Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2015/2016 - Mathematik 6d
Teilbarkeit
2016-04-26
- In unserer Klasse sind 29 Schüler(innen).
Es sollen Gruppen gebildet werden, in denen jeweils gleich viel Schüler
sind.
Welche Gruppengrößen sind möglich?
Lösung: Ihr seid schnell darauf gekommen, dass es außer den nicht
"vernünftigen" Gruppen (29 Gruppen mit jeweils nur 1 Schüler oder 1
Gruppe mit 29 Schülern) keine weiteren Möglichkeiten gibt, die
geforderten Gruppen zusammenzustellen.
- Da aber heute ein Schüler nicht da war, ließ sich die Aufgabe lösen:
Man kann z. B. 2 Gruppen mit 14 Schülern oder 4 Gruppen mit 7 Schülern
oder 7 Gruppen mit 4 Schülern oder 14 Gruppen mit 2 Schülern einrichten.
- Man kann 29 nicht (außer durch 1 und 29) durch eine ganze Zahl
dividieren, sodass wieder eine ganze Zahl herauskommt, da 29 eine
Primzahl ist.
- 28 lässt sich durch 4 teilen (es ergibt sich 7). Man sagt auch
- 28 ist teilbar durch 4
- 4 ist ein Teiler von 28
- 4 teilt 28
- 28 ist ein Vielfaches von 4
- Die Teiler einer Zahl kann man zu einer Menge zusammenfassen: T28
= { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }
Rechts unten am T steht die Zahl, zu der man die Teiler sucht.
In der Menge werden die Zahlen oft der Größe nach geordnet. Das muss
aber nicht sein. Es gilt { 1, 2, 4, 7, 14, 28 } = { 28, 2, 1, 14, 7, 4 }
Anmerkung: Sind in einer Menge keine Elemente, so schreibt man { } für
diese Menge.
7 ∈ { 1, 2, 4, 7, 14, 28 } bedeutet: 7 ist ein Element der Menge { 1, 2,
4, 7, 14, 28 }
Es gilt 3 ∉ { 1, 2, 4, 7, 14, 28 }, d. h. 3 ist kein Element der Menge {
1, 2, 4, 7, 14, 28 }
- Für "4 teilt 28" schreibt man auch kurz 4 | 28.
Da 5 die Zahl 28 nicht teilt, schreibt man kurz 5 ∤ 28
(durchgestrichener senkrechter Strich).
- Hausaufgabe: Seite 9 Aufgaben 7 und 8.
2016-05-03
- Wie kann man erkennen, ob eine Zahl durch eine andee Zahl ohne Rest zu
teilen ist?
Wir haben 2 neue Methoden kennen gelernt, hier am Beispiel der Zahlen
912 und 8 gezeigt:
- Summe bilden
Man zerlegt die Zahl 912 in eine Summe, bei der jeder der Summanden
durch 8 zu teilen ist.
Gelingt das, so gilt 8 | 912.
Beispiel: 912 = 800 + 80 + 32
Bei allen Summanden erkennt man leicht, dass sie durch 8 zu teilen
sind. Also ist auch 912 durch 8 zu teilen.
- Differenz bilden
Man subtrahiert von einer Zahl, die größer als 912 ist und leicht
sichtbar durch 8 zu teilen ist so oft eine Zahl, bis 912 erreicht ist.
Sind alle Zahlenwerte durch 8 zu teilen, so ist auch 912 durch 8 zu
teilen.
Beispiel: 1000 - 80 - 8 = 912
Bei allen Zahlen erkennt man leicht (z. B. 1000 : 8 = 125), dass sie
durch 8 zu teilen sind. Also ist auch 912 durch 8 zu teilen.
- Wir haben das Begründen (oder Beweisen) geübt an Aufgaben wie der
folgenden Aufgabe:
- Aussage 1: "Von 6 aufeinander folgenden Zahlen sind mindestens 2
durch 3 ohne Rest zu teilen"
Begründung: Die Vielfachen von 3 haben alle einen Abstand von 3. Drei
aufeinander folgende Zahlen enthalten also auf alle Fälle eine durch 3
teilbare Zahl. Bei 6 aufeinander folgenden Zahlen sind es also 2 durch
3 teilbare Zahlen.
- Aussage 2: "Von 5 aufeinander folgenden Zahlen sind mindestens 2
durch 3 ohne Rest zu teilen"
Ihr habt mehrere Beispiele gefunden, für die das zutrifft: "2, 3, 4,
5, 6" oder "8, 9, 10, 11, 12"
Um solche Aussagen darauf zu untersuchen, ob sie wahr sind, hilft es
oft nicht (wie in diesem Fall), nach Fällen zu suchen, bei denen die
Aussage zutrifft, sondern man sollte versuchen, ein Gegenbeispiel zu
finden, also 5 aufeinander folgende Zahlen, von denen nicht 2 durch 3
teilbar sind.
