Unterrichtseinsichten
- Schuljahr 2009/2010 - Mathematik 8d
Quadratwurzeln - reelle Zahlen
2009-12-14
- Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 2 [ Aufgaben | Lösungen ]
- Gruppenarbeit zum Thema periodische und nichtperiodische Dezimalbrüche
Hausaufgabe: Vorstellen der Gruppenergebnisse
2009-12-17
- Ergebnisse aus der Gruppenarbeit der letzten Stunde zum Thema Dezimalbrüche (Links zu Umwandeln von Dezimalzahlen in Brüche und Periodenlänge):
- Alle
Brüche kann man schreiben als abbrechende Dezimalzahl, als
periodische Dezimalzahl und als periodische Dezimalzahl mit Vorperiode.
- Lässt
sich der Nenner eines Bruches ausschließlich mit den Faktoren 2
und 5 darstellen, so ist die zugehörige Dezimalzahl abbrechend.
Die Länge der Periode ist gleich der maximalen Anzahl von 2-en bzw. 5-en (getrennt betrachtet) im Nenner.
Beispiele:
- Ist
die Dezimalzahl periodisch, aber ohne Vorperiode, so schreibt man die
Periodenziffern als Zähler des Bruchs und als Nenner so viele
Neunen, wie der Periodenlänge entspricht.
Die Länge der Periode ist höchsten so groß wie der Nenner-1
Beispiele:
- Ist
eine Zahl periodisch mit Vorperiode, so trennt man erst die
Vorperiode ab, schreibt den Rest als periodische Zahl ohne Vorperiode
und berechnet aus den Teilergebnissen den Bruch.
Beispiele:
- Ein
quadratischer Fisch-Teich soll umgebaut werden, so dass die Bäume
stehen bleiben, der neue Fischteich wieder quadratisch ist und die
doppelte Fläche besitzt.
Die Frage ist, wie lang eine Seite des neuen Fischteichs ist, wenn eine Seite des alten Fischteichs 20 m beträgt.
Auch ohne die Aufgabe zeichnerisch gelöst zu haben, kann man rechnerisch die gesuchte Länge ermitteln:
Bei 20m Seitenlänge hat der alte Teich die Fläche 400m2.
Der neue Teich besitzt also die Fläche 800m2.
Da seine Form ein Quadrat ist, muss seine Seitenlänge a mit sich selbst multipliziert 800m2 ergeben: a2=800m2.
Durch
Zeichnen, Abmessen und Probieren erhält man etwa 28,3m für
die neue Seitenlänge. Exakt ist dieser Wert aber nicht, wie die
Rechnung 28,32=800,89 zeigt.
In den nächsten Stunden werden wir uns damit beschäftigen, auf eine genaues bzw. genaueres Ergebnis zu kommen.
Ach so, hier noch die Lösung der Aufgabe.
2009-12-21
- Aufgabe: An Hand des Graphen der Parabel mit der Gleichung y=x2 sollten mit Hilfe des Taschenrechners die Lösungen von Gleichungen der Art a=x2 gefunden werden.
Im Beispiel sind die Taschenrechner-Bildschirme zu den Aufgaben a=13 und a=9 dargestellt.
Man versucht, z.B. mit TRACE, die Schnittpunkte der Parabel mit den Parallelen zur x-Achse zu bestimmen.
Man sieht, dass sich für a=9 bei y=9 der Näherungswert x=3 ergibt.
Die Genauigkeit kann man erhöhen, indem man mit ZOOM einen Teil des Bildschirms vergrößert. - Sehr
schön sieht man, dass für a>0 immer 2 Lösungen
existieren, weil die Gerade die Parabel dann 2-mal schneidet. Für
a=9 erhält man so die Lösungen x=3 und x=-3.
Für a=0 gibt es nur die eine Lösung x=0, da dann die waagechte Gerade Tangente an der Parabel im Punkt (0/0) ist.
Für
a<0 gibt es keine Lösung, da dann die waagrechte Gerade
unterhalb der Parabel verläuft ohne die Parabel zu schneiden.
2010-01-07
- Definition der (Quadrat-)Wurzel
Eine Wurzel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl b, die mit sich selbst multipliziert die Zahl a unter der Wurzel ergibt.
