Unterrichtseinsichten
- Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 8d
Systeme linearer Gleichungen
2009-10-19
- Johannes und Margarethe besuchen einen Bauernhof, auf dem Hühner und Schweine gehalten werden.
Der
Bauer will nicht verraten, wieviel Hühner und Schweine er hat,
sondern gibt nur an, dass die (gesunden) Tiere insgesamt 400 Beine
besitzen.
Wie viel Tiere jeder Art besitzt der Bauer? - 1. Versuch: Jeder versucht, eine Lösung der Frage zu finden.
Nach Überprüfung der Vorschläge ergeben die ersten Meldungen folgende Tabelle (Auszug):
Die
Werte werden in die Listen L1 und L2 des Taschenrechners eingegeben und
man erhält folgendes Diagramm (Hühner waagrecht,
Schweine senkrecht):
- Es ist natürlich einfacher, Beispiele mit sehr wenigen Hühnern oder sehr wenigen Schweinen zu finden.
Nächste
Aufgabe: Fülle die Lücken im Diagramm, damit man besser sehen
kann, wie die Anzahl der Schweine von der der Hühner abhängt:
- Nun zeigt sich, dass alle Punkte im Hühner-Schweine-Diagramm auf einer Geraden liegen.
Welche Gleichung gehört zu dieser Geraden? - Allgemeine Gleichung einer Geraden: y=m·x+b
- b
ist der y-Achsenabschnitt. Da waagrecht die Anzahl der Hühner ist,
gilt auf der senkrechten Achse: Anzahl der Hühner ist 0, also
gehören zu diesem Fall 100 Schweine. (100·4=400)
Also gilt: b=100. - Die Steigung m ergibt sich aus einem Steigungsdreieck durch m=Δy/Δx.
Als
Steigungsdreieck nehmen wir hier das Dreieck, das durch die gedachte
Gerade durch die Punkte und die beiden Koordinatenachsen begrenzt wird.
Daraus folgt: Δx=200 , Δy=100 , 100/200=0,5.
Da die Gerade nach rechts abfällt, ist die Steiguing negativ, also gilt m=-0,5 - Setzen
wir nun noch ein S (Schweine) für y und ein H (Hühner)
für x, so ergibt sich die Geradengleichung S=-0,5·H+100
- Kontrolle mit dem Taschenrechner:
- Da im betrachteten Bereich alle Punkte der Geraden eine Lösung der Frage darstellen, gibt es unendlich viele Lösungen.
In
der nächsten Stunde berücksichtigen wir eine weitere
Information des Bauern und sehen, dass dann die Frage eine einzige
Lösung hat.
2009-10-22
- Neue Begriffe:
- lineare Gleichung: Eine Gleichung, in der die Variablen ohne Hochzahl vorkommen, also nur x, y oder z, aber nicht x2, y6 oder z7.
- geordnetes Wertepaar: Zwei Zahlen in der Anordnung (x/y), also z.B. (3/6) oder (-3,2/9,5)
Ein
solches geordnetes Wertepaar kann man verwenden, um die
Lösungen einer Gleichung mit 2 Variablen anzugeben oder um die
Koordinaten eines Punktes festzulegen.
- In der letzten
Stunde haben wir gesehen, dass eine lineare Gleichung mit 2
verschiedenen Variablen unendlich viele Lösungen hat.
- Die
Aufgabe mit der Frage nach der Anzahl der Hühner und Schweine
lässt sich aber lösen, wenn man noch eine zweite Angabe macht:
- Johannes und Margarethe besuchen einen Bauernhof, auf dem Hühner und Schweine gehalten werden.
Der
Bauer will nicht verraten, wieviel Hühner und Schweine er hat,
sondern gibt nur an, dass die (gesunden) Tiere insgesamt 400 Beine
besitzen und dass er insgesamt 147 Tiere besitzt.
