Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 8e

Terme und Gleichungen mit Klammern

• Terme sind aus dem letzten Schuljahr bekannt.
  Terme bestehen aus Zahlen, Variablen und Konstanten, die durch Rechenoperationen miteinander verbunden sind.
  Einfach gesagt: Ein Term ist das, was links und rechts des Gleichheitszeichens in einer Gleichung stehen darf.
• Aufgabe des Lehrers zur Einführung in das Thema:
  "Denke Dir eine Zahl, addiere dazu das 2-fache der um 4 verminderten Zahl und addiere dann dazu 18.
  Wenn Du mir Dein Ergebnis sagst, kann ich angeben, welche Zahl du dir gedacht hast."
  Tatsächlich konnte der Lehrer die gedachte Zahl nennen und konnte sogar darauf hinweisen, dass einige Schüler sich verrechnet hatten.
• Malte hatte sehr schnell heraus, dass man von der genannten Zahl 10 subtrahieren und dann das Ergebnis durch 3 teilen muss, damit man die gedachte Zahl erhält.
  
• Probe: Gedachte Zahl ist 5. Die um 4 verminderte Zahl ist 5-4=1, das Doppelte davon ist 2·1=2. 5+2=7. Dann soll noch 18 addiert werden: 7+18=25.
  Nach Maltes Regel muss man von 25 10 abziehen. Das ergibt 25-10=15. Das durch 3 dividiert ergibt 15/3=5. Richtig, das ist die gedachte Zahl.
• Noch eine Probe: Gedachte Zahl ist 59. Die um 4 verminderte Zahl ist 59-4=55, das Doppelte davon ist 2·55=110. 59+110=169. Dann soll noch 18 addiert werden: 169+18=187.
  Nach Maltes Regel muss man von 187 10 abziehen. Das ergibt 187-10=177. Das durch 3 dividiert ergibt 177/3=59. Richtig, das ist die gedachte Zahl.
• Aber warum ist das so? Ist das immer so? Kann man sicher sein, dass die Rechenregel von Malte stimmt, wenn man 100 verschiedene Aufgaben gerechnet hat und immer die gedachte Zahl erhalten hat?
  NEIN, das geht nicht!
  Man müsste sämtliche möglichen Zahlen für die gedachte Zahl einsetzen. Das geht aber nicht, weil es unendliche viele Zahlen sind.
• Bei den Proberechnungen haben wir mit speziellen Zahlen gerechnet.
  Rechnet man aber allgemein mit einer gedachten Zahl x, so hat man sämtliche möglichen Rechnungen mit einer einzigen Rechnung erledigt!
  Wir sehen daran, welch großartiges Instrument die allgemeine Rechnung ist.
• Allgemeine Rechnung:
  Die gedachte Zahl ist x. Die um 4 verminderte Zahl ist x-4, das Doppelte davon ist 2·(x-4). Die erste Addition liefert dann x+2·(x-4). Dann soll noch 18 addiert werden: x+2·(x-4)+18.
  Wie kommt man nun auf Maltes Regel?
  Dazu muss erst der gefundene Term vereinfacht werden.
• Der mittlere Summand bereitete zunächst Schwierigkeiten. Einige dachten, 2·(x-4) würde 2·x-4 ergeben. Das ist aber falsch.
  Eine Multiplikation bedeutet eine abgekürzte Addition mit lauter gleichen Summanden.
  So gilt 2·(x-4) = (x-4) + (x-4) und das ergibt x-4+x-4=2·x-8.
  Eigentlich klar: 2 mal die Klammer bedeutet, dass alles in der Klammer mit 2 multipliziert werden muss.
• So ergibt sich die Rechenregel:
  Eine Zahl wird mit einer Klammer multipliziert, indem die Zahl mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert wird.
• Vereinfachung des gefundenen Terms:
  
• Nun kann man auch sehen, dass Malte Recht hatte: Subtrahiert man vom Ergebnis 10, so bleibt noch 3·x übrig und das dividiert durch 3 ergibt x, die gedachte Zahl.
  