- Beispiel: . Die Wurzel wie sieht man als Zahl an, eigentlich ist es aber eine Rechenaufgabe.
Man
schreibt Zahlen nur deshalb als Wurzel, weil sich der Wert der Wurzel
oft (meistens) nicht exakt als Dezimalzahl angeben lässt. - Warum muss a>0 gefordert werden?
Wäre a negativ, müsste b·b ein negatives Ergebnis haben.
Es
gelten aber für Vorzeichen die Multiplikationsregeln
(+)·(+)=(+) und (-)·(-)=(+), d.h. eine Zahl mit sich
selbst multipliziert hat immer ein positives Ergebnis.
Grenzfall: Ist a=0, so ist auch b=0 und 0 kann als positive Zahl interpretiert werden.
Beispiel: Die Wurzel aus -49 ist weder +7 noch -7, da (+7)2=+49 und (-7)2=+49. - Warum muss b>0 gefordert werden?
Dürfte b auch negativ sein, so würde die Zahl sowohl mit der Zahl +7 als auch mit der Zahl -7 identisch sein.
Man dürfte also rechnen: 4 +- 8 = 4 + 7 - 8 = 3, aber auch 4 +- 8 = 4 - 7 - 8 = -11. Es gäbe zwei unterschiedliche Ergebnisse, je nachdem, ob man mit +7 oder mit -7 rechnen würde.
So
etwas kann man nicht zulassen. Also definiert man eine Wurzel so, dass
sich ein positiver Wert ergeben muss und damit ist der Wert der Wurzel
eindeutig bestimmt.
- Von der Definition einer Wurzel muss man gut unterscheiden die Lösung einer Gleichung wie z.B. 49 = x2 .
Um x zu ermitteln, zieht man aus 49 die Wurzel und erhält +7. Es gibt aber auch die Lösung -7.
In der nächsten Stunde werden wir sehen, wie man den dazu gehörigen Rechenvorgang schreibt.
- Hausaufgabe: Seite 87, von jeder Aufgabe die beiden letzten Teilaufgaben
2010-01-12
- Besondere Eigenschaften von Wurzeln
- Steht unter einer Wurzel ein Bruch, so kann man einzeln aus dem Zähler und dem Nenner die Wurzel ziehen.
Beispiel: - Wird
unter einer Wurzel die Stelle des Kommas um jeweils 2 Stellen
geändert, so ändert sich die Stelle des Kommas im Ergebnis um
jeweils 1 Stelle.
Begründung: Werden zwei Dezimalzahlen
miteinander multipliziert, so ergibt sich die Zahl der Nachkommastellen
im Ergebnis aus der Summe der Nachkommastellen der Faktoren.
Beispiel: - Wird die Wurzel aus einer Potenz gebildet, so ist der Exponent im Ergebnis halb so groß.
Beispiel: - Bei Doppel-, Dreifach- oder Mehrfach-Wurzeln wird die Wurzel aus einer Zahl 2-mal, 3-mal oder mehrfach gezogen.
Beispiel:
- Hausaufgabe:
Aufgaben Seite 88 und im Buch lesen über "Dezimalbruch-Darstellung
von Wurzeln" und "Intervallschachtelung für Wurzeln"
2010-01-18
- Kann man eine Wurzel (nicht die Wurzel aus einer Quadratzahl) durch einen Bruch oder ein abbrechende Dezimalzahl darstellen?
- Der Taschenrechner liefert für den Wert
Das
kann nicht der exakte Wert sein, denn wenn man diese Zahl mit sich
selbst multipliziert, kommt im Ergebnis ganz weit rechts hinter dem
Komma das Quadrat der letzten Nachkommaziffer 2 (also 4) vor. Wenn
sich genau 2 ergeben würde, müsste ganz rechts aber 0 stehen.
Es gibt keine Ziffer außer 0, die quadriert 0 ergeben würde: , also kann eine solche abbrechende Dezimalzahl nicht exakt gleich der Wurzel aus 2 sein. - Heron-Verfahren zum Wurzelberechnen
Will man den Wert der Wurzel bestimmen, so ist das gleichbedeutend mit der Suche nach der positiven Lösung der Gleichung a =x2.
Formt man diese Gleichung um zu , so ist die Gleichung richtig, wenn man die richtige Lösung für x eingesetzt hat.
Ist
dagegen x zu groß gewählt, so ist a/x kleiner als der
gesuchte Wert und ist x zu klein gewählt, so ist a/x zu groß.
Man
kommt damit zu einem besseren Näherungswert, wenn man ein anderes
x wählt, das zwischen diesen beiden Werten (links und rechts des
Gleichheitszeichens) liegt.
Dazu nimmt man das arithmetische Mittel (für uns kurz: Mittelwert) von beiden Seiten der Gleichung:
Hat man einen Wert x0 als Näherungswert für die Wurzel gewählt, so ist damit 1/2·(x0+a/x0)=x1 ein besserer Näherungswert für die Wurzel.
x2=1/2·(x1+a/x1) ist noch besser und x3=1/2·(x2+a/x2) ist noch besser usw. - Beispiel mit der Wurzel aus 2 (also a=2):
Es wird frei gewählt x0=1. Test: 1·1=1, also vom Wert 2 noch sehr weit entfernt.
- Der Bruch 577/408 hat den Wert 1,414215686..., liegt also schon sehr nahe an dem Taschenrechnerwert von 1,414213562.
2010-01-21
- Bisher haben wir im Zahlbereich der rationalen Zahlen gerechnet.
Darunter versteht man alle Brüche, eingeschlossen alle positiven und negativen ganzen Zahlen. - Die Aufgabe "Welcher Bruch ergibt mit sich selbst multipliziert die Zahl 2?" hat im Bereich der Brüche keine Lösung.
Es wird deshalb eine weitere Zahlenart definiert, die Wurzeln, die zusammen mit den Brüchen Bestandteil der reellen Zahlen sind. - Man
könnte meinen, die Brüche würden den Zahlenstrahl schon
vollständig füllen, weil man zwischen jeweils 2 Brüche
immer noch einen weiteren Bruch einfügen kann (dazu nimmt man den
Mittelwert der 2 Brüche)
In Wirklichkeit passen noch viel mehr
Zahlen auf den Zahlenstrahl, nämlich die Wurzeln, die zusammen mit
den anderen bekannten Zahlen zu den irrationalen Zahlen gehören. - Es passen sogar noch weitere Zahlen auf den Zahlenstrahl, die man transzendente Zahlen nennt.
- Dass es neben den Brüchen noch weitere Zahlen auf dem Zahlenstrahl geben muss, kann man so einsehen:
Ein
Bruch ist entweder eine ganze Zahl, eine abbrechende Dezimalzahl oder
eine periodische Dezimalzahl (mit oder ohne Vorperiode).
Es gibt
aber Zahlen, die nicht abbrechend sind und kein periodisches
Verhalten zeigen. Diese Zahlen gehören nicht zu den Brüchen
und bilden eine neue Gruppe von Zahlen, die Wurzeln oder die
transzendenten Zahlen.
- Strecken, die eine Länge haben, die nur durch eine Wurzel angegeben werden kann, kann man leicht konstruieren:
Wie
wir schon am 2009-12-17 gesehen haben, kann man die Fläche eines
Quadrates verdoppeln, indem man um das Quadrat herum ein weiteres
Quadrat legt, bei dem die Ecken des ursprünglichen Quadrates in
der Mitte der Quadratseiten liegen.
Hat das ursprüngliche
Quadrat die Seitenlänge a, so hat das doppelt so große
Quadrat die Seitenlänge √2 ·a :
-
gibt es nicht (negative Zahl unter der Wurzel). Bei gegebenen Zahlen
sieht man sofort am Vorzeichen, ob die Wurzel zu ziehen ist oder nicht.
Wie ist es aber bei √a2 , wobei a irgendeine Zahl sein kann (positiv oder negativ oder 0)?
Damit das Ergebnis positiv ist schreibt man . Damit gewährleistet man, dass das Ergebnis immer positiv ist, ganz gleich, ob a positiv oder negativ ist.