Wie viel Tiere jeder Art besitzt der Bauer? - Aus den Angaben ergeben sich folgende Gleichungen:
- 2x+4y=400 (x=Hühner mit 2 Beinen, y=Schweine mit 4 Beinen)
- x+y=147 (x Hühner und y Schweine geben zusammen 147 Tiere)
- Die Gleichungen werden umgeformt, sodass man die sich ergebenden Funktionsterme in den Taschenrechner eingeben kann:
- y=-0,5·x+100 (siehe oben)
- y= -x+147
- Der Taschenrechner zeigt folgende Graphen:
Jede Gerade enthält Punkte, deren Koordinaten die Lösungen für eine der Bedingungen angeben.
Da
aber beide Bedingungen erfüllt sein müssen, können nur
die Koordinaten des Schnittpunktes der beiden Geraden die Lösung
angeben.
Zählt man die Markierungen an der waagrechten und
senkrechten Achse (Striche jeweils im Abstand 10), so erhält man
etwa x=100 und y=50 als Lösung. Diese Werte sind aber nur
Näherungswerte, wie man beim Einsetzen der Werte in die
Gleichungen sieht. - Für eine genaue Lösung nutzt man
aus, dass die x-Werte und die y-Werte in beiden Gleichungen
übereinstimmen müssen, da sie Koordinaten desselben Punktes
sind.
Man kann also rechnen:
Eingesetzt in die 2. Gleichung ergibt sich für y: y=-x+147=-94+147=53 - Auf dem Bauernhof gibt es also 94 Hühner und 53 Schweine.
- Wir haben gelernt:
- Sind in einer Aufgabe 2 Werte gesucht, so benötigt man 2 Gleichungen, um die unbekannten Werte zu finden.
- Die
Lösung findet man als Schnittpunkt der zu beiden Gleichungen
gehörenden Graphen oder durch Rechnung (Gleichsetzen der
Funktionsterme).
- Hausaufgabe: Seite 51, Aufgabe 4 ganz
2009-10-26
- Wiederholung:
- Bei
eine Funktion wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet. Es darf
also nicht sein, dass zu einem x-Wert mehrere y-Werte gehören.
- DieGleichung y=2·x+5 ist die Gleichung einer Funktion, da zu jedem x-Wert genau ein einziger y-Wert gehört.
Man
schreibt oft auch x→2·x+5 (x wird der Wert 2·x+5
zugeordnet) oder x→y (x wird der Wert y mit y=2·x+5
zugeordnet).
- 3·s-2·t=12 soll einmal als
s→t und einmal als t→s gesehen werden. Die Geradengleichung
ist jeweils gesucht.
- s→t, das bedeutet s ist das x und t das y, man muss also die Gleichung nach t auflösen:
3s-2t=12 → -2t=-3s+12 → t=3/2·t-6 - t→s, das bedeutet t ist das x und s das y, man muss also die Gleichung nach s auflösen:
3s-2t=12 → 3s=2t+12 → s=2/3·t+4 - Zeichnet
man die beiden Graphen, so sieht man, dass die Geraden auseinander
hervor gehen, wenn man sie an der ersten Winkelhalbierenden mit der
Gleichung y=x spiegelt.
Erklärung: Bei den beiden Darstellungen sind die Bedeutungen von x und y jeweils ausgetauscht.
Soll
die y-Achse zur x-Achse und die x-Achse zur y-Achse werden, kann man
das erreichen durch Spiegelung an der 1. Winkelhalbierenden.
- Zum
Punkt (2/-3) soll eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten gefunden
werden, die die Koordinaten des Punktes als Lösungen enthält
(oder auch: der Punkt muss auf dem Graph der Gleichung liegen).
Ihr habt folgende Gleichungen gefunden: - 4x+2y=2
- 2x-5y=19
- 2x+y=1
- 7x-11y=47
- Ihr sollt nun zu Hause eine weitere Gleichung finden und alle Gleichungen zusammen mit dem Taschenrechner zeichnen lassen.
Was ist das Besondere an dem gemeinsamen Graph?
Warum muss diese Besonderheit auftreten? - Weitere Hausaufgabe: Seite 52 Aufgabe 15 und 16
2009-10-29
- Es sollten lineare Gleichungen gefunden werden, deren Graphen (Geraden) alle den Punkt (2/-3) gemeinsam haben.
Die entstehenden Geraden nennt man Geradenbüschel. - Eine Besonderheit bei linearen Gleichungen mit 2 Variablen ist es, wenn eine der Variablen den Wert 0 annimmt.
Beispiel: 2x+3y=6 - Ist
x=0, so gilt 3y=6 oder y=2. Der Graph ist eine Parallele zur x-Achse im
Abstand 2, weil alle Punkte des Graphen den y-Wert 2 haben müssen.
- Ist
y=0, so gilt 2x=6 oder x=3. Der Graph ist eine Parallele zur y-Achse im
Abstand 3, weil alle Punkte des Graphen den x-Wert 3 haben müssen.
- Das Ermitteln von Funktionswerten und Wertetabellen erledigt der Taschenrechner unter dem Befehl TABLE.
Anleitungen dazu in der Datei TI84-SekI. - Hausaufgabe: Seite 55 Aufgaben 6 und 7.
2009-11-02
- Zeichnerische Lösung von linearen Gleichungen unter Verwendung des Taschenrechners
Das Verfahren ist in der Datei TI84-SekI ausführlich dargestellt. - Hausaufgabe: Seiten 59/60, Aufgaben 6, 7, 9 und 10
2009-11-05
- Ihr
habt Euch im Buch über 2 Lösungsverfahren für
Gleichungssysteme (2 Gleichungen mit 2 Unbekannten) informiert und
darüber berichtet:
- Gleichsetzungsverfahren
Die Gleichungen werden so umgeformt, dass bei beiden Gleichungen auf einer Seite derselbe Term steht.
Da
damit auch die anderen Seiten der Gleichungen gleich sein müssen,
setzt man diese als Terme links und rechts in eine Gleichung.
Diese Gleichung hat nun nur noch 1 Unbekannte und kann danach aufgelöst werden.
Danach
setzt man den gefundenen Wert in eine der Gleichungen mit 2 Unbekannten
ein und berechnet den Wert der anderen Unbekannten.
Beispiel:
In eine Gleichung einsetzen und x berechnen:
Das Gleichungssystem hat die Lösung (4/3) - Einsetzungsverfahren
Eine der Gleichungen wird nach einer Unbekannten aufgelöst.
Der Term, den man dabei erhält, wird in der anderen Gleichung anstatt der Variable eingesetzt.
Diese Gleichung hat nun nur noch 1 Unbekannte und kann danach aufgelöst werden.
Danach
setzt man den gefundenen Wert in eine der Gleichungen mit 2 Unbekannten
ein und berechnet den Wert der anderen Unbekannten.
Beispiel:
In eine Gleichung einsetzen und x berechnen:
Das Gleichungssystem hat die Lösung (4/3)
- Hausaufgabe: Seite 60 Aufgabe 14 und Seite 62 Aufgabe 4e (lösen mit Gleichsetzungs- und mit Einsetzungsverfahren)
2009-11-09
- Sind
zwei Gleichungen gegeben, so darf man die linken und die rechten Seiten
der Gleichungen beliebig (aber mit derselben Rechenoperation)
miteinander verknüpfen und es entsteht wieder eine gültige
Gleichung.
Beispiele: 5=5 und 3=3 sind gegeben. Dann gilt - 5+3=5+3 (Addition beider Seiten)
- 5-3=5-3 (Subtraktion beider Seiten)
- 5·3=5·3 (Multiplikation beider Seiten)
- 5/3=5/3 (Division beider Seiten)
- 53=53 (Potenzierung auf beiden Seiten)
- Die Beispiele sehen sehr einfach aus, so dass man sich möglicherweise fragt, wozu diese Beispiele gegeben werden.
Schon ungewohnter ist es, wenn 5=4+1 und 3=9-6 gegeben sind und man schreibt: - 5+3=4+1+9-6
- 5-3=4+1-9+6
- 5·3=(4+1)·(9-6)
- 5/3=(4+1)/(9-6)
- 53=(4+1)(9-6)
- Diese Beispiele beinhalten nichts anderes als die Beispiele oben.
- Angewendet wird dieses Verfahren zum Lösen einen Gleichungssystems
- beim Additionsverfahren und beim Subtraktionsverfahren
Die
beiden Gleichungen werden so umgeformt, dass durch Addition oder
Subtraktion der Gleichungen eine Variable wegfällt.
Es
ergibt sich 1 Gleichung mit 1 Unbekannten. Diese Unbekannte kann
berechnet werden. Mit Hilfe des Ergebnisses kann auch die andere
Unbekannte ermittelt werden.
Beispiele kann man hier (Brunner) oder hier (WikiPedia) gut erläutert finden.
Das
Subtraktionsverfahren unterscheidet sich vom Additionsverfahren
lediglich darin, dass beim Subtraktionsverfahren die Gleichungen
subtarhiert und beim Additionsverfahren addiert werden.
- Hausaufgabe: Seite 66 Aufgaben 2, 3 und 4 jeweils a, b und c
2009-11-12
- Übungen
zum Lösen von Gleichungssystemen (Einsetzungsverfahren,
Gleichsetzungsverfahren, Additions- und Subtraktionsverfahren).
- Bitte beachten:
- Kommen
in den Gleichungen gemischte Zahlen oder Dezimalbrüche vor, sollte man
die Gleichungen so umformen, dass nur echte Brüche auftreten.
- Kommen
in den Gleichungen Brüche vor, sollte man die Gleichungen mit dem
jeweiligen Hauptnenner der Brüche multiplizieren, damit nur ganze
Zahlen auftreten.
- Einen
unechten Bruch wandelt man in einen echten Bruch um, indem man zunächst
den ganzzahligen Anteil als Bruch schreibt und dann diesen Bruch mit
dem Bruchanteil addiert:
Kürzer geht es mit folgendem Rezept: - Dezimalbrüche verschwinden in einer Gleichung, wenn man sie ein- oder mehrere Male mit 10 multipliziert.
- Beispiel für ein Gleichungssystem mit gemischten Zahlen:
- Hausaufgabe: Seite 70, Aufgabe 7a,f
2009-11-16
- Ein geeignetes Vorgehen beim Lösen eines Gleichungssystems ist:
- Vereinfachen der Gleichungen
- Ordnen der Gleichungen in die Form a·x+b·y=c
- Lösen mit dem Einsetzungs-, Gleichsetzungs-, Additions- oder Subtraktionsverfahren
oder mit dem Taschenrechner.
- Beispiel für das Lösen eines Gleichungssystems mit dem Taschenrechner:
- Gegeben ist das Gleichungssystem
- Schreiben in der Form a·x+b·y=c :
- Aus dem Gleichungssystem eine Matrix bilden ("x", "y", "=" weglassen) :
- Matrix in den Taschenrechner eingeben und mit dem rref-Befehl vereinfachen lassen:
- Die Ergebnismatrix wird zurück übersetzt in ein Gleichungssystem:
- So erhält man die Lösungsmenge
- Hausaufgabe: Seite 70, Aufgabe 7 rechte Spalte
2009-11-23
- Besprechung
der Hausaufgabe. Wer Schwierigkeiten hatte, möge bitte noch einmal
oben weiter nachsehen, wie man ein Gleichungssystem löst.
- Sehr schön Eure zwei Lösungsmöglichkeiten für folgende Aufgabe:
"Gibt
es ein Rechteck, bei dem der Umfang um 10 cm länger ist als die
kürzere Seite und um 5 cm länger als die längere Seite?" - Lösung A:
Der Umfang sei x.