  
• Hausaufgabe: Denkt Euch selbst eine Kopfrechenaufgabe aus und gebt an, wie man vom Ergebnis durch Rechnung auf die gedachte Zahl kommen kann.

• Bei der Besprechung der Hausaufgabe und der Überprüfung in 2-er-Teams habt Ihr Schwierigkeiten gehabt, wenn eine Klammer subtrahiert werden sollte.
  Hier eine unproblematische Aufgabe:
  "Denke dir eine Zahl, addiere das 6-fache der um 3 verkleinerten Zahl und addiere dann das 10-fache der um 4 vergrößerten Zahl"
  x+6·(x-3)+10·(x+4) = x+6x-18+10x+40 = 17x+22
  Man muss also, um vom genannten Ergebnis zur gedachten Zahl zu kommen, vom Ergebnis 22 subtrahieren und dann das Zwischenergebnis durch 17 dividieren.
• Eigenartig fandet Ihr folgende Aufgabe, da man immer das Ergebnis 28 erhielt, ganz gleich, welche Zahl man sich gedacht hatte:
  "Denke dir eine Zahl, addiere das 4-fache der um 2 vergrößerten Zahl und subtrahiere dann das 5-fache der um 4 verkleinerten Zahl"
  x+4·(x+2)-5·(x-4) = x+4x+8-5x+20 = 28
  Dass das Ergebnis immer gleich ist, liegt daran, dass das x sich aus der Rechnung heraushebt.
  Merksatz, auch ganz wichtig in der Physik: Kommt eine Variable nicht in der Rechnung vor oder hebt sich diese Variable aus der Rechnung heraus, so ist das Ergebnis von dieser Variablen nicht abhängig. Man kann den Wert der Variablen also beliebig wählen, ohne das Ergebnis damit zu beeinflussen.
• Nun zum Minuszeichen vor einer Klammer:
• 1.Beispiel:
  3·(6-4) Das ist eine abgekürzte Schreibweise für (6-4)+(6-4)+(6-4) = 6-4+6-4+6-4 = 3·6 - 3·4 = 18-12 = 6
  Man muss also die Zahl vor der Klammer mit jeder Zahl in der Klammer multiplizieren und die Zwischenergebnisse dann addieren.
• 2. Beispiel:
  (-3)·(6-4) = (-3)·6 - (-3)·4 = (-18) - (-12) = -18+12 = -6
• 3. Beispiel:
  9-3·(6-4) = 9+(-3)·(6-4) oder 9+3·(-6+4) = 9 -18 +12 = 3
• 4. Beispiel:
  9-(6-4) = 9-1·(6-4) =  9+(-1)·(6-4) oder 9+1·(-6+4) = 9+(-6+4) = 9 -6 +4 =7
  
• Am Beispiel 4 sieht man, dass man eine Minusklammer (=eine Klammer, vor der ein Minusszeichen steht) auflösen kann, indem man das Minuszeichen vor der Klammer und die Klammer weglässt und in der Klammer alle Vorzeichen umkehrt .
  Allgemein mit Buchstaben:
  a+(b+c-d) = a+b+c-d         a-(b+c-d) = a-b-c+d
• Weitere Beispiele:
• a-(-b+c)=a+b-c
• (a-b)-(c+d) = a-b-c-d
• -(a+b)-(-c+d) = -a-b+c-d
• Folgende Rechengesetze haben wir wiederholt:
  
