Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2010/2011 - Mathematik 9c

Potenzen und Exponentialfunktionen

• Ein See hat eine Fläche von 22,5km².
  Eine Pflanze, die sich stark vermehrt, bevölkert den See.
  An einem verdoppelt sich die Fläche, die von der Pflanze bedeckt wird.
  Angenommen, die Pflanze habe zu Beginn nur eine Fläche von 1mm².
  Wie lange dauert es, bis der See gefüllt ist?
• Lösung: Zunächst muss man sich überlegen, wieviel mm² in einen km² passen:
  1km²=1km·1km=1000m·1000m=1000000mm·1000000mm=1000000000000mm².
• Bei solch großen Zahlen kann man beim Schreiben oder Lesen schnell einen Fehler machen, indem man z:b: eine 0 zu viel oder zu wenig berücksichtigt.
  Deshalb schreibt man diese Zahlen häufig in der Potenzschreibweise: 1000000000000=10¹², wobei die "hoch 12" bedeutet, dass an eine 1 12 Nullen gehängt werden müssen.
• Bei jeder Verdoppelung wird die von der Pflanze bedeckte Fläche mit 2 multipliziert.
  Nach 5 Tagen ist z.B. die Fläche 1mm²·2·2·2·2·2= 32mm² bedeckt.
  Auch hier schreibt man oft zur Vereinfachung in der Potenzschreibweise  1mm²·2⁵=32mm².
  Da die Anzahl der Tage unbekannt ist, setzt man für die Fläche den Term 1mm²·2^x.
• Da der See 22,5km² groß ist, muss folgende Gleichung gelöst werden: 22,5·10¹²=2^x.
  Da wir diese Gleichung (noch) nicht nach x auflösen können, haben wir das Ergebnis mit der Solverfunktion des Taschenrechners gefunden:
       
  Damit wird der See nach 45 Tagen gefüllt sein.
• In diesem Unterrichtsabschnitt werden wir die Potenzschreibweise näher kennen lernen.

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 3 [ Aufgaben | Lösungen ]
• Potenzen mit negativen Hochzahlen und der Hochzahl 0:
  
  In der linken Spalte kommt man von einer Potenz zur nächsten, indem man den Exponenten um 1 verkleinert.
  In der echten Spalte kommt man von einem Wert zum nächsten, indem man die Zahl durch 4 dividiert.
  Durch Vergleich und Fortführung zu den Exponenten 1 und 0 und zu negativen Exponenten sieht man ein, dass folgende Definitionen sinnvoll sind:
  

• Eine Bank wirbt damit, man möge 1000 € fest anlegen und würde nach 5 Jahren 1150 € ausbezahlt bekommen, also 15% dazu bekommen. Pro Jahr seien das etwa 3%.
  Ihr habt sogort gesehen, dass das nicht stimmen kann, denn wenn man nach dem ersten Jahr 3% Zinsen bekommt, werden diese Zinsen mitverzinst und man müsste zum Schluss mehr als 1150 € erhalten.
  Die Frage war nun, wie hoch der jährliche Zinssatz in Wirklichkeit ist.
  Wir haben dazu die Formel K(n)=K(0)·(1+p/100)ⁿ hergeleitet, die angibt, wieviel Geld man im Jahr n besitzt (Kapital K(n)), wenn das Geld n Jahre lang mit dem Zinssatz p% verzinst wird.
  Schreiben wir K(0)=1000 €, K(5)=1150 €, n=5 und für den unbekannten Inhalt der Klammer x=1+p/100, so ergibt sich
  
  Eine solche Gleichung konnten wir bislang noch nicht nach x auflösen. In Anlehnung zu quadratischen Gleichungen, bei denen wir die Wurzel eingeführt haben, schreiben wir auch hier eine Wurzel mit dem Zusatz 5, um zu zeigen, dass wir eine Zahl 5-mal mit sich selbst multiplizieren müssen, damit wir die gegebene Zahl 1,15 erhalten:
  
