Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 11ma5g

Stochastik

2015-01-22

• Wiederholung und Übungen zu den Begriffen Merkmal (qualitativ [ohne Zahlen], quantitativ [mit Zahlen]), Merkmalsausprägung,
  absolute und relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilung.
• Berechnungen mit dem Taschenrechner:
• arithmetisches Mittel: 2nd > LIST > MATH > 3:mean(
  Beispiel: mean({3,7,14,23}) --> 11.75 oder mean(L1), wenn die Zahlen in der Liste 1 stehen.
• gewichtetes Mittel:
  Hier wird zusätzlich eine Liste angegeben, in der die Häufigkeiten für die einzelnen Zahlenwerte angegeben werden.
  Beispiel: mean({3,7,14,23},{0.2,0.1,0.5,0.2}) --> 12.9 oder mean(L1,L2). wenn die Zahlen in Liste 1 und die Häufigkeiten in Liste 2 stehen.
  Man muss die Häufigkeiten nicht wie oben als Prozente angeben. Es geht auch so: mean({3,7,14,23},{20,10,50,20}) oder mean({3,7,14,23},{2,1,5,2})
• Median: gibt den mittleren von einer Reihe von geordneten Ergebnissen an.
  Beispiel: bei 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 5 , 12 , 17 , 45, 73  ist die fett und groß gedruckte 2 der Median.
  Gibt es keine mittlere Zahl, so wird das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen genommen,
  z. B. ist (2+5)/2=7/2=3,5 der Median von 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 5 , 12 , 17 , 45, 73.
  Auf dem Taschenrechner berechnet man den Median mit 2nd > LIST > MATH > 4:median(
  Beispiel: median({1,1,1,1,2,5,12,17,45,73}) --> 3.5

2015-01-29

• Wiederholung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Klassen 5 bis 10):
• absolute Häufigkeit H: Die Anzahl der Erfolge bei einem Zufallsversuch.
  Beispiel: Man "würfelt" 60-mal mit einer Münze und zählt, wie häufig dabei die Zahl-Seite erscheint. Das Ergebnis ist dann H, z. B. H=32.
• relative Häufigkeit h: Die Anzahl der Erfolge bezogen auf die Gesamtheit der Versuche.
  Beispiel: Spieler 1 würfelt 60-mal und erhält H₁=34 Erfolge, Spieler 2 würfelt 40-mal und erhält H₂=23 Erfolge.
  Spieler 1 hat zwar öfter Erfolg gehabt als Spieler 2, aber ist das Verhältnis vom Anzahl der Erfolge zur Anzahl der Versuche bei Spieler 1 auch besser?
  Dazu wird die relative Häufigkeit h=H/n berechnet, bei der n die Anzahl der Versuche angibt.
  
  Da h₂>h₁, hat Spieler 2 bei seinen Versuchen etwas häufiger Erfolg als Misserfolg gehabt.
• Wahrscheinlichkeit: Eine (im Prinzip jedenfalls) beliebig ausgedachte Zahl p aus dem Intervall .
  Fast immmer wählt man diese Zahl so aus, dass sie bei einem Zufallsversuch mit sehr vielen Durchgängen die erreichte relative Häufigkeit gut annähert.
  In den Beispielen oben könnte man sinnvoll p=0,57 wählen, oder wenn man davon ausgeht, dass jede Seite der Münze etwa gleich häufig erscheint,auch p=0,50.
• Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1 (jeweils einschließlich).
  Die Summe aller relativen Häufigkeiten und aller Wahrscheinlichkeiten ergeben jeweils 1.
• p=0 ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das mit Sicherheit nicht eintritt.
  p=1 ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das mit Sicherheit eintritt.
• Pfaddiagramme oder Baumdiagramme: Bei mehrstufigen Zufallsversuchen kann man die Wahrscheinlichkeiten (manchmal) recht übersichtlich ermitteln, wenn man eine graphische Darstellung zu Hilfer nimmt:
  Für jeden Ausgang eines Zufallsversuchs geht von einem Punkt eine Strecke aus. An das Ende der Strecke schreibt man das Zufallsergebnis, an die Strecke selbst die Wahrscheinlichkeit, mit der dieses Ergebnis eintritt.
  Daraus folgt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Strecken, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen 1.
  Geht man an einem Pfad eines mehrstufigen Zufallsversuchs entlang, so werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilstrecken multipliziert (Pfad-Produktregel).
  Wird die Wahrscheinlichkeit für mehrere Ausgänge des Zufallsversuchs zusammen gesucht, so werden die Teilwahrscheinlichkeiten addiert (Pfad-Additionsregel).
• Beispiel für das Arbeiten mit einem Pfaddiagramm:
  Bei einem Spiel zwischen 2 Partnern gewinnt derjenige, der zuerst 4 Teilspiele gewonnen hat. Es wird so häufig gespielt, bis dieses Ergebnis eingetroffen ist.
  Beide Spieler haben dieselbe Spielstärke, d. h. die Wahrscheinlichkeit p(1), dass Spieler 1 gewinnt ist p(1)=0,5 und ebenso ist p(2)=0,5.
  Als Preis sind 12000 Ct. ausgesetzt.
  Nun muss das Spiel vorzeitig abgebrochen werden, nachdem 2-mal Spieler 1 und 1-mal Spieler 2 gewonnen hat.
  Wie sollte man das Preisgeld auszahlen, wenn es "gerecht" zugehen soll?
• Darüber, was "gerecht" bedeutet, lässt sich streiten.
  Ihr habt im Unterricht folgende Vorschläge gemacht:
• Für jedes gewonnene Teilspiel gibt es den gleichen Betrag, d. h. Spieler 1 erhält 8000 Ct. und Spieler 2 bekommt 4000 Ct.
• Da Spieler 1 noch 2 Spiele gewinnen müsste und Spieler 2 noch 3 Spiele, sollte das Preisgeld im Verhältnis 3:2 ausgezahlt werden, d. h. Spieler 1 erhält 7200 Ct. und Spieler 2bekommt 4800 Ct.
• Da Spieler 1 am häufigsten gewonnen hat, bekommt er das ganze Geld und Spieler 2 geht leer aus.
• Da man nicht sagen kann, wer gewinnt, erhält jeder den gleichen Betrag, also 6000 Ct.
• Als Aufgabe wurde schließlich gestellt, dass das Preisgeld so aufgeteilt wird, dass es den Chancen für einen Gewinn entspricht, d. h. es muss für jeden Spieler ausgerechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit er gewinnt.
  Dazu wird ausgehend vom Anfangszustand (Spieler 1 hat 2-mal gewonnen und muss noch 2-mal gewinnen, Spieler 2 hat 1-mal gewonnen und muss noch 3-mal gewinnen) ein Pfaddiagramm erstellt:
  
