Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 8e

Systeme linearer Gleichungen

• Beispiel zum Thema Gleichungssysteme
  600 Stück Kaminholz sind angeliefert worden.
  Vater und Sohn wollen das Holz hinter das Haus bringen und dort aufschichten.
  Der Vater schafft 120 Stück Holz pro Stunde, der Sohn 48 Stück pro Stunde.
  
  Wie lange gebrauchen die beiden, wenn sie gemeinsam die ganze Zeit miteinander arbeiten?
  
  Zuerst habt ihr ohne Gleichung die Aufgabe gelöst:
  In 1 Stunde schaffen die beiden zusammen 168 Stück, in 2 Stunden 336 Stück und in 3 Stunden 504 Stück.
  Es bleiben dann noch 96 Stück übrig. Das ist etwas mehr als die Hälfte von 168 Stück. Die beiden müssen also noch etwas mehr als eine halbe Stunde zusätzlich arbeiten, also insgesamt etwas mehr als 3 1/2 Stunden.
  
  Lösung durch eine einfache Rechung: Dividiert man die 600 Klötze durch 168 (die Anzahl, die die beiden in einer Stunde bearbeiten können), so erhält man die Anzahl der benötigten Stunden: 600/168=3,57. 0,57 Stunden sind 57/100 Stunde.
  Das mit 60 multipliziert gibt die Anzahl der Minuten: 57/100*60=34,2. Die Arbeitszeit beträgt also etwa 3 Stunden und 34 Minuten.
  
  Wie ist es nun, wenn einer der beiden nicht die ganze Zeit arbeiten kann?
  Steht V für die Arbeitszeit des Vaters in Stunden, schafft der Vater in V Stunden 120·V Klötze.
  Steht S für die Arbeitszeit des Sohnes in Stunden, schafft der Sohn in S Stunden 48·S Klötze.
  Zusammen bearbeiten sie 600 Klötze.
  Es gilt also 120·V+48·S=600.
  
  Diese Gleichung erlaubt eine schnelle Berechnung:
  Kann der Sohn nur 1 Stunde arbeiten, so gilt 120·V+48·1=600 → 120·V=552 → V=552/120=4,6.
  Der Vater muss dann also 4,6 Stunden arbeiten.
  Kann der Vater nur 1/2 Stunde arbeiten, so gilt 120/2+48·S=600 → 60+48·S=600 → 48·S=540 → S=540/48=11,25.
  Der Sohn müsste dann also 11,25 Stunden arbeiten.
  
  In der nächsten Stunde besprechen wir dann, wie man mit Hilfe einer Geradengleichung und einer Zeichnung noch schneller zu Ergebnissen kommt.

• Zur Wiederholung von Geradengleichungen:
• GeoGebra-Arbeitsblatt für Ursprungsgeraden:
  
  
• GeoGebra-Übungsblatt für Geradengleichungen mit beliebigen Geraden:
  
• Trainingsspiel zu Geradengleichungen:
  

• Nach (diesmal) erfolgreicher Anmeldung im Computerraum Übungen mit GeoGebra zu Geradengleichungen.
• Beschreibung von Geraden durch Gleichungen:
  
  
• Schräg verlaufende Geraden lassen sich mit der Gleichung y=m·x+b beschreiben, wobei m die Steigung und b den y-Achsenabschnitt angeben.
• Waagrechte Geraden besitzen die Steigung 0 und können deshalb durch y=b angegeben werden (der y-Achsenabschnitt b ist eine Konstante).
  Man kann sich das Zustandekommen der Gleichung auch so überlegen: Für alle Punkte auf der waagrechten Geraden ist der y-Wert gleich dem y-Achsenabschnitt b. Es gilt alsoy=b.
• Entsprechend kann man eine senkrechte Gerade beschreiben. Da alle Punkte einer senkrechten Geraden den gleichen x-Wert haben (z.B. a), kann man als Gleichung für die ganze Gerade x=a schreiben.
  Die Schreibweise mit y=m·x+b geht hier nicht, weil die Steigung unendlich groß ist.

• Geradengleichungen haben wir bis jetzt immer in der Form y=m·x+b geschrieben (mit Ausnahme der Gleichung x=a bei senkrechten Geraden - siehe oben).
  Oft ist es aber günstiger, alle Summanden mit den Variablen x und y auf der einen Seite und die Konstante auf der anderen Seite der Gleichung zu haben.
  Man kann z. B. für y=-4x+1 auch schreiben 4x+y=1.
• Allgemein kann man Geradengleichungen also auch so schreiben: A·x+B·y=C.
• Ist eine Gerade durch die Gleichung 2·x-3·y=8 gegeben, so kann man diese Gleichung auch wieder durch Umstellen auf die gewohnte Form der Geradengleichung bringen:
  
• Lösen eines Gleichungssystems
  Sind mehrere Gleichungen gegeben, die die gleichen Variablen enthalten, so spricht man von einem Gleichungssystem.
  Unter "Lösung des Gleichungssystems" versteht man das Finden der Werte, die man für die Variablen einsetzen muss, sodass alle Gleichungen richtig sind.
• Beispiel:
  Das Gleichungssystem besteht aus den beiden Gleichungen .
  Wir werden mehrere Methoden kennenlernen, mit denen man so ein Gleichungssystem lösen kann.
  Heute haben wir uns überlegt, dass man die Geraden zu den beiden Gleichungen zeichnen kann und dann die Koordinaten des Schnittpunktes bestimmt.
  Da die x- und die y-Werte in beiden Gleichungen gleich sein müssen, müssen sie auch die Koordinaten des Schnittpunktes sein.
• Zunächst haben wir die Gleichungen umgeformt:
  Dann wurde zeichnerisch der Schnittpunkt bestimmt:
  
  Als Lösung ergeben sich die Werte x=0,79 und y=-2,14.
  Da man im Schulheft meist nicht so genau wie GeoGebra zeichnen kann, habt Ihr etwas andere Werte erhalten.
• Wir haben deshalb versucht, mit dem Taschenrechner ein genaueres Ergebnis zu erzielen:
  Zunächst die Gleichungen mit Y= eingeben, WINDOW-Einstellungen wählen und GRAPH zeichnen lassen, dann mit CALC und INTERSECT den Schnittpunkt bestimmen lassen:
          
  
             
  Hier ergibt sich die Lösung x=0,78571429 und y=-2,142857.
  Diese Werte sehen genauer aus. Sind diese Werte aber exakt? Das werden wir in der nächsten Stunde untersuchen.

• In der letzten Stunde haben wird das Gleichungssystem bzw. graphisch und mit dem Taschenrechner gelöst.
  Die Lösungen ergaben aber nur Näherungswerte, da man aus einer Zeichnung die Koordinaten eines Punktes nicht exakt ablesen kann und da ein taschenrechner nur mit einer bestimmten Genauigkeit rechnet.
• Wir haben 2 Rechenmethoden kennengelernt, mit denen man die exakten Lösungen finden kann:
• Gleichsetzungsverfahren
  Da in den beiden gegebenen Gleichungen die x-Werte übereinstimmen und auch die y-Werte übereinstimmen, stimmen in dem Gleichungssystem der Form die linken Seiten überein und deshalb müssen auch die rechten Seiten übereinstimmen.
  Man kann also schreiben .
  Daraus folgt .
  In die obere Gleichung eingesetzt ergibt sich
  Die exakten Lösungen sind also .
• Subtraktionsverfahren
  Da bei Gleichungen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens derselbe Wert steht, erhält man dasselbe Ergebnis, wenn man die linken Seiten der Gleichungen voneinander subtrahiert und wenn mandie rechten Seiten der Gleichungen subtrahiert. Die Reihenfolge der Gleichungen muss eingehalten werden.
  
  Um mit dieser Methode das Gleichungssystem lösen zu können, multiplizieren wir zunächst die untere Gleichung mit 2:
  Nun werden die linken und die rechten Seiten der Gleichungen voneinander subtrahiert:
  
  x wird in die obere Gleichung eingesetzt:
  Es ergeben sich dieselben Werte wie oben.
• Übungsaufgabe
  
  2 Kerzen brennen über längere Zeit. Die kürzere Kerze (7 cm lang) wird in jeder Stunde um 1,5 cm kürzer, die längere Kerze (12 cm lang) wird in jeder Stunde um 3,5 cm kürzer.
  Beschreibe das Kürzerwerden der Kerzen durch Gleichungen und berechne, wann beide Kerzen gleich groß sind.
• Lösung im Unterricht:
  Die Länge der Kerzen sei jeweils y, die vergangene Zeit sei x.
  Kürzere Kerze: y=7-1,5·x
  Längere Kerze: y=12-3,5·x
• Weitere Rechnung als Hausaufgabe.

• Lösung der Hausaufgabe: Anwendung des Subtraktionsverfahrens
  
  Die Kerzen sind also nach 2,5 Stunden gleich lang und ihre Länge beträgt dann 3,25 cm.
• In der letzten Stunde haben wir schon 2 Rechenverfahren zum Lösen von Gleichungssystemen kennengelernt:
  Beim Lösen von Gleichungssystemen mit 2 Gleichungen geht es immer darum, durch Kombinieren der beiden Gleichungen eine Variable zu entfernen, damit man dann nur noch 1 Gleichung mit 1 Unbekannten hat.
  
• Gleichsetzungsverfahren
• Subtraktionsverfahren
• In dieser Stunde kamen 2 Rechenverfahren dazu:
• Additionsverfahren
  Dabei werden die beiden Gleichungen so addiert, dass eine Variable wegfällt.
  Manchmal muss man dann vorher noch eine oder beide Gleichungen mit einer Zahl multiplizieren oder durch eine Zahl dividieren, damit die Koeffizienten (=Vorzahlen) vor einer Variablen gleich werden.
  1. Beispiel:
  
  2. Beispiel:
  
• Einsetzungsverfahren
  Dabei steht in einer Gleichung für eine Variable schon ein Term bereit.
  Dieser Term wird dann in der anderen Gleichung für die Variable eingesetzt.
  Beispiel:
  
• Hausaufgabe: Seite 59 Aufgabe 5 und Seite 69 Aufgabe 4 a, b, c, d, e

• Besprechung der Hausaufgabe und weitere Übungen.
  Beim Lösen von Gleichungssystemen gilt das Gleiche wie beim Lösen von Gleichungen: Erst die Terme auf beiden Seiten der Gleichung vereinfachen.
  Beispiel:
  
  
• Man kann solche Gleichungssysteme auch mit dem Taschenrechner berechnen lassen.
  Dazu bildet man aus dem Gleichungssystem eine Matrix, in der alle x, y, = fehlen.
  Mit dem rref-Befehl des Taschenrechners wird dann eine Matrix erzeugt, die man Zurück übersetzt in die Form mit x, y und =.
  
          
       
  
• Hausaufgabe: Seite 70 Aufgabe 7 a, b

• Wiederholung und Übung zum Lösen von Gleichungssystemen (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten), schriftlich und mit dem Taschenrechner.
• Beispielaufgabe zum mathematischen Modellieren mit Hilfe linearer Gleichungssysteme:
  Ein gleichschenkliges Dreieck mit den gleichlangen Seiten s und der Basis b hat einen Umfang von 80 cm.
  Die Basis ist 10 cm länger als eine der gleichlangen Seiten.
  Berechne die Längen der Dreiecksseiten.
  Lösung: 1. Zeichnung, 2. Aufstellen der Gleichungen, 3. Berechnung des Gleichungssystems, 4. Antwortsatz
  1.
  2.
  3.
  4. Die Basis hat die Länge 30 cm und die beiden gleichlangen Seiten haben jede die Länge 20 cm.
• Hausaufgabe: Seite 75 Aufgabe 15

• Wir haben 2 Text-Aufgaben gerechnet, bei denen bekannt war, wie weit 2 Orte voneinander entfernt sind und mit welchen Geschwindigkeiten 2 Personen bzw. Flugzeuge von den beiden Orten aus aufeinander zufahren bzw. zufliegen.
  Man benötigt dazu das Wissen, dass man den erreichten Ort s berechnen kann aus Geschwindigkeit v mal Zeit t: s=v·t
  Der Ort der 1. Person sei y1 und seine Geschwindigkeit v1.
  Der Ort der 2. Person sei y2 und seine Geschwindigkeit -v2 (Minuszeichen, weil diese Person sich in diue entgegengesetzte Richtung bewegt).
  Die 1. Person startet am ersten Ort beim Kilometerstein 0, die 2. Person im Abstand a der beiden Orte.
  Dann ergeben sich die beiden Gleichungen
  y1=v1·t und y2=-v2·t+a.
  Will man wissen, wo sich die beiden treffen, löst man das Gleichungssystem mit y1=y2 durch das Gleichsetzungsverfahren:
  v1·t=-v2·t+a → v1·t+v2·t=a → t=a/(v1+v2).
  Diese Formeln haben wir nicht besprochen, aber einige von Euch haben so im Kopf die Lösung gefunden. Sehr schön!
• Rechnung mit Zahlenwerten:
  v1=14km/h, v2=-16km/h, a=15km.
  Gleichungen (zur Übersichtlichkeit ohne Einheiten): y1=14·t ; y2=-16·t+15 → 14·t=-16·t+15 → 30·t=15 → t=1/2
  Die beiden treffen sich also nach einer halben Stunde.
  Durch Einsetzen von t in die Gleichungen erhält man den Treffpunkt: y=7km.
• Fährt ein Beteiligter erst später los, so wird dieser Zeitraum von t abgezogen.
  Beispiel: Fährt jemand erst 1/4 Stunde später los, so schreibt man nicht y=-16·t+15, sondern y=-16·(t-1/4)+15=-16·t+4+15=-16·t+19
• Zur Brötchenaufgabe:
  Kauft man 4 Mohnbrötchen und 2 Käsebrötchen, so muss man 2,20 € bezahlen.
  Kauft man 5 Mohnbrötchen und 1 Käsebrötchen, so muss man 2,00 € bezahlen.
  Gleichungssystem (M = Preis der Mohnbrötchen, K = Preis der Käsebrötchen):
  
  Die Mohnbrötchen kosten also 30 Cent pro Stück und die Käsebrötchen 50 Cent pro Stück.
• Hausaufgabe: Seite 74 Aufgaben 5 und 12

• Folgende Themen müsst ihr zur nächsten Arbeit vorbereiten:
• Lineare Funktionen (Seiten 45 - 46) (Stoff aus dem letzten Schuljahr, ist jetzt Voraussetzung!)
• Graphisches Lösen von Gleichungssystemen
• Rechnerisches Lösen von Gleichungssystemen
• Additionsverfahren
• Subtraktionsverfahren
• Gleichsetzungsverfahren
• Einsetzungsverfahren
• Lösen von Gleichungssystemen mit dem Taschenrechner
• graphisch
• mit Matrizen
• Anwendungsaufgaben (Textaufgaben) (Seiten 71 - 77)
• Aufgaben zur Vertiefung und "Bist du fit?" (Seiten 80 - 82)
• Wir haben an Hand des Gleichungssystems die verschiedenen Verfahren besprochen:
• Graphisches Lösen mit dem Taschenrechner, dazu Umformen des Gleichungssystems zu .
          
  
• Lösen mit Matrizen, dazu Umformung des Gleichungssystems zu .
       
  
• Additionsverfahren:
  
• Subtraktionsverfahren:
  
• Gleichsetzungsverfahren:
  
• Einsetzungsverfahren:
  

• Wiederholung zur Arbeit

• Klassenarbeit 2

• Rückgabe der Klassenarbeit  [ Aufgaben | Lösungen ]
  

• Zum Abschluss des Themas Übungen zu Gleichungssystemen ohne Lösung und mit unendlich vielen Lösungen und zu Gleichunssystemen mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten.
• Gegeben ist das Gleichungssystem mit den Variablen x und y und den beiden unbekannten Konstanten (=Formvariablen) a und b:
  
  
• 1. Fall:
  Wenn der Nenner nicht 0 ist, ergibt sich für alle möglichen a- und b-Werte eine einzige Lösung.
  Damit der Nenner nicht 0 ist, muss aber gelten: a ≠ -6. b ist beliebig.
• 2. Fall:
  Wenn a = -6 ist, also wenn der Nenner zu 0 wird, ist die Berechnung des Bruchs nicht möglich, es sei denn, auch der Zähler hätte den Wert 0 (siehe 3. Fall).
  Also: Wenn a = -6 und b ≠ 7, dann gibt es keine Lösung für das Gleichungssystem.
• 3. Fall:
  Nenner und Zähler werden zu 0, d. h. a = -6 und b = 7. Dann ist die Berechnung des Bruchs zwar nicht möglich, aber wenn man von Anfang an rechnet, ergibt sich
  
  Wir behalten 1 Gleichung mit 2 Unbekannten. Es gibt also unendlich viele Lösungen.
• Gegeben ist das Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten:
  
  
  Es ergibt sich also die Lösung x=1 ; y=-2 ; z=3

• Wenn man ein Gleichungssystem mit n Gleichungen und n Unbekannten hat
  (n ist irgendeine ganze Zahl, z. B. 3, wie in der letzten Stunde: 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten),
  so löst man dieses Gleichungssystem, indem man zunächst unter Berücksichtigung aller Gleichungen ein Gleichungssystem mit n-1 Gleichungen und n-1 Unbekannten erstellt
  (also 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten, wie in der letzten Stunde).
  Dieses Verfahren wendet man immer wieder an, bis man nur noch 1 Gleichung mit 1 Unbekannten hat.
  Diese Gleichung lässt sich nun gut lösen.
  Dann setzt man die Lösung in eine Gleichung mit 2 Unbekannten ein und kann die 2, Unbekannte bestimmen.
  So geht es weiter, bis schließlich alle Unbekannten berechnet worden sind.