Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 8e

Satz des Pythagoras

• Kann man das Haus des Nikolaus in einem Zug ohne abzusetzen zeichnen? Keine Linie darf doppelt gemalt werden und man soll an der Regenrinne (roter Punkt) beginnen.
  
  Viele von Euch waren sicher, das zu können, aber es schaffte niemand. Warum ist das so?
  Wir haben gesehen, dass "Zwischenpunkte" (Berührungspunkte oder Schnittpunkte von Strecken), die weder Start noch Ziel sind, immer eine geradzahlige Anzahl von ansetzenden Linien haben.
  Start und Ziel müssen jedoch eine ungeradzahlige Anzahl von Linien haben.
  Sind jedoch Start und Ziel identisch, müssen auch am Start-Ziel-Punkt eine geradzahlige Anzahl von Linien sein.
  Beschriftet man nun die Eckpunkte und Schnittpunkte des Nikolaushauses mit der Zahl, die die Anzahl der Linien angibt, so kann man erkennen, ob die Figur in einem Zug zu zeichnen ist (alle Zahlen müssen geradzahlig sein oder genau 2 Zahlen sind ungeradzahlig) oder ob man absetzen muss (eine oder mehr als 2 Zahlen sind ungeradzahlig).
  
  Man erkennt, dass man an einer unteren Ecke des Hauses mit dem Zeichnen beginnen muss.
• Nun will der Nikolaus sein Haus streichen: Die Vorderfront so gelb gestrichen werden und das Dach (die Schräge links und rechts) in rot.
  
  Der dreieckige Teil oberhalb der Vorderfront besitzt oben einen rechten Winkel (90°) und die beiden Dachschrägen sind gleich lang.
  Wie die Vorderfront sind auch beide Dachschrägen jeweils Quadrate.
  Benötigt der Nikolaus mehr gelbe oder mehr rote Farbe?
  Miklas hat eine schöne Antwort gefunden:
  Die Dachschrägen werden so geklappt, dass sie mit der Vorderfront eine Ebene bilden. Das sieht dann so aus:
  
  Jede Dachfläche ist so groß wie die blaue Fläche. Diese ist halb so groß wie die gelbe Fläche (Nachzählen der Dreiecke!).
  Daraus folgt, dass beide roten Flächen so groß sind wie die gelbe Fläche, d. h. der Nikolaus braucht gleich viel gelbe und rote Farbe.
• Wir haben gesehen, dass immer folgende Gesetzmäßigkeit gilt:
  Werden über den Seiten eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks Quadrate gezeichnet, so sind die Flächeninhalte der Quadratflächen, die mit Hilfe der Katheten gezeichnet sind, zusammen genau so groß wie der Flächeninhalt der Fläche, die mit Hilfe der Hypotenuse gezeichnet ist: A₁+A₂=A₃.
  
• Hausaufgabe: Gilt diese Gesetzmäßikeit auch, wenn die beiden Katheten nicht gleich lang sind? Zeichnung anfertigen und ausmessen!

• Die Auswertung Eurer Zeichnungen ergab, dass wohl auch bei nicht gleich langen Katheten die Rechenregel A₁+A₂=A₃ gilt.
  Wer will, kann in folgendem GeoGebra-Applet durch Ziehen der Punkte A, B und C die Rechenregel überprüfen.
  
• Im Versuch haben wir den Satz des Pythagoras schon kennengelernt.
  Um aber ganz sicher zu sein, dass die Gesetzmäßigkeit wirklich gilt, müssen wir die Beziehung a²+b²=c² mit den Seiten a, b und c im rechtwinkligen Dreieck noch beweisen.
  Wir benutzten folgende Figur, die als GeoGebra-Applet heruntergeladen werden kann.
  
  Wir haben uns gefragt, ob in den kleinen rechtwinkligen Dreieck a²+b²=c² gilt.
  Dazu haben wir den Flächeninhalt der Fläche des großen Quadrats ABCD berechnet und die Flächeninhalte der Dreiecke subtrahiert. Es ergibt sich aus der Rechnung der Flächeninhalt des gelben Quadrates.
• großes Quadrat ABCD: A1=(a+b)²=a²+2ab+b²
• rechtwinkliges Dreieck: A2=a·b/2
• 4 rechtwinklige Dreiecke: A3=4·A2=4·a·b/2=2ab
• großes Quadrat ABCD minus 4 rechtwinklige Dreiecke: a²+2ab+b²-2ab=a²+b²=c² :gelbes Quadrat.

