Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2021/2022 - Mathematik 7c
Reelle Zahlen
2022-05-06
- Schon kennen gelernt habt ihr das Rechnen mit negativen Zahlen und das
Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz).
Schwierigkeiten habt ihr noch beim Bruchrechnen und
noch nicht behandelt habt ihr das Distributivgesetz (Ausmultiplizieren,
Ausklammern).
- Bruchrechnen:
Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit gleichem Nenner:
Erläuterung: Hat man ein Ganzes (z.B. eine Pizza) in 5 Teilstücke
unterteilt, so zählt man im ersten Beispiel 2 Teilstücke und 3
Teilstücke zusammen und erhält 5 Teilstücke und damit wieder das Ganze.
Hat man noch 2 Teilstücke und will 3 Teilstücke ausgeben, so
benötigt man noch 1 Teilstück (das man aber nicht hat).
Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit verschiedenem Nenner:
Hier haben die Teilstücke unterschiedliche Größe und man kann nicht
einfach die Anzahlen zusammenzählen oder subtrahieren. Man muss die
Teilstücke erst gleich groß oder gleich klein machen. Dann kann man
addieren oder subtrahieren.
Das geschieht über Kürzen oder Erweitern von Brüchen. Dabei behalten die
Brüche ihren Wert. Zähler und Nenner werden aber durch andere Zahlen
dargestellt.
Kürzen: 
Hat man einen Kuchen in 8 Teile geteilt und verkauft 6 davon, so könnte
man den Kuchen auch in nur 4 Teile teilen und 3 davon verkaufen. Die
verkaufte Menge wäre dann gleich.
Rechenvorschrift: Teile den Zähler und den Nenner eines Bruchs durch
dieselbe Zahl. Dann bleibt der Wert des Bruchs gleich.
Erweitern: 
Hat man einen Kuchen in 4 Teile geteilt und verkauft 3 davon, so könnte
man den Kuchen auch in 8 Teile teilen und 6 davon verkaufen. Die
verkaufte Menge wäre dann gleich.
Rechenvorschrift: Multipliziere den Zähler und den Nenner eines Bruchs
mit derselben Zahl. Dann bleibt der Wert des Bruchs gleich.
Addition und Subtraktion von Brüchen mit verschiedenem Nenner: 
Erst den möglichst kleinsten Hauptnenner finden (notfalls alle Nenner
multiplizieren - das ist dann auch ein Hauptnenner), dann entsprechend
Erweitern oder Kürzen und dann addieren oder subtrahieren.
- Multiplikation von positiven und negativen Zahlen
Wie die Rechenregeln 
zustande kommen, kann man auf dieser
Seite im Beispiel 2 nachlesen.
- Kommutativgesetz oder Vertauschungsgesetz:
Beim Addieren und Subtrahieren muss man den Term nicht von links nach
rechts abarbeiten, sondern man darf die Zahlen auch umstellen.
Dabei muss man aber darauf achten, dass das Rechenzeichen bzw. das
Vorzeichen bei einer Zahl mit vertauscht wird.
- Distributivgesetz (Ausmultiplizieren, Ausklammern):
Eine Buskarte kostet 9€. Für 4 Klassen sollen Karten gekauft werden: 1.
Klasse 5 Karten, 2. Klasse 3 Karten, 3. Klasse 6 Karten und 4. Klasse 4
Karten.
Wie viel muss man insgesamt bezahlen?
Rechnung: 
Statt die Einzelpreise für jede Klasse zu berechnen, kann man auch erst
alle Bestellungen aus den Klasssen addieren und dann das Ergebnis mit 9€
multiplizieren. Diesen rechenvorgang nennt man Ausklammern.
Hat man dagegen die Bestellungen und will wissen, wieviel jede Klassse
zu bezahlen hat, so kann man umgekehrt rechnen:
Rechnung: 
Jede Zahl in der Klammer muss mit dem Faktor außerhalb der Klammer
multipliziert werden. Vorzeichen und Rechenzeichen dabei beachten!
Diesen Rechenvorgang nennt man Ausmultiplizieren.
Weitere Beispiele:
- Hausaufgabe: Seite 139 Aufgaben 1 bis 5 jeweils a, wichtig ist,
herauszufinden, wie man die Aufgabe "einfach" lösen kann.
2022-05-10
- Mit folgenden Links findet ihr das Übungsblatt
und die Lösung zum
Übungsblatt zum Thema reelle Zahlen.
Vergleicht bitte eure Ergebnisse mit den Lösungen und findet heraus, was
ihr falsch gemacht habt. Wenn Fragen bleiben, besprechen wir die in der
nächsten Stunde!
- Interessiert bei einer Zahl nur der Zahlenwert und nicht das
Vorzeichen, so benutzt man die Betragsfunktion.
Die Zahl oder den Term schließt man ein in zwei senkrechte Striche, die
Betragstriche heißen.
Der Wert davon ist dann der positive Wert dessen was in den
Betragstrichen steht.
Beispiele: |+3|=3 ; |-4|=+4 ; |0|=0 ; |2+7|=|9|=9 ; |3-7|=|-4|=+4 ;
|5*(-3)|=|-15|=+15
- Plus-Klammer
Wird eine Klammer augelöst, vor der ein Pluszeichen steht,so fallen das
Pluszeichen und die Klammern weg und die Rechenzeichen in der Klammer
bleiben erhalten.
Beispiel: 3 +( -4+2+7-8 )
=3 -4 +2 +7 -8
- Minus-Klammer
Wird eine Klammer augelöst, vor der ein Minuszeichen steht,so fallen das
Minuszeichen und die Klammern weg und alle Rechenzeichen in der Klammer
ändern sich.
Beispiel: 3 -( -4+2+7-8 )
=3 +4 -2 -7 +8
2022-05-13
- Warum braucht man die Betragsfunktion (siehe letzte Stunde)?
Wir haben das am Beispiel einer Abfüll-Maschine besprochen: 3 abgefüllte
Tüten werden nachgemessen.
Die erste Tüte hat 4g zu viel Inhalt (+4), die zweite Tüte 6g zu wenig
(-6) und die dritte Tüte 2g zu viel (+2).
Würde man diese drei Zahlen zusammen zählen, so erhält man
(+4)+(-6)+(+2) = 4 - 6 + 2 = 0. Die Abfüllung scheint also korrekt zu
sein - nicht zu wenig und nicht zu viel, aber in den Tüten ist nicht
ganz die richtige Menge.
Deshalb rechnet man mit den Beträgen |+4| + |-6| + |+2| = (+4) + (+6) +
(+2) ) = 4+6+2 = 12.
Die Abweichungen betragen also insgesamt 12g.
Bei einer zweiten Maschine sind die Abweichungen -1g, +3g, -2g.
Eine einfache Addition liefert -1+3-2 = 0. Auch diese Maschine scheint
genau gearbeitet zu haben, weil die Gesamtabweichung 0g beträgt.
Rechnet man hier mit den Beträgen, so ergibt sich |-1| + |+3| + |-2| =
(+1) + (+3) + (+2) = +6.
Die Gesamtabweichung beträgt also 6g.
Die zweite Maschine arbeitet also insgesamt genauer.
- Die Rechnung in Einzelschritten soll zeigen, wie man mit genauer
Beachtung der Rechenregeln zu einer Lösung kommen kann:
1. Mit Hilfe des Distributivgesetzes wird die Klammer aufgelöst
(Ausmultiplizieren).
2. Die ganzen Zahlen werden in Brüche umgewandelt (einfach mit Nenner 1
schreiben), damit man nun Bruchrechenregeln anwenden kann.
3. Nun wird das Produkt (*) der Brüche berechnen: "Zähler mal Zähler und
Nenner mal Nenner".
4. Zähler und Nenner des Bruchs werden durch dieselbe
Zahl dividiert (=geteilt). Das nennt man "Kürzen".
Achtung: wenn im Zähler und/oder Nenner nur
multipliziert wird, wird jeweils nur eine einzelne Zahl dividiert.
Stehen im Zähler oder Nenner eine Summe (+) oder
Differenz (-), so werden alle Zahlen der Summe oder Differenz dividiert.
5. Kann man nichts mehr kürzen, dann werden die Brüche zusammengefasst,
hier subtrahiert (-). Das ist hier einfach, weil der Nenner jeweils
gleich 1 ist.
6. Die letzte Subtraktion ergibt dann das Ergebnis -13.
- Hausaufgabe: Seite 143 Aufgabe 10. Die ersten 3 Zeilen der
abgebildeten Tafel bearbeiten. Achtung: In der 3. Zeit muss ganz rechts
3,2 (und nicht 3,25) stehen. Mit 3,2 ist das Ergebnis einfacher zu
finden!
2022-05-17
- Wiederholung zu den Themen Multiplikation und Division von Brüchen,
Distributivgesetz und Minusklammern.
- Hausaufgabe: Arbeitsheft Seite 45 Aufgabe 1 und Berechnung von
2022-05-20
- Anlässlich der Besprechung der Hausaufgabe aus der letzten Stunde
haben wir gesehen, dass das Distributivgesetz nicht bei Division gilt.
Beispiel: 6:(2+3) ist nicht gleich 6:2 + 6:3 = 3 + 2 = 5, denn
es gilt 6:(2+3) = 6:5 = 1,2.
Wandelt man erst die 6 und die Klammer in Brüche um (Nenner gleich 1)
und wendet dann das Rechengesetz zur Division bei Brüchen an, so ergibt
sich der richtige Wert:
Merke: Will man den Kehrwert einer Summe berechnen, so darf man nicht
einzeln die Kehrwerte der Summanden berechnen!
- Lösung der Hausaufgabe:
Man muss nicht immer so ausführlich rechnen und darf, wenn man sich
wirklich sicher ist, auch mal den einen oder anderen Schritt
überspringen.
- Wichtig:
Wird durch eine Klammer dividiert, so mjuss man erst die Klammer
berechnen. Erst dann darf man die erste Zahl mit dem Kehrwert des
Ergebnisses der Klammer multiplizieren.
- Wichtig:
Das Distributivgesetz gilt nur für die Multiplikation (*), nicht für die
Division (:) !
- Ein Beispiel dafür, dass Ausklammern zur Berechnung günstig sein kann:
- Ein Beispiel dafür, dass Ausklammern manchmal auch geht, wenn keine
gleichen Faktoren zu erkennen sind:
- Hausaufgabe: Arbeitsheft Seite 46 Aufgaben 1 bis 4, jeweils c)
2022-05-24
2022-05-31
weiter mit Dreiecksgeometrie