Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Mathematik Ma4-g

Exponential- und Logarithmusfunktionen

2007-12-10

• Wir haben versucht, eine Funktion zu finden, die die Bedingung f(x)=f '(x) erfüllt, bei der also für jeden x-Wert der Funktionswert und die Ableitung übereinstimmen.
• Eine sehr einfache Lösung haben Sie sofort gefunden: f(x)=0. Es war nun die Frage, ob es nur diese triviale Lösung gibt oder ob vielleichtnoch eine weitere Lösung existiert.
• Einigen von Ihnen bereitete es Schwierigkeiten, die Bedingung in eine Zeichnung umzusetzen: Es sollte für verschiedene Punkte im Koordinatensystem durch eine kurze Strecke das Steigungsverhalten an dieser Stelle angegeben werden. Das Bild, das sich daraus ergibt, nennt man Steigungsfeld.
  
• Aus dem Steigungsfeld haben Sie herausgelesen, dass die gesuchte Funktion eine Exponentialfunktion der Form f(x)=a^x sein könnte und dass der Wert für a wohl zwischen 2 und 3 liegt.
  Weitere Überlegungen in der morgigen Stunde.

2007-12-11

• Die Überlegungen in der letzten Stunde haben ergeben, dass eine Funktion mit der Eigenschaft f(x)=f '(x) von der Art f(x)=a^x sein könnte. Für a konnten wir den Bereich auf das Intervall [2,3] einschränken. Sehr viel genauer war aber aus der Zeichnung der Wert von a nicht zu erkennen.
• Deshalb wählten wir einen neuen Ansatz mit einer Funktion, die abgeleitet ähnlich aussieht wie sie selbst. Ganzrationale Funktionen haben die Eigenschaft, nach dem Ableiten wieder ganzrational zu sein.
  Also haben wir versuchsweise die Ableitung von gebildet: 
  Das Aussehen der beiden Terme ist ähnlich, die Koeffizienten stimmen aber nicht überein und leider ist die Ableitungsfunktion um ein Element kürzer.
• Ausweg: Mit der unendlichen Summe müssen wir uns abfinden, die Koeffizienten haben wir experimentell so geändert, dass die Ableitungsfunktion tatsächlich mit der ursprünglichen Funktion übereinstimmt:
  Sie fanden als Gesetzmäßigkeit heraus, dass der Nenner eines Bruchs immer gleich dem Nenner des vorhergehenden Bruches multipliziert mit der Hochzahl von x des aktuellen Bruches ist.
  Einfacher wird die Bildungsregel, wenn man die Summe mit Hilfe der Fakultät-Schreibweise ausdrückt:
  
  Zur Erinnerung (oder zum Kennenlernen): 0! = 1 ; 1! = 1 ; n! = n · (n-1)!  ;  27! spricht man aus als "Siebenundzwanzig Fakultät"
• Mit Hilfe dieser Funktion und der in der letzten Stunde gefundenen Form f(x)=a^x können wir nun das a berechnen, indem wir für x den Wert 1 wählen:
  
  Die exakte Berechnung würde wegen der unendlich vielen Summanden natürlich unendlich lange dauern. Da die Summanden aber immer kleiner werden, kommt man bei einer vorgegebenen Genauigkeit doch in endlicher Zeit zum Ergebnis. Sinnvollerweise sollte man für die Rechnung ein Computerprogramm einsetzen.
  Mit OOo-Calc sieht die Berechnung z.B. so aus: links die Werte in der Tabelle, rechts die verwendeten Formeln
       
  
  Wie man sieht, ändert sich der Näherungswert ab Zeile 19 bei der eingestellten Genauigkeit nicht mehr.
  Der gefundene Wert für die Zahl a ist aber eine nichtperiodische Dezimalzahl, die unendlich viele von 0 verschiedene Stellen hat.
  Man nennt die Zahl e nach dem berühmten Mathematiker Euler.