  Rote Felder bedeuten: Spieler 1 hat gewonnen, grüne Felder bedeuten: Spieler 2 hat gewonnen.
  Die "blauen" Wahrscheinlichkeiten geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man in der entsprechenden Spalte gewonnen hat (Produktregel für Pfade).
  Mit Hilfe der Additionsregel für Pfade können dann die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die beiden Spieler berechnet werden:
  Spieler 1:
  
  Spieler 2:
  
  Spieler 1 sollte also 11/16 und Spieler 2 sollte 5/16 vom Gewinn bekommen, d. h. Spieler 1 erhält 8250 Ct. und Spieler 2 erhält 3750 Ct.
  Ist das nun gerecht?
• Hausaufgabe:
  In einer Urne sind 2 rote und 3 grüne Kugeln.
  a) Man zieht 3 Kugeln ohne sie jeweils wieder in die Urne zurückzulegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1 rot und 2 grüne Kugeln zu ziehen?
  b) Man zieht 3 Kugeln und legt jede Kugel wieder in die Urne zurück, bevor die nächste Kugel gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 1 rot und 2 grüne Kugeln zu ziehen?

2015-02-05

• Klassieren von Daten, Berechnung des Mittelwertes
• Berechnung der (empirischen) Standardabweichung
  Eine Maschine soll jeweils 100 g Mandeln in Tüten abpacken. Bei einem Kontrolllauf misst man folgende Mengen (in Klammern die Anzahl der gefundenen Tüten):
  100 g (4), 101 g (7), 102 g (12), 103 g (10), 104 g (6), 105 g (1)
• Die Mengen in Gramm werden in Liste L1 eingetragen, die Anzahl der entsprechenden Tüten in Liste L2.
• Den Mittelwert der Grammzahl pro Tüte berechnet man, indem man in Liste L3 das Ergebnis von L1*L2 eintragen lässt (also L3=L1*L2), dann die Summe der Listeneinträge in L3 bildet (sum(L3)) und durch die Gesamtzahl der Tüten (sum(L2)) teilt.
  Den Mittelwert erhält man auch schneller durch mean(L1,L2).
• Nun berechnet man die Abweichungen vom Mittelwert in Liste L4 mit L4=L1-mean(L1,L2).
  Die Summe dieser Abweichungen ist 0.
  
• Um eine aussagekräftige Größe für die Abweichung zu erhalten, könnte man die Beträge der Abweichungen summieren.
  Man nimmt aber (damit größere Abweichungen sich stärker auswirken) das Quadrat der Abweichungen: L5=(L1-mean(L1,L2))^2.
• Dieser Wert wird nun mit der relativen Häufigkeit der jeweiligen Tüten multipliziert: L6=L2/sum(L2)*L5.
• Da die Summe der Elemente von L6 (also sum(L6)) in der Einheit g² auftritt, wird anschließend noch die Wurzel gezogen und es ergibt sich ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert in der Einheit Gramm, das Standardabweichung genannt wird.
        
          
  
• Noch einfacher geht alles, wenn man unter STAT>CALC 1:1-Var Stats wählt.
  Dann findet man unter σx den Wert für die Standardabweichung:
       

2015-02-10

• Wiederholung und Übung zur Standardabweichung.
• Einführung in das Thema Regression mit Hilfe des Programms VU-Statistik (auf der CD im Mathebuch der Klassse 10)
   
• Wiederholung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Klassen 5 bis 10):
• Die Wahrscheinlichkeit p eines Ereignisses ist im Prinzip ein willkürlicher Wert zwischen 0 und 1.
  Der Wert soll voraussagen, mit welcher relativen Häufigkeit man bei einem Zufallsversuch rechnen kann.
  Deshalb wählt man meist die Wahrscheinlichkeit so, dass sie mit der relativen Häufigkeit eines Zufallsversuchs mit großem Umfang übereinstimmt.
  Vielfach lässt sich aber auch die Wahrscheinlichkeit berechnen, z. B. bei Laplace-Versuchen.
  
• Laplace-Versuche sind Versuche, bei denen die Wahrscheinlichkeiten der Elementarereignisse übereinstimmen.
  Beispiel: Würfeln mit einem W6-Würfel. Die Wahrscheinlichkeiten für alle Zahlen sind gleich p=1/6  (falls der Würfel nicht gezinkt ist).
  Bei Laplace-Versuchen gilt: die Wahrscheinlichkeit ist gleich der Anzahl der Erfolge dividiert durch die Anzahl der Versuche.
• Empirisches Gesetz der großen Zahl
  Führt man einen Zufallsversuch sehr oft durch, so stabilisiert sich die relative Häufigkeit mit wachsender Anzahl der Versuchsdurchgänge.
  Das lässt sich an folgender Tabelle sehr gut sehen:
  
  In Spalte B werden die Zufallszahlen (Würfelzahlen) mit der Formel =ZUFALLSBEREICH(1;6) erzeugt.
  In Spalte C wird jeweils der Mittelwert aller Würfe bis zum aktuellen Wurf berechnet. Die Formel: =Summe($B$2:Bn)/An, wobei n jeweils die Zeilennummer angibt.
  Das Diagramm zeigt, dass nach zunächst unheitlichem Verlauf die relativen Häufigkeit einem Wert zwischen 3 und 4 zustrebt.
  Theoretisch muss sich der Wert 3,5 ergeben.

2015-02-12

• Sucht man die Wahrscheinlichkeit für ein zusammengesetzes Ereignis, so kann man die Wahrscheinlichkleiten der Elementarereignisse addieren.
  Beispiel:
  
• Die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis E ist gleich 1 minus die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis von E:
  
  Beispiel: p({1;2;3;4;5})=1-p({6})=1-1/6=5/6
• Historische Aufgabe "Problem von Chevalier de Meré"
  Welches der Ereignis E₁ und E₂ hat die größere Wahrscheinlichkeit?
  E₁: Mindestens eine Sechs beim 4-fachen Würfeln mit einem Würfel.
  E₂: Mindestens ein Sechser-Pasch (also zwei Sechsen) beim 24-maligen Würfeln mit zwei Würfeln.
  Lösung für E₁
  Pfaddiagramm:
  Da die Berechnung der Summe länger dauern wird (vor allem im Hinblick auf das Ereignis E₂), wird eine vereinfachte Berechnung gesucht.
  Nennt man den Bruch 5/6 allgemein q, so ist zu berechnen q⁰+q¹+q²+q³.
  Allgemein besteht die Frage, wie man eine Summe mit n Summanden berechnen kann, also q⁰+q¹+q²+q³+...+q^n-1.
  Ansatz: die Summe sei durch einen Bruch dargestellt:
  