  Der Zinssatz beträgt also in Wirklichkeit nur 2,8%.
• n-te Wurzeln kann man auf dem Taschenrechner unter Math > x√ eingeben und berechnen lassen.
• Unter den Wurzeln sind nur positive Zahlen zugelassen. Auch die Ergebnisse von Wurzeln sind immer positiv.
• Hausaufgabe: Seite 139 Aufgaben 10,11,12,15,16,17 jeweils a, b

• In Beispielen haben wir gesehen, dass man n-te Wurzeln auch als Potenzen schreiben kann:
  Der Nenner im Exponenten gibt den Grad der Wurzel an
  

• Übungen zu n-ten Wurzeln und zu Potenzen mit rationalen Hochzahlen.
• Beginn: Zusammenstellung von Rechengesetzen zur Potenzrechnung.

• Rechenregeln für Potenzen:
  
  Wie sehen die Hierarchie:
• bei Strichrechnungen (+ und -) müssen Basis und Exponent gleich sein
• bei Punktrechnungen (* und /) müssen entweder die Basen oder die Exponenten gleich sein
• bei Potenzen von Potenzen muss kein Element gleich sein

• Übungsstunde zum Rechnen mit den Rechenregeln für Potenzen
• Hausaufgabe: Seite 159 Aufgaben 6 bis 13 jeweils die ganz rechts stehende Aufgabe, Seite 160 Aufgabe 20c

• Übungsstunde zum Dividieren von Potenzen
• Hausaufgabe: Seite 162 Aufgabe 14 bis 19 jeweils die letzten beiden Aufgaben

• Einführung in das Thema Wachstum
  Bei einem der betrachteten Wachstumsprozesse vermehrte sich der Bestand eines Kapitals immer auf das Doppelte des vorhandenen Kapitals.
  Zu Beginn (Schritt 0) besitzt man 3 €. Zu berechnen war, wieviel Geld man nach 15 Zeiteinheiten besitzt.
  Ergebnisse in Tabellenform:
  
  Man sieht, dass die Summe bis zu einer bestimmten Zeiteinheit genau so groß ist, wie das erworbene Kapital der nächsten Zeiteinheit, vermindert um den Anfangsbestand:
  Summe(Zeit)=Kapital(Zeit+1)-Kapital(0) 
• Allgemein gilt:
  
  

• Im einführenden Beispiel der letzten Stunde haben wir 3 Wachstumsprozesse kennengelernt:
• 1. Beispiel:
  Start mit 10, dann immer plus 25
  10; 35; 60; 85; 110; ...
  Gleichung: y=25·(x-1)+10=25·x-25+10=25·x-15
  lineares Wachstum der Form y=m·x+b
• 2. Beispiel:
  Start mit 20, dann immer plus 20
  20; 40; 60; 80; 100; 120; ...
  Gleichung: y=20·x
  proportionales Wachstum
• 3. Beispiel:
  Start mit 0,03, dann immer das Doppelte des Vorgängerwertes
  0,03; 0,03+0,06=0,09; 0,09+0,12=0,21; 0,21+0,24=0,45; 0,45+0,48=0,93; ...
  Gleichung: y=0,03·2^x-0,03
  exponentielles Wachstum
• Hausaufgabe: Seite 167 Aufgabe 5 (mit Taschenrechner)