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
  

• Übungen zum Satz des Pythagoras
• Man sagt zwar oft a²+b²=c² für den Satz des Pythagoras,
  Man muss dabei aber daran denken, dass es nicht auf die Bezeichnungen der Seiten des rechtwinkligen Dreiecks ankommt, sondern nur darauf, welche Seiten dem 90°-Winkel benachbart sind (die Quadrate dieser Seitenlängen werden addiert) und welche Seite dem 90°-Winkel gegenüber liegt (das Quadrat dieser Seitenlänge ist das Ergebnis).
  Beispiel:
  
  Da hier die Seiten m und y am 90°-Winkel liegen und r dem 90°-Winkel gegenüber, heißt der Satz des Pythagoras hier m²+y²=r².
• Baum des Pythagoras
  
  Nach dem Satz des Pythagoras ist der Flächeninhalt des Quadrates 1 genau so groß wie die Inhalte der beiden Quadrate mit der Bezeichnung 2.
  Aber auch alle 3-er-Quadrate und alle 4-er-Quadrate haben jeweils zusammen den gleichen Flächeninhalt wie Quadrat 1.
  Wenn man nun diese Figur unendlich verzweigt zeichnen lässt, hat die von den Quadraten umrandete Fläche also unendlichen Flächeninhalt, da mit jeder neuen Verzweigung immer ein konstanter Flächeninhalt dazu kommt.
  Hausaufgabe: Wie lang ist die Linie, die insgesamt für die Figur gezeichnet werden muss?
  Dieser Grenzfigur ziemlich nahe kommt die Figur mit 17 Verzweigungen:
  
  Wer selbst verschiedene Dreieckswinkel und Verzweigungstiefen ausprobieren will, kann sich hier das Java-Programm mit blauer Figur und das Programm mit verschiedenfarbiger Figur herunterladen.
  Hier drei Beispiele:
         
  Viel Spaß beim Ausprobieren und schöne Ferien!

• Zur Wiederholung des Satzes vom Pythagoras nach den Ferien Berechnungen an einer Leiter
             
  
  Näherungsweise (siehe Bild ganz rechts) haben die seitlichen Abmessungen der Leiter die Länge L1=1,89 m.
  Die Breite der Trittfläche und die Strecken von der größeren Trittfläche bis zum Gelenk bilden in etwa ein gleichseitiges Dreieck.
  Die Abstände der Tritte und die Breite der größeren Trittfläche haben etwa die Länge L2=0,27 m.
  Der Abstand der Füße beträgt bei geöffneter Leiter L3=1,25 m.
  Zu berechnen war, wie hoch (H) die größere Trittfläche sich über dem Boden befindet.
• Die gesamte Höhe vom Boden bis zum Gelenk berechnet sich nach folgender Figur:
  
  
• Das kleine Dreieck oben am Gelenk ist ein gleichseitiges Dreieck.
  Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks berechnet sich so:
  
  
  In der Zeichnung oben gilt also .
• Die gesuchte Höhe H=JI ergibt sich dann aus H=JI=AI-AJ:
  AF=1,89 ; BC=0,27 ; FI=0,5·FH=0,5·1,25
  
  Trotz starker Rundungen beim Messen ergab sich bei der Kontrollmessung derselbe Wert 1,55 m als Höhe des Trittbretts über dem Boden.
• Sehr schön die Alternativlösung von Rebecca. Sie zeichnete die beiden roten Hilfslinien ein:
  
  BC=OH ; FO=FH-BC ; FP=0,5·FO
  Da der Abstand der Trittbretter und die Breite der größeren Trittfläche näherungsweise übereinstimmen, besteht die lange Strecke AF aus 8 gleichen Teilen, die Strecke BF dagegen nur aus 7 dieser Teile: BF=AF/8·7.
  Daraus ergibt sich:
  
  Die hier berechneten 1,58 m stimmen gut mit den oben gefundenen 1,55 m überein.

• In einem Garten steht eine 40m hohe Tanne, die aus Sicherheitsgründen gefällt werden muss.
  Leider steht im Garten nur wenig freie Fläche zur Verfügung: Im Abstand 30m von der Tanne befindet sich ein Zaun, der beim Fällen des Baums nicht beschädigt werden darf.
  Der Holzfäller schlägt vor, in der Höhe 9m den Stamm zu durchtrennen. Wird dann beim Abknicken (siehe Skizze, die aber nicht maßstabsgetreu ist!) der Zaun getroffen?
  
  
• Zunächst war klar, dass das abgeknickte Stück des Baumes die Länge 40m-9m=31m hat.
  Da durch den Erdboden, den Reststamm und den abgeknickten Teil ein rechtwinkliges Dreieck gebildet wird, kann der Satz des Pythagoras zum Finden der Lösung eingesetzt werden.
  Zur Lösung habt Ihr zwei Wege beschritten:
• Wo wird die Spitze des Baums auf dem Erdboden auftreffen? Ist dieser Ort weniger als 30m von der Tanne entfernt, so kommt der Zaun mit dem Schrecken davon.
  Rechnung (obere Teilfigur):
  
  Es bleibt noch ein Raum von etwa 30cm bis zum Zaun frei.
• Wie lang dürfte der abgeknickte Teil sein, damit er genau bis zum Zaun reicht?
  Rechnung (untere Teilfigur):
  
  Da der abgeknickte Teil nur 30m lang ist, wird er den Zaun nicht erreichen.
• Mit dieser Lösung sollte man sich noch nicht zufrieden geben:
  
  Aus der GeoGebra-Zeichnung kann man ablesen, dass der Baum beim Fallen den Zaun treffen würde, wenn dieser größer als etwa 1m ist.
  In der Höhe 1,19m ist die Spitze des Baums genau oberhalb des Zaunes.
• Kennt man die Koordinaten zweier Punkte im Koordinatensystem, so kann man mit Hilfe des Satzes des Pythagoras die Entfernung zwischen diesen Punkten bestimmen:
  
  
  
• Beispiel: Die 3 bedeutenden Orte Diepholz, Barver und Barnstorf wollen ein Fahrradrennen ausrichten, das in einem Rundkurs durch alle 3 Orte führt.
  Berechne die Länge der Fahrstrecke. Die einzelnen Rasterlinien sind jeweils 1km voneinander entfernt.
  
  Diepholz=(1/2) ; Barver=(16/2) ; Barnstorf=(11/13)
  Diepholz-Barver:
  
  Barver-Barnstorf:
  
  Barnstorf-Diepholz:
  
  Gesamtstrecke: 15,0 km + 11,7 km + 14,9 km = 41,6 km
• Hausaufgabe: Seite 132 Aufgabe 13a

• Im Zusammengang mit den Aufgaben zum Satz des Pythagoras aus dieser Stunde haben wir gesehen:
• Sind Streckenlängen oder Abstände zu berechnen, sucht man sich am besten rechtwinklige Dreiecke heraus, die die gesuchte Größe enthalten und deren andere Seiten gut zu bestimmen sind.
• Hilfslinien (und natürlich sowieso Zeichnungen) sind wichtig.
• Bei räumlichen Figuren sollte man Teilflächen separat aufzeichnen, damit man rechte Winkel und Senkrechte besser erkennt.
• Ist ein Wert zu berechnen, der sich aus mehreren Teilergebnissen zusammensetzt, so sollte man nicht mit den gerundeten Teilergebnissen weiterrechnen, sondern mit Taschenrechner-Genauigkeit.

• Weitere Aufgaben zum Satz des Pythagoras
• Neu war eine Aufgabe, bei der ein Gleichungssystem gelöst werden musste:
  Ein Seil hängt von der Decke und ist so lang, dass noch 50 cm Seil des Seils auf dem Boden liegt.
  Zieht man das Ende des Seils um 2,5 m zur Seite, so ist das Seil straff gespannt und das Ende des Seils berührt noch soeben den Boden.
  Berechne die Länge des Seils:
  
  Die Länge des Seils ist konstant, d. h. .
  Satz des Pythagoras:
  Lösung des Gleichungssystems mit dem Einsetzverfahren:
  
  Das Seil hat also eine Länge von 6,6 m und der Raum hat eine Höhe von 6,0 m.

• Während einer Bergwanderung kann es vorkommen, dass man mitten im Wald urplötzlich im dichtesten Nebel steht. Dann ist es gut, wenn man eine Karte und einen Kompass dabei hat. Mit diesen Hilfsmitteln kann man sich weiter vorwärts tasten und dann - nach einiger Zeit - reißt mit einem Mal die Nebelwand auf und der Berggasthof liegt in klarem Sonnenschein vor dem Wanderer.
• Ein ähnliches Erlebnis hatten wir heute im Mathematik-Unterricht bei folgender Aufgabe: Der Anfang ging ja noch (Pythagoras anwenden), aber dann wurde die aus dem Gleichungssystem hergeleitete Gleichung immer komplizierter und wir standen im Mathe-Nebel. Gut dass wir die Karte (die bekannten Rechenverfahren und Formeln) und den Kompass (das Ziel, den roten Faden, haben wir nicht verloren) dabei hatten. So gelang es uns, die Formel immer einfacher werden zu lassen und zum Schluss ein einfaches und sehr überraschendes Ergebnis zu erhalten.
• Aufgabe:
  
  Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck mit Umkreis. r ist der Radius des Umkreises und a ist die Seitenlänge des Dreiecks.
  Gesucht ist bei gegebenem Radius r die Seitenlänge a und die Länge der eingezeichneten Strecke z.
• Lösung:
  Zunächst wird a berechnet.
  Der Satz des Pythagoras wird auf die rechtwinkligen Dreiecke ADC und ADM angewendet:
  
  
  Auflösen der Klammern und auflösen der 2. Gleichung nach z² und z:
  
  
  Die Nebelwand liegt vor uns:
  Einsetzen von z und z² in die Gleichung für das Dreieck ADC:
  
  Nun sind wir mitten im Nebel.
  Da heißt es, sich nur noch auf "Karte und Kompass" zu verlassen (also Ziel im Auge behalten und Rechenregeln beachten).
  Vereinfachen der Gleichung:
  
  Nun lichtet sich der Nebel
  
  und die Sonne hat uns wieder!
  Berechnung von z:
  
  z ist also halb so lang wie der Radius.
• Beim Wiederholen der besonderen Linien im Dreieck (siehe auch hier) haben wir gesehen, dass der Schwerpunkt des Dreiecks der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist und dass der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 1:2 teilt, genau so wie der Punkt M die Seitenhalbierende teilt.
• Wir haben auch die Bezeichnungen für Geraden und Strecken am Kreis wiederholt.
• Berechnung der Länge einer Raumdiagonalen:
  
  Zunächst berechnet man mit Hilfe von a und b die Länge der Strecke e, danach mit Hilfe von e und c die Länged er Strecke d:
  
  Im 3-dimensionalen Raum gilt bei einer rechtwinkligen Figur der Satz d²=a²+b²+c².

• Bei einem Walmdach sind die Strecken a, b, h und c bekannt. s ist zu berechnen:
  
  Plan: Zunächst wird die Strecke k im blauen Dreieck berechnet. h ist gegeben und die waagrechte Strecke im Dreieck ergibt sich daraus, dass das Dach symmetrisch gebaut ist und der First kürzer als die Grundseite ist.
  Mit Hilfe des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seitenlängen s, k und b/2 wird dann die Seitenlänge s berechnet.
  
  
  Mit a=13 ; b=7 ; h=8 ; c=9 gilt:
  
  Die Seitenkante des Dachs hat also etwa die Länge 9m.
• Hausaufgabe: Seite 138 Aufgabe 38

• Höhensatz des Euklid
• Einführendes Beispiel:
  In einer Tunnelröhre mit halbkreisförmigen Querschnitt und einem Durchmesser von 16m wird am Rand ein nicht befahrbarer Streifen von 2m Breite angelegt.
  Zu berechnen ist die maximal zulässige Höhe für die Fahrzeuge.
  Experimentell kann die Aufgabe mit dem GeoGebra-Arbeitsblatt gelöst werden:
  
  
• Lösung 1 (Längenangaben in m):
  Zu berechnen ist die Höhe h=CD. Die Gehweg-Breite ist q=AD=2. Vom Fußpunkt der Höhe bis zur anderen Seite des Tunnels liegt die Strecke p=DB=14.
  Weitere Streckenbezeichnungen: a=BC, b=AC. Der Winkel in C zwischen a und b ist ein 90°-Winkel (Satz des Thales).
  In den 3 rechtwinkligen Dreiecken Δ_ADC, Δ_BCD und Δ_ABC gelten folgende Bedingungen (Satz des Pythagoras):
  Δ_ADC : h²+q²=b²         Δ_BCD : h²+p²=a²          Δ_ABC : a²+b²=(p+q)²  
  a² und b² aus den ersten beiden Gleichungen werden in die dritte Gleichung eingesetzt. Umformung ergibt dann:
  
