Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 13MA1e

Analysis II

• Wiederholung Integralrechnung (Script, Unterrichtsgang)
• Rotationsvolumen
  
  Ein Graph mit der Funktionsgleichung f(x) rotiere um die x-Achse.
  Dadurch wird ein Rotationskörper erzeugt, in der Abbildung z.B. ein Glaskelch.
• Zur Volumenbestimmung wird zunächst eine schmale Scheibe (Zylinder) betrachtet, deren Grundflächenradius gleich dem Funktionswert an der betreffenden Stelle ist.
  Die Höhe der Scheibe sei Δx.
  Dann gilt für das Volumen einer einzelnen Scheibe
  und für das Volumen aller Scheiben .
• Exakt wird die Summe beim Grenzwert für Δx→0:
  Als Integrations-Grenzen werden die x-Werte vom linken und rechten Rand des Körpers gewählt.
• Bogenlänge
  
  Einer Linie wird zunächst angenähert durch kleine Strecken.
  Die Länge einer einzelnen solchen Teilstrecke ergibt sich mit dem Satz des Pythagoras: .
  Die Gesamtlänge ergibt sich näherungsweise durch Summation aller dieser Teilstrecken:
  Die exakte Länge erhält man als Grenzwert für Δx→0: 

• Beispiel zur Bogenlänge und gleichzeitig Einführung in das Integrieren durch Substitution: Berechnung des Umfangs eines Kreises mit dem Radius r
  
  Es wird nur der Umfang eines Viertel-Kreises berechnet. Das Ergebnis wird dann mit 4 multipliziert.
  Für jeden Punkt auf der Kreislinie gilt nach dem Satz vom Pythagoras x²+y²=r².
  Daraus ergibt sich durch Umformung die Funktionsgleichung des über der x-Achse liegenden Halbkreises: .
  In der Formel für die Bogenlänge wird die Ableitung y' benötigt:
  Damit gilt .
  Bogenlänge:
  Substitution:
  Neue Integrationsgrenzen:
  Einsetzen:
  Multiplikation mit 4 liefert den Umfang des Kreises: 2·π·r.
• Die Berechnung der Kreisfläche lässt sich ähnlich durchführen. Dazu mehr in der nächsten Stunde.

• Einführung in die Produktintegration am Beispiel der Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises
  
  Es wird nur der Flächeninhalt eines Viertel-Kreises berechnet. Das Ergebnis wird dann mit 4 multipliziert.
  Für jeden Punkt auf der Kreislinie gilt nach dem Satz vom Pythagoras x²+y²=r².
  Daraus ergibt sich durch Umformung die Funktionsgleichung des über der x-Achse liegenden Halbkreises: .
  Zur Berechnung des Flächeninhaltes zwischen Graph und x-Achse wird die Funktionsgleichung integriert:
  Die in der letzten Stunde erprobte Substitution wird auch hier ausprobiert: 
  Daraus folgt:
• Wie lässt sich das Integral mit dem quadrierten Kosinus lösen?
  Nach mehreren erfolglosen Versuchen mit Substitution sind wir durch die Schreibweise auf die Idee gekommen, eine ähnliche Formel wie bei der Ableitungs-Produktregel zu entwickeln. Dazu haben wir die Formel zur Produktregel integriert und dann umgestellt:
  
  
  An einem einfachen Beispiel haben wir diese Formeln schon angewendet. In der nächsten Stunde berechnen wir dann das Integral mit dem quadrierten Kosinus.

• In der letzten Stunde blieb noch das Problem offen, wie man das Integral aus cos²x berechnen kann.
  Mit Hilfe der entwickelten Formel (Produktintegration oder partielle Integration) formen wir um:
  
  
  
• Damit können wir nun auch das Integral aus der letzten Stunde lösen:
  
• Die Fläche eines Viertel-Kreises haben wir damit berechnet.
  Für eine ganzen Kreis multiplizieren wir mit 4 und erhalten:
  Der Inhalt der Kreisfläche eines Kreises mit dem Radius r beträgt π·r².