Dann ist die Länge der kürzeren Seite x-10 und die Länge der längeren Seite x-5.
Der Umfang berechnet sich aus x = 2 · (x-10) + 2 · (x-5)
Daraus folgt: x = 2x - 20 + 2x - 10 → x = 4x - 30 → 30 = 3x → x = 10
Mit dem Umfang 10 cm hat die kürzere Seite die Länge 0 cm und die längere Seite die Länge 5 cm.
Es liegt also kein Rechteck vor. - Lösung B:
Die kürzere Seite wird mit x und die längere Seite mit y benannt.
Dann gilt für den Umfang: 2x+2y
Daraus folgt: 2x+2y=x+10 und 2x+2y=y+5. Damit ergibt sich durch Subtrahieren der Gleichungen 0=x+10-5-y → y=5+x
Einsetzen
in die erste Gleichung: 2x+2·(5+x)=x+10 →
2x+10+2x=x+10 → 4x=x → 3x=0 →
x=0 → y=5+0=5
Es ergibt sich also die gleiche Lösung wie in Lösung A. - Bei Lösung A wurde mit nur 1 Gleichung mit 1 Variable gerechnet, bei Lösung B mit 2 Gleichungen mit 2 Variablen.
Jeder sollte für sich den geeignetsten Lösungsweg heraussuchen.
- Hausaufgabe: Seite 74, Aufgaben 10, 11 und 13
2009-11-26
- Beispiel
für das Lösen einer eingekleideten Aufgabe durch Aufstellen
eines Gleichungssystem und Lösen dieses Gleichungssystems.
Aufgabe:
Ein Schiff benötigt auf einem Fluss bergwärts 35 Minuten
für 10 km und talwärts 60 Minuten für 10 km.
Welche Geschwindigkeit haben das Schiff und das Wasser des Flusses?
Bergwärts hat das Schiff die Geschwindigkeit vB : Von der Geschwindigkeit vS des Schiffs wird die Geschwindigkeit vF des Flusswassers subtrahiert:
Talwärts hat das Schiff die Geschwindigkeit vT : Zur Geschwindigkeit vS des Schiffs wird die Geschwindigkeit vF des Flusswassers addiert:
In beide Gleichungen werden die bekannten Werte für vT und vB eingesetzt.
Das Gleichungssystem wird dann mit dem Taschenrechner gelöst:
Ergebnis: Das Schiff hat die Geschwindigkeit 13,6 km/h und das Flusswasser 3,6 km/h. - Hausaufgabe: Seite 75, Aufgabe 18 und Seite 76, Aufgabe 25
2009-11-30
- Da Euch die Hausaufgaben sehr schwer fielen (sie waren auch wirklich schwer!), hier die Lösungen:
- Aufgabe 18:
Ein Güterzug fährt mit 60km/h=1km/min aus einem Bahnhof ab.
10 Minuten später folgt ein Personenzug mit Tempo 130km/h=13/6 km/min.
Wann
überholt der Personenzug den Güterzug und wie weit
müssen dann die Züge noch zum Zielort fahren, wenn dieser
130km vom Startbahnhof entfernt ist?
Die zurückgelegte Strecke sei y, die vergangene Zeit x.
In
den ersten 10 Minuten fährt der Güterzug 10km. Danach
fährt er wegen der Formel s=v·t die Strecke
1km/min·x.
Seine zurückgelegte Strecke zur Zeit x ist also y=10+1·x.
Die vom Personenzug in der Zeit x zurückgelegte Strecke ist y=13/6·x.
Wenn
die Züge sich treffen, sind die y- und die x-Werte gleich. Also
gilt dann 10+1·x=13/6·x → 10=7/6·x
→ x=60/7.
Für y folgt daraus y=10+60/7=130/7 bzw. y=13/6·60/7=130/7.