  Dann gilt .
  Mit dem Ansatz Nenner=1-q ergibt sich:
  
  Also insgesamt: .
  Daraus folgt: .
  Schaut man sich das Ergebnis an, sieht man, dass man das Ergebnis auch viel einfacher erhalten kann.
  Man berechne einfach die Wahrscheinlichkeit für das Gegenereignis (keine 6 beim 4-fachen Würfeln) und subtrahiere das Ergebnis von 1:
  

2015-02-17

• Übungsaufgabe zum Fall "Lotto 3 aus 6".
• Die Anzahl der verschiedenen Möglichkeiten der Ziehung bei "3 aus 6" berechnet sich so:
• Für die erste Zahl hat man 6 Möglichkeiten, für die 2. Zahl dann noch 5, für die 3. Zahl 4 Möglichkeiten.
  Insgesamt sind das also 6·5·4=120 Möglichkeiten.
• Da es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, muss man noch berechnen, auf wieviel Arten man die Lösungszahlen der Reihe nach legen kann:
  Für die 1. Zahl gibt es 3 Möglichkeiten, für die 2. Zahl 2 und für die 3. Zahl 1 Möglichkeit, zusammen also 3·2·1=6 Möglichkeiten.
• Diese 6 Möglichkeiten sind für das Ergebnis gleichwertig.
  Man muss also die Anzahl 120 noch durch 6 dividieren. Das ergibt 120:6=20.
  Es gibt also 20 verschiedene Ergebnisse beim "Lotto 3 aus 6".
• Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fall "3 richtige Zahlen" (3r)
  
• Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fall "genau 2 richtige Zahlen" (2r,1f) (2 richtige Zahlen und eine falsche Zahl)
  
• Berechnung der Wahrscheinlichkeit für den Fall "3 richtige oder 2 richtige"
  
• Hausaufgabe: Aufgabe "Lotto 4 aus 8"
• Geburtstagsproblem: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Gruppe von Menschen wenigstens 2 Personen am selben Tag Geburtstag haben?
  Eure Vermutungen lagen für eine Gruppe von 18 Personen zwischen 0,02% und 10%.
  In unserem Kurs waren keine "Geburtstagszwillinge" dabei.
  Zur Berechnung haben wir den Weg über die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses eingeschlagen:
  
  E=Mindestens 2 Personen haben am selben Tag Geburtstag.
  Nicht E=Alle Personen haben an verschiedenen Tagen Geburtstag.
  

2015-02-19

• Kann man den Ereignissen eines Zufallsversuchs eindeutig Zahlenwerte zuordnen, so nennt man die Zuordnungsvorschrift "Zufallsgröße" und die Zahlenwerte die "Werte der Zufallsgröße". Zufallsgrößen kennzeichnet man oft mit den Großbuchstaben X, Y, Z und die Werte mit k.
  
• Wird jedem Wert der Zufallsgröße eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet, so nennt man diese Zuordnungsvorschrift "Wahrscheinlichkeitsverteilung" oder einfach "Verteilung der Zufallsgröße".
• Wir haben die neuen Bezeichnungen an Hand folgenden Beispiels eingeführt:
  Ein Glücksrad besitzt 6 gleich große Sektoren, die mit 0, 0, 0, 1, 1 und 2 beschriftet sind.
  
  Das Rad wird 2-mal gedreht. Die beiden gezogenen Zahlen werden miteinander multipliziert und ergeben den Gewinn in Euro.
  Die Frage ist, wie hoch der Spieleinsatz sein muss, damit das Spiel fair ist (d. h. dass man im Schnitt nichts verliert aber auch nichts gewinnt).
• Zufallsgröße ist hier der Gewinn in Euro.
• Die Werte k der Zufallsgröße X ergeben sich aus der Multiplikation.
  Folgende Zahlenkombinationen sind möglich:
  0·0=0
  0·1=0
  0·2=0
  1·1=1
  1·2=2
  2·2=4
  Damit gilt:
• Da das einmalige Drehen der Scheibe ein Laplace-Versuch ist, kann man die Wahrscheinlichkeit für eine Zahl durch "Anzahl der jeweiligenZahl dividiert durch 6" berechnen:
  p(0)=3/6 ; p(1)=2/6 ; p(2)= 1/6
  Bei der Berechnung der Wahrscheinlichkeiten muss man beachten, das die Ereignisse "erst 0, dann 1" und "erst 1, dann 0" verschiedene Ereignisse sind.
  Durch den vorgestellten Faktor 2 wird das berücksichtigt.
  
  Mit Hilfe des Additionssatzes folgt:
  
  Das bedeutet zum Beispiel: Einen Gewinn von 2 Euro erhält man in 4 von 36 Spielen, also insgesamt 2 Euro · 4 = 8 Euro in 36 Spielen.
  Um den Gewinn pro Spiel zu erhalten, muss man deshalb den Gewinn mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren.
• Errechnet man so den Gewinn für alle Gewinnmöglichkeiten pro Spiel und addiert diese Werte, so erhält man den Gesamtgewinn pro Spiel.
  Diesen Wert nennt man "Erwartungswert".
• Am einfachsten erfolgt die Berechnung (wenn man keinen Taschenrechner benutzen möchte) mit einer Tabelle:
  
  Man kann also pro Spiel mit 44 Cent Gewinn rechnen. Der Einsatz müsste also auch 44 Cent betragen.

2015-02-24

• Nachtrag zum Geburtstagsproblem. Hier die Calc-Tabelle.
• Kombinatorik (anschaulich)
• Allgemeines Zählprinzip
  Wird aus einer beliebigen Anzahl von Urnen, die jeweils beliebig viele (auch unterschiedlich viele), unterscheidbare Kugeln enthalten, jeweils 1 Kugel entnommen, so berechnet sich die Anzahl aller Ergebnisse dieser Ziehung aus dem Produkt der Anzahlen der Kugeln aller Urnen.
  Beispiel: 3 Urnen: In Urne 1 sind 4 Kugeln, in Urne 2 sind 3 Kugeln, in Urne 3 sind 7 Kugeln. Die Gesamtzahl der Ergebnisse beträgt 4·3·7=84.
  allgemein: n Urnen: In Urne i sind a_i Kugeln. Dann gibt es insgesamt a₁·a₂·a₃· ... ·a_n Ergebnisse.
• Ziehen mit Wiederholung unter Berücksichtigung der Reihenfolge
  Das n-malige Ziehen aus einer einzigen Urne mit Zurücklegen der gezogenen Kugel ist ein Spezialfall des jeweils 1-maligen Ziehens aus n Urnen mit der gleichen Anzahl von Kugeln in jeder Urne (siehe Allgemeines Zählprinzip).
  Sind in der Urne n Kugeln und zieht man k-mal mit Zurücklegen, so gibt es n^k mögliche Ergebnisse.
• Ziehen ohne Wiederholung unter Berücksichtigung der Reihenfolge
  Legt man die gezogenen Kugeln nicht wieder zurück, so ist bei jeder folgenden Ziehung eine Kugel weniger in der Urne.
  Zieht man aus einer Urne mit n Kugeln k-mal eine Kugel ohne Zurücklegen, so berechnet sich die Anzahl der Ergebnisse aus
  
  Um eine kompakte Schreibweise dieses Terms zu erhalten, multipliziert man ihn mit (n-k)! und teilt ihn durch (n-k)! Dadurch ändert sich der Wert des Terms nicht:
  
• Ziehen ohne Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
  Beim Ziehen mit Berücksichtigung der Reihenfolge hat man bei k Ziehungen aus n Kugeln Möglichkeitten, wie am 2009-02-06 gezeigt.
  Wenn es aber auf die Reihenfolge nicht ankommt, sind alle k! Möglichkeiten, mit denen man die k Elemente anordnen kann, identisch.
  Man muss also die Anzahl aller Möglichkeiten noch durch k! dividieren und erhält für die Anzahl aller verschiedenen Ergebnisse .
  Als Abkürzung für diesen Ausdruck hat man den Binomialkoeffizienten definiert, welcher "n über k" gelesen wird.
  Es gilt also .
• Ziehen mit Wiederholung ohne Berücksichtigung der Reihenfolge
  Ohne Herleitung wird hier gegeben: Die Anzahl beträgt
  Herleitung1, Herleitung 2
• Weitere Aufgaben zu Zufallsgrößen.

2015-02-26

• Einführung in das Thema Bernoulli-Versuche
• Ein Zufallsversuch ist ein Bernoulli-Versuch, wenn
• es nur zwei Ausgänge gibt (Erfolg und Misserfolg)
• wenn die Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Versuchen gleich bleiben (Ziehen mit Zurücklegen)
• Näherungsweise kann man auch beim Ziehen ohne Zurücklegen von einem Bernoulli-Versuch sprechen, wenn die Anzahl der Ziehungen sehr klein gegenüber der untersuchten Erfolgs-Menge und Misserfolgs-Menge ist.
• Herleitung von Formeln
• Zieht man aus insgesamt k Urnen, die n₁, n₂, n₃, ... , n_k Kugeln enthalten, jeweils 1 Kugel, so gibt es für diesen Vorgang n₁·n₂·n₃· ... ·n_k Möglichkeiten.
• Ist die Anzahl der Kugeln in jeder Urne gleich groß, so hat man n^k Möglichkeiten, aus jeder Urne 1 Kugel zu ziehen.
  Diesen Zufallsversuch könnte man auch mit einer einzigen Urne durchführen, wenn man "mit Zurücklegen" zieht.
• Man würfelt 10-mal mit einem Würfel W6. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 4-mal eine 6 zu würfeln?
  Die Wahrscheinlichkeit für "eine 6" ist 1/6, für "keine 6" 5/6.
  Angenommen, die vier Einsen würden gleich zu Beginn gewürfelt und danach würden nur noch andere Zahlen gewürfelt werden, so ergibt sich die Wahrscheinlichkeit
  
  Nun kann man die vier Sechsen aber nicht nur zu Beginn, sondern auch später würfeln.
  Für die erste 6 hat man dazu 10 Würfe zur Auswahl, für die 2. Sechs noch 9 Würfe, für die 3. Sechs 8 Würfe und für die 4. Sechs 7 Würfe.
  Insgesamt sind es also 10·9·8·7=5040 mögliche Ergebnisse.
  Einige dieser Ergebnisse sind aber doppelt gezählt: Stehen die 4 Würfe mit einer 6 fest, so kann man die Sechsen so auf diese 4 Plätze verteilen, dass die erste Sechs 4 Möglichkeiten, die 2. Sechs 3, die 3. Sechs 2 und die 4. Sechs nur noch 1 Möglichkeit hat. Zusammen sind das 4·3·2·1=24 mögliche Fälle.
  Die Gesamtzahl 5040 muss also durch diese 24 Fälle dividiert werden: 5040/24=210.
  Es gilt also:
  
• Um nicht jedesmal diese Überleguingen durchführen zu müssen, wird nun eine Formel entwickelt für den allgemeinen Fall: k-mal Erfolg bei n Versuchen.
  Die Wahrscheinlichkeit für "Erfolge" sei p und für Misserfolg damit (1-p)=q.
  Die k Erfolge lassen sich wie im Beispiel oben den Versuchen auf n·(n-1)·(n-2)· ... ·(n-k+1) Arten zuordnen.
  Einige, nämlich k·(k-1)· ... ·3·2·1, sind doppelt. Bildet man den Quotienten aus beiden Produkten, so erhält man die tatsächliche Anzahl der erfolgreichen Fälle bei k Erfolgen. Durch Erweitern, Benutzen der Fakultätsdarstellung und Definition von Binomen erhält maneine einfachere Darstellung:
  
  Daraus folgt für die Wahrscheinlichkeit:
  
• Die Berechnungen sind zum Teil sehr zeitaufwändig und durch die vielen Tastendrücke auf dem Taschenrechner auch fehleranfällig.
• Zum Glück gibt es Abkürzungen:
• Die Binome berechnen sich mit n nCr k, wobei man die Funktion nCr so erhält: MATH > PRB > 3:nCr
  Beispiel mit n=10 und k=4:
          
  
• Die Wahrscheinlichkeit kann mit 2nd > DISTR > A:binompdf( berechnet werden, hier am Beispiel :
          
  
• Will man die Verteilung für alle k sehen, so lässt man den 4. Übergabeparameter (hier die 4) weg. Sinnvoll ist eine Darstellung in Listen mit der Möglichkeit, ein Histogramm zeichnen zu lassen:
  Formeln in den Listen L1 und L2:
  L1=seq(X,X,0,10)    "seq" erhält man durch  2nd > LIST > OPS > 5:seq(
  L2=binompdf(10,1/6)
              

2015-03-03

• Besprechung der Hausaufgabe
• Übungen zu Bernoulli-Ketten
• Überspielen des neuen Betriebssystems auf die Taschenrechner