• Hausaufgabe: Seite 12 Aufgaben 6, 7 und 9, jeweils die 2. Spalte

• Anmerkungen zu der Besprechung der Hausaufgabe:
• Beim Auflösen von Klammern geht man am besten in folgender Reihenfolge vor:
  1. Vorzeichen ermitteln
  2. Zahlen multiplizieren
  3. Buchstaben (in alphabetischer Reihenfolge) multiplizieren
  Beispiel: (-2a)·(3a²b-4a³c)
  Vor der 3 kann man sich ein + denken.
  Bei (-2a)·(3a²b): - mal + gibt -    2·3=6     a·a²b=a³b     insgesamt also -6a³b.
  Bei (-2a)·(4a³c): - mal - gibt +    2·4=8     a·a³c=a⁴c     insgesamt also +8a⁴c.
  Damit ergibt sich (-2a)·(3a²b-4a³c)=-6a³b+8a⁴c
• Addieren und subtrahieren darf man bei Buchstaben nur dann, wenn sowohl die Buchstaben als auch die dazugehörigen Hochzahlen (Exponenten) übereinstimmen.
  Beispiele:
  3x+8x=11x
  4a²-3a²=a²
  6c³+6c⁵ kann man nicht zusammenfassen
  4a³b⁷+5a³b⁷=9a³b⁷
  aber 4a³b⁷+5a⁷b³ lässt sich nicht zusammenfassen.
• Von einem Rechteck kennt man nur die Länge einer Seite. Sie ist 5m lang.
  Verkleinert man diese Seite um 2m und verlängert die andere Seite um 1m, so hat das neue Rechteck denselben Flächeninhalt wie das ursprüngliche Rechteck.
  Berechne die unbekannte Seitenlänge des ursprünglichen Rechteckes.
  1. Lösungsschritt: Zeichnung mit Bezeichnungen
  
  2. Lösungsschritt: Bedingung "Flächeninhalte sind gleich" als Gleichung schreiben:
  5m·x=(5m-2m)·(x+1m)
  3. Lösungsschritt: Gleichung nach x auflösen:
  → 5m·x=3m·(x+1m) → 5m·x=3m·x+3m·1m → 5m·x-3m·x=3m·1m → 2m·x=3m·1m → 2x=3·1m=3m → x=3/2 m=1,5m
  Übersichtlicher ist es, wenn man auf die Einheit verzichtet. Das darf man aber nur dann tun, wenn alle Größen in derselben Einheit angegeben sind.
  Dann gilt → 5·x=3·(x+1) → 5·x=3·x+3·1 → 5·x-3·x=3·1=3 → 2·x=3 → x=3/2=1,5.
• Hausaufgabe: Seite 13 Aufgaben 16e und f und 17c und Aufgabe 33 auf Seite 15 beenden.

• Zu den Fehlern und Schwierigkeiten bei den Hausaufgaben:
• Ein Bruch wird mit einer Zahl multipliziert, indem man den Zähler des Bruchs mit der Zahl multipliziert und den Nenner unverändert lässt.
  2 Beispiele:
  
  
• Bei einem Quader soll die mittelgroße Seite doppelt so lang sein wie die kürzeste Seite und die längste Seite soll um 12 größer sein als die kürzeste Seite. Alle Kanten zusammen sollen die Länge 144 besitzen.
  
  Die längste Seite habe die Länge L, die mittelgroße Seite die Länge M und die kürzeste Seite die Länge K.
  Dann gilt:
  M=2·K, da die mittlegroße Seite doppelt so lang wie die kürzeste Seite sein soll.
  L=K+12, da die längste Seite um 12 größer als die kürzeste Seite sein soll.
  4·L+4·M+4·K=144, da alle Kanten zusammen die Länge 144 haben sollen.
  Die Werte für M und L aus den ersten beiden Bedingungen werden in die dritte Gleichung eingesetzt:
  4·(K+12)+4·(2·K)+4·K=144 → 4·K+4·12+4·2·K+4·K=144 → 4·K+48+8·K+4·K=144 → 16·K+48=144 → 16·K=96 → K=6
  Wird eine Zahl mit einer Klammer multipliziert, so
• wird die Zahl mit jedem Summanden in der Klammer multipliziert, wenn in der Klammer addiert oder subtrahiert wird,
• wird die Zahl nur einmal mit dem Inhalt der Klammer multipliziert, wenn in der Klammer multipliziert oder dividiert wird.
• In 16 Jahren wird eine Mutter doppelt so alt wie ihre Tochter sein. Heute sind Mutter und Tochter zusammen 40 Jahre alt.
  Das heutige Alter der Mutter sei M und das der Tochter sei T.
  In 16 Jahren hat die Mutter das Alter M+16 und die Tochter T+16.
  (M+16)=2·(T+16), weil in 16 Jahren die Mutter doppelt so altr wie ihre Tochter ist.
  M+T=40, weil Mutter und Tochter heute zusammen 40 Jahre alst sind.
  Aus (M+16)=2·(T+16) folgt M+16=2·T+32 → M=2·T+16.
  Dieser Wert für M wird in die 2. Gleichung eingesetzt:
  M+T=40 → 2·T+16+T=40 → 3·T+16=40 → 3·T=24 → T=8
  Die Tochter ist heute also 8 Jahre alt.
  Daraus folgt: M=2·T+16=2·8+16=16+16=32.
  Die Mutter ist heute also 32 Jahre alt.
• Hausaufgabe: Seite 16 Aufgabe 39

• Zur Hausaufgabe:
  Jan ist heute doppelt so alt wie Sophie. Vor 4 Jahren war Jan 4-mal so alt wie Sophie damals. Wie alt sind Jan und Sophie heute?
  Das Alter von Jan sei J und das von Sophie sei S.
  Da Jan heute doppelt so alt ist wie Sophie, gilt J=2·S.
  Vor 4 Jahren war Jan J-4 Jahre alt und Sophie S-4.
  Da Jan damals 4-mal so alt wie Sophie war, gilt J-4=4·(S-4).
  Setzt man J=2·S in diese Gleichung ein, so ergibt sich
  2·S-4=4·(S-4) → 2·S-4=4·S-16 → 12=2·S → S=6 → J=12.
  Jan ist heute also 12 Jahre alt und Sophie 6 Jahre.
• Plus- und Minusklammern
  Beispiele:
  +(3-a+b-12) = 3-a+b-12
  -(3-a+b-12) = (-1)·(3-a+b-12) = -3+a-b+12
  Eine Plusklammer kann mit dem Vorzeichen einfach weggelassen werden.
  Steht ein Minus vor einer Klammer, so kann man dafür auch die Klammer mit -1 multiplizieren.
  Man sieht, dass man die Minusklammer samt Minuszeichen weglassen darf, wenn man in der Klammer alle Vorzeichen umkehrt.
  Steht eine (innere) Klammer in der (äußeren) Klammer, so werden die Vorzeichen in der inneren Klammer nicht umgekehrt!
  Beispiel: -(r-(s-r)) = -r+(s-r)
• Ausklammern
  Enthalten mehrere Summanden die gleichen Faktoren, so kann man diese aus der Klammer herausziehen:
  3·a+3·b-3·c = 3·(a+b-c)
  7·a-5·a+6·a = a·(7-5+6)
  16·a³·b⁴·c²-8·a²·b·c²+4·a²·b·c = 4·a²·b·c·(4·a·b³·c-2·c+1)
• Hausaufgabe: Seite 20, Aufgaben 6 und 11

• Tipps zum Ausklammern (bei der Kontrolle der Hausaufgaben besprochen):
• Aufgabe: 4xy-4xz=
  Nachsehen, welche Faktoren in beiden Summanden vorkommen. Hier sind es 4 und x.
  Daraus folgt die Lösung: 4xy-4xz=4x·(y-z)
• Manchmal sieht man den Zahlen nicht sofort an, welche Faktoren gleich sind.
  Dann hilft es, die Zahlen als Produkte von kleineren Faktoren zu schreiben.
  Gleiche Faktoren werden markiert, die Reste kommen dann in die Klammer:
  Beispiel 1:
  
  Beispiel 2:
  
• Die Aufgabe (r²-s)-(r²-s) kann man so rechnen: (r²-s)-(r²-s)=r²-s-r²+s=0,
  man kann es sich aber auch einfacher machen: Da in beiden Klammern dasselbe steht, muss beim Subtrahieren 0 herauskommen.
• Zwei Klammern werden miteinander multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Klammer mit jedem Summanden der anderen Klammer multipliziert.
  Die Rechenzeichen vor den einzelnen Summanden werden dabei als Vorzeichen genutzt.
  Die Begründung für diese Rechenregel folgt aus der Beispielaufgabe:
  
