Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2015/2016 - Mathematik 12ma5g

Vektorrechnung

• Punkte im Koordinatensystem
  In der nächsten Zeit werden wir mit dreidimensionalen Koodinatensystemen arbeiten.
  Da die 3 Koordinatenachsen paarweise zueinander senkrecht stehen, kann man Punkte in zweidimensionaler Darstellung nicht exakt identifizieren.
  Üblicherweise wird die y-Achse waagrecht abgetragen, die z-Achse senkrecht und die x-Achse im Winkel von 45° zu den beiden anderen Achsen, wobei die positiven Werte nach links unten abgetragen werden. Die Abstände zwischen 2 Gitterpunkten werden dabei als 2 Einheiten gezählt:
  
  Der Punkt P ist durch seine Koordinaten (2/3/4) gegeben.
  Die roten, grünen und blauen Streckenzüge zeigen, dass man in beliebiger Reihenfolge die Koordinaten abtragen kann und man dennoch an derselben Stelle P landet.
  Ergänzt man die entstehende Figur durch die 3 gelben Strecken, ergibt sich ein Quader. Der Koordinatenursprung und der Punkt P sind dabei Endpunkte einer Diagonale des Quaders.
  Es gibt weitere Punkte Q_i, die an derselben Stelle wie der Punkt P im Koordinatensystem eingetrragen werden müssen. Die Darstellung ist also nicht eindeutig.
  Folgende Punkte wurden von den Kursteilnehmern gefunden: Q₁(-4/0/1); Q₂(4/4/5); Q₃(0/2/3); Q₄(-2/1/2); Q₅(1,5/2,75/3,75); Q₆(10/7/8)
  Darstellung der Punkte mit GeoGebra:
  download der GeoGebra-Datei
  Schaut man sich das Koordinatensystem aus einem anderen Blickwinkel an, erkennt man, dass alle Punkte auf einer Geraden liegen und die verschiedenartige Darstellung daher kommt, dass man in Richtung der Geraden sieht.
  
• Aufgabe: Zeichne ein Haus, der Länge 8m, der Breite 5m und der Höhe 4m, auf das ein abgeschrägtes symmetrisches Dach gesetzt ist, dessen First 6m lang ist.
  download der GeoGebra-Datei 
• Spiegelung an einer Koordinatenebene
  Ein Objekt wird an einer Koordinatenebene gespiegelt, indem die nicht beteiligte Koordinate invertiert wird (= mit -1 multipliziert).
  Spiegelung an x-y-Ebene: Die z-Koordinate wird mit -1 multipliziert.
  Spiegelung an x-z-Ebene: Die y-Koordinate wird mit -1 multipliziert.
  Spiegelung an y-z-Ebene: Die x-Koordinate wird mit -1 multipliziert.
  Beispiel: Spiegelung an der x-y-Ebene:
  download der GeoGebra-Datei

2015-09-08

• Wie bestimmt man Abstände zwischen Punkten?
• Auf einem Zahlenstrahl berechnet man die Differenz der beiden Werte der Punkte:
  
  Ein Pfeil zeigt von A nach B. Seine Länge ist der Abstand: 5-2=3
• In der Ebene hat der Pfeil Komponenten in x- und in y-Richtung:
  
  Man misst die Ausdehnung in x-Richtung und in y-Richtung:
  x-Richtung: 5-2=3
  y-Richtung: 3-1=2
  Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras kann man nun die Länge des Pfeils, also den Abstand der Punkte, berechnen:
  
• Im 3-dim-Raum besitzt der Pfeil S1 von P1(2/1/4) nach P2(5/3/9) Komponenten in x-, y- und z-Richtung:
  
  Man misst die Ausdehnung in x-Richtung und in y-Richtung:
  x-Richtung: 5-2=3
  y-Richtung: 3-1=2
  z-Richtung: 9-4=5
  Mit Hilfe des (erweiterten) Satzes des Pythagoras kann man nun die Länge des Pfeils, also den Abstand der Punkte, berechnen:
  
• Die oben betrachteten Pfeile sind durch ihre Ausdehnung in x-, y- und z-Richtung festgelegt.
  Sie würden gleiche Länge und gleiche Richtung haben, wenn man alle Punkte um konstante Werte in x-, y- oder z-Richtung verschieben würde.
  Als Repräsentanten für alle Pfeile, die in gleiche Richtung verlaufen und gleiche Länge haben definiert man einen Vektor, der durch die oben gefundenen Ausdehnungen in x-, y- und z-Richtung dargestellt wird.
  Vektoren werden durch kleine Buchstaben gekennzeichnet, die zur Unterscheidung von Geraden oder Strecken durch einen darübergesetzten Pfeil ausgezeichnet werden.
  Die Zahlenwerte, die die Ausdehnungen der Pfeile in x-, y- und z-Richtung beschreiben, werden in große runde Klammern gesetzt.
  Für den 1-dimensionalen Fall benutzt man normalerweise keine Vektoren.
  2-dimensionaler Fall (Ebene):
  3-dimensionaler Fall (Raum):
• Bei den Vektoren werden die Ausdehnungen in Richtung der Koordinatenachsen vom Anfang des Pfeils zur Spitze des Pfeils gemessen.
  2 Vektoren sind gleich, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen und gleiche Länge haben.
  Einen Vektor mit gleicher Länge aber genau entgegengesetzter Richtung nennt man Gegenvektor und beschreibt ihn durch ein Minuszeichen vor dem Buchstaben bzw. vor den Komponenten.
  Vektoren, die in der Länge oder der Richtung oder in beiden Eigenschaften nicht übereinstimmen, sind ungleich.
• Beispiele (hier ohne Pfeil geschrieben):
  
  u und z sind Gegenvektoren
  u und w sind nicht gleich, da sie unterschiedliche Länge haben
  w und v sind nicht gleich, da sie unterschiedliche Länge und Richtung haben

• Definition von Ortsvektor und Richtungsvektor
  
  Ortsvektoren kennzeichnen beliebige Punkte im Koordinatensystem, indem der Beginn des zum Ortsvektors gehörenden Pfeils im Koordinatenursprung liegt und die Spitze am zu bezeichnenden Punkt.
  Die Komponenten des Ortsvektors stimmen mit den Koordinaten des zu bezeichnenden Punkts überein (siehe u und v).
  Richtungsvektoren geben eine Richtung an. Z. B. wird die Richtung vom Punkt B zum Punkt C durch den Richtungsvektor w angegeben. Der Vektor kann so lang sein wie der Abstand der beiden Punkte, muss es aber nicht. Nur die Richtung ist festgelegt.
• Angenommen, die Komponenten von v wären nicht bekannt. Dann könnte man mit Hilfe der Vektoren u und w diese Komponenten berechnen:
  Die Ausdehnung des Vektors v in x-Richtung ist so groß wie die Summe der Ausrichtungen der Vektoren u und w in x-Richtung.
  Für die y-Richtung gilt das analog.
  Man schreibt deshalb als Summe:
• Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten der Vektoren addiert.

2015-09-11

• Vektoren werden subtrahiert, indem man die Komponenten der Vektoren subtrahiert.
• In Verallgemeinerung zum Beispiel aus der letzten Stunde gilt:
  Der Vektor von einem Punkt zu einem anderne Punkt ergibt sich, indem man vom ersten Punkt beginnend auf Wegen geht, die durch Vektoren vorgegeben sind, bis man beim Zielpunkt landet. Die benutzten Vektoren addiert man.
  Beispiel:
  
  Der Vektor c lässt sich darstellen durch:
  
• Alles oben Gesagte gilt auch für den 3-dimensionalen Fall.
• Vielfache eines Vektors:

• 
  Einen Vektor multipliziert man mit einer Zahl (= einem Skalar), indem man jede Komponente des Vektors mit dieser Zahl multipliziert:
  
  Allgemein:

2015-09-15

• Hilfe zur Hausaufgabe:
  Gegeben sind die Punkte A(2/4/-3), B(0/6/-2) und C(t/4/-4)
  Frage: Sind die 3 Punkte Ecken eines gleichseitigen oder wenigstens gleichschenkligen Dreiecks?
  Lösung: Zu untersuchen ist, ob die Dreiecksseiten gleich lang sind.
  Die Länge einer Seite bestimmt man, indem man zunächst den Vektor bestimmt, der von einem Eckpunkt zum anderen geht und dann die Länge des Vektors berechnet.
  Da A und B vollständig bestimmt sind, wird zunächst der Abstand AB berechnet.
  Dann untersucht man, ob man den Wert für t so wählen kann, dass AC=AB und/oder BC=AB.
  Die Ortsvektoren zu A, B und C werden durch entsprechende kleine Buchstaben a, b und c bezeichnet.
   
  Da von den 4 Lösungen für t keine 2 übereinstimmen, gibt es 4 Möglichkeiten für ein gleichschenkliges Dreieck aber keine Möglichkeit für ein gleichseitiges Dreieck.
• Geradengleichung:
  
  Eine Gerade und damit alle Punkte auf einer Geraden kann man so bestimmen, indem man zunächst mit einem Ortsvektor vom 0-Punkt zu einem Punkt der Geraden geht und dann auf der Geraden entlang mit dem Vielfachen eines Richtungsvektors bis zu dem zu beschreibenden Punkt läuft.
  Im Beispiel wird der Punkt C durch die Vektoren u und v beschrieben:
  Allgemeine Gleichung einer Geraden:
• Punktprobe
  Will man wissen, ob der Punkt P(15/-3) auf der oben beschriebenen Geraden liegt, so setzt man den Ortsvektor für P als Vektor x ein und untersucht, ob es einen einzigen k-Wert gibt:
  
  Da die k-Werte nicht übereinstimmen, liegt der Punkt P nicht auf der Geraden.

2015-09-17

• Übungen zu Geradengleichungen
• Durch die Punkte A(5/2/-4) und B(-1/3/2) soll die Gerade g verlaufen. O(0/0/0) sei der Koordinatenursprung.
  
• Aufgabe: Stelle unterschiedliche Geradengleichungen auf.
  Lösung: Mit einem beliebigen Ortsvektor gelangt man zur Geraden und dann mit einem beliebig langen Richtungsvektor zu einem Punkt der Gerade.
  Ortsvektoren sind zum Beispiel a und b, aber auch jeder andere Vektor zur Geraden.
  Richtungsvektor ist v, aber auch jeder Vektor, der dieselbe Richtung wie v haben muss aber auch andere Längen haben darf.
  Beispiele: Alle angegebenen Geradengleichungen beschreiben dieselbe Gerade. Der t-Wert ist für einen bestimmten Punkt jeweils unterschiedlich.
   
• Der Punkt C(2/y/z) soll auf der Geraden liegen. Bestimme y und z.
  
• Gibt es einen Punkt P(p, p, p), dessen Koordinaten alle den gleichen Wert haben?
  
• Zu berechnen sind die Koordinaten des Punktes S, in dem die Gerade die y-z-Ebene schneidet.
  Da in der y-z-Ebene alle Punkte die x-Koordinate 0 besitzen, hat der gesuchte Punkt S die Koordinaten S(0, y, z)
  

2015-09-22

• Weitere Übung zu Geradengleichungen:
• Es sind viele Punkte gegeben durch die Angabe ihrer Koordinaten in Verbindung mit einem Parameter: P(2+3t/6t/-4-2t)
  Setzt man für t einen Wert ein, so erhält man die Koordinaten eines Punktes dieser Punkteschar.
  Beispiele:
  t=1: P₁(2+3/6/-4-2)=P₁(5/6/-6)
  t=-2: P_-2(2-6/-12/-4+4)=P_-2(-4/-12/0)
• Bildet man den Ortsvektor zu einem allgemeinen Punkt der Punkteschar, so lässt sich dieser Vektor umformen, bis sich eine Geradengleichung ergibt.
  Alle Punkte der Punkteschar bilden also eine Gerade.
  
