Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 13MA1e

Matrizen

2009-11-10

Aufgabe:
Ein Getränkehändler beliefert die 4 Schulen Albert-Schule (A), Berta-Schule (B), Claudius-Schule (C) und Droste-Schule (D) eines Ortes mit Apfelsaft (AS), Orangensaft (OS) und Kirschsaft (KS).
Um den Überblick zu behalten, stellt er die monatlichen Liefermengen in einem Diagramm dar (in Verpackungseinheiten):

Fragen:
a) Wieviel Getränke jeder Art werden im Lauf eines Jahres an jede der Schulen geliefert, wenn man berücksichtigt, dass zusammen 3 Monate im Jahr kein Unterricht und damit keine Lieferung stattfindet?
b) In zwei Sommermonaten werden an jede Schule 2 Portionen AS, 2 Portionen OS und 1 Portion KS zusätzlich geliefert. Wieviel wird nun im Lauf eines Jahres geliefert?
Da es beim Rechnen nur auf die Zahlen ankommt, werden die anderen Informationen weggelassen, die Zahlen aber in ihrer Anordnung belassen. Sie werden mit runden Klammern zusammengehalten. Diese Darstellung nennt man Matrix, in diesem Fall 4x3-Matrix, da 4 Zeilen ("Zuerst") und 3 Spalten ("Später") vorhanden sind.
A=
Die Matrix A enthält Elemente a_ij, wobei die Indizes den Ort (erst Zeile, dann Spalte) angeben.
So gilt a₃₂=12 und a₁₃=2.
Die gesamte Menge, die einer bestimmten Schule geliefert wird, kann man bestimmen, wenn die Zahlen in einer Zeile addiert werden.
Die gesamte Menge an Saft einer bestimmten Sorte kann berechnet werden durch Addition der Zahlen in einer bestimmten Spalte.
Zur Frage a):
Da während 9 Monate geliefert wird, muss man die Matrix A mit 9 multiplizieren, indem man jede Zahl der Matrix mit 9 multipliziert:
Zu Frage b):
Die Extra-Lieferung kann man auch als Matrix B schreiben:
B=
Die Extralieferung wird 2-mal ausgeführt.
Daraus ergibt sich die gesamte Jahreslieferung in Matrixschreibweise als Matrix C: C=9·A+2·B
Zur Berechnung kann man auch den Taschenrechner verwenden:
Übergangsmatrix
Veränderungen in Systemen lassen sich häufig gut mit einer Übergangsmatrix beschreiben. Dazu ein Beispiel

Wanderungsbewegung zwischen Urlaubsorten
A-Wald, B-See und C-Heim geben eine Studie in Auftrag, um das Urlaubsverhalten ihrer Stamm-Gäste zwischen dem letzten und diesem Jahr zu ermitteln.
Es zeigt sich, dass 60% der Gäste aus dem letzten Jahr in diesem Jahr wieder nach A-Wald gekommen sind. Dagegen sind 20% der Gäste von A-Wald nach B-See gewechselt. Der Rest machte Urlaub in C-Heim.
Nach B-See kamen 40% der Gäste wieder, 30% wechselten in diesem Jahr nach A-Wald.
Von den Gästen, die im letzten Jahr nach C-Heim fuhren, kamen dieses Mal 20% nach A-Wald und 15% nach C-Heim.
Frage: Wie viele Gäste wechselten in diesem Jahr von A-Wald und B-See nach C-Heim und wie viele Gäste fuhren wie im letzten Jahr nach C-Heim?
Ubergangsgraph:

Die drei gelb angegeben Prozentzahlen ergeben sich, weil für jeden Ort die 3 möglichen Wanderungsbewegungen zusammen 100% ergeben müssen.
Übergangsmatrix:

2009-11-13

Beispiel in der letzten Stunde war die Zuordnung von Getränke-Einheiten zu 4 Schulen.
Das Beispiel wird durch folgende Aufgaben erweitert:
a) Die Schulen A, B, C und D bekommen 10, 9, 5 und 7 Monate lang im vergangenen Jahr Getränke. Wie vielen Getränke-Einheiten entspricht das?
b) Im Jahr davor wurde in 9, 9, 8 und 4 Monaten geliefert. Wie viel Getränke-Einheiten waren es dann in 2 Jahren?
zu a):
In der Übergangsmatrixmuss jede Zahl der ersten Reihe (A) mit 10, in der 2. Reihe (B) mit 9 usw. multipliziert werden, und dann müssen die Spaltenwerte addiert werden.
Das ist so, als wenn man das Skalarprodukt aus einem Vektor mit der Anzahl der Monate als Kompoenten mit einem Spaltenvektor der Matrix multipliziert.
Folgende Schreibweise wird bei Matrizen gewählt:
Es wurden also 218 Einheiten A-Saft, 297 Einheiten O-Saft und 65 Einheiten K-Saft geliefert.
zu b):
In der Übergangsmatrixmuss jede Zahl der ersten Reihe (A) mit 9, in der 2. Reihe (B) mit 9 usw. (9, 9, 8 , 4) multipliziert werden, und dann müssen die Spaltenwerte addiert werden.
Dieselbe Rechnung muss auch mit den Werten 10, 9, 5, 7 durchgeführt werden. Man erhält dann die Werte für beide Jahre getrennt in eienr Matrix:
(Oben 1. Jahr, unten 2. Jahr)
2 Matrizen werden multipliziert, indem man jede Zeile der ersten Matrix als Zeilenvektor skalar mit jeder Spalte der zweiten Matrix als Spaltenvektor multipliziert.
Die Zeilennummer der 1. Matrix und die Spaltennummer der 2. Matrix geben an, wo in der Ergebnis-Matrix das Ergebnis steht.
2 Matrizen können nur dann miteinander multipliziert werden, wenn die Spaltenzahl der 1. Matrix mit der Zeilenzahl der 2. Matrix übereinstimmt.
Im Beispiel b) ist die 1. Matrix eine 2x4-Matrix, die 2. Matrix eine 4x3-Matrix. Man erhält eine 2x3-Matrix.
Allgemein: Ist die 1. Matrix eine kxm-Matrix und die 2. Matrix eine mxn-Matrix, so erhält man eine kxn-Matrix:
Mit dem Taschenrechner könne Matrizen-Produkte sehr einfach berechnet werden:
Man definiert 2 Matrizen, z.B. A und B und schreibt dann A·B:
Weitere Anwendungsbeispiele:

Eine Großbäckerei stellt zwei unterschiedliche Mehrkornbrotsorten aus Weizen, Roggen und Gerste her.
Die Tabelle gibt an, wie die Zutaten prozentual verteilt sind:

Ein Brotladen bestellt 25 Brote der Sorte A und 15 Brote der Sorte B. Alle Brote haben die Masse 1 kg.
Berechnen Sie die Massen der benötigten Zutaten:
Wir multiplizieren die 3x2-Rezept-Matrix mit der 2x1-Auftrags-Matrix:

Es werden für die Brote 13,75 kg Weizen, 12,00 kg Roggen und 14,25 kg Gerste benötigt.
In einem Ort gibt es die 3 Bäckereien A, B und C. Aktuell kauft 10% der Bevölkerung bei A, 70% bei B und 20% bei C.
Man stellt fest, dass es während eines Jahres eine Käuferwanderung zwischen den Bäckereien gibt, die durch folgendes Diagramm beschrieben wird:

Wie viele Käufer werden im Vergleich bei den einzelnen Bäckereien nach vielen Jahren kaufen, wenn diese Käuferwanderung gleich bleibt?
Übergangsmatrix:

Ausgangsmatrix:

Nach 1 Jahr:

Soll man den Wechsel für mehrere Jahre berechnen, muss man die Matrix so oft zur Ausgangsmatrix multiplizieren, wie es der Anzahl der Jahre entspricht.
Nach 20 Jahren:
In 20 Jahren werden die Bäckereien jeweils von etwa 30% bis 36% der Bewohner besucht.

Hausaufgabe: Seite 173, Aufgabe 9

2009-11-17

Lösung der Blumenaufgabe:

Kreuzt man Pflanzen einer bestimmten Pflanzensorte, so gilt:

"rot" mit "rot" gibt "rot"

"rot" mit "rosa" gibt zu 75% "rot", zu "25" rosa"

"rot" mit "weiß" gibt zu 50% "rot" und zu 50% "rosa"

Übergangsmatrix:
Es werden 400 rote, 300 rosa und 200 weiße blühende Pflanzen gekreuzt. Was ergibt sich?

