch berechnen.
  Beispiel: Gegeben sind das Streckzentrum Z(0/0), das Bilddreieck A'(3/4), B'(9/3), C'(6/6) und der Streckfaktor k=3.
  Gesucht sind die Koordinaten der Punkte A, B und C.
  Lösung:
  Da das Streckzentrum bei Z(0/0) liegt, muss der x-Wert von A mit k multipliziert den x-Wert von A' ergeben. Dasselbe gilt entsprechend auch für die y-Werte und die anderen Punkte.
  
  Überprüfung durch Zeichnung:
  
• Etwas schwieriger wird es, wenn das Streckzentrum nicht im Punkt (0/0) liegt.
  Dann muss man beim Berechnen der Strecken ZA und ZA' usw. die Koordinaten des Punktes Z berücksichtigen.
  Beispiel: Gegeben sind das Streckzentrum Z(2/4), die Punkte A'(10/6), B(1/8), C'(0/7) und der Streckfaktor k=2.
  Gesucht sind die Koordinaten der Punkte A, B' und C.
  Lösung:
  
• Sehr schwierige Aufgabe (freiwillig!):
  Gegeben sind die Punkte
  A(5/7), B(1/9), C(10/3), A'(7/12), B'(-1/16)
  Gesucht sind die Koordinaten der Punkte C' und Z und der Streckfaktor k.
• Hausaufgabe für alle:
  Seite 25 Aufgaben 7abc, 8abc, 9a, 10abc

• Lösung der "schweren" Aufgabe aus der letzten Stunde:
  Gegeben sind die Punkte
  A(5/7), B(1/9), C(10/3), A'(7/12), B'(-1/16)
  Gesucht sind die Koordinaten der Punkte C' und Z und der Streckfaktor k.
  Lösung:
• Die unbekannten Koordinaten von Z werden mit x und y benannt.
  
  Da die k-Werte bei A und B gleich sind, gilt:
  
• Analog gilt für den y-Wert:
  
  Da die k-Werte bei A und B gleich sind, gilt:
  
  Die Koordinaten des Punktes Z betragen also Z(3/2).
• k lässt sich leicht aus den Rechnungen oben ermitteln, z.B.
  
  Der Streckfaktor k hat also den Wert 2.
• Zur Bestimmung der Koordinaten cx und cy des Punktes C' kann man folgende Gleichung aufstellen:
  
  Damit hat C' die Koordinaten C'(17/4).
• Zeichnerische Überprüfung:
  

• Einführende Aufgabe zu den Strahlensätzen:
  
  Johannes soll für die Schule einen Tannenbaum kaufen, der aber nicht größer als 10m sein darf. Er hat einen sehr schönen Baum gefunden, aber die Größe steht nirgends an dem Baum. Johannes überlegt sich: Ich habe die Länge 1,93m. Mein Schatten vom Sonnenlicht hat die Länge 2,86m. Der Baum hat die Schattenlänge 37,40m. Da ich mit meinem Schatten und dem begrenzenden Sonnenstrahl ein Dreieck bilde, das ähnlich ist zum Baum-Schatten-Sonnenstrahl-Dreieck des Baumes, gilt:
  
  Der Baum ist leider zu groß.
• Zu den Strahlensätzen mit Zusatzmaterial

• Übungen zum 1. und 2. Strahlensatz
  

• Themen der Arbeit:
• Ähnlichkeit
• zentrische Streckung
• Strahlensätze
• Das Tafelbild der Wiederholungsstunde gibt es bei Moodle
• Hausaufgabe: Die Seite 58 "Bist Du fit?" durcharbeiten.

• Wiederholung zur Klassenarbeit 2
  
• DasTafelbild ist wieder bei Moodle abgelegt.

• Klassenarbeit 2  [ Aufgaben | Lösungen ]