  Bildet man aus den beiden Punkten für t=1 und t=-2 eine Geradengleichung, so ergibt sich:
  
• Wird durch die beiden Gleichungen, die so verschieden aussehen, wirklich eine einzige Gerade beschrieben?
  Wir sehen, dass der obere Richtungsvektor mit -3 multipliziert den unteren Richtungsvektor ergibt. Die Richtungsvektoren zeigen also die gleiche Richtung an und damit sind die beiden Geraden bestimmt schon einmal parallel.
• Zeigen denn die beiden Ortsvektoren zur selben Gerade?
  Dazu machen wir die Punktprobe und setzen die Ortsvektoren jeweils in die andere Geradengleichung ein:
  
  Jedesmal ergibt sich ein identischer Wert für den Parameter. Die Gleichungen beschreiben also die gleiche Gerade.
• Statt der Punktprobe mit 2 Punkten kann man sich auch einfacher überlegen:
  Wenn die beiden Geradengleichungen dieselbe Gerade beschreiben, dann muss die Verbindungslinie der zu den Ortsvektoren gehörenden Punkte parallel zu den Richtungsvektoren sein (man geht von einem Punkt in Richtung des Richtungsvektors zu dem anderen Punkt). Dasselbe gilt auch für die Ortsvektoren der beiden Beispielpunkte.
  Verbindungsvektoren sind hier
  
• Merksatz:
  2 Geraden sind parallel, wenn ihre Richtungsvektoren linear abhängig sind (d. h. sie zeigen in die selbe Richtung, ein Richtungsvektor ist ein Vielfaches des anderen Richtungsvektors).
  
  2 parallele Geraden sind identisch, wenn die Differenz der Ortsvektoren linear abhängig zu den Richtungsvektoren ist.
  
• Spiegelung an Korrdinatenebenen
  Eine Gerade wird an einer Koordinatenebene gespiegelt, indem man in der Geradengleichung die Komponenten der zur Ebene senkrecht stehenden Achse mit -1 multipliziert.
  Beispiele:
  Spiegelung an der x-y-Ebene: Die z-Komponenten werden mit -1 multipliziert.
  Spiegelung an der x-z-Ebene: Die y-Komponenten werden mit -1 multipliziert.
  Spiegelung an der y-z-Ebene: Die x-Komponenten werden mit -1 multipliziert.

2015-09-24

• Besprechung der Hausaufgabe und Übersicht zum Thema "Geraden".
• Bei einer Geraden kann man nur in eine Richtung gehen. Es reicht also, zum Stützvektor das Vielfache eines Richtungsvektors zu addieren, um zu jedem Punkt der Geraden gelangen zu können.
  
• In einer Ebene sind aber 2 verschiedene Richtungen möglich (deshalb in einem kartesischen Koordinatensystem auch die 2 Angaben bei einem Punkt (x- und y-Koordinate)).
  Man muss also, um jeden Punkt der Ebene erreichen zu können, zum Stützvektor Vielfache von 2 Richtungsvektoren addieren:
  
  (download der GeoGebra-Datei)

2015-09-29

• Schnitt von Gerade und Ebene
  
  Die Gerade g durch E und C soll die durch das Rechteck DBFH gegebene Ebene E schneiden.
  Der Koordinatenursprung liege im Punkt A.
  Lösung:
  
  Während bei diesem Beispiel die Lösung des Gleichungssystems "per Hand" noch gut durchzuführen ist, wird es im allgemeinen Fall mit sehr viel Rechenaufwand verbunden sein. Alternativ kann man dann den Taschenrechner benutzen und mit Hilfe des rref-Befehls für Matrizen die Lösung sehr einfach bestimmen:
  
  
  

2015-10-01

• Wiederholung zur Klausur 1

2015-10-06

• Klausur 1  [ Aufgaben | Lösungen ]

2015-10-08

• Vor der Klausur wurde besprochen, dass zwei Vektoren parallel sind, wenn der eine ein Vielfaches des anderen Vektors ist.
• Wie kann man überprüfen, ob 2 Vektoren senkrecht zueinander stehen?
  
