Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Mathematik Ma4-g

Vektorrechnung


2008-01-21

• Rechtwinklige Koordinatensysteme:
• 1-dimensional: Ausdehnung in nur eine Richtung, z. B. wie beim Zahlenstrahl
  
• 2-dimensional: Ausdehnung in 2 Richtungen, z. B. das bekannte Koordinatensystem zur Darstellung von Funktionsgraphen
  
• 3-dimensional: Ausdehnung in 3 zueinander senkrechten Richtungen, z. B. Koordinatensystem für den uns umgebenden Raum
  
• Bei Darstellungen 3-dimensionaler Gebilde in der Ebene kann es Mehrdeutigkeiten geben.
  Die "schräge" 3. Achse steht eigentlich senkrecht auf den beiden anderen Achsen. Korrekt dargestellt, würde diese Achse aus dem Koordinatenursprung senkrecht aus dem Monitor heraustreten. Wir würden direkt auf die Spitze des Pfeils schauen und nur einen Punkt sehen (oder auch nicht sehen).
  Einige Beispiele sollen deutlich machen, dass ein eingezeichneter Punkt viele verschiedene Koordinaten haben kann:
       
  In den 4 Koordinatensystemen hätte der eingezeichnete Punkt der Reihe nach etwa folgende Koordinaten (x₁,x₂,x₃):
  (-3,5/1,0/2,5)  ;  (-1,5/2,5/3,8)   ;   (3,0/5,5/7,0)    ;    (-9,0/-3,0/-1,5)
• Spiegelung an einer Koordinatenebene
  Ein Punkt wird an einer Koordinatenebene gespiegelt, indem der Koordinatenwert der nicht betroffenen Achse mit -1 multipliziert wird.
  Beispiel: Spiegelung des Punktes (7/4/1) an der x₁-x₃-Ebene: Es ergibt sich der Punkt (7/-4/1)
• Spiegelung an einer Koordinatenachse
  Ein Punkt wird an einer Koordinatenachse gespiegelt, indem die Koordinatenwerte der anderen Achsen mit -1 multipliziert werden.
  Beispiel: Spiegelung des Punktes (7/4/1) an der x₃-Achse: Es ergibt sich der Punkt (-7/-4/1)

2008-01-22

• Wer Schwierigkeiten hat, sich vorzustellen, wie Punkte und Geraden im 3-dimensionalen Raum liegen, sollte sich das Programm DreiDGeo herunterladen, das meines Wissens für Unterrichtszwecke kostenlos ist und legal genutzt werden darf.
  Hier 3 Bildschirmausschnitte des Programms für die Darstellung der 4 Punkte (-3,5/1,0/2,5)  ;  (-1,5/2,5/3,8)   ;   (3,0/5,5/7,0)    ;    (-9,0/-3,0/-1,5)  (siehe 2008-01-21)
     
  
• Wir haben den Begriff des Vektors kennengelernt (siehe Buch Seite 334)

2008-01-25

• Vektoren kommen schon in der Sek.I im Unterricht vor: Kraftpfeile, Geschwindigkeitspfeile und Verschiebungspfeile sind Repräsentanten von Vektoren.
• 3-dimensionale Vektoren in Komponentenschreibweise enthalten von oben nach unten die Werte der x₁- x₂- und x₃-Koordinaten:
• Die Länge eines Vektors bestimmt man, indem man die Komponenten eines Vektors quadriert, die Ergebnisse davon addiert und dann aus der Summe die Wurzel zieht (bewiesen durch 2-maliges Anwenden des Satzes von Pythagoras). Schreibweise: Vektor in Betragstrichen. Sprechweise: "Betrag des Vektors"
  
• Man addiert Vektoren graphisch durch Aneinanderlegen der einzelnen Pfeile (bekannt aus der Sek.I) und rechnerisch durch Addition der einzelnen Komponenten des Vektors:
  

2008-01-28

• Ein Vektor, der vom Koordinatenursprung zu einem Punkt P zeigt, heißt Ortsvektor zum Punkt P, in der Abbildung sind das z.B. die Vektoren a und b, die zu den Punkten A und B zeigen.
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  Der Vektor, der die Spitzen der Ortsvektoren a und b verbindet, ist b-a (bzw. a-b bei umgekehrter Pfeilrichtung).
  Man geht vom Punkt A aus um -a zu Z und dann mit +b zu B

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