Beispiel: Ist a=3, so gilt . - Welche Zahlen kann man bei für x einsetzen, so dass man die Wurzel berechnen kann?
Ihr
habt die Aufgabe mit dem Taschenrechner experimentell gelöst und
herausgefunden, dass alle Werte kleiner als 1,5 nicht erlaubt sind.
Die graphische Darstellung von y= ergibt:
Es scheint ein Widerspruch zur Rechnung zu bestehen, denn Ihr hattet für den x-Wert 1,5 den y-Wert 0 ausgerechnet.
Die Kurve hat aber als kleinsten y-Wert etwa 0,5.
Lösung
des Problems: Die Kurve verläuft bei 1,5 fast senkrecht. Durch
Rundungsfehler "trifft" der Taschenrechner nicht genau den Wert 1,5,
sondern kommt erst ungefähr mit dem Wert 1,54 in den für x
erlaubten Bereich.
Lässt man den Bereich von x=1 bis x=2 zeichnen, fängt die Kurve auch richtig an der x-Achse an:
- Will
man wissen, in welchem x-Bereich Wurzeln berechnet werden
können, muss man untersuchen, für welche x-Werte der
Term unter der Wurzel positiv ist.
Hausaufgabe dazu: Seite 101 Aufgabe 2b.
2010-01-25
- Besprechung der Hausaufgabe und weitere Übungen zum Definitionsbereich:
- Die
Definitionsmenge D eines Terms ist die Menge aller der x-Werte, die man
in den Term einsetzen darf, sodass man dadurch einen gültigen Wert
erhält.
Beispiel: Der Term
hat den Definitionsbereich D={x|x>=2}, weil nur für die
x-Werte, die gleich 2 oder größer als 2 sind, der Term unter
der Wurzel positiv ist. - Bei Potenzen gelten die Hochzahlen nur für das, was unmittelbar links von der Hochzahl steht.
Soll die Hochzahl für mehrere Elemente gelten, muss man diese Elemente in Klammern setzen.
Beispiele: -3·42=-3·16=-48, aber -(3·4)2=-122=-144, aber (-3·4)2=(-12)2=+144 - Wurzelziehen und Quadrieren sind entgegengesetzte Rechenarten, die sich gegenseitig aufheben.
Beispiele: √(52)=√25=5 , (√25)2=(5)2=25 - Bei manchen Termen unter einer Wurzel ist es sinnvoll, diese Terme zu vereinfachen, bevor man den Definitionsbereich bestimmt.
Wird eine Summe quadriert, so sollte man an die binomischen Formeln denken.
- Hausaufgabe: Seite 102, Aufgaben 6 bis 9, jeweils 4. und 5. Spalte; Seite 103, Aufgabe 12, Binomische Formeln wiederholen
2010-02-08
- Darf
man aus einer Wurzel, unter der eine Summe, eine Differenz, ein Produkt
oder ein Quotient steht, mehrere Wurzeln bilden, unter denen nur eine
einzige Zahl steht?
Ihr habt das mit den Zahlen 16 und 9 ausprobiert:
Wir haben gesehen:
Steht
unter einer Wurzel eine Punktrechnung (Multiplikation oder Division),
so kann man aus den einzelnen Zahlen die Wurzeln berechnen und dann
erst die Rechenoperation durchführen.
Bei Strichrechnung (Addition oder Subtraktion) funktioniert das nicht! - Das Probieren ist natürlich noch kein Beweis dafür, dass diese Methode mit allen Zahlen richtige Ergebnisse liefert.
Den Beweis findet Ihr im Buch auf Seite 105. Es wird dort gezeigt, dass folgende Wurzelgesetze gelten:
- Hausaufgabe: Seite 103 Aufgaben 10-17 und Seite 106/107 Aufgaben 6-10 (jeweils die letzten 2 Aufgaben)
2010-02-11
- Besprechung der Hausaufgabe
- Die Gleichungen besitzen
beide nur die eine Lösung 0, da sonst die Wurzel einen negativen
Wert hätte (links) oder unter der Wurzel ein negativer Wert
stände (rechts).
