Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 10a

Modellieren periodischer Vorgänge

• Ein Sessellift fährt mit konstanter Geschwindigkeit immer wieder auf einen 200m hohen Berg und wieder nach unten benötigt für eine Fahrt (auf oder ab) 10 Minuten.
  Ein Riesenrad mit dem Durchmesser 200m benötigt bei konstanter Geschwindigkeit 30 Minuten für eine Umdrehung.
  
  Das Diagramm für die Höhe in Abhängigkeit von der Zeit besteht für den Sessellift aus Strecken, die zu einer Zackenlinie zusammengesetzt sind:
  
  Für das Riesenrad ergibt sich dagegen eine Sinuskurve:
  
• Weitere Übungen mit "Nockenwellen"
  Hausaufgabe: Seite 20, Aufgabe 4

• Wiederholung und Einüben zum Thema "Sinus- und Kosinuskurven"
  Siehe auch die Geogebra-Arbeitsblätter sin-cos-tan 0°-90° und sin-cos-tan 0°-360°
• Um nicht die Einheit Grad (°) bei trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan) mitschleppen zu müssen, werden Winkel meistens im Bogenmaß angegeben.
  Dabei wird der Winkel nicht in Grad angegeben, sondern durch die Länge des Kreisbogens im Einheitskreis (=Kreis mit dem Radius 1), der zu dem Winkel gehört.
  Wenn man mit α den Winkel im Winkelmaß und mit x den Winkel im Bogenmaß bezeichnet, gelten folgende Verhältnisgleichung und Umformungsgleichungen:
  

• Wie schon früher bei den Parabeln behandelt, kann man den Graphen von Funktionen durch die Verwendung von Parametern strecken, stauchen und im Koordinatensystem verschieben.
  Zeichnet man statt des Graphen von f(x) den Graph von a·f(x·d-b)+c, so wird der Graph 
• mit dem Faktor a in senkrechter Richtung gestreckt bzw. gestaucht, 
• mit dem Faktor d in waagrechter Richtung gestrecke bzw. gestaucht,
• mit dem Summanden b in x-Richtung verschoben und
• mit dem Summanden c in y-Richtung verschoben.
• Ausprobieren kann man das mit folgendem GeoGebra-Arbeitsblatt
  
• Soll eine Sinuskurve so waagrecht gestreckt werden, dass die erste Nullstelle rechts vom Nullpunkt nicht bei π, sondern bei 7 liegen soll, so wird das x in der Gleichung zunächst einmal mit π multipliziert (damit liegt die neue Nullstelle bei x=1) und dann durch 7 dividiert.
  
• Hausaufgabe: Seite 38 Aufgaben 14, 15, 16

• Aufgaben zur allgemeinen Form der Sinus-Funktionsgleichung y=a·sin(x·d-b)+c (siehe auch Hinweise zur letzten Stunde)
• Die Sinusfunktion mit der Gleichung y=sin(1/3·x) ist im Bereich -3π<x<3π gegeben.
  Vom Punkt P₁(π/2|y₁) ist die Koordinate y₁ und vom Punkt P₂(x₂|-1/2) ist die Koordinate x₁ gesucht.
• Setzt man die Koordinaten von P₁ in die Gleichung ein, so ergibt sich y1=sin(1/3·π/2)=sin(π/6)=1/2 (Anmerkung: π/6 im Bogenmaß entspricht 30° im Winkelmaß).
  
• Der y-Wert von P₂ ist -1/2. Da die Sinusfunktion punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung liegt und bei π/2 der Funktionswert +1/2 ist, muss ein x-Wert für den Funktionswert -1/2 bei x=-π/2 liegen.
  Denselben Funktionswert gibt es aber auch noch einmal bei x=-3π+π/2=-6π/2+π/2=-5π/2.
  
• Die Sinusfunktion mit der Gleichung y=sin(b·x) ist gegeben. Die Periodenlänge beträgt π/2.
• Gesucht ist der Wert von b.
  
  Da die Sinusfunktion y=sin(x) die Periode 2π besitzt, die gesuchte Funktion mit y=sin(b·x) aber die Periode π/2, muss man die grüne Kurve in x-Richtung stauchen mit dem Faktor 4 (siehe letzte Stunde; es passen 4 Perioden der roten Kurve in eine Periode der grünen Kurve). Es ergibt deshalb b=4.
• Der Punkt P(π/12|1/2·√2) soll auf dem Funktionsgraph von y=sin(b·x) liegen. Welche Werte kann b annehmen?
  Setzt man die Koordinaten von P in die Gleichung y=sin(b·x) ein, so ergibt sich 1/2·√2=sin(b·π/12).
  Den Funktionswert 1/2·√2 gibt es bei der Sinusfunktion bei den Winkeln π/4 und 3π/4 (d.h. 45° und 135°).
  Also gilt für den Wert π/4 die Beziehung .
  Und für den Wert 3π/4 gilt die Beziehung .
  3 und 9 sind also mögliche Werte für b.
  Da aber der Sinus eine Periode von 2π besitzt, gilt auch bei den Winkeln π/4+n·2π und 3π/4+n·2π der gesuchte Funktionswert.
  Also gilt für den Wert π/4+n·2π die Beziehung .
  Und für den Wert 3π/4+n·2π gilt die Beziehung .
  3+24n und 9+24n mit n aus dem Bereich der ganzen Zahlen sind also auch mögliche Werte für b.
  Einige Beispiele für b=3, b=9, b=3+24=27, b=9+24=33
  
• Hausaufgabe: Seite 49 Aufgabe 2

• Übung zur Anpassung von einer Sinuskurve an vorgegebene Punkte
• Die Koordinaten der Punkte werden in die Listen L1 und L2 des Taschenrechners eingegeben (STAT>EDIT)
    Graph:   
• Regression mit Sinusfunktion:
    Graph:  
  y=1,9·sin(1,5·x-1,5)+2,9 ist die vom Taaschenrechner gefundene Sinus-Näherungskurve.
• Bei SinReg kann man folgende Angaben festlegen:
  SinReg  Iterationen , XListe ,  YListe , Periode , Gleichung
• Iterationen gibt an, wie genau der Rechner die Ergebnisse berechnen wird.
  Voreingestellt ist der Wert 3. Der Wert 16 liefert das beste Ergebnis, es wird aber am meisten Zeit benötigt.
• XListe gibt die Liste an, in der die x-Werte stehen.
• YListe gibt die Liste an, in der die y-Werte stehen.
• Periode gibt die Länge einer Periode an.
• Gleichung steht für Y1, Y2, Y3 usw. Die gefundene Sinusgleichung wird unter dem angegeben Namen abgelegt.
• Beispiele: SinReg  L1 , L2 , Y1 rechnet mit 3 Iterationen und legt die Gleichung in Y1 ab.
  SinReg 6 , L1 , L2 , 34 , Y2 rechnet mit 6 Iterationen, geht von einer Periodenlänge von 34 aus und legt die Gleichung in Y2 ab.
• Wendet man SinReg 16 , L1 , L2 , 1.5 , Y1  auf das oben angegebene Beispiel an, ergibt sich wegen der voergegebenen Periodenlänge von 1,5:
      
• Als Beispiel für die Modellierung von Werten durch Sinusfunktionen habe ich Euch die Räuber-Beute-Beziehung genannt.
• Hausaufgabe: Seite 50, Aufgabe 7

• In der Aufgabenstellung (Mond-Sichtbarkeitszeiten) zur Hausaufgabe waren im Buch die Angaben zur Uhrzeit eigenartig: Die Stundenzahl ging über 24 hinaus. Das hat den Vorteil, dass die Werte ständig ansteigen und nicht zwischendurch wieder von 0 an beginnen.
  Wird eine Uhrzeit 21:30 angegeben, so darf man nicht einfach 21,30 in den Taschenrechner eingeben, sondern muss 21,5 schreiben, denn eine halbe Stunde sind 30 Minuten.
  Die Differenz zweier Zeiten kann man mit der Listendarstellung so berechnen:
  In L1 die Nummer des Tages, in L2 die Stunden des Aufganges, in L3 die Minuten des Aufganges.
  Dann wird in L4 die Minutenzahl aus Stunden und Minuten berechnet: L4=60*L2+L3.
  Ebenso wird mit den Untergangszeiten verfahren:
  In L5 die Stunden des Unterganges, in L6 die Minuten des Unterganges, in L7 die Minutenzahl: L7=60*L5+L6.
  Die Sichtbarkeitszeit wird dann in L8 durch die Differenz der Minuten ermittelt: L8=L7-L4.
          
• Soll ein Sinusgraph in x-Richtung gestreckt und verschoben werden, so muss man zwei Fälle unterscheiden:
• Der Graph wird um c verschoben und dann um b gestreckt: Erst wird x um c verringert und dann das Ergebnis mit b multipliziert:
  sin(b·(x - c)) = sin(b·x - b·c)
• Der Graph wird um b gestreckt und dann um c verschoben: Erst wird x mit b multipliziert und dann das Ergebnis mit b subtrahiert:
  sin(b·x - c)
• Hausaufgabe: Berechnen, nach welcher Zeit bei den Biorhythmuskurven (Perioden von 23 Tagen, 28 Tagen und 33 Tagen) alle Kurven zur gleichen Zeit das Maximum zeigen.
  und Seite 56 Aufgaben 1 bis 5 jeweils a 

• Wiederholung zur Klassenarbeit

• Zur allgemeinen Sinusfunktion könnt Ihr Übungen mit folgenden GeoGebra-Programmen durchführen:
• y=a·sin(d·x-b)+c          
  
• y=a·sin(d·(x-b))+c        
  
• Beispielaufgabe zur Körperberechnung
  Gibt es Kegel, deren Volumen vom Wert her gleich ist dem Wert des Mantelinhaltes? Die Gleichung V_Kegel=M_Kegel soll also (bis auf die Einheit) erfüllt sein.
  
  
  Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck:
  Einsetzen:
  Bei allen Kegeln, bei denen diese Bedingung erfüllt ist, gilt V_Kegel=M_Kegel.
  Beispiel: Aus h=2 folgt . Daraus ergibt sich .

• Wiederholung zur Klassenarbeit

• Klassenarbeit 1   [ Aufgaben | Lösungen ]