Ein solches Gegenbeispiel ist z. B. "4, 5, 6, 7, 8" Hier ist nur die 6
durch 3 zu teilen. Die 2. Aussage ist also falsch.
2016-05-10
- Wiederholung:
Man kürzt einen Bruch, indem man den ganzen Zähler und den ganzen Nenner
durch dieselbe Zahl dividiert.
Beim Dividieren muss man aber aufpassen:
- Werden Zahlen multipliziert, so muss man nur eine
der Zahlen dividieren.
- Werden Zahlen addiert oder subtrahiert, so muss man alle
Zahlen dividieren.
- Beispiel für Multiplikation:
- Beispiel für Addition:
- Beispiel für gemischte Rechnung (Multiplikation und Addition):
- Teilbarkeitsregeln
- Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine gerade
Zahl ist (0, 2, 4, 6, 8)
Begründung: 0 ist durch 2 teilbar. Wenn man 2 dazu zählt, ergibt sich
2 und natürlich ist auch 2 durch 2 teilbar. Wenn man nun laufend immer
wieder 2 addiert, so müssen die Zahlen, die sich dann ergeben (4, 6,
8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ....) auch alle durch 2 teilbar
sein. Als Einer-Ziffer tauchen immer die genannten Zahlen auf.
- Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer eine 0 oder 5
ist.
Begründung: Addiert man zu einer Zahl, die als letzte Ziffer eine 0
hat, so ergibt sich eine Zahl, die als letzte Ziffer eine 5 hat.
Addiert man zu einer Zahl, die als letzte Ziffer eine 5 hat, so ergibt
sich eine Zahl, die als letzte Ziffer eine 0 hat.
Andere Endziffern tauchen nicht auf, alle Zahlen haben den Abstand 5
und sind deshalb auch durch 5 zu teilen.
- Eine Zahl ist durch 10 zu teilen, wenn die letzte Ziffer eine 0 ist.
- Eine Zahl ist durch 9 zu teilen, wenn die Quersumme (=die Summe aus
den Ziffern, aus denen die Zahl besteht) durch 9 zu teilen ist.
Warum das so ist, sieht man am besten an einem Beispiel: Ist 18423
durch 9 zu teilen?
Quersumme: 1+8+4+2+3=18. Da 18 durch 9 teilbar ist, ist also auch
18423 durch 9 zu teilen.
Warum ist das so?
Die Zerlegung der Zahl 18423 erfolgt so, dass wir Summanden haben, die
bestimmt durch 9 zu teilen sind (in rot) und in grüne Summanden, deren
Ziffern mit den Ziffern von 18423 übereinstimmen. Wenn die Summe der
grünen Ziffern durch 9 zu teilen ist, dann ist auch die gesamte Zahl
durch 9 zu teilen.
- Eine Zahl ist durch 3 zu teilen, wenn die Quersumme (=die Summe aus
den Ziffern, aus denen die Zahl besteht) durch 3 zu teilen ist.
Die Begründung geht wie bei der Teilbarkeit durch 9: Da die roten
Produkte durch 9 und damit natürlich auch duch 3 zu teilen sind, ist
die gesamte Zahl durch 3 zu teilen, wenn die Summe der grünen Ziffern
durch 3 zu teilen ist.
- Multiplikation mit 9
Chantal hat uns eine tolle Methode gezeigt, wie man mit beiden Händen
leicht mit 9 multiplizieren kann:
Man legt die Hönde auf den Tisch und nummeriert die Finger von links
nach rechts durch. Dann knickt man den Finger mit der Zahl um, mit der
man mit 9 multiplizieren will.
Links vom Finger sind dann die Zehner und rechts vom Finger die Einer
des Ergebnisses.
2 Beispiele:
- Aufgabe: 9 mal 3
Links vom 3. Finger sind 2 Finger (bedeutet 20) und rechts sind 7
Finger (bedeutet 7), zusammen also 9∙3=27.
- Aufgabe: 9 mal 7
Links vom 7. Finger sind 6 Finger (bedeutet 60) und rechts sind 3
Finger (bedeutet 3), zusammen also 9∙7=63.
- Klappt der Fingertrick immer?
2016-05-12
- Wir haben weitere Teilbarkeitsregeln kennengelernt:
- Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 zu teilen ist.
