Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 11ma5g

Gleichungssysteme

• Funktionen
• Werden die Elemente einer Menge (z. B. x-Werte) den Elementen einer anderen Menge (z. B. y-Werte) zugeordnet, so spricht man von einer "Relation". Dabei ist es gleich, ob einem x-Wert mehrere y-Werte zugeordnet werden oder ob zu einem y-Wert mehrere x-Werte gehören.
• Es gibt Relationen, die man "Funktion" nennt, wenn eine Zusatzbedingung erfüllt ist: Zu jedem x-Wert darf es nur genau einen y-Wert geben. Eine solche Funktion heißt "eindeutig", da für jeden x-Wert eindeutig feststeht, welcher y-Wert dazu gehört.
• Gilt bei Funktionen sogar, dass auch zu jedem y-Wert nur ein x-Wert gehört, so nennt man diese Funktionen "eineindeutig", weil die Eindeutigkeit für beide Richtungen gilt.
• In folgender Abbildung sind die für die Unterscheidung wichtigen Zuordnungspfeile in grün gezeichnet.
   
  
• Wiederholung zu verschiedenen Funktionstypen:
  
  Potenzfunktionen und Wurzelfunktionen sind Umkehrfunktionen, da sie durch Auswechseln von x und y auseinander entstehen.
  Aus dem Grund sind auch Exponenzialfunktionen und Logarithmusfunktionen Umkehrfunktionen.
  
• Verschieben und Strecken von Funktionsgraphen im Koordinatensystem:
  Eine Funktion g(x) entsteht dadurch, dass eine Funktion f(x) um a in y-Richtung gestreckt wird, um b in x-Richtung verschoben wird, um c in y-Richtung verschoben wird:
  
  Diese Verschiebungs- und Streckungsoperationen lassen sich auf alle Funktionstypen anwenden.
• Zum Üben hier das Java-Programm Training zum download
  

2014-09-16

• Wiederholung zu den Themen Differenzenquotient, Ableitung, Ableitungsregeln, Extrempunkte, Wendepunkte, graphisches Differenzieren
  

2014-09-18

• Übungen zu Wendepunkten und zum Krümmungsverhalten
• Einführung in das Thema "Gleichungsssysteme"
  
  Zwei zur Zeit ausgetrocknete gerade Gräben (blau, g1 und g2) sollen durch einen parabelförmigen Graben (rot, f) verbunden werden, damit der oberhalb von f gelegene Zeltplatz von einem Bach umflossen werden kann. Die Funktionsgleichung für f ist gesucht. Die Endpunkte von g₁ und g₂ liegen in den Punkten (1/1) und (6/4).
  Aufstellen der Geradengleichungen für g₁ und g₂:
  g₁(x)=-x+2
  g₂(x)=4x-20
  Die Graphen von f und g₁ bzw. g₂ müssen an den Nahtstellen übereinstimmen. Daraus folgen diese Gleichungen:
  f(x)=a∙x²+b∙x+c
  f(1)=g₁(1)=1=a+b+c
  f(6)=g₂(6)=4=36∙a+6∙b+c
• Fortsetzung in der nächsten Stunde.

2014-09-23

• Lösung des Gleichungssystems aus der letzten Stunde:
   
  daraus folgt für die Funktionsgleichung:
  
  Es ergibt sich also keine eindeutige Funktionsgleichung, sondern aus dem Gleichungssystem folgen unendlich viele verschiedene Funktionen (je nach Wahl der Variablen a).
  Die Mehrdeutigkeit des Ergebnisses folgt daraus, dass es nur 2 Gleichungen für 3 Variablen gibt.
  In der Abbildung oben ist eine Funktion ausgewählt (für a=0,3), die schon sehr gut passt, die aber bei der rechten Nahtstelle einen Knick aufweist.
• Eine knickfreie Darstellung ergibt sich, wenn neben den Funktionswerten auch die Steigungen der sich treffenden Graphen übereinstimmen.
  Man müsste also fordern:
  f(1)=g₁(1)
  f(6)=g₂(6)
  f'(1)=g₁'(1)
  f'(6)=g₂'(6)
  Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem:
  
  Mit Hilfe der Gleichungen (1), (3) und (4) kann man relativ einfach Lösungen für a, b und c erhalten: a=1/2, b=-2, c=5/2.
  Zeichnet man den Graphen f(x) für diese Werte, sieht man, dass sich an der rechten Nahtstelle die Graphen nicht berühren.
  Es wurde nämlich die Gleichung (2) nicht berücksichtigt, die für diese Nahtstelle zuständig ist. Setzt man die Werte für a, b und c in Gleichung (2) ein, so ergibt sich 17/2 ≠ 4!
  Da 3 Gleichungen reichen, um 3 Variable zu bestimmen, wäre es ein sehr großer Zufall, wenn die 4. Forderung auch erfüllt wäre.
• Da wir für den gewünschten Wasserlauf 4 Forderungen stellen, müssen wir als Ansatz eine Funktion f(x) mit dem Grad 4 wählen, also f(x)=a∙x3+b∙x2+c∙x+d.
  Zur Lösung müssen wir dann
  das Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und 4 Variablen in
  ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Variablen und das dann in
  ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 2 Variablen und das dann in
  1 Gleichung mit 1 Variable umformen.
  Schrittweise lassen sich dann mit der Kenntnis dieser einen Variable auch die anderen Variablen bestimmen:
  

2014-09-25

• Gaußsches Lösungsverfahren für Gleichungssysteme, gezeigt an einem Beispiel:
  
  Die Lösungsidee wurde schon in der letzten Stunde angewendet: 3 Gleichungen mit 3 Variablen werden vereinfacht zu 2 Gleichungen mit 2 Variablen und daraus ergibt sich dann 1 Gleichung mit 1 Variable.
  Hier wird das Verfahren aber so durchgeführt, dass es unabhängig von den bestehenden Zahlenwerten immer angewendet werden kann.
  Ziel ist, in einer Diagonalen die Variablen zu haben (und links unten und rechts oben nur 0-Werte) und rechts die Ergbenisse für die Variablen.
• Einfacher lassen sich Gleichungssysteme mit dem Taschenrechner und den Matreix-Funktionen lösen.
  Siehe dazu diese Anleitung für den TI-84.
  Lösung der Aufgabe mit dem Taschenrechner:
  
• Sind mehr Variablen als Gleichungen vorhanden, so ergibt sich (letzte Gleichung wurde entfernt):
  
  Aus a+7/6c=19/6 und b-5/6c=-11/6 ergeben sich unendlich viele Lösungen mit a=-7/6c+19/6 und b=5/6c-11/6 mit einem beliebig zu wählenden Parameter c.
  Das Gleichungssystem ist unterbestimmt: Es gibt unendlich viele Lösungen.
• Sind mehr Gleichungen als Variablen vorhanden, so ergibt sich (es wurde eine beliebige Gleichung hinzugefügt):
  
  Die untere Gleichung lautet 0=1. Da das eine falsche Aussage ist, gibt es keine Lösung des Gleichungssystem. Das Gleichungssystem ist überbestimmt.

2014-09-30

• Aufgaben zum Thema Gleichungssysteme
• Zahlenrätsel
  1. Eine 3-stellige Zahl besitzt die Quersumme 10.
  2. Das 7-fache der mittleren Ziffer ist 3-mal so groß wie die Summe der beiden äußeren Ziffern.
  3. Streicht man die 1. Ziffer, erhält man eine Zahl, die um 21 kleiner ist als die Zahl, die man erhält, wenn man die 3. Ziffer streicht.
  Lösung:
  Aufstellen der Gleichungen zu jeder Bedingung:
  1. a+b+c=10
  2. 7b=3∙(a+c)
  3. 10b+c=10a+b-21
  Umformen der Gleichungen als Vorbereitung zum Lösen des Gleichungssystems mit dem GTR (Matrix):
  1. a+b+c=10
  2. -3a+7b-3c=0
  3. -10a+9b+c=-21
  Lösung mit dem Taschenrechner:
     
  Die gesuchte Zahl ist 532.
• Um ein Lager zu räumen, werden die restlichen Produkte zu 3 Sortimenten (Bücher, CDs und Videos)  zusammengestellt, die dann mit Rabatt abgegeben werden sollen.
  Vorgesehen ist folgende Aufteilung:
  
  Wie viele Sortimente 1, 2 und 3 müssen bereit gestellt werden?
  Lösung:
  Wenn s₁, s₂ und s₃ den Umfang der Sortimente angeben, kann man folgende Gleichungen aufstellen:
  1.  3s₁+ 2s₂+ 5s₃= 2630
  2.  2s₁+ 5s₂+ 3s₃= 3219
  3.  4s₁+   s₂+ 3s₃= 2199
  Lösung mit dem Taschenrechner:
       
  Es muss 320 mal Sortiment 1 gebildet werden, 415 mal Sortiment 2 und 168 mal Sortiment 3.

2014-10-02

• Beispiele für Aufgaben, die mit Gleichungssystemen gelöst werden können
• Teemischung
  Aus drei Teesorten soll eine Teemischung erstellt werden.
  Jeweils 500g der Teesorten kosten bei Sorte A 5€, bei Sorte B 6€ und bei Sorte C 9€.
  500g der Teemischung sollen 7€ kosten.
  Wie muss man die Teesorten mischen?
  Lösung:
  Bezeichnet man die Anteile (also z. B. a=2/3, wenn 2/3 der Gesamtmenge aus Sorte A besteht) der Teesorten mit a, b und c, so ergibt sich folgende Gleichung: 5a+6b+9c=7
  Da die einzelnen Anteile zusammen 1 ergeben, folgt als 2. Gleichung a+b+c=1
  Lösung mit dem Taschenrechner:
       
  Da das Gleichungssystem unterbestimmt ist (2 Gleichungen bei 3 Variabeln), ergeben sich (möglicherweise) unendlich viele Lösungen für a und b in Abhängigkeit von c:
   
  Da a, b und c nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen können, ergibt sich für c aus der Gleichung für a der Bereich ]1/3,2/3[ und aus der Gleichung für b der Bereich ]1/4,1/2[, zusammen betrachtet muss also c aus dem Intervall ]1/3,1/2[ kommen.
  Daraus folgen dann wieder für a und b die möglichen Intervalle ]0,1/2[ für a und ]0,2/3[ für b.
  Der Wert 5/12 zwischen 1/3 und 1/2 liegt, kann man für c  z. B. c=5/12 wählen. Daraus ergibt sich dann a=15/12-1=3/12 und b=2-20/12=4/12.
  Die Teemischung könnte dann also aus 3/12=1/4 der Sorte A, aus 4/12=1/3 der Sorte B und aus 5/12 der Sorte C bestehen.
• Berechnungen zum Verkehrsfluss an einer Kreuzung
  
  Der zu- und abfließende Verkehr an einer Kreuzung wird durch das Diagramm angegeben (Autos pro Zeiteinheit).
  Die Werte für den inneren Kreuzungsbereich sollen berechnet werden.
  Dazu wird an den Kreuzungspunkten A, B, C und D jeweils die Summe derzu- und abfließenden Fahrzeuge gezählt. Das Ergebnis muss 0 ergeben,
  A: 110+x₄-80-x₁=0
  B: x₁+50-70-x₂=0
  C: 100+x₂-90-x₃=0
  D: 120+x₃-140-x₄=0
  Umformen, Matrix bilden, Matrix mit dem rref-Befehl vereinfachen, Umwandeln in Koordinatensystem, x₄=r setzen, x₁ bis x₄ berechnen:
  
  Erlaubte Werte für r berechnen: Wegen x₄=r gilt r ≥ 0. Nach oben hin gibt es für r keine Grenze.

2014-10-07

• Weitere Übung zum Aufstellen und Lösen von Gleichungssystemen:
  
  Es ist eine Funktionsgleichung für die gegebene Kurve 3. Grades gesucht.
  Zu sehen sind 2 Nullstellen und 3 weitere Punkte mit klar erkennbaren Koordinaten, 2 Extrempunkte und ein Wendepunkt.
  Daraus folgen Bedingungen für das benötigte Gleichungssystem.
  f(0)=0
  f(3)=6
  f(6)=3
  f(9)=0
  f(12)=6
  f'(3)=0
  f'(9)=0
  f''(6)=0
  Die gesuchte Gleichung in allgemeiner Forem und ihre Ableitungen:
  
  Das Einsetzen der Gleichungen ergibt folgendes Gleichungssystem
   
  Da nur 4 Variablen vorkommen, reichen 4 der Gleichungen, um die Variablen zu bestimmen.
  Aber Vorsicht: Es dürfen nicht alle 3 Gleichungen mit den Ableitungen verwendet werden, da wegen der Gleichung 3. Grades der Wendepunkt der Symmetriepunkt der Kurve ist und durch die Lage eines Extrempunktes die Lage des anderen Punktes automatisch festgelegt ist.
  Die verwendeten Gleichungen müssen voneinander unabhängig sein!
  Genau so darf man nicht den Wendepunkt und die beiden Punkte (0/0) und (12/6) verwenden.
  Wählt man f(0), f(3), f(6) und f'(3) aus, so ergibt sich
       
  Die gesuchte Funktionsgleichung ist also
   

2014-10-14

• Überblick über den bisherigen Stoff und Wiederholung zur Klausur

2014-10-16

• Klausur 1   [ Aufgaben | Lösungen ]