- Bei der Wurzel darf man nicht die gelernten Wurzelgesetze unmittelbar anwenden, da sonst negative Zahlen unter den Wurzeln ständen ( geht also nicht!).
Man kann aber erst unter der Wurzel umformen und dann das Wurzelgesetz anwenden:
2010-02-15
- Die Rechengesetze für Wurzeln kann man benutzen, um folgende Aufgabentypen zu lösen:
- Teilweises Wurzelziehen
Lässt
sich die Zahl unter einer Wurzel (d.h. der Radikand) in ein Produkt
aufspalten, bei dem ein oder mehere Faktoren Quadratzahlen sind, so
können aus diesen Teilen des Radikanden die Wurzeln gezogen werden
und damit das Ergebnis "vereinfacht" werden, d.h. es treten kleinere
Zahlen auf.
Beispiel mit Zahlen:
Beispiel mit Formvariablen: - Faktor unter das Wurzelzeichen bringen
Steht vor einer Wurzel ein Faktor, kann man ihn unter das Wurzelzeichen bringen, indem man ihn quadriert.
Beispiel mit Zahlen:
Beispiel mit Formvariablen: - Zusammenfassen von Wurzelsummen
Werden
mehrere Wurzeln addiert oder subtrahiert, sucht man in den Radikanden
der Wurzeln nach gleichen Faktoren und klammert dann die Wurzel aus
diesen Faktoren aus.
Beispiel mit Zahlen:
Beispiel mit Formvariablen:
- Hausaufgabe: Seite 108, Aufgaben 23 - 28, jeweils die letzten 2 Aufgaben
2010-02-17
- Wiederholung (siehe 2009-12-17):
Umwandeln einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch (anderes Berechnungsverfahren) - Beispiel:
Man multipliziert die Zahl x mit einer solchen Zehnerpotenz, dass die Nachkommastellen gleich sind. - Weiteres Beispiel:
- Beispiel für eine Dezimalzahl mit Vorperiode:
- Rationalmachen eines Nenners (einen Bruch so umwandeln, dass keine Wurzeln mehr im Nenner stehen)
- im Nenner steht eine Wurzel → mit dieser Wurzel den Bruch erweitern
Beispiel: - im
Nenner steht die Summe oder Differenz zweier Wurzeln → man
erweitert so, dass die 3. Binomische Formel angewendet werden kann
Beispiel: - im
Nenner steht die Summe oder Differenz einer Wurzel und einer weiteren
Zahl → man erweitert so, dass die 3. Binomische Formel angewendet
werden kann
Beispiel:
- Gleichung mit Mehrfachwurzel
Durch Quadrieren einer Gleichung kann man Wurzeln entfernen.
Beispiel: ist zu zeigen. Dazu werden beide Seiten der Gleichung (die beide positiv sind) quadriert:
linke Seite:
rechte Seite:
Da die linke und die rechte Seite gleich sind, ist die Gültigkeit der gegebenen Geichung nachgewiesen.
2010-02-22
- Wiederholung zur Arbeit
Bitte besonders folgende Themen beachten: - Umwandel einer periodischen Dezimalzahl in einen Bruch
- Definition von Wurzeln
- Lösung einer quadratischen Gleichung
- Faktor unter eine Wurzel bringen
- Teilweises Wurzelziehen
- Rationalmachen des Nenners
- Gleichung mit Mehrfachwurzel
- Binomische Formeln
- Wurzel-Rechengesetze
2010-02-24
- Wiederholung zur Arbeit (zur Erinnerung das Tafelbild)
2010-02-25
2010-03-01
- Auf Grund besonderer Umstände wird die Klassenarbeit wiederholt.
Wiederholung zur Klassenarbeit.
2010-03-04
- Vergleichsarbeit 2010 Mathematik Klasse 8
2010-03-08
- Besprechung und Rückgabe der Arbeit [ Aufgaben , Lösungen ]
- Für den TI-84 ist ein neues Betriebssystem herausgekommen.
Das
Betriebssystem kann mit TI-Conect vom Computer auf den TI-84 geladen
werden oder aber von einem TI-84 zu einem anderen TI-84.
2010-03-11
weiter mit Satz des Pythagoras