Es ergeben sich 725 rot-, 175 rosa- und keine weißblühende Pflanzen.

Es sollen 1000 rotblühende und 600 rosablühende Pflanzen entstehen. Welche Pflanzen muss man mit einer rotblühenden Sorte kreuzen?

Es ergeben sich folgende Gleichungen:
Das Gleichungssystem ist unterbestimmt. Es wird demnach möglicherweise unendlich viele Lösungen geben.
Durch Umformen ergeben sich folgende Beziehungen zwischen je 2 der Variablen:

Da a, b und c größer oder gleich 0 sein müssen, folgt aus den drei Gleichungen:

1. Gleichung
Wegen c>=0 gilt b<=2400.
Wegen b>=0 gilt c<=1200.
Da aber nur 1600 Pflanzen erzeugt werden sollen, gilt b<=1600 und damit c>=400.
2. Gleichung
Wegen c>=0 gilt a>=-800.
Wegen a>=0 gilt c>=800.
Da a>=0, muss gelten c>=800.
3. Gleichung
Wegen a>=0 gilt b<=800.
Wegen b>=0 gilt a<=400.

Aus der 1. Gleichung folgt: 0<=b<=1600 und 400<=c<=1200
Aus der 2. Gleichung folgt: 0<=a und 800<=c.
Aus der 3. Gleichung folgt: 0<=a<=400 und 0<=b<=800. Daraus folgt für c aus der 1. Gleichung: c>=800.
Insgesamt ergeben sich daraus die Randbedingungen 0<=a<=400 und 0<=b<=800 und 800<=c<=1200.
Eine mögliche Lösung wäre z.B. c=1000 → a=200 und b=400

Wiederholung zur Vektorrechnung:
Gegeben ist die Ebene E: x-y+z=1.

Zu zeigen ist, dass die Gerade g: parallel zu E verläuft. Der Abstand ist zu bestimmen.
Lösung:
Umformen der Ebene in die Hessesche Normalenform:
Wenn g ┴ E, dann müssen Richtungs- und Normalenvektor senkrecht sein. Prüfen mit Skalarprodukt:
Ortsvektor der Gerade in HNF einsetzen zur Abstandsbestimmung:
Die Gerade g ist ein Element der Geradenschar g_t. Das zugehörige t wird gesucht.
Lösung:
g_t:
Gleichsetzen mit Geradengleichung:
Zu zeigen ist noch, dass der Ortsvektor von g_t zu einem Punkt von g zeigt:
Schnitt der Geradenschar mit der Ebene E:

Einsetzen in E:
Einsetzen in die Gleichung:
Die Schnittpunkte liegen alle auf einer Geraden. Für t=0 existiert kein Schnittpunkt (Division durch 0).

2009-11-20

Wiederholung zur Klausur

2009-11-24

Klausur 2

2009-11-27

Bisher haben wir zu Berechnungen bei mehrstufigen Produktionsprozessen Übergangsmatrizen für den Übergang zwischen zwei Fertigungsstufen benutzt, die dann multipliziert die Übergangsmatrix für den gesamten Prozess lieferten.
Beispielaufgabe:

Bei einem Produktionsprozess werden 2 verschiedene Endprodukte erstellt, die aus jeweils 3 Zwischenprodukten bestehen, die wiederum aus 2 Rohstoffen zusammengesetzt sind.
Der Übergangsgraph lässt sich in zwei Übergangsmatrizen darstellen:

Die Multiplikation dieser beiden Matrizen ergibt die Gesamt-Übergangsmatrix:

Wünscht ein Kunde 10-mal das Produkt E1 und 20-mal das Produkt E2, so rechnet man:

Zur Fertigung werden 410 Teile des Rohstoffes R1 und 430 Teile des Rohstoffes R2 benötigt.
Der Mathematiker Andrew Vazsonyi hat eine alternative Berechnung mit der Gozinto-Matrix vorgestellt, deren Entwicklung er einem fiktiven Mathematiker "Zepartzat Gozinto" ("the part that goes into") zugeschrieben hat.
Die Gozinto-Matrix (oder Direktbedarfsmatrix D) enthält für alle Zustände Ri, Zi und Ei sowohl eine Zeile als auch eine Spalte.
Die Matrix beschreibt, wie viel von einem Zustand (links) für einen anderen Zustand (oben) benötigt wird (Beschriftung der Pfeile im Diagramm):
D =
Man erkennt in dieser Matrix als Teile die beiden Übergangsmatrizen von oben wieder.
Nun wird die Matrix D mit sich selbst multipliziert:
D² =
Hier tritt die oben berechnete Übergangsmatrix auf.
Multipliziert man diese Matrix noch einmal mit D, bildet man also D³, so ergibt sich die Nullmatrix.
Addiert man die Einheitsmatrix E, D und D², so ergibt sich .
In dieser Matrix sind durch die Summenbildung alle Übergänge enthalten.
Möchte nun ein Kunde (wie oben) 10-mal das Produkt E1 und 20-mal das Produkt E2, so rechnet man:

Der Ergebnisvektor zeigt umfangreiche Informationen über den Bestell- und Produktionsvorgang an: Anzahl der bestellten Endprodukte, Anzahl der gefertigten Zwischenprodukte und Anzahl der benötigten Rohprodukte.
Allgemeines Vorgehen beim Berechnen mit der Gozinto-Matrix:

Stelle die Gozintomatrix D auf.
Bilde der Reihe nach D², D³, D⁴, ... bis die Nullmatrix auftaucht.
Bilde mit der Einheitsmatrix E die Summe E + D + D² + D³ + D⁴ + ... (im Prinzip unendliche Summe, wobei die unendlich vielen Nullmatrizen nicht berücksichtigt werden müssen).
Das Ergebnis ist die Übergangsmatrix, mit der der Bestellvektor multipliziert werden kann.

In diesem einfachen Fall ist der Aufwand mit der Gozinto-Matrix sicher nicht notwendig.
Wenn sich aber die einzelnen Produktionsschritte nicht so einfach wie hier voneinander trennen lassen, kann man nicht wie ganz oben einzelne Teilübergangsmatrizen erstellen.
Beispiel für einen komplexeren Produktions- und Bestellablauf:
Das Beispiel oben wird durch folgende Punkte ergänzt:

Zur Produktion von Z2 werden 2 Teile Z1 benötigt (z.B. mehrere gleiche Halterungen in einer größeren Box).
Zur Fertigstellung von E1 wird 1 Teil R2 benötigt (z.B. Kleber).

Übergangsgraph:
Gozinto-Matrix und ihre Potenzen:
Berechnung der Übergangsmatrix:

Auch in dieser Matrix sind (wie oben) alle Übergänge enthalten, selbst wenn unterschiedlich viele Fertigungsschritte für bestimmte Produkte vorliegen.
So sind wegen des Pfeils von Z1 zu Z2 in D² im oberen Teil die Zahlen 6 und 2 zu finden, die angeben, wie viele Stücke von Z1 notwendig sind, um über den Umweg über Z2 zu E1 und E2 zu führen.
Die dazu benötigten Rohstoffe werden dann in D³ aufgelistet.
Im Endergebnis werden die Rohstoffzahlen aus den einzelnen Produktionsschritten addiert und können bei der Berechnung mit dem Kundenvektor berücksichtigt werden.
Möchte auch in diesem Beispiel der Kunde 10-mal das Produkt E1 und 20-mal das Produkt E2, so rechnet man:

Damit dem Kunden 10-mal das Produkt E1 und 20-mal das Produkt E2 geliefert werden kann, müssen 210-mal Z1, 50-mal Z2 und 40-mal Z3 als Zwischenstücke produziert werden und 610 Teile des Rohstoffs R1 und 640 Teile des Rohstoffs R2 müssen bereit gestellt werden.
Möchte der Kunde als Referenz von jedem Zwischenstück und jedem Rohstoff 1 Teil zusätzlich geliefert bekommen, rechnet man so:

weiter mit Analysis II