2007-12-14

• Legt man ein Kapital K₀ zu p Prozent Zinsen an, so besitzt man bei jährlicher Verzinsung nach
  1 Jahr: K₁ = K₀ · (1 + p/100)
  2 Jahren: K₂ = K₀ · (1 + p/100)²
  3 Jahren: K₃ = K₀ · (1 + p/100)³
  n Jahren: K_n = K₀ · (1 + p/100)ⁿ
• Eigentlich ist diese Art der Verzinsung "ungerecht", weil das Geld ein ganzes Jahr auf der Bank bleiben muss, bis es verzinst wird.
  Wie sähe es aus, wenn jeweils nach einem halben Jahr verzinst würde (dann natürlich auch nur zum halben Prozentsatz) oder monatlich (mit 1/12 des Jahreszinssatzes)?
  Für ein Jahr würde sich das Kapital bei monatlicher Verzinsung zu K₁₂ = K₀ · (1 + p/(100·12))¹² berechnen.
  Würde n-mal in einem Jahr verzinst, ergäbe sich K_n = K₀ · (1 + p/(100·n))ⁿ.
  Nehmen wir einmal an, wir würden 1 Euro einzahlen und (leider nicht realisierbar) mit p=100 einen Zinssatz von 100% haben.
  Dann hätten wir am Ende des Jahres bei n-facher Verzinsung K_n = (1 + 1/n)ⁿ Euro auf dem Konto.
  Mit dem Taschenrechner haben wir experimentell gefunden, dass bei kontinuierlicher Verzinsung, also für n→∞, das Kapital 2,718281828 Euro betragen würde.
• Auch hier begegnet uns also wieder die Eulersche Zahl e=2,718281828.... als Grenzwert: 
• Bei der Kurvendiskussion der Funktion mit der Gleichung f(x) = x·e^x erkannten wir, wie einfach die Ableitungen gebildet werden können, wenn eine e-Funktion im Spiel ist:
  f(x) = x · e^x
  f ' (x) = (1+x) · e^x
  f '' (x) = (2+x) · e^x
  f ''' (x) = (3+x) · e^x
  f ⁽ⁿ⁾ (x) = (n+x) · e^x
  Auch das Aufleiten bzw. Integrieren geht ähnlich einfach: Man muss nur in der Folgen der Ableitungen nicht nach unten, sondern nach oben gehen.
  Obwohl wir noch nicht die erweiterten Ableitungsregeln beherrschen (Stoff des Semesters 13.2), können wir folgendes Integral berechnen:
  ∫ x · e^x dx = (-1+x) · e^x
• Hausaufgabe: Kurvendiskussion und Flächenbestimmung zu f(x) = x² · e^x .

2007-12-17

• Besprechung der Hausaufgabe:
  f(x) = x² · e^x  →  doppelte Nullstelle bei x=0
  f '(x) = ( 2x + x² ) · e^x   →   Extrema bei x=0 und x=-2
  f ''(x) = ( 2 + 4x + x² ) · e^x   →   Wendepunkte bei x=-2+-√2
  
• Spiegelt man einen Graph an der Gerade y=x (1. Winkelhalbierende), so erhält man den Graph der Umkehrfunktion.
  In der Funktionsgleichung müssen dabei x und y ausgetauscht werden. Dann wird die Gleichung nach y aufgelöst.
  
  rot: f(x) = e^x      grün: f(x) = ln x
  
  Rechenweg: y = e^x  →   x = e^y   →  y = log_e x  = ln x

2007-12-18

• Will man Funktionen untersuchen, die den natürlichen Logarithmus enthalten, muss man die Logarithmusfunktion ableiten und integrieren können.
  Am Beispiel dieser Ableitung lässt sich gut eine weitere Ableitungs-Methode zeigen, die sich immer dann einsetzen kann, wenn die Ableitung der Umkehrfunktion leichter ist als die Ableitung der Funktion selbst.
• Ableitungen können geschrieben werden als f '(x) oder y' oder auch . Diese letzte Schreibweise geht auf den Mathematiker und Philosophen Gottfried Wilhelm Leibniz zurück.
  Mit der Bruchschreibweise können wir sehr einfach die Ableitung der Umkehrfunktion bilden: .
• Wir können y = ln x umformen in x = e^y . Dann gilt für die Ableitung von x nach y wegen der Ableitung der e-Funktion: x' = e^y .
  Insgesamt ergibt sich also: .
  Der Ableitungsgraph für die natürliche Logarithmusfunktion ist also der Graph der Normal-Hyperbel.
• Damit können wir nun auch das Integral der Hyperbelfunktion bilden: Es ergibt sich die natürliche Logarithmusfunktion:

2008-01-07

• Rückgabe der Klausur 1
• Beginn: Ableitung und Integral einer allgemeinen Exponentialfunktion.

2008-01-08

• Folgende Formeln haben wir gefunden:
  
  
• Hausaufgabe: Die Funktionsgleichung ist gegeben. Gesucht sind Nullstellen, Extrema und Wendepunkte.

2008-01-11

• Bei e-Funktionen lassen sich häufig einfache Gesetzmäigkeiten bei den Ableitungen erkennen.
  Wir haben das am Beispiel der Funktionenschar durchgespielt:
  
• Sehr einfach lässt sich nun auch das Integral der Funktion bilden, indem man einfach die "(-1)-te Ableitung" von f mit der Begründung
  Integration und Differentiation sind Rechenarten, die sich gegenseitig aufheben
  bildet:
• In einer weiteren Aufgabe haben wir das Wachstum einer Hopfenplanze untersucht.
  Wir haben dabei auf Kopf-Rechnungen verzichtet und stattdessen die Funktionen des GTR genutzt:
  Ableitung der Funktion f, die in den Rechner als y1 eingegeben wurde: =nDerive(y1,x,x)
  Siehe dazu auch die Übersicht der Funktionen des TI-84

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