• Zur Übung Rechnung einer einfacheren Aufgabe: 
  Substitution: 
  

• Übung 1 zur Produktintegration
• 
  Auf Grund der Änlichkeit von Integrandem und Stammfunktion ergibt sich folgende Formel:
• Für alle a є R gilt:
• Für das folgende Beispiel haben wir gezeigt, wie man eine Ableitung mit Hilfe der Ableitung der Umkehrfunktion bilden kann:
• Gesucht ist die Ableitung von y = ln x. Löst man diese Gleichung nach x = e^y auf und vertauscht x und y (graphisch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden mit der Gleichung y=x), so erhält man die Umkehrfunktion y = e^y. Deren Ableitung ist, wie wir wissen, y' = e^y.
  Nun gilt: 
• Übung 2 zur Produktintegration
• Prinzip der helfenden 1: Vor dem Integranden ln x wird ein Faktor 1 ergänzt, der nichts am Integralterm ändert. Dann wird Produktintegration angewendet:
  
• Übungen zur Substitution
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• Die Beispiele führen zu folgender Vermutung:
  Beweis:
  mit F(z) als Stammfunktion zu f(z), d.h.

• Übung zu e-Funktionen, zu Funktionstermen mit Brüchen und zu Funktionsscharen.
  Untersucht werden sollte die Funktionsschar mit der Gleichung .
  Einige Rechnungen und Ergebnisse:
• Sonderfall t=0: f₀(x)=1, also Parallele zur x-Achse im Abstand +1.
• 1. Ableitung: . Da der Zähler nicht 0 werden kann, gibt es keine waagrechten Tangenten.
• 2. Ableitung:
  
  Es gibt einen Wendepunkt an der Stelle (ln t / 0,5), d.h. Wendepunkte gibt es nur für t>0 und alle Wendepunkte haben den y-Wert 1/2.
• Pole → Nenner=0 →  . Pole gibt es also nur für t<0.
• Graphen der Funktionsschar:
  
  cyan: t=-2 ; schwarz: t=-1 ; blau: t=0 ; rot: t=+1 ; grün: t=+2 
• Mit dem GeoGebra-Applet können mit dem Schieberegler Graphen für verschiedene t-Werte erzeugt werden.
   
• Flächeninhalt der unendlich ausgedehnten Fläche zwischen Kurve und x-Achse im 2. Quadranten:
  
  
  Substitution:
  Für t=1 ergibt sich als Flächeninhalt ln 2 - ln 1 = ln 2 ≈ 0,69

• Übungen zu Ortskurven bei gebrochen-rationalen Funktionen
• Gesucht ist die Ortskurve der Stellen mit waagrechter Tangente bei der Funktionenschar mit der Gleichung
  1. Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen:
  
  
  
  
  Das bedeutet: Der Punkt mit waagrechter Tangente hat die Koordinaten
  Um die Gleichung der Ortskurve zu erhalten, wird in der Gleichung für y das a durch einen Term mit x ersetzt.
  Aus der Rechnung oben folgt: .
  Einsetzen in y ergibt
  Man hätte auch in der gegebenen Funktionsgleichung das a ersetzen können:
  
  Auf dem Graph der gefundenen Gleichung liegen alle Punkte mit waagrechter Tangente.
  Das GeoGebra-Applet erlaubt, die Ortskurve (rot) und die Kurven (blau) der Kurvenschar dynamisch anzuzeigen:
  
  
• Gesucht ist die Ortskurve der Stellen mit waagrechter Tangente bei der Funktionenschar mit der Gleichung 
  1. Ableitung gleich 0 setzen und nach x auflösen:
  
  
  Die Gleichung der Ortskurve ergibt sich, wenn der k-Wert in die Funktionsgleichung eingesetzt wird:
  
  Auch hier die Kurven der Kurvenschar (blau) und die Ortskurve (rot) in einem GeoGebra-Applet:
  
  
• Bitte weitere Beispiele ( 1 , 2 , 3 ) anschauen und selbst durchrechnen!

• Untersuchung einer Kurvenschar.
  Die Ergebnisse aus dem Unterricht und weitere Untersuchungspunkte findet Ihr in diesem pdf-Dokument.

• Weitere Besprechung der Aufgabe.
  Hier eine Animation zu der behandelten Kurvenschar.
  
• Hausaufgabe: Diese Aufgabe beenden und vom Blatt Seite 187 Aufgabe 2.

• Weitere Übungen zu Kurvenscharen (gebrochen-rational und mit e^x).
• Hausaufgabe: Seite 187 Aufgabe 4

• Wiederholung: 
• Newtonverfahren: näherungsweise Berechnung von Nullstellen
• Regeln von l'Hospital: Grenzwerte bei den Fällen 
• Polynomdivision: zur Untersuchung des Kurven-Verhaltens im Unendlichen (speziell waagrechte und schräge Asymptoten) und zur Vereinfachung von Bruchtermen (Integrieren von Teilsummen)
• Besprechung der Hausaufgabe: Seite 187 Aufgabe 4
  Kurvenschar mit der Gleichung und weiter mit a=5 und b=8.
  Erweiterung: Flächeninhalt der Fläche berechnen, die vom Graphen und der x-Achse vollständig eingeschlossen wird.
  Hausaufgabe: Beendigung dieser Aufgabe. Folgendes kann an Hand dieser Aufgabe gut wiederholt werden: Zerlegen eines Bruchs in Teilbrüche, Integration einer Konstanten, Integration einer Funktion vom Typ 1/x, Integration einer Funktion vom Typ 1/x².

• Wiederholung zur Integration: Das unbestimmte Integral soll mit Hilfe zweier verschiedener Verfahren berechnet werden:
• Produktintegration:
  
• Substitution:
  
  Damit folgt 
• Auf den ersten Blick scheint hier ein Fehler vorzuliegen, denn es gilt nicht allgemein sin²x=-cos²x.
  Wenn man sich aber erinnert, dass beim unbestimmten Integral die Menge aller Stammfunktionen gefragt ist, müsste man bei jedem Ergebnis noch eine additive Konstante (c₁ und c₂) hinzufügen:
  
  Mit Einhalten der letztgenannten Bedingung sind also die Ergebnisse doch identisch.
• Wiederholung zum Thema gebrochen-ratinale Funktionen:
  Gesucht ist eine Funktionsgleichung, die zur folgenden Kurve passt: 
  Wegen der beiden Nullstellen muss x und (x-3) im Zähler stehen.
  Wegen der beiden Pole muss (x-2) und (x+2) im Nenner stehen.
  Die waagerechte Asymptote y=1,5 kann durch ein Multiplizieren mit einer Konstanten a erreicht werden.
  Es ergibt sich folgende Funktionsgleichung:
  Folgende 3 Methoden sind (neben anderen) denkbar, um a zu bestimmen:
• Kürzen:
  
• Polynomdivision:
  
• Regel von l'Hospital:
  
• Die gesuchte Funktionsgleichung ist also  

• Wiederholung: 
  
  
• In einer eingekleideten Aufgabe ist die Abflussrate d (in Liter pro Minute) gegeben, mit der Wasser aus einem Tank strömt: d(t)=(76-t)/(t+2)  (t ist die vergangene Zeit in Minuten)
  Aus der Abflussrate kann man nach der Gleichung d(t)=V'(t) (wobei V(t) das Volumen des ausgeströmten Wassers in Abhängigkeit von der Zeit ist) durch Integration das abgeflossene Wasser-Volumen bestimmen.
  Durch Nullstellenbestimmung ergibt sich, dass nach 76 Minuten der Tank leer ist.
  
  Benutzt wurde die Substitution
  Es waren also etwa 210 Liter Wasser im Tank.

• Ein guter Link zur neu kennengelernten Kettenlinie.
  In dem verlinkten Text wird nicht "unsere" Schreibweise mit den e-Funktionen, sondern der Kosinus hyperbolicus cosh x = a·(e^(x/a) + e^(-x/a))/2 benutzt.
• Als pdf-Dokument die Aufgabe zu den Themen Kettenlinie - Bogenlänge - Näherungskurve

• Wiederholung zur Arbeit
• Bitte im Buch folgende Seiten anschauen
• ab Seite 199 zur Integration
• Aufgaben ab Seite 251
• weitere Aufgaben auf den Seiten 275 bis 281

• Wiederholung zur Klausur.

• Klausur 3

• Wiederholung Stochastik:
  Grundlegende Definitionen, Kombinatorik, Binomialverteilung

• Rückgabe der Klausur 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
• Für den TI-84 ist ein neues Betriebssystem herausgekommen.
  Das Betriebssystem kann mit TI-Conect vom Computer auf den TI-84 geladen werden oder aber von einem TI-84 zu einem anderen TI-84.
• Betriebssystem
  
• Information zu den Neuerungen (pdf-Datei)
• Anleitungen für die Binomialverteilung auf dem Taschenrechner in der Datei TI-84-Funktionen.

• Wiederholung zum Abitur: Vertrauensintervalle

• Wiederholung zum Abitur: Binomialverteilung und Normalverteilung (siehe auch TI-84-Funktionen)
• Beispielaufgabe:
  Bei Früherkennungsuntersuchungen stellt man fest, dass Kinder im Alter von 2 Jahren zwischen 79cm und 97cm groß sind.
  Nur 3% aller 2-jährigen Kinder sind kleiner als 79cm und 3% sind in diesem Alter größer als 97cm.
  Die folgenden Aufgaben sind unter der Voraussetzung zu bearbeiten, dass die Größe von Kleinkindern normalverteilt ist.
• Man bestimme μ und σ der Verteilung
  Aus Symmetriegründen muss der Erwartungswert der Mittelwert von 79cm und 97cm sein, also 0,5·(79+97)cm=0,5·176cm=88cm=μ.
  Zur Bestimmung von σ benutzt man die Information, dass P(78,5<=X<=97,5)<=0,94 (=1-0,06 wegen des 3%-Intervalls an jedem Ende der Verteilung).
  Da bei den 3% zu kleinen Kindern alle Körpergrößen von 78cm abwärts berücksichtigt werden, bei den "normalen" Körpergrößen aber von 79cm aufwärts, wird die Grenze zwischen diesen Werten angesetzt. Gleiches gilt für die obere Grenze zur 3%-Gruppe der zu großen Kinder.
  Taschenrechner: Mit der Syntax normalcdf(untere Grenze, obere Grenze, Erwartungswert, Standardabweichung) schreiben wir
  normalcdf(78.5,97.5,88,x)<=0.94
• Lösung mit dem SOLVER-Befehl: Eingeben der Gleichung ---> Näherungswert ---> Lösung
       
• Lösung durch Schneiden des Graphs von normalcdf(78.5,97.5,88,x) mit der Gerade y=0,94
     
• Näherungslösung durch Ablesen aus der Wertetabelle zu Funktion mit der Gleichung normalcdf(78.5,97.5,88,x)
   
• Wie viel Prozent der 2-jährigen Kinder sind kleiner als 85cm?
  24,4% der 2-jährigen Kinder haben eine Größe zwischen 0cm und 84,5cm.
• Wie viel Prozent der 2-jährigen Kinder haben eine Größe von mehr als 90cm?
  31,0% der 2-jährigen Kinder haben eine Größe von 91cm oder mehr.
• Wie viel Prozent der 2-jährigen Kinder haben eine Größe zwischen 80cm und 90cm?
   64,3% der 2-jährigen Kinder haben eine Größe zwischen 80cm und 90cm.

• Heute war die letzte Stunde vor dem Abitur. Ich wünsche Euch viel Erfolg beim Bearbeiten der Aufgaben!
• Auf Euren Wunsch hin hier noch einmal der Tafelanschrieb vom Schluss der Stunde: