Unterrichts-Einsichten  -  Schuljahr 2007/2008  -  Mathematik 10c

Potenzrechnung und Logarithmen


Wir beginnen mit dem Kapitel "2 Funktionen mit Potenzen" (im Buch ab Seite 42)

2007-09-03

• In Formelsammlungen und Physikbüchern werden sehr kleine Zahlen mit einer 10-er-Potenz angezeigt, bei der die Hochzahl negativ ist.
  Was soll man unter einer Potenz mit einer negativen Hochzahl verstehen?
  Der Reihe nach werden folgende Zeilen betrachtet und weitergeführt:
  2^4 = 16
  2^3 = 8
  2^2 = 4
  ...
  Man sieht, dass von einer Zeile zur nächsten links die Hochzahl immer um 1 abnimmt und rechts die Zahl immer durch 2 geteilt wird.
  Auf diese Weise kann man herausfinden, was die Hochzahl 0 und was negative Hochzahlen bedeuten.
• OOo-Calc hilft dabei, Rechnungen für viele Fälle durchzuführen:
  
  In A1 steht die Basis, in der Spalte B stehen die Hochzahlen.
  Die Basis in A1 und die größte Hochzahl in B1 können frei gewählt werden.
  In den Spalten C und D stehen dann die Werte, die sich in den oben angegebenen Gleichungen links und rechts ergeben.
  Im Bild rechts sind die einzugebenen Formeln angegeben.

2007-09-04

• Ab jetzt kennen wir folgende Gesetze für das Rechnen mit Potenzen (Formelsammlung Seite 11):
  negative Hochzahlen            
  Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis      
  Division von Potenzen mit gleicher Basis      
  Potenzieren von Potenzen       

2007-09-05

• Wie am 2007-09-03 haben wir eine neue Definition im Zusammenhang mit Potenzen gefunden:
  3^4 = 81
  3^2 = 9
  3^1 = 3
  ... 
  Man erkennt folgende Regel für das Bilden der Gleichungen: links wird der Exponent immer durch 2 dividiert, rechts wird immer die Wurzel gezogen.
  Die Formeln für OOo-Calc müssen entsprechend abgewandelt werden.
  In B2 steht z. B. =B1/2 und in D2 steht =Wurzel(D1)
• Wir fanden folgende Definitionen für die Schreibweise von Wurzeln:
  
• Die Formeln stehen im Buch auf Seite 48 und in der Formelsammlung auf der Seite 11.
  Hausaufgabe: Seite 49 Aufgaben 1 bis 6 linke Spalte

2007-09-10

• Herleitung der Formel 
  
• Wir haben gesehen, dass man eine Formel nicht dadurch beweisen kann, dass man ein oder mehrere Beispiele durchrechnet.
  Eine Formel muss allgemein bewiesen werden.
• Als Beispiel dient die Behauptung:  "n^2 - n + 41 ist für alle n aus dem Bereich der natürlichen Zahlen eine Primzahl"
  Für die Zahlen von 1 bis 5 haben wir die Behauptung verifizieren (=als wahr erkennen) können.
  Ein einziges Gegenbeispiel reicht, um die Behauptung zu falsifizieren (=als falsch erkennen).
  Findet jemand ein solches Gegenbeispiel?
• Hausaufgabe:
  Ein Autoreifen nutzt sich auf 50000 km Fahrstrecke so ab, dass 1 cm an Profil verloren geht.
  Wieviel Profil verliert der Autoreifen auf einer Strecke von 1 km?
  Das Tachometer benutzt den Umfang des Reifens, um die Geschwindigkeit zu ermitteln.
  Der Reifen hat einen Durchmesser von 65 cm.
  Um wieviel Stundenkilometer zeigt das Tachometer die Geschwindigkeit falsch an, wenn der Radius des Reifens um 1 cm kleiner geworden ist?

