Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 10a

Figuren und Körper (Fortsetzung)

• Das Volumen von Körpern wird in einer Kubik-Einheit gemessen (z.B. cm³), weil Werte für 3 Raumdimensionen miteinander multipliziert werden müssen.
• Spezielle Volumina
• Würfel mit Seitenlänge a: 
• Quader mit Seitenlängen a, b und c:
• Prisma mit Grundfläche G und Höhe h:
• Zylinder (Prisma mit Kreis als Grundfläche, Radius r, Höhe h): 
• Pyramide mit Grundfläche G und Höhe h: 
• Kegel (Pyramide mit Kreis als Grundfläche, Radius r, Höhe h):
• Die Oberflächen der Körper bestimmt man, indem man die einzelnen Teilflächen berechnet und dann die Zwischenergebnisse addiert.
  Den Mantel eines Zylinders erhält man, indem man den Zylinder der Länge nach aufschneidet und dann den Mantel zu einem Rechteck abrollt.
• Der Satz von Cavalieri besagt, dass die Volumina zweier gleich hoher Körper übereinstimmen, wenn die Querschnittsflächen in jeder Höhe gleichen Inhalt haben.
• Mit Hilfe des Prinzips von Cavalieri lässt sich nach der Methodes des Archimedes leicht das Volumen einer Kugel bestimmen.
  Dabei zeigt man, dass die Querschnittsfläche einer Halbkugel immer den gleichen Inhalt hat wie die auf gleicher Höhe liegende Querschnittsfläche eines gleich hohen Zylinders, aus dem ein auf dem Kopf stehender Kegel gleicher Höhe herausgeschnitten wurde.
  Siehe dazu auch folgendes GeoGebra-Arbeitsblatt:
  
  
  Kugel mit Radius r:

• Kegelmantels
  
  Schneidet man den Mantel des Kegels an der Seitenkante s auf und wickelt ihn ab, so ergibt sich ein Kreisausschnitt.
  Der Bogen U des Kreisausschnitts entspricht dem Umfang U der Grundfläche des Kegels und der Radius s des Kreisausschnitts ist gleich der Seitenkante s des Kegels.
  Vergleicht man den Kreisbogen U mit dem Umgfang des gesamten Kreises mit dem Radius s, so ergibt sich folgende Verhältnisgleichung:
  
  Vergleicht man nun den Mantel des Kegels, also den Kreisausschnitt, mit der Fläche des gesamten Kreises, ergibt sich:
  
  

• Berechnung der Kugeloberfläche
  
  In eine Kugel mit dem Radius r wird eine Pyramide so gelegt, dass die Spitze der Pyramide im Mittelpunkt der Kugel und die Grundfläche der Pyramide auf der Kugeloberfläche liegt.
  Die Kugeloberfläche ist zwar gekrümmt. Wenn man aber die Grundfläche der Pyramide klein wählt, ist der Fehler verschwindend gering.
  Nun werden weitere Pyramiden auf gleiche Art und Weise in die Kugel gelegt, bis das gesamte Kugelvolumen mit Pyramiden ausgefüllt ist.
  Die Summe der Pyramidenvolumina ist also gleich dem Kugelvolumen: 
  Die Summe der Flächeninhalte der Pyramiden-Grundflächen ist gleich dem Inhalt der Oberfläche der Kugel:
  Also gilt: