Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 8e

Quadratwurzeln und reelle Zahlen

• Ein quadratischer Fisch-Teich soll umgebaut werden, so dass die Bäume stehen bleiben, der neue Fischteich wieder quadratisch ist und die doppelte Fläche besitzt.
  Die Frage ist, wie lang eine Seite des neuen Fischteichs ist, wenn eine Seite des alten Fischteichs 10 m beträgt.
  
  Auch ohne die Aufgabe zeichnerisch gelöst zu haben, kann man rechnerisch die gesuchte Länge ermitteln:
  Bei 10m Seitenlänge hat der alte Teich die Fläche 100m².
  Der neue Teich besitzt also die Fläche 200m².
  Da seine Form ein Quadrat ist, muss seine Seitenlänge a mit sich selbst multipliziert 200m² ergeben: a²=200m².
  Durch Zeichnen, Abmessen und Probieren erhält man etwa 14,1m für die neue Seitenlänge. Exakt ist dieser Wert aber nicht, wie die Rechnung 14,1²=198,81 zeigt.
  Hier die zeichnerische Lösung der Aufgabe.
• Rechnerisch ist die Zahl gesucht, die mit sich selbst multipliziert 200 ergibt.
  Durch Probieren mit dem Taschenrechner habt ihr herausgefunden: a=14,14213562.
  Ist das das exakte Ergebnis? Dann müsste 14,14213562·14,14213562=200=200,00000000 sein.
  Das geht aber nicht, weil die letzte Nachkommastelle bei der Multiplikation eine 4 ergibt und nicht eine 0.
  Man kann zeigen, dass diese Aufgabe keine Lösung hat, bei der man die Dezimalzahl bis auf die letzte Stelle genau aufschreiben kann.
• Man hilft sich damit, dass man das Ergebnis nicht angibt, sondern nur die Aufgabe in der Form .
  Man nennt das Zeichen "Wurzel" oder auch "Quadratwurzel". Dieses Zeichen bedeutet, dass dort eigentlich die Zahl stehen muss, die mit sich selbst multipliziertdie Zahl unter der Wurzel ergibt.
• Da Quadratzahlen immer positiv sind, kann man keine Wurzeln aus negativen Zahlen bilden (oder "ziehen").
  Zur Sprechweise: "Zieht man die Wurzel aus 9, so erhält man 3". In Formelschreibweise: .
• Mit diesen Wurzeln kann man genau so rechnen, wie auch mit anderen Zahlen. Wir werden das in den nächsten Stunden sehen.
• Hinweis: Wir kennen das schon, dass wir manchmal gar nicht mit Zahlen, sondern mit "Aufgaben" rechnen:
  1/2 ist eigentlich gar keine Zahl, sondern die Aufgabe, 1 durch 2 zu dividieren.
  Da dabei keine ganze Zahl herauskommt, schreibt man einfach die Aufgabe hin oder benutzt eine Dezimalzahl (0,5).
  Genau so, wie wir wie selbstverständlich mit Brüchen rechnen, können wir demnächst auch mit Wurzeln rechnen.

• In der letzten Stunde haben wir gelernt, dass die Wurzel aus einer Zahl die Zahl ist, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter dem Wurzelzeichen ergibt.
  Diese Definition (=Festlegung) reicht noch nicht aus.
  Denn dann könnte die Wurzel aus 9 sowohl +3 als auch -3 sein. Was das für Auswirkungen hätte, zeigt folgende Rechnung:
  
  Bei derselben Rechnung ergeben sich 2 verschiedene Ergebnisse (9 und 3) und das darf natürlich nicht sein.
• Man definiert eine Wurzel deshalb folgendermaßen, damit sie einen eindeutigen Wert hat:
  Eine Wurzel aus einer positiven Zahl ist die positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt.
  Also unter der Wurzel und als Ergbenis müssen positive Zahlen stehen.
• Rechnet man mit Buchstaben, so schreibt man um das Ergebnis, damit es auf alle Fälle positiv ist, Betragstriche:
  
  Betragstriche machen aus dem, was innerhalb der Betragstriche steht, einen positiven Wert, wenn dieser nicht schon positiv ist. Beispiele:
  
• Alle Brüche lassen sich durch abbrechende oder periodische Dezimalzahlen schreiben.
  Wurzeln, unter denen keine Quadratzahlen stehen, werden durch nichtabbrechende und nichtperiodische Deziamlzahlen beschrieben.
• Umwandlung einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch an Hand eines Beispiels:
  

• Wurzelziehen und Quadrieren sind entgegengetzte Rechenarten. Beispiele:
  
• Heron-Verfahren
  Wir haben das Verfahren zur Berechnung von mit Hilfe von LibreOffice-Calc angewendet.
  Dazu wurde die Formel benutzt, bei der aus einem Näherungswert für x ein neuer (und meist besser passender) Wert für x berechnet wird.
  a ist dabei die Zahl, aus der die Wurzel gezogen werden soll.
  
  Hier die Tabelle, einmal mit den Zahlenwerten und dann mit den Formeln:
      
  Hier die Tabelle zum Herunterladen.
  

• Hinweise und Übungen zu VERA-8.
  Termin für die Überprüfung ist der 1. März 21012
  Wer üben möchte oder neugierig auf die Aufgabenarten ist, wird bei Google mit den Suchbegriffen "vera 8 mathe" fündig.
• Wichtig: Bei der Definition der Wurzel sind die beiden Worte "positiv" zu beachten:
  Eine Wurzel aus einer positiven Zahl ist die positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt.
• Ist die Definiotionsmenge eines Wurzelterms gefragt, so sind die Variablenwerte gesucht, die man einsetzen darf.
  Dabei muss man beachten, dass der Term unter der Wurzel positiv sein muss.
  Beispiele:
  
• Hausaufgabe: Seite 102 Aufgaben 6 bis 9 jeweils d und i und Seite 103 Aufgaben 10, 11 und 13 jeweils f

• Wiederholung:
  Eine Wurzel aus einer positiven Zahl ist die positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert die Zahl unter der Wurzel ergibt.
  Es gibt also für eine WEurzel nur einen eizigen Zahlenwert.
• Anders ist es, wenn man eine quadratische Gleichung der Form x²=a hat.
  Diese Gleichung kann auch 2 Lösungen haben:
  
  Beispiel mit Zahlen:
  
• Manchmal haben quadratische Gleichungen (=Gleichungen, in denen x² die größte Potenz von x ist) auch mehr oder weniger als 2 Lösungen:
• 0 Lösungen:
  
• 1 Lösung:
  
• unendlich viele Lösungen:
  
• Rechnen mit Wurzeln
  Eigentlich sind ja Wurzeln selbst Rechenaufgaben ("Suche eine positive Zahl, die mit sich selbst ....").
  Man kann mit Wurzeln aber auch rechnen.
  Im Unterricht habt Ihr probiert, ob man Wurzeln, die addiert, subtrahiert, multipliziert oder dividiert werden, zusammenziehen kann, um die Rechnungen einfacher zu gestalten.
  Mit folgendem Programm könnt Ihr das noch einmal ausprobieren.
  Bei welchen Rechenarten funktioniert die Vereinfachung?
  
  
  

• Wir haben gesehen, dass man Wurzeln, die miteinander multipliziert oder durcheinander dividiert werden, durch eine einzige Wurzel beschreiben kann:
  
• Umgekehrt kann man eine einzige Wurzel in mehrere Wurzeln zerlegen.
  Das macht man sich zu Nutze, wenn man den großen Radikanden einer Wurzel verkleinern mölchte (teilweise Wurzelziehen).
  Beispiele:
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• Addieren und subtrahieren kann man Wurzeln nur, wenn sie gleich sind.
  Beispiele:
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• 

• Wenn überprüft werden soll, ob , so sollte man nachschauen, ob in jeder Wurzel der gleiche Faktor steckt, der mit einer Quadratzahl multipliziert wird.
  Dann kann man teilweise die Wurzel ziehen und die restlichen Summanden zusammenfassen:
  
  Da sich rechts und links dasselbe Ergebnis zeigt, ist die zu untersuchende Gleichung richtig.
• Das Assoziativgesetz gilt auch bei Wurzeln:
  
• Auch die binomischen Formeln gelten bei Wurzeln:
  

• Wurzeln aus dem Nenner eines Bruchs entfernen
• Fall 1: Im Nenner steht nur eine einzige Wurzel
  Man erweitert den Bruch mit der Wurzel. Durch das Quadrieren der Wurzel im Nenner hebt sich die Wurzel weg.
  Beispiele:
  
  
• Fall 2: Im Nenner steht eine Summe oder eine Differenz, in der mindestens eine Wurzel vorkommt.
  Man erweitert so, dass man die 3. binomische Formel anwenden kann, um dabei mit den beiden Quadraten die Wurzeln zu entfernen.
  Beispiele:
  
  

• Wurzelgleichungen
  Bei Wurzelgleichungen muss man immer die Probe durchführen, da sich beim Rechenschritt "Quadrieren" zusätzliche Lösungen ergeben können.
  Beispiel:
  
  Zur Lösungsmenge gehört also nur die Lösung x=+2.
• Wird auf einer Seite der Gleichung die Wurzel mit einer Zahl addiert oder subtrahiert, so muss diese Zahl erst auf die andere Seite der Gleichung gebracht werden, da sonst beim Quadrieren der Summe (Binomische Formel) wieder eine Wurzel entsteht.
  Beispiel:
  
  Das Quadrieren bringt die Rechnung so nicht weiter.
  Richtig ist:
  
  Hier gehört nur x=-2 zur Lösungsmenge.
• Merksatz: Eine Wurzel kann man nur dann durch Quadrieren entfernen, wenn sie allein auf einer Seite der Gleichung steht.
• Hausaufgabe: Seite 116 Aufgabe 2 b, f und Seite 117 Aufgabe 4 (1)

• Wir haben gesehen, dass man manchmal sehr "spannende" Berechnungen durchführen kann, um zur Lösung zu kommen, dass es aber manchmal auch schneller geht:
  Die Aufgabe war zu zeigen, dass .
  Erster Versuch:
  
  Zweiter Versuch:
  
• Bei Wurzelgleichungen gilt:
• Ist 1 Wurzel vorhanden, so wird so umgeformt, dass diese Wurzel auf einer Seite der Gleichung allein steht. Dann wird quadriert.
• Sind 2 Wurzeln vorhanden, so kann man sie beide auf eine Seite der Gleichung bringen und den Rest auf die andere Seite.
  Dann wird quadriert (Binomische Formeln!) und es bleibt 1 Wurzel übrig.
  Dann geht es weiter wie bei 1.
• Beispiel dazu:
  

• Wiederholung und Übungen zur Klassenarbeit
• Hier noch einmal zur Sicherheit das Tafelbild mit den Themen und einigen Beispielaufgaben:
  
  

• Wiederholung zur Klassenarbeit.

• Klassenarbeit 3  [ Aufgaben | Lösungen ]