Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2015/2016 - Mathematik 6d
Daten
2016-04-11
- Erster Teil der Wiederholung des Stoffs für die nächste Klassenarbeit
(morgen in einer Woche!):
Themen sind:
- Mittelwert, Modalwert, Spannweite
- absolute und relative Häufigkeit
- gute und schlechte Diagramme
- Ausfall einer Klassenarbeit in 2 verschiedenen Klassen:
Welche Klasse ist die bessere?
Ihr habt sofort gewusst, dass der Mittelwert zur Beantwortung der Frage
entscheidend ist.
Den Mittelwert berechnet man, indem man die Zensuren jedes
Schülers/jeder Schülerin zusammenzählt und dann das Ergebnis durch die
Anzahl der Schüler(innen) dividiert.
Unter der Überschrift "Häufigkeit" steht jeweils, wie viele
Schüler(innen) die entsprechende Note erreicht haben.
Zählt man alle Werte unter "Häufigkeit" zusammen, so erhält man also die
ANzahl der Schüler(innen) in der jeweiligen Klasse.
Es ergeben sich für beide Klassen 30 Schüler(innen): 4+12+9+4+1+0=30 ;
6+8+8+7+0+1=30.
Das Zusammenzählen der einzelnen Noten kann man vereinfachen, indem man
immer die Note mit der jeweiligen Häufigkeit (also der Anzahl der
Schüler, die diese Note erreicht haben) multipliziert.
Für die Klasse 6d ergibt sich: 1∙4+2∙12+3∙9+4∙4+5∙1+6∙0 = 4+24+27+16+5+0
= 76
Für die Klasse 6f ergibt sich: 1∙6+2∙8+3∙8+4∙7+5∙0+6∙1 = 6+16+24+28+0+6
= 78
Um den Mittelwert zu erhalten, muss man diese Wert noch durch die Anzahl
der Schüler (30) dividieren:
Die Klasse 6d ist also geringfügig besser als die Klasse 6f.
- Der Modalwert ist der Wert mit der größten Häufigkeit.
Bei der Klasse 6d ist also der Modalwert die Note 2, da die Häufigkeit
12 größer ist als alle anderen Häufigkeiten.
Für die Klasse 6f gibt es keinen Modalwert, weil die größte Häufigkeit 8
mehrfach auftritt.
- Die Spannweite gibt den Unterschied zwischen dem kleinsten und dem
größten Notenwert an, der bei der Klassenarbeit auftritt.
Bei Klasse 6d kommen die Noten von 1 bis 5 vor, also ist die Spannweite
5-1=4.
Bei Klasse 6f kommen die Noten von 1 bis 6 vor, also ist die Spannweite
6-1=5.
- Die Definitionen (Festlegungen) der benutzten Begriffe noch einmal auf
einen Blick:
2016-04-12
- Anhand der Hausaufgabe haben wir das Thema "absoluite und relative
Häufigkeit" wiederholt:
Wir haben den Taschenrechner 28 zufällige Ziffern zwischen 0 und 9
ausgeben lassen (siehe Spalte A).
In Spalte B sind die Zahlen von 0 bis 9 aufgelistet und in Spalte C, wie
oft die jeweilige Ziffer in den Zufallszahlen vorkommt.
Zur Wiederholung:
- Mittelwert der
Zufallsziffern: Wir bilden die Summe aller Zufallsziffern (104) und
teilen diese Zahl durch die Anzahl der Zufallsziffern (28).
Es ergibt sich etwa 3,7.
Eigentlich sollte man erwarten, dass etwa 4,5 herauskommt, weil 5
Zufallsziffern kleiner als 4,5 und 5 Zufallsziffern größer als 4,5
sind.
Da die Zufallsziffern aber "gewürfelt" wurden, also durch Zufall
bestimmt wurden, kann es Abweichungen von dem Wert 4,5 geben. 3,7 ist
ja auch nicht so weit von 4,5 entfernt.
- Die Summer der Zufallsziffern kann man bilden, indem man alle 28
Ziffern einzeln addiert.
Mit Hilfe der Spalten B und C kann man sich die Rechnung einfacher
machen: Man multipliziert jede Ziffer mit der Zahl, die angibt, wie
oft die Ziffer vorkommt. Das Ergebnis steht in Spalte D.
Dann addiert man die Zahlen in Spalte D und erhält die Summe (104).
Also: Wert mit absoluter Häufigkeit multiplizieren und dann die
Ergebnisse addieren.
- Modalwert der Zufallsziffern
ist die Ziffer 0, da sie 5-mal vorkommt und alle anderen Ziffern
weniger oft vorkommen.
- Die Spannweite beträgt 9,
da die größte Ziffer die 9 ist und die kleinste Ziffer die 0 ist und
da 9-0=9.
- Die Zahlen in Spalte C nennt man "absolute
Häufigkeit" der jeweiligen Zufallsziffer, weil diese Zahlen
angeben, wie oft die einzelnen Zufallsziffern erscheinen.
Häufig sind die absoluten Häufigkeiten für sich allein betrachtet nicht
ganz aussagekräftig. Wenn zum Beispiel in Gruppe A 4 Mädchen sind und in
Gruppe B 40 Mädchen, dann ist noch nichts darüber ausgesagt, ob mehr
Mädchen oder Jungen in den Gruppen sind.
Besteht zum Beispiel die Gruppe A aus 5 Personen und die Gruppe B aus 80
Personen, dann sind in Gruppe A mehr Mädchen als Jungen und in Gruppe B
gleich viel Mädchen wie Jungen.
- Um den Mädchenanteil in den Gruppen zu ermitteln, benutzt man die "relative Häufigkeit". Dazu dividiert
man die Anzahl der Mädchen durch die Gruppengröße:
Gruppe A: 4/5 = 0,8
Gruppe B: 40/80 = 0,5
In der Gruppe A ist also der Mädchenanteil größer als in Gruppe B, wenn
auch in Gruppe A weniger Mädchen als in Gruppe B sind.
Die Summe aller relativen Häufigkeiten gibt übrigens immer 1, weil im
Zähler die Anzahl der einzelnen Teile der Gruppen auftauchen, die
zusammen die Gesamtzahl der Gruppenmitglieder angibt.
Im Nenner des Bruchs steht dann die Anzahl der Gruppenmitglieder und die
Division des Zählers durch den Nenner gibt dann 1.
Beispiel für die Mädchen-Jungen-Gruppen. Der erste Summand ist die
relative Häufigkeit der Mädchen und der zweite Summan die relative
Häufigkeit der Jungen:
- Vorgriff auf die nächste Stunde:
- absolute Häufigkeiten lassen sich gut mit Säulen-Diagrammen oder
Balken-Diagrammen darstellen.
- relative Häufigkeiten lassen sich gut mit Kreis-Diagrammen oder
Streifen-Diagrammen darstellen.
2016-04-14
- Im Winter 2014/2015 wurden doppelt so viel Vögel im Garten beobachtet
wie im Winter 2015/2016.
Warum ist folgende Abbildung nicht geeignet, diese Beobachtung zu
verdeutlichen?
Die Hälfte des Vogelbestandes soll durch ein halb so breites Vogelhaus
verdeutlicht werden.
Beim Betrachten der Bilder vergleicht man aber eher die Rauminhalte der
beiden Vogelhäuser.
Da das linke Vogelhaus eine doppelt so lange Seitenkante wie das rechte
Vogelhaus besitzt, ist das Volumen des linken Vogelhauses 8-mal so groß
wie das Volumen des rechten Vogelhauses.
Besser wäre hier z. B., links 2 Vogelhäusere der Größe des rechten
Vogelhauses zu setzen oder rechts nur ein halbes Vogelhaus zu zeichen:
oder
- Im Kreis ist die Größe einer Teilfläche gegeben. Wie groß ist die
Fläche des mit ? bezeichneten Teils?
1/4 des Kreis hat den Flächeninhalt 12. Der Rest des Kreises besteht aus
3 Viertelkreisen, also ist dessen Fläche 3 mal so groß wie der
Viertelkreis, also 3 mal 12 gleich 36.
Hier ist schon eine Hilfslinie eingezeichnet. Zum Bereich mit der 12
gehört 3-mal der Winkel 45° (weil 90°=45°+45°). Zu einem 45°-Bereich
gehört also der Wert 4 (weil 12/3=4).
Den Bereich mit dem ? kann man sich in 2 90°-Bereiche und einen
45°-Bereich zerlegt denken. Das sind dann 5 Bereiche zu je 45°. Der
Flächeninhalt ist dann also 5∙4=20.
- Aufgabe zur Wiederholung der Begriffe Modalwert und Mittelwert.
5 Klassenarbeiten wurden geschrieben. Welche Ergebnisse sind möglich,
wenn der Modalwert exakt 2 beträgt und der Mittelwert exakt 3 beträgt?
Auf die Reihenfolge der Noten soll es nicht ankommen.
Lösungsstrategie: Da 2 der Modalwert ist, muss die 2 genau 2-mal
vorkommen und die anderen Wert nur 1-mal oder die 2 genau 3-mal und die
anderen Werte höchstens 2-mal.
1. Fall: Die 2 kommt genau 2-mal vor. Damit ist die Summe dieser Werte
4. Wenn der Mittelwert 3 sein soll, müssen alle 5
Klassenarbeitsergebnisse addiert 15 ergeben (weil 15/5=3).
Zu der 4 (von den 2 Zweien) muss man also noch 11 aus den 3 anderen
Arbeiten sammeln, also z. B. 1, 4 und 6.
2. Fall: die 2 kommt genau 3-mal vor. Damit ist die Summe dieser Werte
6. Wenn der Mittelwert 3 sein soll, müssen alle 5
Klassenarbeitsergebnisse addiert 15 ergeben (weil 15/5=3).
Zu der 6 (von den 3 Zweien) muss man also noch 9 aus den 2 anderen
Arbeiten sammeln, also z. B. 4 und 5.
Hier alle Lösungen: 2 2 1 4 6 ; 2 2 2 3 6 ; 2 2 2 4 5
- Noch einmal die Themen für die Klassenarbeit am nächsten Dienstag:
- Mittelwert
- Modalwert
- Spannweite
- absolute Häufigkeit
- relative Häufigkeit
- geeignete und weniger geeignete Diagramme
2016-04-19
2016-04-21
weiter mit Teilbarkeit