Begründung: Da 2∙3=6 ist, kann ich eine Zahl, die durch 6 zu teilen
ist, auch erst durch 2 und dann durch 3 teilen. Wenn die Zahl durch 2
und durch 3 zu teilen ist, ist sie auch durch 2∙3 zu teilen, also
durch 6.
- Eine Zahl ist durch 4 zu teilen, wenn die letzten beiden Ziffern
durch 4 zu teilen sind.
Begründung: Wenn die letzten beiden Ziffern einer Zahl Nullen sind, so
ist diese Zahl bestimmt durch 4 zu teilen, weil 100 durch 4 zu teilen
ist (Ergebnis 25) und die Zahl mit den beiden Schluss-Nullen ein
Vielfaches von 100 ist. Sind dann die beiden
letzten Ziffern auch noch für sich durch 4 zu teilen, ist die ganze
Zahl durch 4 zu teilen.
Beispiel: 4257616 ist durch 4 zu teilen, weil 4257616 = 4257600 + 16.
Beide Summanden sind durch 4 teilbar.
- Eine Zahl ist durch 8 zu teilen, wenn die letzten drei
Ziffern durch 8 zu teilen sind.
Begründung: Wenn die letzten drei Ziffern einer Zahl Nullen sind, so
ist diese Zahl bestimmt durch 8 zu teilen, weil 1000 durch 8 zu teilen
ist (Ergebnis 125) und die Zahl mit den drei Schluss-Nullen ein
Vielfaches von 1000 ist. Sind dann die drei letzten Ziffern auch noch
für sich durch 8 zu teilen, ist die ganze Zahl durch 8 zu teilen.
Beispiel: 4257616 ist durch 8 zu teilen, weil 4257616 = 4257000 + 616.
Beide Summanden sind durch 8 teilbar.
- Manchmal ist es einfacher, eine Zahl auf Teilbarkeit zu untersuchen,
wenn man sie in Primfaktoren zerlegt. Man sucht Primzahlen ( = Zahlen,
die man nur durch sich selbst und durch 1 ohne Rest teilen kann), die
miteinander multipliziert die zu untersuchende Zahl ergeben.
Beispiel: 10500 = 2∙2∙3∙5∙5∙5∙7 = 22∙3∙53∙7
Anmerkung: Die Potenzschreibweise (Beispiel 53 = 5∙5∙5) ist
eine Abkürzungsschreibweise für viele Multiplikationen mit derselben
Zahl.
Die Hochzahl (der Exponent) gibt an, wie oft man die untere Zahl (die
Basis) mit sich selbst multiplizieren muss.
Die zu untersuchende Zahl ist durch alle gefundenen Primzahlen und auch
durch deren Kombination (z.B. 2∙2∙3∙7 = 84) zu teilen.
Wenn ihr kontrollieren wollt, ob eure Primfaktorzerlegung richtig ist,
könnt ihr das
folgende Programm benutzen:
Wenn ihr das Programm heruntergeladen habt, könnt ihr es mit Doppelklick
laufen lassen, wenn ihr auf eurem Rechner Java habt.
- Hausaufgabe: Seite 15, Aufgaben 3 und 6
2016-05-19
- Besprechung der Hausaufgaben und Übungen zur Primfaktorzerlegung.
- Hausaufgabe: Seite 19, Aufgaben 17, 18 und 20
2016-05-24
- Das kleinste gemeiname Vielfache zweier Zahlen ist die Zahl, die durch
beide Zahlen zu teilen ist und die möglichst klein ist.
Man findet diese Zahl, indem man die größere der beiden Zahlen der Reihe
nach mit 1, 2, 3 usw. multipliziert und dann schaut, ob das Ergebnis
durch die kleinere Zahl ohne Rest zu teilen ist.
- Beispiel: Ermittlung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von
12 und 16.
1∙16=16, ist nicht teilbar durch 12
2∙16=32, ist nicht teilbar durch 12
3∙16=48, ist teilbar durch 12, das 48:12=4
Also ist 48 das kgV von 12 und 16.
Kurzschreibweise: kgV(12;16)=48
- Anwendungsbeispiel: 2 Fahrradfahrer starten zur gleichen Zeit um ein
Waldgebiet und fahren jeweils mit konstanter Geschwindigkeit.
Der erste Fahrer kommt jeweils nach 12 Minuten wieder am Ausgangsort
an, der andere Fahrer erst nach jeweils 16 Minuten.
Wie lange dauert es, bis beide Fahrer zum ersten Mal wieder
gleichzeitig am Abfahrtsort ankommen?
- Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen ist die größte Zahl, durch
die man beide Zahlen ohne Rest teilen kann.
Man findet diese Zahl, indem man zunächst jede Zahl in Primfaktoren
zerlegt.
Dann nimmt man die Primfaktoren, die bei beiden Zahlen vorkommen und
multipliziert sie miteinander.
Kommt ein Primfaktor mehrfach vor, so darf man nur so viele davon
nehmen, wie in jeder Zahl vorkommen.
- Beispiel: Kommt in einer Zahl der Faktor 2 genau 5-mal vor und in
der anderen Zahl 3-mal, dann nimmt man 3-mal die Zahl 2.
Das Ergebnis ist dann der größte gemeinsame Teiler (ggT) der beiden
Zahlen.
Beispiel: Ermittlung des größten gemeinsamen Teilers (ggT) von 3960
und 2100.
3960=2∙2∙2∙3∙3∙5 ∙11
2100=2∙2 ∙3 ∙5∙5∙7
Gemeinsam kommen 2-mal die 2 und 1-mal die 3 und 1-mal die 5 vor.
Damit ergibt sich: ggT(3960;2100)=2∙2∙3∙5= 60
- Anwendungsbeispiel: Kürze folgenden Bruch:
Der Bruch im Ergebnis ist nicht mehr zu kürzen.
- Zum Überprüfen der Hausaufgaben hier ein kleines Java-Programm
zur Berechnung des ggT und des kgV:
2016-05-26
- Übungen zum ggT und zum kgV.
- Zwei Zahlen heißen "teilerfremd", wenn sie keinen gemeinsamen Teiler
haben.
Beispiele:
- 10 und 12 sind nicht teilerfremd, weil sie den gemeinsamen Teiler 2
besitzen.
- 24 und 30 sind auch nicht teilerfremd. Sie haben sogar mehrere
gemeinsame Teiler: 2, 3 und 6
- 21 und 55 sind teilerfremd, weil sie keinen gemeinsamen Teiler
haben: 21 = 3∙7 ; 55 = 5∙11
- Man kann nur zwei Brüche addieren oder
subtrahieren, wenn diese den gleichen Nenner haben.
Um den Hauptnenner der beiden Brüche zu finden, sucht man eine möglichst
kleine Zahl, die die Nenner der Brüche als Teiler haben.
Diese Zahl ist das kgV der Nenner.
Beispiel: Es gilt: kgV(30;18)=90
Anwendung bei der Addition zweier Brüche:
- Hausaufgabe: Seite 23, Aufgaben 16 und 19
2016-05-31
- Wiederholung zur Klassenarbeit 4
- Hausaufgabe: Den Aufgabenzettel mit den Wiederholungsaufgaben bis zum
Ende durcharbeiten.
2016-06-02
2016-06-07
- Rückgabe der Klassenarbeit 4 [ Aufgaben
| Lösungen
] und Besprechung der Zeugnisnoten.
2016-07-09
- Wie versprochen nach der Arbeit noch die Rechenregel für die
Teilbarkeit durch 7:
Eine Zahl ist durch 7 teilbar, wenn auch die Zahl, die sich
folgendermaßen ergibt, durch 7 teilbar ist:
Von der Zahl wird die letzte Ziffer weggestrichen. Von der verbliebenen
Zahl wird dann das Doppelte der gestrichenen Ziffer subtrahiert.
Beispiel:
Ist 665 durch 7 zu teilen?
Erstellen der anderen Zahl: Letzte Ziffer (5) streichen: Es bleibt 66
übrig. Davon das Doppelte der letzten Ziffer (5∙2=10) abziehen:
66-10=56. 56 ist durch 7 zu teilen, also auch 665.
- Gilt diese Rechenregel immer? Dazu nehmen wir kein Zahlenbeispiel,
sondern rechnen mit Buchstaben:
Wenn statt 66 der Buchstane a geschrieben wird und statt 5 der Buchstabe
b, dann gilt: 665 = 10∙a+b.
Die andere Zahl ergibt sich aus a-2∙b.
a-2∙b soll durch 7 zu teilen sein, also muss man schreiben können a-2∙b
= 7∙n, wobei n eine natürliche Zahl (1, 2, 3, ...) ist.
Daraus folgt, das a = 7∙n+2∙b.
Dieser Wert für a wird in die Gleichung 665 = 10∙a+b eingesetzt: 665 =
10∙(7∙n+2∙b)+b = 70∙n+20∙b+b = 70∙n+21∙b.
Die rechte Seite der Gleichung ist durch 7 teilbar, weil 70 und auch 21
durch 7 zu teilen sind. Also ist auch die linke Seite der Gleichung
durch 7 zu teilen.
2016-06-14