2015-03-05

• Erwartungswert einer Binomialverteilung
• Beim Quiz "quid fit crassus" muss man in jeder Runde 10 Fragen beantworten und erhält jeweils 4 Vorschläge, von denen einer richtig ist.
  Wieviel richtige Antworten wird man im Durchschnitt haben, wenn man ohne Nachzudenken die Antworten ankreuzt?
  Man findet heraus:
  
• für 3 richtige Antworten die Wahrscheinlichkeit
• für k richtige Antworten die Wahrscheinlichkeit
• für k richtige Antworten bei n Versuchen die Wahrscheinlichkeit
• allgemein für k richtige Antworten bei n Versuchen mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p die Wahrscheinlichkeit
  
• Den Erwartungswert erhält man, wenn man für alle k-Werte das Produkt aus k und der entsprechenden Wahrscheinlichkeit bildet und dann die Ergebnisse addiert:
  
  Hier die Berechnung mit dem Taschenrechner:
  L1=seq(X,X,0,10)
  L2=binompdf(10,1/4,L1)
  L3=L1*L2
  E(X)=sum(L3)
       
  
• Im Beispiel wird bei 10 Versuchen und der Wahrscheinlichkeit p=1/4=0,25 der Erwartungswert 2,5 gefunden, also
  Erwartungswert gleich Anzahl der Versuche mal Wahrscheinlichkeit.
  Ist das ein Zufall?
  Wir haben in mehreren allgemeinen Rechnungen (für n=1 bis n=3) diese Gesetzmäßigkeit "bestätigen" können.
  Ein Beweis ist das nicht, aber es ist plausibel:
  Wenn im Beispiel bei 1 Versuch eine von vier Möglichkeiten richtig ist, hat man einen durchschnittlichen Erfolg von 0,25.
  Bei 10 Spielen ist dann der Erfolg 10-mal so groß, also 2,5.
• Bei der Binomialverteilung berechnet sich der Erwartungswert E aus E=n·p.
  Trägt man die Werte der Tabelle als Histogramm auf, so erkennt man, dass der Erwartungswert den Ort des Maximums angibt:
           

2015-03-10

• Wiederholung zum Erwartungswert bei Binomialverteilungen
• E=n·p
• Das Maximum des Histogramms ist an der Stelle k zu finden, bei der gilt k=E.
• "Überprüft" werden kann das durch Simulation mit dem Taschenrechnerbefehl randBin:
  Eine n-stufige Bernoulli-Kette mit der Erfolgswahrscheinlichkeit p soll a-mal wiederholt werden.
  Der Mittelwert der Ergebnisse entspricht dann etwa dem Erwartungswert:
  n=20; p=0,4; a=50; n·p=8,0
          
       
• Aufgabe (Auslastungsmodell) zur Einführung in die kumulierte Binomialverteilung
  5 Schüler sollen als Gruppenarbeit eine Aufgabe in 90 Minuten bearbeiten.
  Während 1/3 der Arbeitszeit müssen die Schüler einen Computer benutzen.
  Wieviel Computer sollte man den Schülern zur Verfügung stellen? Die Computer sollen nicht ungenutzt herumstehen, die Schüler sollen aber auch nicht zu lange auf eine freien Computer warten müssen.
• Im Unterricht wurden 2 zur Verfügung gestellte Computer als angemessen angesehen.
  Zur Überprüfung dieses Vorschlags sollte berechnet werden, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass mehr als 2 Computer benötigt werden.
  n=5; p=1/3
  Gesucht ist P(k>2) = P(k=3)+P(k=4)+P(k=5) = 1-P(k=0)+P(k=1)+P(k=2) = 1-P(k<3)
  Hier müssen auf alle Fälle 3 Werte berechnet werden. Bei größerem n steigt die ANzahl der zu berechnenden Werte.
  Man erstellt deshalb Tabellen mit kumulierten Wahrscheinlichkeitswerten, d.h. Werten mit P(X<=k) an der Stelle k:
  
  In der Aufgabe gilt: P(k>2) = 1-P(k<3) = 1-P(k<=2) = 1-0,7901 = 0,2099,
  d.h. in etwa 21% aller Fälle müsste ein Schüler warten.
  Würden 3 Computer zur Verfügung gestellt, so ergäbe sich für die Wahrscheinlichkeit, dass man wareten müsste
  P(k>3) = 1-P(k<=3) = 1-0,9547 = 0,0453, also etwa 4,5%.

2015-03-12

• Weitere Übungen zum Auslastungsmodell und zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit der kumulierten Binomialverteilung.
  Wir haben besprochen, wie man Wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse und zusammenhängender Ereignisse umschreiben kann, so dass sie mit der kumulierten Binomialverteilung zu berechnen sind:
  kann unmittelbar abgelesen werden
  
  
  
  
  
  
   

2015-03-17

• Häufig ist es schwierig, das richtige Wahrscheinlichkeitsmodell für einen Vorgang zu finden.
  Man hat deshalb einige Modelle entwickelt, die sich auf eine große Anzahl von Vorgängen anwenden lassen.
  Neben dem schon in der Sek.I bekannten Urnenmodell haben wir heute das Kugel-Fächer-Modell kennengelernt.
  n Kugeln sollen dabei auf f Fächer verteilt werden. Gefragt wird dann z. B., wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass k Kugeln in einem Fach liegen.
  Die Berechung erfolgt mit der Binomialverteilung, wobei n die Anzahl der Kugeln angibt und die Wahrscheinlichkeit p der Kehrwert der Fächerzahl ist: p=1/f.
• Der Zufallsversich kann mit folgendem Java-Programm simuliert werden:
  
  Stimmt die Anzahl der Kugeln mit der Anzahl der Fächer überein, so gilt n=f und p=1/n.
  Damit hat der Erwartungswert den Wert E(X)=n·p=n·1/n=1.
  Die Simulation deutet darauf hin, dass der Wert 0 aber etwa gleich häufig wie der Wert 1 auftritt:
  
  Dass das so sein muss, zeigt die Berechnung:
  
  

2015-03-24

• Problem der vollständigen Serie
• Beispiel:
  Ein Würfel W6 wird so oft geworfen, bis alle Zahlen einmal als Ergebnis registriert worden sind.
  Die Ergebnisse der Simulation im Kurs sind in folgender Tabelle zu finden:
  
  Zur Berechnung des Erwartungswertes (wie oft muss man im Schnitt würfeln, bis alle Zahlen einmal aufgetaucht sind?) haben wir beim Taschenrechner die obere Zeile in die Liste L1 und die untere Zeile in die Liste L2 eingetragen.
  In Liste L3 wurde dann mit der Formel L3=L1*L2 das Produkt aus Anzahl der Würfe und der absoluten Häufigkeit gebildet.
  Danach wurde mit sum(L3) die Summe der Werte in Liste 3 gebildet.
  Da es beim Erwartungswert aber auf die relativen Häufigkeiten ankommt, wurde dieses Ergebnis dann mit sum(L2) durch die Anzahl aller Versuche dividiert.
  Kürzer hätte man auch rechnen können: sum(L1*L2)/sum(L2).
  Es ergab sich der Erwartungswert 14,6.
  Der durchgeführte Zufallsversuch legt also nahe, dass man im Schnitt etwa 14- bis 15-mal würfeln muss, um alle Würfelzahlen einmal zu erhalten. 
• Theoretische Überlegung:
  Man überlegt sich, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, die einzelnen Zahlen des Würfels der Reihe nach zu erhalten.
• Zu Beginn ist die Sache einfach:
  Die 1. gewürfelte Zahl ist garantiert noch nicht gefallen und deshalb ist die Wahrscheinlichkeit, eine neue Zahl zu erhalten gleich 1.
• Für die 2. Zahl stehen noch 5 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 5/6.
• Für die 3. Zahl stehen noch 4 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 4/6.
• Für die 4. Zahl stehen noch 3 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 3/6.
• Für die 5. Zahl stehen noch 2 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 2/6.
• Für die 6. Zahl stehen noch 1 Zahlen von insgesamt 6 zur Verfügung.
  Die Wahrscheinlichkeit, jetzt eine noch nicht gezogene Zahl zu erhalten, ist deshalb 1/6.
• Nun überlegt man sich, wie oft man einen Bernoulli-Versuch (E(X)=n·p) durchführen muss, damit man 1-mal Erfolg hat:
  n muss der Kehrwert der Wahrscheinlichkeit sein.
  Das heißt in unserem Fall:
• Um die erste Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 1-mal oder 6/6-mal würfeln.
• Um dann die 2. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/5-mal würfeln.
• Um dann die 3. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/4-mal würfeln.
• Um dann die 4. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/3-mal würfeln.
• Um dann die 5. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/2-mal würfeln.
• Um dann die 6. Zahl zu erhalten, muss man im Schnitt 6/1-mal würfeln.
• Insgesamt muss man also so oft würfeln: 6/6+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1 = 6·(1/1+1/2+1/3+1/4+1/5+1/6) = 6·2,45 = 14,7
  Dieser theoretisch berechnete Wert stimmt sehr gut mit unserem empirisch berechneten Wert (14,6) überein.
• Hat man nicht 6 mögliche Ergebnisse, sondern allgemein n Ergebnisse, so kann die Überlegung genau so durchgeführt werden und man erhält für die Anzahl der Würfe:
  
• Zum vereinfachten Durchführen weiterer Versuche zur vollständigen Serie kann das Java-Programm benutzt werden:
  
  Eingegeben werden kann die Anzahl der "Fächer" (z. B. 6 für die Zahlen auf einem Würfel) und die Anzahl der Versuche.
  Die "gewürfelten" Zahlen und die Anzahl der Würfe bis zur vollständigen Serie sind im rechten Bereich gelistet.

2015-04-14, 2015-04-16 und 2015-04-21

• Nach den Ferien zunächst Übungsaufgaben zum schon behandelten Stoff.

2015-04-23

• Wiederholung zur Berechnung der Standardabweichung.
  Siehe dazu den Eintrag am 2015-02-05.
• Untersuchung von Binomialverteilungen mit dem Erwartungswert 2 (Beispiel n=8 ; p=0,25 ; E=n∙p=8∙0,25=2), siehe Calc-Datei.
  
  Je nach Größe von n sind die k-Werte mehr oder weiniger verteilt.
  Die Standardabweichung σ vom Erwartungswert 2 haben wir nach der bekannten Methode berechnet.
  Es ergab sich etwa 1,22, d. h. in der Umgebung von σ-1,22 bis σ+1,22 liegen die k-Werte 1, 2 und 3.
  Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis in dieser σ-Umgebung berechnet sich aus der kumulierten Binomialverteilung (gelbe Markierungen) wie folgt:
  p(1 ≤ k ≤ 2)=p(k ≤ 2) - p(k ≤ 0) = 0,8862 - 0,1001 = 0,7861.

2015-04-28

• Varianz und Standardabweichung bei Bernoulli-Ketten
  Schon bekannt ist der Erwartungswert bei Bernoulli-Ketten: E(X)=n·p.
  Für die Fälle n=1 und n=2 haben wir wie schon bekannt mit der Summe aus (k-E(X))²·p(X=k) die Varianz und mit anschließendem Wurzelziehen die Standardabweichung berechnet.
  n=1:
  
  Berechnung von V(X) durch Addition:
  
  n=2:
  
  Berechnung von E(X):
  
  Berechnung von V(X):
  
• Auf den allgemeinen Beweis verzichten wir in unserem g-Kurs lieber...
  Es ergibt sich für beliebiges n: V(X)=n·p·q
• Insgesamt ergibt sich also:
  

2015-04-30

• Neben Übungen zum Erwartungswert und zur Standardabweichung bei der Binomialverteilung haben wir untersucht, für welchen Wert von p die Standardabweichung maximal ist:
• Vergleich der Binomialverteilungen für n=100 und verschiedene Wahrscheinlichkeiten (Vielfache von 0,1 und dazu p=0,01 und p=0,09):
  
  Man sieht, dass für den Fall p=0,5 die Verteilung am breitesten ist. Deshalb wird dort auch wohl die Standardabweichung am größten sein.
• Für n=50 wird für die Wahrscheinlichkeiten p (mit p aus der Menge {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}) jeweils die Standardabweichung berechnet und graphisch dargestellt:
       
  Man erkennt aus dem rechten Bild, dass die Standardabweichung für p=0,5 anscheinend maximal wird.
• Da nur für ausgewählte p-Werte die Untersuchung durchgeführt wurde, berechnen wir zur Sicherheit den Wert exakt:
  Das Maximum einer Funktion findet man, indem man die Funktionsgleichung ableitet, gleich 0 setzt und dann nach der Variable auflöst:
  
  Auch rechnerisch ergibt sich der Wert p=0,5.
• Lösung der Umrechnungsaufgaben:
  Verwendet werden die Formeln p+q=1 ; μ=n·p ; σ²=n·p·q
• gegeben sind μ und σ, gesucht sind n und p:
  Aus σ²=n·p·q und μ=n·p folgt durch Dividieren:
  
  
• gegeben sind n und σ, gesucht ist p:
  
  Die Lösung ist nicht eindeutig. Eine der Lösungen ist p, die andere ist q. Beweis:
  
• gegeben sind σ und p, gesucht ist μ:
  

2015-05-05

• Zu finden waren in einer Aufgabe die Standardabweichungen für die Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Würfels mit n gleichen Flächen.
  Die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Augenzahl zu erhalten, ist 1/n.
  Da es mehr als 2 verschiedene Ergebnisse gibt, darf nicht mit Binomialverteilung gerechnet werden.
  Die Berechnung erfolgt mit Hilfe des Taschenrechners:
  L1: k_Werte von 1 bis n
  L2: Multiplikation des jeweiligen k-Wertes mit der Wahrscheinlichkeit 1/n.
  Die Summe der Liste 2 ergibt den Erwartungswert.
  L3: Quadratische Abweichung der k-Werte vom Erwartungswert, multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit 1/n.
  Die Wurzel aus der Summe der Werte in L3 ergibt die Standardabweichung.
• Soll die Berechnung für viele verschiedene Würfel durchgeführt werden, enthalten die Listen unterschiedlich viele Zahlen (jeweils n).
  Man kann sich die Auswertung einfacher machen, indem man bei den Listen auf Inhalte von Speichern zugreift.
  Mit STO → N speichert man den n-Wert.
  In die Listen werden folgende Formeln eingegeben. Man setzt die Formeln in Anführungszeichen, damit die Berechnung immer wieder für neue Werte im Speicher N aktualisiert wird.
  L1 = seq(X,X,1,N,1)
  L2 = L1/N
  L3 = (L1-sum(L2))²/N
  In der allgemeinen Ansicht können dann neue n-Werte eingegeben und μ- bzw. σ-Werte ausgegeben werden:
  
  
  Dividiert man den Umfang der 1σ-Umgebung (also 2σ) durch die Anzahl n, so ergibt sich fast immer derselbe Wert 0,5...
  
  Die Bezeichnung "Standard"-Abweichung hat also ihre Berechtigung.
• In der nächsten Stunde werden wir untersuchen, ob bei Binomialverteilungen die Standardabweichung auch eine aussagekräftige Funktion hat.

2015-05-07

• Um die Bedeutung der Standardabweichung σ bei der Binomialverteilung zu erklennen, haben wir folgende "Experimente" vorgenommen:
  1. Bei gleich bleibender Wahrscheinlichkeit p wird die Anzahl n der Versuche geändert. Die Standardabweichung σ wird jedesmal ermittelt.
  2. Bei gleicher Anzahl n der Versuche wird die Wahrscheinlichkeit p der Versuche geändert. Die Standardabweichung σ wird jedesmal ermittelt.
• Zu 1.:
  Berechnung von σ (L2) in Abhängigkeit von n (L1) für p=q=0,5:
  L1 = seq(50*X,X,1,4,1)
  L2 = √(L1*0.5*0.5)
  
  Nun wird berechnet, wie groß der Prozentsatz der Versuche ist, der ein Ergebnis im Bereich der 1σ-Umgebung liefert.
  P(25-3≤X≤25+3) = P(X≤28) - P(X≤21) → binomcdf(50,0.5,28)-binomcdf(50,0.5,21) = 0,677
  allgemein: binomcdf(n,p,μ+σ)-binomcdf(n,p,μ-σ-1)
  Auch in den anderen Fällen ergibt sich eine Wahrscheinlichkeit um 0,7.
  Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis innerhalb der Standardabweichung scheint also nicht von der Anzahl n der Versuche abzuhängen.
• Auch bei konstantem n und variablem p haben wir gesehen:
  Die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis innerhalb der Standardabweichung scheint nicht von der Wahrscheinlichkeit p abzuhängen.
• Diese Gesetzmäßigleit gilt für Standardabweichungen größer als 3 (Laplace-Bedingung)
• In weiteren Rechnungen haben wir folgende Ergebnisse erhalten:
  

2015-05-12

• Übungen zu den Sigma-Regeln.

2015-05-21

• Schluss von deer Gesamtheit auf die Stichprobe
  Kennt man bei einer Binomialverteilung die Erfolgswahrscheinlichkeit p für einen n-stufigen Versuch, gibt es für die Sicherheitswahrscheinlichkeit p_Sicherheit ein Intervall μ∓k∙σ, in dem das Ergebnis mit der Sicherheits-Wahrscheinlichkeit liegt: P(μ-k∙σ ≤ X ≤ μ+k∙σ)≤p_Sicherheit.
  Teilt man die Ungleichung durch n, so erhält das Intervall nicht die Absolutverwerte, sondern Wahrscheinlichkeiten, bzw. statt der absoluten Häufigkeit X die relative Häufigkeit X/n.
  Kennt man z. B. die Hochrechnung für eine Wahl und den genauen Ausgang (jeweils angegeben in Prozent für eine Partei), so kann man in Abhängigkeit von der Anzahl n der Befragten ein Intervall von Prozentwerten angeben, in dem zu einer bestimmten Sicherheitswahrscheinlichkeit die Prozentzahl der Hochrechnung liegen wird.
  
  

2015-05-28

• Sigma-Regeln sind Näherungsregeln und liefern nicht unbedingt richtige Ergebnisse.
  Beispiel:
• Aufgabe:
  Man würfelt mit einem W6-Würfel 180-mal. Zu berechnen ist, wie oft dabei im Schnitt die 4 gewürfelt wird. Dann ist das kleinste Intervall gesucht, für das gilt, dass mit mindestens 90% Sicherheit ein Ergebnis (Häufigkeit des Auftretens der Zahl 4) in diesem Intervall liegt.
• Lösung:
  Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten der Zahl 4 ist p=1/6. Beim 180-fachen Würfeln kann man also mit 180∙1/6=30 Vieren rechnen. 30 ist der Erwartungswert μ=n∙p.
  Die Sigma-Regel für 90%-Sicherheit lautet P(μ-1,64∙σ ≤ X ≤ μ+1,64∙σ) ≤ 0,90.
  In diesem Fall ergibt sich mit σ²=180∙1/6∙5/6=25 bzw. σ=5 die Ungleichung P(30-1,64∙5 ≤ X ≤ 30+1,64∙5) ≤ 0,90 bzw. P(21,8 ≤ X ≤ 38,2) ≤ 0,9.
  Daraus folgt als Lösung für das abgeschlossene Intervall [22 ; 38].
• Da die Sigma-Regeln nur Näherungen liefern, wird das exakte Ergebnis zum Vergleich berechnet.
  In diesem Fall kennen wir aus der Näherungsrechnugn in etwa die Grenzen des Intervalls.
  Man kann die Intervallgrenzen aber z.B. auch so ermitteln:
  In einem Graph werden in Abhängigkeit von der halben Intervalllänge die Sicherheitswahrscheinlichkeiten abgetragen. Der daraus entstehende Graph wird zum Schnitt mit dem Graph von y=0,9 (Wahrscheinlichkeit von 90%) gebracht. Die zum Schnitt gehörenden halben Intervalllängen geben das Intervall für die 90%-Sicherheits-Wahrscheinlichkeit an:
  L1=seq(X,X,1,10,1)
  L2=binomcdf(180,1/6,30+L1)-binomcdf(180,1/6,30-L1-1)
  
  Die Grenze zu 90% liegt zwischen den Abständen 7 und 8. Folglich ergibt sich das gesuchte kleinste Intervall aus 30-7=23 und 30+7=37.
  Die exakte Lösung liefert also das Intervall [23 ; 37]. Dieses Intervall ist also kleiner als das mit den Sigma-Regeln ermittelte Intervall.

2015-06-02

• Wiederholung zur Klausur 3

2015-06-04

• Wiederholung zur Klausur 3
  Auslastungsmodell, Kugel-Fächer-Modell, 1/e-Gesetz

2015-06-09

• Wiederholung zur Klausur 3

2015-06-11

• Klausur 3  [ Aufgaben | Lösungen]

2015-06-15

• Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe
  Eine Firma, die Lose für Jahrmarktsbetriebe herstellt, behauptet, 50% ihrer Lose seien Gewinne.
  Ein Schausteller verlässt sich auf diese Angabe, will aber auf Grund von Verlusten diese Angabe überprüfen.
  Er öffnet 500 Lose und stellt dabei 273 Gewinne fest.
  Ist dieses Ergebnis verträglich (Ergebnis innerhalb der 95%-Umgebung des Erwartungswertes) mit der Behauptung p=0,5 für die Wahrscheinlichkeit eines Gewinnes?
  Er rechnet:
  Erwartungswert: μ=n·p=500·0,5=250
  Standardabweichung: σ=√(n·p·(1-p))=√(500·0,5·0,5)=√(125)=11,18
  95%-Umgebung: 1,96·σ=1,96·11,18=21,91≈22
  Abweichung nach oben (273>μ=250), also obere Grenze der 95%-Umgebung: μ+1,96·σ=250+22=272
  Das Ergebnis 273 liegt also soeben nicht in der 95%-Umgebung.
• Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit
  Nun stellt sich die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit p für ein Gewinn-Los das Ergebnis des Zufallsversuchs verträglich ist.
  In der Ungleichungskette
  
  ist der Wert für p gesucht.
  Eine rechnerische Herleitung der Lösung findet man unter
  http://gfs.khmeyberg.de/Materialien/IIMathematik/stichprobegesamtheit.pdf
• Graphische Lösung der Ungleichung:
  Für die Ränder des Intervalls gelten die Gleichungen
  
  Interpretiert man die rechten Seiten der Gleichungen als Funktionsterme, so kann man aus den Graphen für jeden p-Wert die entsprechende obere und untere Grenze der 95%-Umgebung ablesen. Die Gerade mit der Gleichung y=273 schneidet dann die beiden Graphen in den Punkten, zu denen als p-Wert die gesuchten Wahrscheinlichkeiten p₁ und p₂ gehören, zwischen denen die mit dem Versuchsergebnis verträglichen Wahrscheinlichkeiten liegen.
• Lösung mit dem Taschenrechner (INTERSECT im Menue CALC):
             
  
             
  
             
  Es ergeben sich die p-Werte p₁=0,502 und p₂=0,589.
• Lösung mit GeoGebra (download der Datei)
  
• Lösung mit dem SOLVER-Befehl auf dem Taschenrechner (MATH > B:SOLVER):
          
  
      
  
• Zum Schluss noch die wohl einfachste Methode (ob die aber im Abitur erlaubt ist, ist fraglich) mit dem Taschenrechner:
  STAT > TESTS > A:1-PropZInt
           

2015-06-18

• Weitere Übungen zum Thema Konfidenzintervall.
• Frage nach dem notwendigen Stichprobenumfang, um im 95%-Intervall nur eine ganz bestimmte Abweichung vom Erwartungswert (bzw. von der relativen Häufigkeit) zu haben.
  
  Wenn die "wahre" Wahrscheinlichkeit um höchstens 1% von der relativen Häufigkeit abweichen soll, braucht man also einen Stichporobenumfang von knapp n=10000.

2015-06-25

• Übung zum Thema Konfidenzintervalle am Beispiel "Heftzweckenwurf"
  Pro Schülergruppe wurde mit 10 Heftzwecken mehrfach "gewürfelt".
  Mit der erhaltenen relativen Häufigkeit wurde dann ein Intervall ermittelt, in dem mit 95%-Sicherheit die Wahrscheinlichkeit enthalten ist, mit der eine Heftzwecke mit der Spitze nach oben fällt.
  Ergebnisse: (nicht überprüfte Angaben der Schüler)
   
  Man erkennt, dass die Intervallbreite bei wachsendem Stichprobenumfang sinkt.
• Um herauszufinden, wie groß der Stichprobenumfang sein muss, damit bei 95%-Sicherheit die Intervallbreite einen bestimmten Wert annimmt, stellt man die Abweichungen von der relativen Häufigkeit (in der Graphik "p") in Abhängigkeit von n (in der Graphik "x") dar. Zusätzlich lässt man auch Graphen zeichnen, deren waagrechte Linien die Breite des gewünschten Intervalls veranschaulichen. Die Schnitte der Graphen liegen an den n-Werten, die den erforderlichen Stichprobenumfang angeben.
  
  GeoGebra-Datei zum Herunterladen.

2015-07-07

• Rückgabe der Klausur 3  [ Aufgaben | Lösungen ]

2015-07-09

• Besprechung der Klausur 3  [ Aufgaben | Lösungen ]
  und der Zeugnisnoten

2015-07-14 und 2015-07-16

• Ausblick auf das nächste Schuljahr:
  Vektorrechnung
• Koordinaten im 3-dim-Raum
• Definition eines Vektors
• Addition von Vektoren
• Multiplikation eines Vekttors mit einer Zahl
• Gleichungen mit Vektoren - Lösung eines Gleichungssystems
• Länge eines Vektors (Pythagoras im 3-dim-Raum)
• 3-dim-Geometrie mit GeoGebra