2007-09-11

• Sehr große und sehr kleine Zahlen gibt man häufig mit 10-er-Potenzen an.
  Statt 12345,678 schreibt man 1,2345678 * 10^4,
  statt 0,000123456 schreibt man 1,23456 * 10^-4
  Bei einer positiven Hochzahl im Exponenten der 10 muss das Komma bei der vorangestellten Zahl um so viel Stellen nach rechts verschoben werden, wie der Exponent anzeigt,
  bei einer negativen Hochzahl im Exponenten der 10 muss das Komma bei der vorangestellten Zahl um so viel Stellen nach links verschoben werden, wie der Exponent anzeigt.
• Schreibt man einen Bruch mit großen und kleinen Zahlen mit Hilfe von 10-er-Potenzen, so lässt sich leicht eine Überschlagsrechnung ausführen.
  Dazu werden die Zahlen und die 10-er-Potenzen getrennt zusammengefasst. Beispiel:
  
• Hausaufgabe: Berechne, wie lang die Aneinanderreihung aller Atome von 1 mol Wasserstoff  sein würde. Ein Wasserstoffatom habe einen Durchmesser von 0,1 nm.

2007-09-12

• Es ist nicht sinnvoll, Rechenregeln auswendig zu lernen, ohne ihre Herleitung und ihre Bedeutung zu verstehen.
  Es hilft aber auch nichts, wenn man vielleicht verstanden hat, wie Rechenregeln zustande kommen, dann diese Rechenregeln aber so wenig zu kennen, dass man ständig bei ihrer Anwendung Fehler begeht.
  Deshalb gilt: Elementare Rechenregeln (wie z.B. die Rechenregeln für das Rechnen mit Potenzen) müssen ohne groß nachzudenken sicher beherrscht werden.
  Hausaufgabe: Seite 49 Aufgaben 1, 2, 3, 4 jeweils die beiden rechten Spalten.

2007-09-13

• In Formeln bedeuten die Buchstaben Platzhalter für Zahlen.
  Die Platzhalter könnte man auch anders schreiben, z. B. durch geometrische Gebilde.
  Die Platzhalter sind wie Schubladen, in die Zahlen gelegt werden können. Wenn ein OPlatzhalter in eienr Formel auftaucht, setzt man die in der Schublade liegende Zahl ein.
• Folgende Formeln sind identisch, sie sind nur jeweils anders geschrieben:
  
• Hausaufgabe: Seite 49 Aufgabe 6 , Seite 50 Aufgaben 14, 17 und 18
  Eure Lösungen dieser Aufgaben
  Daten zur nicht gelösten Raucheraufgabe findet Ihr in Infoschool unter Dateiaustausch/9cMaPhMey/Nichtraucherschutz.odt
  2007-09-17: Heute hat mich eine Lösung der Raucher-und-Teer-Aufgabe erreicht, die sich auf die Werte in der angegebenen Quelle stützt. Ich habe die Lösung nicht korrigiert. Untersucht Ihr bitte, ob Fehler in der Lösung enthalten sind.
  2007-09-18: Die Lösung ist korrigiert und überarbeitet worden. Hier die Lösung der Raucher-und-Teer-Aufgabe-Version2.

2007-09-17

• Kommt bei einer Gleichung das x in einer Potenz vor, so muss man zwei Fälle unterscheiden:
  • das x steht in der Basis. Dann löst man nach x auf, indem man die Wurzel zieht: 
    Die rechte Seite der Gleichung  muss man als Rechenaufgabe auffassen: Suche die Zahl, die man n-mal mit sich selbst multiplizieren muss, damit sich y ergibt.
  • das x steht im Exponenten. Dann löst man nach x auf, indem man den Logarithmus bildet:
    Die rechte Seite der Gleichung  muss man als Rechenaufgabe auffassen: Suche die Zahl, die angibt, wie oft man a mit sich selbst multiplizieren muss, damit sich b ergibt.
• Zur ungewohnten Schreibweise log siehe auch den ersten Abschnitt im Artikel "Rechnen mit der Logarithmentafel"

2007-09-18

• Wir haben das erste Rechengesetz für Logarithmen kennengelernt:
  
  Zum Beweis benötigen wir eine der folgenden Formeln, die unmittelbar aus der Definition des Logarithmus (siehe 2007-09-17) hervorgehen:
     