  Einsetzen der Werte ergibt: h²=2·14=28 und nach Wurzelziehen: h=5,3.
  Die Höhe h beträgt also 5,3m.
  Zieht man einen Sicherheitsabstand von 30cm ab, so bleiben noch 5,0m. Dieser Wert muss auf einem Verkehrsschild am Anfang des Tunnels stehen.
• Lösung 2 (Dank an Miklas):
  Da es vom Tunnel-Kreis-Mittelpunkt M zu den Punkten A, B und C gleich weit ist, gilt r=halber Tunneldurchmesser=8m.
  Der Abstand DM (Fußpunkt der Höhe bis zum Mittelpunkt) beträgt "halber Tunneldurchmesser-q"=8m-2m=6,0m.
  Mit dem Satz von Pythagors gilt h²=8²m²-6²m²=(64-36)m²=28m² und damit ebenso h=5,3m.
• Miklas' Lösung ist elegant und schnell, mit der anderen Lösung erhalten wir aber ein weit reichendes Gesetz:
  Die Gleichung h²=p·q gilt in jedem Halbkreis mit einbeschriebenem rechtwinkligen Dreieck und wird Höhensatz des Euklid genannt.
  Überprüfen kann man das Gesetz mit dem GeoGebra-Arbeitsblatt (siehe oben).
  
• Hausaufgabe: Seite 143, Aufgabe 8
  

• Satzgruppe des Pythagoras
• Satz des Pythagoras
  Beweis siehe 2012-03-08
  
  
  
• Höhensatz des Euklid
  Beweis: siehe oben (2012-05-14)
  
  
  
• Kathetensatz des Euklid
  Beweis:
  
  Auf gleiche Art lässt sich zeigen, dass a²=q·c.
  
• Hausaufgabe: Seite 143 Aufgabe 8 (vom letzten Mal) und Seite 144 Aufgaben 9 und 11

• Als Anwendung des Satzes des Pythagoras haben wir die Frage gelöst, ob man aus dem oberen Stockwerk der GFS-Diepholz bis nach Vechta sehen kann (Entfernung 15 km).
  Siehe dazu das GeoGebra-Arbeitsblatt:
  
  Planfigur mit Kreis mit kleinerem Radius:
  
  Gegeben sind die Werte r=6370km und h=10m, gesucht ist w.
  Mit dem Satz des Pythagoras rechnet man:
  
  Aus 10m Höhe kann man nur 11,3 km weit sehen. Vechta liegt also hinter unserem Horizont.
• Hausaufgabe: Wie hoch müssen wir stehen, damit wir bis nach Vechta sehen können?

• Zur Aufgabe mit den beiden Rädern und dem Treibriemen: Wie lang ist das gerade Stück des Treibriemens zwischen den Rädern?
  
  Verkürzt man die Radien beider Kreise so lange, bis der Radius r zu 0 wird, so hat der Radius des größeren Kreises den Wert R-r.
  Kennt man r und R und den Abstand d der beiden Kreise, so kann man die Länge a berechnen:
  
  Wenn sich die Treibriemen kreuzen, gilt die Formel .

• Berechnung des Flächeninhalts einer Dreiecksfläche, wenn alle Koordinaten der Eckpunkte A, B und C bekannt sind
  Beispiel: A(1/2), B(5/1), C(3/4), a=BC, b=CA, c=AB
  
• 1. Lösung:
  
  Das Dreieck wird in einem Rechteck eingeschlossen, dessen Seiten parallel zu den Koordinatenachsen liegen.
  Dann werden die Flächeninhalte des Rechtecks und der 3 außen liegenden Dreiecke berechnet.
  Der Flächeninhalt des gesuchten Dreiecks ist dann gleich dem Flächeninhalt des Rechteckes vermindert um den Flächeninhalt der 3 außen liegenden Dreiecke.
  Mit den Einzeichnungen ergibt sich:
  A_Rechteck=4·3=12
  A_untenlinks=1/2·1·4=2
  A_obenlinks=1/2·2·2=2
  A_obenrechts=1/2·2·3=3
  A_gesucht=12-2-2-3=5
  Das Dreieck in der Mitte hat also den Flächeninhalt 5.
• 2. Lösung:
  Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras kann man die Längen der Dreiecksseiten berechnen:
  
  Nun soll mit Hilfe der Kenntnis von a, b und c die Fläche des Dreicks berechnet werden.
  Wir haben den Satz des Heron zu Hilfe gezogen, der in einer für uns gut zu merkenden Schreibweise so heißt:
  
  Beim angegebenen Link sieht man auch die Lösung für unser Problem, die Höhe h_c rechnerisch aus den Längen von a, b und c zu bestimmen.
  Einsetzen unserer Werte liefert:
  

• Zur Aufgabe mit der Berechnung des Flächeninhaltes der Fläche, die von 2 Geraden und der x-Achse eingeschlossen wird, hier das Tafelbild:
  

• Wiederholung zur Klassenarbeit 4

• Klassenarbeit 4  [ Aufgaben | Lösungen ]