Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 10a

Wachstumsprozesse

• Bekannt sind schon die Graphen von y=x=x¹ (Ursprungsgerade) und y=x² (Parabel).
  Lässt man für die Hochzahl auch andere Zahlen zu, ganze Zahlen oder Brüche oder negative Zahlen, so spricht man bei der Gleichung y=xⁿ von einer Potenzfunktion.
• Zum Experimentieren hier eine GeoGebra-Datei.
  Mit Schiebereglern können die Werte von a und n in einer Potenz-Funktion der Form geändert werden.
  
• Hausaufgabe: Seite 64-66 durcharbeiten, Seite 68 Aufgabe 17

• Übungsaufgaben zum Thema "Potenzfunktionen"
  dabei Wiederholungen
• Definition des Logarithmus:
• 3 Möglichkeiten zur Bestimmung des Logarithmus mit dem Taschenrechner:
• 
• MATH >  A:logBASE(
• ALPHA > F2 > 5:logBASE(
• Definition eines negativen Exponenten:
• Hausaufgabe: Seite 73 Aufgaben 12 und 13

• Übungen zum Zuordnen von Funktionsgleichungen zu Graphen
  Fallunterscheidung für die Funktionsgleichungen der Art y=xⁿ :
    GeoGebra-Datei zum Üben
  Grenzfälle:
  n=1 : Ursprungsgerade r (hellblau)
  n=0 : Parallele zur x-Achse im Abstand 1 q (violett)
  n=-1 : Hyperbel s (braun)
  Bereiche:
  n>1 : Form wie bei f (rot)
  0<n<1 : Form wie bei g (blau)
  -1<n<0 : Form wie bei h (grün)
  n<-1 : Form wie bei p (dunkelgelb)
• Asymptoten sind Geraden, an die sich Kurven unendlich dicht annähern.
  Bei einer Normal-Hyperbel sind die x- und die y-Achse Asymptoten zu der Hyperbel.
  Wird eine Hyperbel im Koordinatensystem verschoben, so erkennt man das am besten an der Verschiebung des Schnittpunktes der Asymptoten:
  
  Die blaue Hyperbel y=1/x wird auf die rote Hyperbel y=1/(x-4)+3 verschoben, indem der Schnittpunkt der Asymptoten um 4 nach rechts und um 3 nach oben verschoben wird.

• Wiederholung: lineares und exponentielles Wachstum

• Bei der Aufgabe zur Steigerung des CO₂-Gehaltes im Zeitraum von 1950 bis 2010 haben wir gesehen:
• Legt man den Ursprung des Koordinatensystems so (z.B. 0 bis 2200), dass nur ein Bruchteil des betrachteten Bereichs durch Messwerte abgesichert ist, so ist eine Regression wenig aussagekräftig. Sowohl mit PwrReg (y=a*x^b) als auch mit ExpReg (y=a*b^x) gab es "richtige" Ergebnisse, weil die Messpunkte gut auf dem Graphen lagen.
• Sinnvoll ist es, zwischen Koordinatenursprung und Messpunkten so wenig Platz wie möglich zu lassen. Z.B. Zeitskala bei 1950 beginnen zu lassen.
  Dann zeigt sich, dass die Exponentialfunktion eine bessere Anpassung bietet als eine Potenzfunktion.
• Definition des Logarithmus:
  

• Besprechung der Rechengesetze für Logarithmen (siehe Formelsammlung Seite 12)
  

• Steht bei eienr Aufgabe x im Exponenten, kann man in der Regel mit Logarithmieren die Lösung finden.
  Manchmal geht es aber auch einfacher.
  Es lohnt sich also immer, verschiedene Lösungsmöglichkeiten zu durchdenken! Das gilt auch in anderen Gebieten als der Logarithmusrechnung.
• Beispiel:
  3^4x+2·9^2-3x=27^x ist gegeben. x ist gesucht.
  Lösungsidee:
  Wenn die Basen zweier Potenzen gleich sind, muss auch der Exponent gleich sein, also: Wenn a^b=a^c, dann muss gelten b=c.
  In diesem Fall könnte eine gemeinsame Basis 3 sein und die beiden Potenzen auf der linken Seite müssen noch zusammengefasst werden.
  Lösung:
  
  

• Die Logarithmus-Graphen gehen aus den Graphen der Exponenzialfunktionen hervor, wenn man diese an der 1. Winkelhalbierenden spiegelt.
  Grund Wandelt man die Gleichung einer Logarithmusfunktion um und tauscht die Bezeichnungen x und y aus, so ergibt sich die Gleichung einer Exponenzialfunktion.
  Das Vertauschen von x und y bedeutet die Spiegelung der x- und y-Achse an der 1. Winkelhalbierenden.
  
• Zur Klassifikation von Logarithmusgraphen siehe folgende GeoGebra-Datei (Klick auf das Bild):
  
• Würde man ein Zeichenpapier rings um die Erde legen (40000km) und auf dieses Papier mit dem Maßstab 1 Einheit - 1 cm die Logarithmuskurve mit der Gleichung y=log₂x zeichnen, wo würde man dann die y-Achse treffen, wenn man einmal um die Erde herum gezeichnet hätte?
  Lösung: In die Gleichung y=log₂x für x den Erdumfang in cm eintragen (4000000000cm) und dann y berechnen.
  Es ergibt sich 31,9. Beim gewählten Maßstab würde also fast eine DIN-A4-Blatt-Höhe für das Papierband um die Erde reichen, u den Graphen darauf unterbringen zu können.
  Wir sehen daraus: Die Logarithmusfunktion ist eine Funktion, deren Funktionswerte nur sehr sehr langsam größer werden.

• Aufgabe: 10000€ werden zu einem Zinssatz von 2,7% angelegt. Das Geld ist auf 10 Jahre festgelegt und wird jeweils am Jahresende verzinst. Die Zinsen werden dem Kapital hinzugefügt und werden mit verzinst. Wie groß ist das Guthaben nach 10 Jahren?
• Die Lösung y=10000·1,027^x war euch geläufig. Mit x=10 (Jahre) ergibt sich y=13053 (Euro).
• Man kann auch so vorgehen:
  Mit u(0) wird das Kapital zur Zeit der Einzahlung bezeichnet: u(0)=10000.
  Nach einem Jahr ist das Kapital u(1)=u(0)·1,027 vorhanden,
  nach 2 Jahren sind es u(2)=u(1)·1,027 und
  nach n Jahren sind es u(n)=u(n-1)·1,027.
  Mit dem Taschenrechner kann man die Funktionswerte u(0), u(1), u(2), usw. gut durch Folgen darstellen:
  Mit MODE wird beim Taschenrechner der Modus FUNC (Funktion) in den Modus SEQ (Sequenz=Folge) geändert.
  Mit y= erscheint dann eine andere Eingabemaske, in die das minimale n (nMin) und die Formel für u(n) eingetragen wird. Der Anfangswert wird mit u(nMin) festgelegt.
           
  
          
  Auch hier ergibt sich der Wert 13053 (Euro) für das Kapital, das nach 10 Jahren zur Verfügung steht.
• Eine Gleichung wie y=a·bx nennt man explizit, da man für jedes x sofort den entsprechenden y-Wert berechnen kann.
• Dagegen nennt man eine Zuordnungsvorschrift wie u(0)=a ; u(n)=u(n-1)·b rekursiv, wenn man die Berechnung eines Wertes auf den vorhergehenden oder einen anderen bekannten Wert zurückführt.

• Erstellen von expliziten und rekursiven Gleichungen für gegebene Folgen
• Beispiel 1
  
• Die explizite Gleichung lässt sich einfach finden, weil die Anzahl a(n) der Punkte in den Figuren mit dem Quadrat der n-Werte übereinstimmt:
  a(n)=n²
• Zur rekursiven Gleichung überlegt man sich, dass bei wachsendem n immer rechts und oben eine Spalte bzw. Zeile hinzugefügt wird, die n Kreise enthält.
  Zusammen wären das 2·n Kreise, wobei aber der Kreis oben rechts doppelt gezählt wird.
  Also kommen 2·n-1 Kreise dazu.
  Es gilt also: a(n)=a(n-1)+2·n-1
  Taschenrechner:         
• Beispiel 2
  
• Die rekursive Gleichung lässt sich schnell finden, denn die Anzahl der vorhergehenden Figur vergrößert sich jedesmal um n:
  a(n)=a(n-1)+n
• Zur expliziten Darstellung:
  Durch Probieren findet man: n²+n ist immer doppelt so groß wie a(n), also gilt a(n)=0,5·(n²+n)
• Hausaufgabe: Seite 111 Aufgaben 7a,b,d und 8c

• Lösung der Aufgaben:
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• Zum Sierpinski-Teppich siehe folgende Links: 1 , 2 , 3 , 4

• Überlagerung von linearem und exponenziellem Wachstum
  Beispiel:
  Ein Patient erhält ein Rezept mit der Anleitung, jeden Tag 5mg des Medikaments einzunehmen.
  20% des Wirkstoffes werden am Tag ausgeschieden. 
  Wieviel mg Wirkstoff hat der Patient a) nach 1 Woche, b) nach 1 Monat, c) nach 1 Jahr in seinem Körper?
  Lösung:
  Werden 20% des Wirkstoffes an einem Tag ausgeschieden, so bleiben noch 80% übrig.
  Die Menge des Vortages muss also mit 0,8 multipliziert werden, um die Menge des aktuellen Tages zu erhalten.
  Zusätzlich kommen jeden Tag noch 5mg dazu.
  Daraus ergibt sich folgende Rekursionsformel für den n-ten Tag:
  u(n)=u(n-1)·0,8+5mg
  Für den 1. Tag gilt u(1)=5mg.
  Taschenrechnerausgabe:
       
  
     
  
  Man erkennt, dass der Wirkstoff im Körper nicht über alle Grenzen wächst, sondern anscheinend einem festen Wert zustrebt.
  Ihr habt gleich erkannt, dass der Grenzwert so groß sein muss, dass 20% von diesem Wert gleich der Menge ist, die jeden Tag eingenommen werden muss.
  Das, was der Körper ausscheidet, muss ja wieder zugeführt werden.
  Hier gilt also für den Grenzwert G: G·0,2=5mg oder G=5mg/0,2=25mg.
  Auf lange Sicht wird also ständig etwa 25mg Wirkstoff im Körper sein.
  Nach 1 Woche = 7 Tage sind etwa 19,8mg im Körper.
  Nach 1 Monat = 30 Tage sind etwa 24,97mg im Körper.
  Nach 1 Jahr sind etwa 25mg im Körper.
        

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Zur Vorbereitung auf die Arbeit in der Formelsammlung genau die Stellen kennen, die wichtig sind (vor allem Rechengesetze für Logarithmen).
• Daran denken: Montag 7./8. Stunde Wiederholung für die Arbeit in Physik3

• Wiederholung zur Klassenarbeit 2
• Wegen der vielen Erkrankten wird die Arbeit um eine Woche verschoben auf den 14. Dezember 2010!

• Aufgabe zum beschränkten Wachstum
  a) Eine Flasche Wasser aus dem Kühlschrank (4°C) wird auf den Esstisch gestellt (24°C).
  b) Eine Tasse Kaffee (80°C) wird ebenfalls auf den Esstisch gestellt (24°C).
  Gesucht ist eine rekursive und eine explizite Gleichung zur Beschreibung des a) Erwärmungsvorgangs, b) Abkühlungsvorgangs, wenn sich bei Erwärmung und bei Abkühlung die Temperratur um 12% des Unterschieds zwischen aktueller Temperatur und Raumtemperatur während einer Minute ändert.
• Ihr habt herausgefunden, dass folgende Gleichungen für beide Vorgänge zutreffen:
• rekursiv: u(0)=4 bzw u(0)=80 ; u(n)=u(n-1)-(u(n-1)-24)*0,12
• explizit: u(n)=24-(24-4)*0,88ⁿ  bzw.   u(n)=24+(80-24)*0,88ⁿ    (bei Zunahme -, bei Abnahme + vor der Klammer)
• Grenzwert
  Eine Folge hat einen Grenzwert, wenn sich die Werte der Folgenglieder immer mehr einen bestimmten Wert, den Grenzwert, nähern.
  Ob dieses "immer mehr annähern" wirklich zutrifft, kann man so überprüfen:
  Wenn man sich einen beliebig kleinen aber positiven Wert ε>0 denken kann, so dass sich ab einem bestimmten Folgenglied n₀ alle weiteren Folgenglieder um weniger als ε von einem Wert g unterscheiden, dann besitzt die Folge den Grenzwert g. In Formeln: 
  g ist der Grenzwert einer Folge, wenn es für jedes noch so kleine ε>0 ein n₀ gibt, sodass für alle n>n₀ gilt: |a(n)-g|<ε.

• Übungen zum Finden von Grenzwerten
• Diese Folge hat keinen Grenzwert, da für wachsendes n der Term über alle Grenzen wächst.
      
• Diese Folge hat den Grenzwert 3, da der Summand 1/n für große n gegen 0 geht.
       
•    Um den Grenzwert dieser Folge zu erkennen, sollte man zunächst den Bruch mit n kürzen, d.h. den ganzen Zähler und den ganzen Nenner durch n dividieren.
    Im Nenner wird der Bruch 1/n für n gegen Unendlich zu 0, d.h. es bleibt nur der Bruch 3/1=3 übrig. Grenzwert der Folge ist also 3.
      

• Klassenarbeit 2  [ Aufgaben | Lösungen ]

• Das beschränkte Wachstum haben wir schon behandelt (siehe 2010-12-08).
  Der Graph für das beschränkte (exponenzielle) Wachstum ergibt sich aus der Punktspiegelung des Graphen einer Expoenzialfunktion.
  Das kann mit folgendem GeoGebra-Arbeitsblatt "erfahren" werden:
  
  
  Wir haben die Rekursionsformel für das beschränkte Wachstum hergeleitet:
  u(n)=u(n-1)+q·(G-u(n-1))
  Der Zuwachs ist proportional zur Differenz vom Maximalbestand G und dem augenblicklichen Bestand u(n-1).
  q ist der Proportionalitätsfaktor, der einen Wert zwischen 0 und 1 besitzt.
• Häufig liegt bei Wachstumsprozessen kein reines beschränktes Wachstum vor, sondern ein Wachstum, das zunächst exponenziell und danach erst beschränkt exponenziell verläuft.
  Beispiel:
  Ein Baum wächst in den ersten Jahren sehr langsam (vom Keimen des Samens aus gerechnet). Ein Baum mittlerer Höhe wächst sehr schnell. Es gibt aber eine Obergrenze für die Höhe von Bäumen. Je mehr sich die Höhe eines Baumes dieser Obergrenze annähert, desto langsamer ist sein jährlicher Zugewinn an Höhe.
  Dieses Wachstumsverhalten nennt man logistisches Wachstum.
  Hierbei wächst der Bestand proportional zum augenblicklichen Bestand u(n-1), aber auch proportional zur Differenz vom Maximalbestand G und dem augenblicklichen Bestand u(n-1), also insgesamt proportional zum Produkt u(n-1)·(G-u(n-1)). Mit dem Proportionalitätsfaktor q ergibt sich
  u(n)=u(n-1)+q·(u(n-1)·(G-u(n-1))).
  Bei beschränkten Wachstum gilt 0<q<1. Beim logistischen Wachstum stzeht vor der Klammer (G-u(n-1)) nun q·u(n-1).
  Also muss beim logistischen Wachstum gelten: 0<q·u(n-1)<1.
  Aus 0<q·u(n-1) folgt q>0.
  Aus q·u(n-1)<1 folgt q<1/u(n-1). q muss für jedes u(n-1) "passen", d.h. q darf nur so groß werden, dass die Ungleichung für das größte u(n-1), das ist G,  gilt.
  Also gilt folgende Beschränkung für q: 0<q<1/G.