• Prozentuales Wachstum
  Herleitung des prozentualen Wachstums am Beispiel Sparen:
• Im Jahr 0 besitzt man das Kapital K(0)
• Im Jahr 1 ergibt sich das Kapital K(1) aus dem vorhandenen Kapital K(0) und den Zinsen p/100·K(0) zu
  K(1)=K(0)+p/100·K(0)=K(0)·(1+p/100)
• Im Jahr 2 ergibt sich das Kapital K(2) auf gleiche Weise aus dem Kapital K(1):
  K(2)=K(1)+p/100·K(1)=K(1)·(1+p/100)=K(0)·(1+p/100)·(1+p/100)=K(0)·(1+p/100)²
• Im Jahr 3 folgt auf gleiche Weise
  K(3)=K(0)·(1+p/100)³
• Im Jahr n besitzt man also das Kapital
  K(n)=K(0)·(1+p/100)ⁿ
• Bei Abnahmeprozessen ist der "Wachstums"-Faktor kleiner als 1
  Beispiel: Radioaktives Jod-131 besitzt eine Halbwertzeit von etwa 8 Tagen. Verseuchtes Wasser im Kraftwerk Fukushima soll 100000-mal so stark mit Jod-131 versetzt sein wie "normales" Wasser. Wie lange dauert es, bis das hochradioaktive Wasser so stark strahlt wie "normal"?
  Lösung:
• Ist S die Strahlung nach x Tagen, so gilt S(x)=S(0)·(1/2)^x/8 
• x ist gesucht ; S(0)=100000 ; S(x)=1
• 1=100000·(1/2)^x/8 oder 0=100000·(1/2)^x/8-1
• Lösung mit der SOLVER-Funktion des Taschenrechners:
          
  "Normal" strahlendes Wasser gibt es also nach etwa 3500 Tagen oder 115 Monaten oder 9,5 Jahren.

• Übungsaufgabe zum Zerfallsprozess.
  Ein radioaktives Element zerfällt so, dass die Masse jedes Jahr um 1/12 abnimmt.
  Frage: Wie lange muss man warten, damit nur noch 10% vorhanden sind?
  Formel:
  Lösungen der Gleichung mit verschiedenen Methoden (Taschenrechner):
• TABLE-Funktion: Y1=(11/12)^t zeichnen lassen und mit TABLE suchen, für welches t der Y1-Wert 1/10=0,1 angezeigt wird.
             
  
• INTERSECT-Funktion: Y1=(11/12)^t und Y2=1/10 zeichnen lassen und dann mit INTERSECT den Schnittpunkt zwischen den Kurven berechnen lassen.
             
  
• ZERO-Funktion: Y1=(11/12)^t-1/10 zeichnen lassen und dann mit der ZERO-Funktion die Nullstelle bestimmen lassen.
              

• Mittelwerte
  Bildet man Mittelwerte bei Wachstumsprozessen, muss man gebnau darauf achten, welches Wachstum vorliegt.
• Spart man jeden Monat den gleichen Betrag und hat am Jahresende 120€ angespart, so kann man sagen, dass die mittlere Sparrate pro Monat 120€/12=10€ beträgt.
  Bei diesem linearen Anstieg des Kapitals spricht man vom "arithmetischen Mittelwert":
  
  
• Spart man dagegen im 1. Monat 1€ und dann in jedem Monat das doppelte des Betrages aus dem letzten Monat, so besitzt man nach 12 Monaten (1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048)€=4095€.
  Hier wäre es falsch zu sagen, dass man in jedem Monat durchschnittlich 4095€/12=341,25€ sparen würde. Denn einen höheren Betrag spart man nur in 3 Monaten, in den anderen 9 Monaten dagegen z.T. erheblich weniger.
  Bei einem solchen exponentilellen Wachstum rechnet man so, dass man die 12. Wurzel (wegen der 12 Monate) aus dem Produkt aller Sparbeträge zieht. Das Ergebnis gibt dann einen sinnvolleren Mittelwert an, das sogenannte "geometrische Mittel":
  