  Definition zum Beweis:
  
  Beweis der Formel:
  
• Der Beweis zeigt uns eine wichtige Methode in der Mathematik, die (unter genauer Beachtung der Voraussetzungen) auch in anderen Bereichen produktiv einsetzbar ist:
  Will man Erkenntnisse in einem neuen Gebiet erlangen, ist es oft günstig, schon erprobte Beweisschritte oder Verfahren aus einem anderen Gebiet zu benutzen.
  In unserem Fall geschieht das auf folgendem Weg:
  Logarithmus von einem Produkt >>> Faktoren des Produktes in Potenzen umformen >>> Rechengesetz der Potenzrechnung anwenden >>> Term wieder in Logarithmusschreibweise umwandeln
  Der wichtigste Beweisschritt findet hier im Bereich der Potenzrechnung (2. Gleichheitszeichen der letzten Gleichung oben) statt.
• Hausaufgabe: Analog den Beweis zu folgender Formel führen:
  
• Die Raucher-und-Teer-Aufgabe vom 2007-09-13 ist überarbeitet worden. Hier die aktuelle Lösung. Findet noch jemand Fehler oder eine bessere Abschätzung?

2007-09-19

• Große Zahlen können wir nur mit Mühe erfassen. Beispiel: Welches ist die größte Zahl, die man mit 3 Ziffern schreiben kann?
  Lösung: Sicher wird man dazu 3-mal die größte Ziffer 9 benutzen. Nun blieb noch das Problem, ob oder die größte Zahl ist. Ein Schüler fand dann mit Hilfe von Derive heraus, dass die zweite Zahl (mit der Klammer im Exponenten) so viele Stellen hat, dass man etwa 10 Bücher mit je 1000 Seiten benötigen würde, um diese Zahl vollständig zu drucken. Die erste Zahl ist dagegen vergleichsweise klein.
• Buch-Tipp zum Thema "sehr große Zahlen":  Helmut Kracke: Mathe-musische Knobelisken - Tüfteleien für Tüftler und Laien, Dümmler, Bonn, ISBN 3-427-47113-6
  In diesem Buch wird hochintelligent mit Mathematik uns Sprache gespielt
• Zwei weitere Formeln für das Rechnen mit Logarithmen wurden gemeinsam hergeleitet:
   
  Wir haben gesehen: Wieder war der Beweis in wenigen Schritten zu führen, wenn man auf bekannte Gesetzmäßigkeiten aus der Potenzrechnung zurückgreifen konnte.
• Hausaufgabe: Beweise folgende Formel, die sich gut für die Berechnung von Logarithmen mit dem Taschenrechner eignet.
  
  Formt man diese Gleichung um, ergibt sich .  Da a auf der linken Seite nicht vorkommt, kann man sich zur Berechnung des Logarithmus auf der linken Seite einfach ein beliebiges a aussuchen, z. B. a=10. Da der Logarithmus zur Basis 10 auf dem Taschenrechner vorhanden ist, kann man den Logarithmus von c zur Basis b dadurch ausrechnen, dass man den 10-er-Logarithmus von c durch den 10-er-Logarithmus von b teilt.
  Soeben ist die Lösung von NW eingetroffen - danke! - schön!:           

2007-09-20

• Zum Beweis der Gleichung : Da diese Gleichung bewiesen werden soll, darf man sie nicht als Ausgangspunkt für den Beweis nehmen. Falls die Gleichung nämlich falsch sein sollte, könnte man trotzdem eine richtige Aussage daraus folgern.
  Richtig ist, mit einer Seite der Gleichung zu beginnen und diese Seite so lange (natürlich logisch einwandfrei) umzuformen, bis die andere Seite der Gleichung herauskommt.
  Beispiel: Es soll bewiesen werden, dass 4=8. Folgende Rechnunegn führen zu einem richtigen Ergebnis:
  
  Obwohl die letzte Gleichung stimmt, ist die erste Gleichung falsch. "Richtig" wird die Gleichung durch das Quadrieren: aus -2 = +2 wird durch Quadrieren +4 = +4 .
• Aufgabe: radioaktives Jod hat eine Halbwertzeit von 8 Tagen. Wie lange muss man warten, damit von einer ursprünglich vorhandenen Menge nur noch weniger als 1% vorhanden ist?
  
• Von den in der 8. Stunde gestellten Aufgaben sind die beiden ersten Aufgaben gelöst worden. Hier die Lösung.

2007-09-24

• Da ich heute und morgen nicht in der Schule bin, habe ich Euch die restlichen Lösungen vom letzten Donnerstag hier abgelegt.
  Es dreht sich dabei um die Homöopathie-Aufgabe und das Lösen von Gleichungen, in denen Logarithmen vorkommen.
  Zur Homöopathie-Aufgabe siehe auch den Wikipedia-Artikel .
• Die Hausaufgaben zu heute findet Ihr hier auch.
• Bitte: Lernt die Rechenregeln für Logarithmen und arbeitet die Lösungen durch!
  In der nächsten Stunde möchte ich gern mit den Graphen von Potenz- und Logarithmus-Funktionen beginnen.
  Bitte das Notebook mitbringen und GeoGebra Version 3.0.0 installiert haben.

2007-09-26

• Noch einmal die dringende Bitte: Lernt die Formeln für die Potenz- und Logarithmen-Rechengestze!
  Sie sind zu finden hier auf dieser Seite, in der Formelsammlung, im Mathebuch, im Internet, ...
• Mit einem GeoGebra-Arbeitsblatt kann man sehr schön ausprobieren, welche Graphen zu welchen Potenzfunktionen der Art gehören.
  Dazu der Reihe nach erst eingeben: a=1, b=2, c=0. Dann die Gleichung ohne y= .
  Die Schieberegler für a erhält man durch Rechts-Klick auf a=0 und dann Anklicken von "Objekt anzeigen". Unter Eigenschaften kann auch der Wertevorrat des Schiebereglers geändert werden.
• Hausaufgabe: Klassifikation der einzelnen Kurven. 
  Hinweis: Alle Kurven, die gleich aussehen, gehören zu einer bestimmten Klasse.
  Fragen: Welche Eigenschaften haben alle Kurven einer bestimmten Klasse? Wie viele Klassen kann man unterscheiden? Ordnet die Klassen den Unterrichtsgegenständen der vergangenen Wochen zu.

2007-09-27

• Die Klassifizierung aller Kurven der Art (wobei a=1 und c=0 fest gewählt blieben) ergab folgende Ergebnisse:
  • b ist positiv und gerade: ähnlicher Kurvenverlauf wie bei einer Normal-Parabel (1. und 2. Quadrant)
  • b ist positiv und ungerade: auch wie bei einer Normalparabel, nur ist der linke Teil an der x-Achse gespiegelt (1. und 3. Quadrant)
  • b ist negativ und ungerade: ähnlich wie bei einer Normal-Hyperbel (1. und 3. Quadrant)
  • b ist negativ und gerade: auch wie bei einer Normal-Hyperbel, nur ist der linke Teil an der x-Achse gespiegelt (1. und 2. Quadrant)
  • b ist nicht ganzzahlig: in allen Bereichen außer 0 < x < 1 sieht der Graph wie oben beschrieben aus, es fehlt nur der linke Teil (1. Quadrant)
  • b ist nicht ganzzahlig und es gilt 0 < x < 1: es ergibt sich ein Graph ähnlich dem einer Quadrat-Wurzelfunktion (halbe liegende Parabel) (1. Quadrant)
  • b=0 : es ergibt sich eine Parallele zur x-Achse im Anstand 1. Der Punkt (0/1) fehlt bei dieser Parallele. Es liegt dort eine Lücke vor.
  • b=1 : es ergibt sich eine Ursprungsgerade, die 1. Winkelhalbierende.
• Beispiele: Graphen in der Reihenfolge der Aufzählung
  
  
• Hausaufgabe: Klassifikation der Graphen von und

2007-10-01

• Klassifikation der Graphen von und :
  • :        a<=0 und a=1 kein Graph
  •       a<=0 und a=1 kein Graph
• Da bei Gleichungssystemen bei allen Gleichungen auf beiden Seiten derselbe Wert steht, darf man grundsätzlich mit allen Gleichungen dasselbe rechnen, also nicht nur addieren und subtrahieren (wie wir vor einem Jahr gelernt haben), sondern auch multiplizieren, dividieren, potenzieren, Wurzel ziehen, logarithmieren, Kehrwert bilden und was einem sonst noch einfällt.
  Beispiel:
  
• Hausaufgabe: Seite 62 Aufgaben 3, 6, 7, 8, jeweils die 2. Aufgabe (oder die erste Aufgabe, wenn die zweite nicht vorhanden).

2007-10-02

• Besprechung der Hausaufgaben.
• Soll die Lage und die Form des Graphen einer Funktion f(x) im Koordinatensystem verändert werden, ändert man die Funktionsgleichung folgendermaßen ab:
  Bei einer Streckung/Stauchung der Kurve um den Faktor a schreibt man a · f(x) statt f(x).
  Bei einer Verschiebung des Graphen um b in positive x-Richtung schreibt man f(x-b) statt f(x).
  Bei einer Verschiebung des Graphen um c in positive y-Richtung schreibt man f(x) + c stat f(x).
  Sollen alle drei Änderungen ausgeführt werden, schreibt man  a · f(x-b) + c statt f(x).

2007-10-04

• Wiederholung zur Klassenarbeit.
• Folgenden Rechentrick sollte man sich zum Lösen von Gleichungen merken:
  Stehen links und rechts des Gleichheitszeichens Terme, die sich nur minimal unterscheiden, so müssen die unterschiedlichen Stellen gleich sein.
  Beispiele:
  
  
  
  

2007-10-08

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Die verschiedenen Graphen-Typen (Potenz- und Logarithmusfunktion) könnt Ihr sehr gut mit GeoGebra darstellen. Bitte nutzt diese Möglichkeit, um das dynamische Ändern der Graphen zu erleben!
• Schaut Euch in der Formelsammlung an, wo die Rechengesetze für Potenzen und Logarithmen stehen!

2007-10-10

• Klassenarbeit 1

2007-10-11

• Vergrößert sich eine Anzahl bei jedem Schritt um denselben Faktor, so lässt sich der Vorgang mit einer Exponentialfunktion beschreiben:
• Hausaufgabe: Laut Wikipedia gab es 2007 etwa 6,6 Milliarden Menschen auf der Erde. Die Zuwachsrate beträgt 1,2% pro Jahr (für das Jahr 2006 angegeben).
  Berechne, wie lange es dauert, bis sich die Weltbevölkerung bei gleichbleibendem Wachstum verdoppelt hat.
  Berechne, wann theoretisch bei gleich bleibendem Wachstum die Erde mit Menschen "gepflastert" wäre, d. h. wenn die Menschen auf der gesamten Erd(- und Wasser-)oberfläche dicht an dicht stehen würden. Dieser Fall ist natürlich nicht realistisch. Welche Folgerungen ergeben sich aus dieser fiktiven Rechnung?

2007-10-15

• Untersuchung von Exponentialfunktionen der Art .
  Wir stellten fest:
  • b > 1 : ansteigende Kurve (verwendbar bei exponentiellen Wachstumsprozessen)
  • 0 < b < 1 : fallende Kurve (verwendbar bei exponentiellen Zerfallsprozessen)
• Bei den Zerfallskurven wird eine fortlaufende Halbierung des Funktionswertes jeweils nach gleichen Abschnitten auf der x-Achse erreicht.

2007-11-05

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 1
• Einführungsaufgabe zum Thema "Datenanalyse mit Bernoulli-Versuchen"
  Hausaufgabe dazu: Seite 82 Aufgabe E1. Jede Gruppe wird in der nächsten Stunde ihre Ergebnisse vorstellen.

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weiter geht es mit Datenanalyse mit Bernoulli-Versuchen