  Man kann auch so rechnen:
  
• Hausaufgabe: Seite 23 Aufgaben 4, 6, 9 und 10 jeweils a

• Das Lösen von Gleichungen, die in ihren Termen Klammern enthalten:
• Beispiel für eine Gleichung mit 1 Lösung:
  
• Beispiel für eine Gleichung mit 0 Lösungen:
  
  Da es kein x gibt, für das -20 und 10 übereinstimmen, ist die Lösungsmenge leer: Es gibt keine Lösung.
  
• Beispiel für eine Gleichung mit unendlich vielen Lösungen:
  
  Da sich das x bei der Rechnung herausgehoben hat und in der letzten Zeile immer 0=0 steht, ganz gleich, welchen x-Wert man gewählt hat, gibt es unendlich viele Lösungen.Jede rationale Zahl ist Lösung dieser Gleichung.
• Hausaufgabe: Seite 24 Aufgaben 13 e,f und 15 h,k

• Binomische Formeln
• Bisher haben wir Klammern wie (a+b)·(c+d) aufgelöst: (a+b)·(c+d)=a·c+a·d+b·c+b·d
  Man kann sich die Rechnung so veranschaulichen, dass man einen Flächeninhalt eines Rechteckes mit den Seitenkanten a+b und c+d berechnet, indem man die Inhalt seiner 4 Teilflächen berechnet und diese addiert: a·c+a·d+b·c+b·d
  
• Ist das Rechteck ein Quadrat mit der Seitenlänge a+b, haben 2 Teilflächen gleichen Flächeninhalt und das Ergebnis kann so zusammengefasst werden, dass es nur noch aus 3 Summanden besteht:
  
  Hier gilt (a+b)²=a²+2ab+b²
  Man kann also Quadrate von Klammern mit 2 Summanden nach folgendem "Kochrezept" berechnen:
  1. Nimm den 1. Summanden aus der Klammer und quadriere ihn.
  2. Addiere dazu das Produkt der Summanden, nachdem du es verdoppelt hast.
  3. Dazu addiere das Quadrat des 2. Summanden.
  
• Stehen in der Klammer nicht nur positive Werte, so kann es folgende Fälle geben, wobei man für a und b wieder positive Werte annimmt:
  (+a+b)²=a²+2ab+b²
  (+a-b)²=a²-2ab+b²
  (-a+b)²=a²-2ab+b²
  (-a-b)²=a²+2ab+b²
  Beispiel: (-5-7)²=5²+2·5·7+7² mit den positiven Werten a=5 und b=7.
  Die erste der Gleichungen nennt man "1. Binomische Formel".
  Die anderen Gleichungen braucht man sich nicht zu merken, sondern nur die Vorzeichenregel für das Vorzeichen des 2. Summanden:
  (erweiterte) 1. Binomische Formel:
  (a+b)²=a²+2ab+b²
  Haben die Zahlen in der Klammer das gleiche Vorzeichen, steht vor dem 2. Summanden ein +, sonst ein -.
• Multipliziert man 2 Klammern mit gleichen Zahlen, wobei aber ein Vorzeichen verschieden ist, so ergibt sich:
  (a+b)·(a-b)=a²-ab+ab-b²=a²-b²
  Diese Formel nennt man
  3. Binomische Formel: (a+b)·(a-b)=a²-b² 
• Hausaufgabe: Seite 26 Aufgaben 6 a,b und 7 a,b

• Wiederholungen und Übungen zu den Binomischen Formeln.
• zur 1. Binomischen Formel:
  Diese Formel darf man anwenden, wenn beide Klammern in allen Teilen geich sind oder wenn eine Klammer quadriert wird.
• zur 3. Binomischen Formel:
  Ist in beiden Klammern alles gleich bis auf ein einzelnes unterschiedliches Vorzeichen, so kann die 3. Binomische Formel benutzt werden.
• zur 2. Binomischen Formel (a-b)²=a²-2ab+b²
  Diese Formel benutzen wir nicht, weil sie in unserer erweiterten 1. Binomischen Formel enthalten ist:
  Haben die Zahlen in der Klammer das gleiche Vorzeichen, steht vor dem 2. Summanden ein +, sonst ein -.
• Auch bei Termen der Form
  (-a+b)(a+b)   oder   (-a-b)(a-b)    oder    (-a-b)(-a+b)   kann die 3. Binomische Formel angewendet werden:
  (-a+b)(a+b)=-a²+b²
  (-a-b)(a-b)=-a²+b²
  (-a-b)(-a+b)=a²-b² 
• Hausaufgabe: Seite 27 Aufgabe 13 a,b,c,d
  

• Die Binomischen Formeln können auch "rückwärts" angewandt werden:
• Wenn (x+4)²=x²+8x+16, dann gilt natürlich auch x²+8x+16=(x+4)²
  Beim Anwenden der 1. Binomischen Formel findet man die Zahlen in der Klammer, indem man bei den 3 gegebenen Summanden die beiden Quadratzahlen sucht und dann die zugehörigen Basen der Quadrate in die Klammer schreibt.
  Beispiel:
  x²+18x+81   Die Quadrate sind x² und 81=9². Dann heißt die Klammer (x+9)².
  Man muss jetzt natürlich noch nachprüfen, ob der 3. Summand aus 2·x·9 gebildet wird. Hier stimmt es, also gilt x²+18x+81=(x+9)².
  Bei x²+28x+81 stimmt dann natürlich (x+9)² nicht. Hier kann man die 1. Binomische Formel nicht anwenden.
• Wenn (x+3)(x-3)=x²-3²=x²-9, dann gilt natürlich auch x²-9=(x+3)(x-3)
  Hier wendet man die 3. Binomische Formel rückwärts an.
  Beispiel:
  4x²-36y⁴=(2x)²-(6y²)²=(2x+6y²)(2x-6²)
• Miriam hat von ihrem Vater eine interessante Methode kennengelernt, mit der man Divisionen vereinfachen kann:
• Beispiel: Wieviel ist 238:34?
  Miriam multipliziert den Divisor 34 (also die Zahl, durch die geteilt wird) mit 10 (das ergibt 340) und subtrahiert davon den Dividenden 238 (das ergibt 340-238=102).
  Dieses Zwischenergebnis 102 teilt sie dann wieder durch den Divisor 34 (102:34=3 dieses Ergebnis lässt sich leicht im Kopf berechnen).
  Nun subtrahiert sie dies Zahl 3 von 10 und erhält das Ergebnis der gestellten Aufgabe: 10-3=7. Es gilt dann 238:34=7.
• Warum stimmt das?
  Wir rechnen allgemein die Aufgabe a:b.
  1. Schritt: b mit 10 multiplizieren und davon a subtrahieren:   10·b-a
  2. Schritt: Dieses Ergebnis durch b dividieren:   (10·b-a):b
  3. Schritt: Das gefundene Zwischenergebnis von 10 subtrahieren:    10-(10·b-a):b  Der Wert dieses Terms ist das gesuchte Ergebnis.
  Beweis: Wir vereinfachen den gefundenen Term: 10-(10·b-a):b = 10 - (10·b:b) - (-a:b) = 10 - 10 + a:b = a:b  und das ist die gestellt Aufgabe.
• Weiteres Beispiel: 2328:24 Hier setzen wir immer 100 statt 10 ein (warum wohl?):
  1. Schritt: 100·24=2400 , dann 2400-2328=72
  2. Schritt: 72:24=3
  3. Schritt: 100-3=97  Das Ergebnis ist also 2328:24=97
• Aufgaben:
     1. Zeige allgemein, dass das Rechenverfahren auch für 100, 1000, ... statt 10 gilt.
     2. Zeige allgemein, dass das Rechenverfahren für jede Zahl statt 10 gilt, in folgendem Beispiel mit der Zahl 40:
  3010:86=
  1. Schritt: 40·86=3440 , dann 3440-3010=430
  2. Schritt: 430:86=5
  3. Schritt: 40-5=35 , also gilt 3010:86=35
  Weitere Aufgabe: Welche Zahl wählt man wohl am besten statt der 10 aus, damit die Rechnung möglichst einfach wird?
  
• Hausaufgabe: Seite 29 Aufgabe 5 c,d und 7 a

• Das Faktorisieren von Summen geht in Sonderfällen auch durch Umkehrung der Binomischen Formeln:
• 1. Binomische Formel:
  9x²+48xy+64y²=(3x+8y)²
  
• 3. Binomische Formel:
  4x⁶-25y²=(2x³+5y)(2x³-5y)
• Soll ein quadratischer Term so faktorisiert werden, dass kein x² vorkommt, so geht das oft über "quadratische Ergänzung":
  x²+8x+3=
  In der Klammer, die dann quadriert wird, muss auf alle Fälle x vorkommen:
  x²+8x+3=(x+ ... )² ...
  Damit sich beim Auflösen der Klammer 8x ergibt, muss der 2. Summand in der Klammer 4 sein (nach der 1. Binomischen Formel: 2 mal x mal ZAHL gleich 8x, also muss ZAHL=4 sein):
  x²+8x+3=(x+4)² ...
  Da (x+4)²=x²+8x+16, stimmt die rechte Seite noch nicht, sie ist um 13 zu groß. Man muss also noch 13 subtrahieren:
  x²+8x+3=(x+4)²-13 Nun stimmt es!
• Hausaufgabe: Seite 30 Aufgaben 3 bis 6 jeweils die erste Aufgabe von b

• Wiederholung zur Klassenarbeit
  Hier die behandelten Themen und die Seitenangaben
  

1. Auflösen einer Klammer (Seiten 10-16)
2. Auflösen einer Minus-Klammer (Seiten 17-18)
3. Ausklammern (Seiten 19-21)
4. 2 Klammern multiplizieren (Seiten 22-24)
5. Binomische Formeln (Seiten 25-27)
6. Faktorisieren (Seiten 28-29)
7. Vermischte Übungen (Seiten 30-31)
8. Bist du fit? (Seite 44, Lösungen hinten im Buch)

• Klassenarbeit 1   [ Aufgaben | Lösungen ]
  

• Mischungsrechnung
• Einführendes Beispiel:
  Aufgabe
  
  • In letzter Zeit sind meistens mehr Mädchen als Jungen in der Klasse.
  • In der 8g sind 30 Schüler/innen, davon 60% Mädchen.
  • In der 8h sind 20 Schüler/innen, davon 80% Mädchen.
  • Wenn beide Klassen zusammen einen Ausflug machen, wie ist dann der prozentuale Anteil der Mädchen in der Gruppe?
    
  Lösung:
• In der 8g sind 30·60/100=30·0,6=18 Mädchen
• In der 8h sind 20·80/100=20·0,8=16 Mädchen
• In beiden Klassen zusammen sind 18+16=34 Mädchen. Insgesamt sind 30+20=50 Schüler/innen in der Gruppe.
• 34 von 50 sind 34/50=68/100=68%.
• In der Ausflugsgruppe sind 68% Mädchen.
• Wichtig: Wird das Vielfache p einer Menge m berechnet, so multipliziert man m mit p.
  Das gilt auch, wenn p kleiner als 1 ist.
  
• Möchte man die Aufgabe in einer Gleichung darstellen, so addiert man zunächst die Anzahl der Mädchen in jeder Klasse.
  Achtung: Das m in den nächsten Zeilen steht für "Menge", nicht für "Mädchen".
  m₁: Anzahl der Schüler in der Klasse 8g ; p₁: Anteil der Mädchen in der 8g ; m₁·p₁: Anzahl der Mädchen in der 8g.
  m₂: Anzahl der Schüler in der Klasse 8h ; p₂: Anteil der Mädchen in der 8h ; m₂·p₂: Anzahl der Mädchen in der 8h.
  m₁·p₁+m₂·p₂ ergibt denselben Wert wie die Anzahl aller Schüler (m₁+m₂), multipliziert mit dem (zunächst noch unbekannten) Anteil der Mädchen in Prozent (m₁+m₂)·p .
  Gleichung: m₁·p₁+m₂·p₂=(m₁+m₂)·x → 30·0,6+20·0,8=(30+20)·x → 18+16=50·x → 34=50·x → x=34/50=0,68=68%
• Bei den im Buch vorhandenen Aufgaben auf Seite 35 kann man immer folgende Formel für die Mischungsrechnung benutzen:
  
• Zweites Beispiel:
  Aufgabe:
  
  • In 90ml Kaffee der Temperatur 80°C kippt man 10ml Milch der Temperatur 8°C.
  • Welche Temperatur hat dann das Gemisch aus Kaffee und Milch?
  Lösung:
• m₁=90ml ; p₁=80°C ; m₂=10ml ; p₂=8°C ; p=x
  m₁·p₁+m₂·p₂=(m₁+m₂)·x → 90ml·80°C+10ml·8°C=(90ml+10ml)·x → (7200+80)ml·°C=100ml·x → 7280°C=100·x → x=7280°C/100=72,8°C
  Der Milchkaffee hat also die Temperatur 72,8°C.
  
• Drittes Beispiel:
  Aufgabe:
• In der Süßigkeitenmischung A sind 80% leckere Teile, in der Mischung B nur 30% leckere Teile.
• Von der Mischung A besitzt man 10 Tüten. 
• Wieviel Tüten der Mischung B muss man kaufen, damit die Gesamtmenge 50% leckere Teile enthält?
Lösung:

• m₁=10 Tüten ; p₁=80% ; m₂=x ; p₂=30% ; p=50%
  m₁·p₁+m₂·p₂=(m₁+m₂)·x → 10·0,8+x·0,3=(10+x)·0,5 → 8+0,3·x=10·0,5+x·0,5 → 8+0,3·x=5+0,5·x → 3=0,2·x → x=3/0,2=30/2=15
  Man muss also 15 Tüten der Mischung B zu den vorhandenen Süßigkeiten dazugeben.
• Viertes Beispiel:
  Aufgabe:
• Man besitzt eine 1-Liter-Flasche Saft mit 50% Fruchtgehalt.
• Wieviel Wasser muss man dazugeben, damit der Fruchtgehalt des Getränks 10% beträgt?
Lösung:

• Achtung: Der Fruchtsaftgehalt von Wasser ist 0%!
• m₁=1 Liter ; p₁=50% ; m₂=x ; p₂=0% ; p=10%
  m₁·p₁+m₂·p₂=(m₁+m₂)·x → 1·0,5+x·0,0=(1+x)·0,1 → 0,5+0=0,1+x·0,1 → 0,4=0,1·x → x=0,4/0,1=4/1=4
  Man muss also 4 Liter Wasser zu dem Fruchtsaft geben.

• Pascalsches Dreieck
  In folgendem Dreieck ergeben sich die Zahlenwerte dadurch, dass bei den äußeren schrägen Begrenzungen überall 1 steht.
  Die anderen Zahlen ergeben sich durch Addition der beiden schräg darüber stehenden Zahlen.
  

• Wir haben entdeckt, dass die Zahlen des Pascalschen Dreiecks mit den Koeffizienten übereinstimmen, die beim Ausmultiplizieren von Termen der Art entstehen:
  
  Die Hochzahlen der a- und b-Faktoren addieren sich in einer Reihe immer zum selben Wert (Hochzahl der Klammer).
  Die Hochzahlen des a-Faktors nehmen nach rechts hin ab, die des b-Faktors nach rechts hin zu.

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 1  [ Aufgaben | Lösungen ]