  Dieser Betrag 45,25€ liegt zwischen der letzten Sparrate im 1. Halbjahr und der ersten Sparrate im 2. Halbjahr.
• Ein ziemlich verrückter Sparplan sieht so aus:
  Man zahlt in jedem Monat einen Betrag ein, der sich daraus ergibt, dass man 300€ durch die Nummer des Monats dividiert.
  Im 1. Monat zahlt man 300€/1=300€, im 2. Monat zahlt man 300€/2=150€, im 3. Monat zahlt man 300€/3=100€ usw. bis zum 12. Monat: 300€/12=25€.
  Wieviel zahlt man im Mittel? Da der Betrag antiproportional zur Nummer des Monats ist, wählt man hier das "harmonische Mittel".
  Dazu werden die Kehrwerte der 12 Sparbeträge addiert und das Ergebnis dann durch 12 geteilt. Der Kehrwert von diesem Ergebnis gibt dann die mittlere Sparrate an.
  (Übrigens: Dieses Verfahren benutzt man auch, um den Gesamtwiderstand bei einer Parallelschaltung von Widerständen zu berechnen)
  
  An 300€/6=50€ und 300€/7=42,86€ sieht man, dass der "mittlere" Betrag zwischen den Beträgen liegt, die zur Jahresmitte zu zahlen sind.
• Zusammenfassung:
  

• Besprechung der Hausaufgabe
• Üben beim Zuordnen von Graphen zu Funktionsgleichungen im Bereich Exponentialfunktionen
  Vielleicht hilft Euch folgendes GeoGebra-Applet beim Üben:
  Der Graph der Funktion f(x)=a·b^x wird gezeichnet. Mit Schiebereglern kann man die Werte für a und b einstellen.
  

• Wir haben besprochen, wie man mit Hilfe der Koordinaten zweier Punkte die Funktionsgleichung einer Exponentialfunktion bestimmen kann.
  Die folgende Übersicht zeigt, wie ähnlich das Vorgehen bei linearen Funktionen, Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen ist.
  

• Wie bei anderen Funktionsgleichungen kann man den Graphen einer Exponentialfunktion im Koordinatensystem verschieben, indem man die Funktionsgleichung folgendmaßen ändert:
• Verschiebung in y-Richtung: Zum Funktionsterm wird eine Konstante c addiert. Bei Verschiebung in positive y-Richtung ist c positiv und bei Verschiebung in negative y-Richtung ist das c negativ.
  
• Verschiebung in x-Richtung: Das x in dem Funktionsterm wird ersetzt durch (x-b), wobei das b die Größe der Verschiebung angibt. Bei Verschiebung in positive x-Richtung ist das b positiv (d.h. in der Klammer steht ein -) und bei Verschiebung in negative x-Richtung ist das b negativ (d.h. in der Klammer steht ein +). 
• Bei einer Exponentialfunktion kann man die Verschiebung in x-Richtung auch auf andere Weise erreichen:
  Angenommen, die Verschiebung soll 4 Einheiten in positive x-Richtung betragen. Dann wird aus der Funktionsgleichung y₁=a·b^x die Gleichung y₂=a·b^x-4.
  Diese Gleichung kann man umformen:
  Man kann also einfach die Gleichung durch b hoch die Zahl, um die verschoben werden soll, dividieren.

• Wiederholung zum Verschieben von Graphen im Koordinatensystem und allgemein zur Klassenarbeit.

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Zur Wiederholung eine Übersicht zu den Wachstumsprozessen
  
  

  Art des Wachstums	Funktionsgleichung	Graph
  propotionales Wachstum
  lineares Wachstum
  exponentielles Wachstum

  
  m gibt an, um wieviel der y-Wert bei jedem Schritt zunimmt ( +m ).
  b gibt an, um das Wievielfache y bei jedem Schritt zunimmt ( ·b ).
  
  Wenn angegeben wird, dass nach s Schritten der y-Wert um m oder um das b-fache zunimmt, schreibt man die 3 Gleichungen so:
  
  
  Um herauszufinden, welches Wachstum vorliegt, kann man folgendermaßen vorgehen:
  

• Wiederholung zur Klassenarbeit

• Klassenarbeit 4