Die Züge treffen sich also 130/7km oder 18 4/7 km vom Startbahnhof entfernt.
Bis zum 130 km entfernten Zielbahnhof sind es dann noch 111 3/7 km. - Aufgabe 25:
Eine Autoschlange der Länge L fährt mit der Geschwindigkeit vA.
Ein
Flugzeug benötigt 2,5 Minuten=150 s, um die Schlange zu
überfliegen, wenn es gegen die Fahrtrichtung der Autoschlange
fliegt und 3,5 Minuten=210 s, wenn es in Fahrtrichtung der Autos
fliegt. Das Flugzeug legt 200km/h=200/3,6 m/s zurück.
Wie lang ist die Autoschlange und mit welcher Geschwindigkeit fahren die Autos?
Fliegt das Flugzeug gegen die Fahrtrichtung der Autos, addieren sich die Geschwindigkeiten zu vF+vA. Die zurückgelegte Strecke in Bezug auf die Autoschlange ist dann s=(vF+vA)·t.
Beim Flug in Fahrtrichtung der Autos subtrahieren sich die Geschwindigkeiten zu vF-vA. Die zurückgelegte Strecke in Bezug auf die Autoschlange ist dann s=(vF-vA)·t.
Ist s=L, also die Länge der gesamten Autoschlange, so gilt L=(vF+vA)·150=(200/3,6+vA)·150 und L=(vF-vA)·210=(200/3,6-vA)·210
oder zusammengefasst 200/3,6·150 + vA·150 = 200/3,6·210 - vA·210 → vA·360 = 200/3,6·60 → vA=(200·60)/(3,6·360)=9,26
Damit gilt L=(200/3,6-9,26)·210=9722,2.
Die Autos fahren also mit knapp 10m/s oder 36km/h und die Autoschlange hat eine Länge von knapp 10000m=10km.
- Hausaufgabe: Seite 81, Aufgabe 12
2009-12-03
- Hausaufgabenbesprechung und Wiederholung zur Arbeit
- Hausaufgabe:
Gesucht ist das Alter eines Vaters, einer Mutter und zweier Kinder. Die
Bedingungen werden als Gleichung aufgeschrieben.
1. Alle zusammen sind 96 Jahre alt.
2. Vater und Jonas sind so alt wie Mutter und Svenja.
3. Vor 3 Jahren waren Vater und Svenja so alt wie Mutter und Jonas heute.
4. Vor 2 Jahren waren Vater und Mutter so alt wie heute das dreifache Alter von Svenja und Jonas.
- Ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten (x und y) und zwei noch nicht bekannten Zahlen (a und b) ist gegeben.
Es soll (2/1) eine Lösung des Gleichungssystems sein. a und b sind gesucht.
Durch Einsetzen von x und y ergeben sich unmittelbar a und b. - Im selben Gleichungssystem sollen a und b solche Werte annehmen, dass das Gleichungssystem keine Lösung besitzt.
Für b=-15 hat das System keine Lösung, weil dann im Wert für y im Nenner eine 0 vorkommen würde.
Allerdings gibt es sogar unendlich viele Lösungen, wenn b=-15 und gleichzeitig a=19.
Dann
nämlich sind die beiden Ausgangsgleichungen identisch und alle x-
und y-Werte, die die Bedingung x-5y=19 erfüllen, sind Lösung
des Systems.
2009-12-07
- Wiederholung zur Klassenarbeit
- Mit dem Befehl TRACE kann man beim Taschenrechner mit den Cursortasten auf einer gezeichneten Kurve "entlanglaufen".
Dabei werden die x- und y-Koordinaten angezeigt.
Mit Cursor-rauf und Cursor-runter wechselt man zwischen den einzelnen Graphen.
2009-12-09
- Wiederholung zur Klassenarbeit
2009-12-10
weiter mit Quadratwurzeln - reelle Zahlen