  Das Bild zeigt den 2-dimensionalen Fall.
  Rechnerisch untersucht wird das Problem am 3-dimensionalen Fall:
• Das von den Vektoren u, v und v-u gebildete Dreieck ist rechtwinklig.
  Damit kann der Pythagoras auf die Dreiecksseiten angewendet werden:
  
  Die Rechnung zeigt, dass die Summe der Produkte der einzelnen Komponenten der Vektoren 0 ergibt, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen.
  (Zu zeigen wäre eigentlich noch, dass die Vektoren nicht senkrecht stehen, wenn die Summe nicht 0 ergibt)
• Wegen der Wichtigkeit dieser Beziehung hat die Summe den Namen Skalarprodukt erhalten und man schreibt:
  
• Beispiel für den 2-dimensionalen Fall (siehe oben):
  
  Gegenbeispiel (siehe oben):
  
• Sind 2 Vektoren parallel zueinander, so ergibt das Skalarprdukt das Produkt der Längen der Vektoren.
  Beweis:
• 
  
  
• Zahlenbeispiel:
  
  
• Anwendungsbeispiele:
  Gegeben sind die 3 grünen Vektoren a, b und c.
  
   
• Aufgabe 1:
  Zu zeigen ist, dass die beiden Diagonalen e und f in der linken Figur keinen Winkel von 90° einschließen.
  Zunächst: Die beiden Diagonalen schneiden sich, weil die Anfangspunkte der Pfeile auf einer Geraden liegen und die Spitzen der Pfeile auf einer dazu parallelen Gerade liegen. Deshalb liegen die beiden Pfeile in einer Ebene.
  Die roten Vektoren e und f werden gebildet. Dann wird mit dem Skalarprodukt untersucht, ob die Vektoren senkrecht zueinander stehen.
  
  Da das Skalarprodukt nicht gleich 0 ist, schneiden sich die beiden Vektoren e und f nicht unter einem Winkel von 90°.
• Aufgabe 2:
  Im rechten Bild trifft der Pfeil f in der Höhe h auf die Kante des Quaders.
  Zu berechnen ist der Wert von h für den Fall, dass sich die beiden Pfeile unter dem Winkel 90° schneiden.
  Rechnung wie oben, nur dass zum Schluss der Wert für h so bestimmt wird, dass das Skalarprodukt den Wert 0 annimmt.
  
  Das Skalarprodukt wird 0, wenn der Wert für h -11,25 beträgt, wenn also die Pfeilspitze weit unterhalb des Quaders die senkrechte Kante erreicht.

2015-10-13

• Rückgabe der Klausur 1  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Sind 2 Vektoren parallel zueinander, so ergibt das Skalarprdukt das Produkt der Längen der Vektoren.
  Beweis:
• 
  
  
• Zahlenbeispiel:
  
  
  

• Wir haben jetzt gesehen, dass das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren 0 ergibt und dass das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren genau so groß ist wie das Produkt der Längen der beiden Vektoren.
  Was ist nun aber, wenn die Vektoren unter einem beliebigen Winkel zueinander stehen?
• Skizze:
  
  Die Vektoren u und v schließen den Winkel α ein.
  v wird in zwei Komponenten v|| parallel zu u und v┴ senkrecht zu u zerlegt.
  Dann gilt:
  
• Beispiel:
  
  Berechne den Winkel, den die beiden roten Strecken einschließen.
  Die Strecken können durch folgende Vektoren beschrieben werden:
  Dann folgt:
• Hausaufgabe:
  Gegeben ist ein Würfel der Seitenlänge 1.
  Zu berechnen ist der Winkel zwischen dem roten und dem grünen Vektor.
  

2015-10-15

• Besprechung der mündlichen Note
• Neben dem Skalarprodukt (mit einer Zahl als Ergebnis) gibt es noch das Vektorprodukt (mit einem Vektor als Ergebnis), das nur im 3-dim-Raum definiert ist.
  Es dient z. B. in der Physik dazu, bei einem Elektronenstrahl in einem Magnetfeld die Kraft auf die Elektronen zu bestimmen .
  Definition: Bei der Vektormultiplikation zweier 3-dim-Vektoren ergibt sich ein Vektor, der senkrecht zu jedem der beiden Vektoren steht.
  Gebildet wird dieser Vektor nach folgender Regel:
  
  Beispiel: