Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 10e

Modellieren periodischer Vorgänge

• Einführung der allgemeinen Sinusfunktion: y=a∙sin(d∙x-b)+c
  a: Streckung in y-Richtung; je größer a, desto größer ist die Amplitude
  b: Verschiebung in x-Richtung
  c: Verschiebung in y-Richtung
  d: Streckung in x-Richtung; je größer d, desto kleiner wird die Periodenlänge der Sinuskurve
• Übungen zu der allgemeinen Sinusfunktion mit dem Programm Training:
    

2015-06-24

• Besprechung und Rückgabe der Klassenarbeit 4  [ Aufgaben | Lösungen ]

2015-06-29

• Wiederholung:
• Berechnen von Seitenlängen und Winkeln eines n-Ecks, wenn die Koordinaten der Eckpunkte gegeben sind.
• Sinussatz und Kosinussatz

2015-07-01

• Wiederholung:
• Vorwärtseinschneiden: Längenberechnung mit Sinus- und Kosinussatz

2015-07-06

• Besprechung der Zeugnisnoten
• Anwendungsaufgabe zur Trigonometrie: Berechnung der Höhe eines Berges:
  
  

2015-07-08

• Besonderheit beim Sinussatz
   
  Zu berechnen ist die Länge der Seite a in einem Dreieck, von dem bekannt sind die Strecken b=3,6cm und c=5,6cm und der Winkel β=17°.
  Die Zeichnung des Lehrers an der Tafel ergab a=2,15cm, die Berechnung der Schüler(innen) aber a=8,56cm:
   
  Zur Klärung, welches Ergebnis denn nun "richtig" sei, wurde die Rechnung mit dem Kosinussatz durchgeführt:
  
  
  
  Es gibt also 2 verschiedene Lösungen, die daher kommen, dass man die Seite b auf 2 Weisen legen kann, sodass der Punkt C auf dem freien Schenkel des Winkels β liegt.
• Benutzt man den Sinussatz, um Winkel zu berechnen, muss man immer kontrollieren, ob der Ergebnis-Winkel oder 180°-Ergebnis-Winkel der richtige Winkel ist.
• Zur Überleitung zum Modellieren mit periodischen Funktionen haben wir beim Spiel Training versucht, mit einer Sinuskurve möglichst viele Kreise zu treffen.
  Auch die Taschenrechnerfunktion SinReg haben wir kennengelernt.
• Siehe dazu folgende Übung zur Anpassung von einer Sinuskurve an vorgegebene Punkte
• Die Koordinaten der Punkte werden in die Listen L1 und L2 des Taschenrechners eingegeben (STAT>EDIT)
    Graph:   
• Regression mit Sinusfunktion:
    Graph:  
  y=1,9·sin(1,5·x-1,5)+2,9 ist die vom Taaschenrechner gefundene Sinus-Näherungskurve.
• Bei SinReg kann man folgende Angaben festlegen:
  SinReg  Iterationen , XListe ,  YListe , Periode , Gleichung
• Iterationen gibt an, wie genau der Rechner die Ergebnisse berechnen wird.
  Voreingestellt ist der Wert 3. Der Wert 16 liefert das beste Ergebnis, es wird aber am meisten Zeit benötigt.
• XListe gibt die Liste an, in der die x-Werte stehen.
• YListe gibt die Liste an, in der die y-Werte stehen.
• Periode gibt die Länge einer Periode an.
• Gleichung steht für Y1, Y2, Y3 usw. Die gefundene Sinusgleichung wird unter dem angegeben Namen abgelegt.
• Beispiele: SinReg  L1 , L2 , Y1 rechnet mit 3 Iterationen und legt die Gleichung in Y1 ab.
  SinReg 6 , L1 , L2 , 34 , Y2 rechnet mit 6 Iterationen, geht von einer Periodenlänge von 34 aus und legt die Gleichung in Y2 ab.
• Wendet man SinReg 16 , L1 , L2 , 1.5 , Y1  auf das oben angegebene Beispiel an, ergibt sich wegen der vorgegebenen Periodenlänge von 1,5:
     

2015-07-13

• Warum man dem Ergebnis einer Regression mit SinReg nicht unbedingt trauen darf, zeigt folgendes Beispiel:
  Wir haben für die Funktionswerte von -1 bis +1 im Abstand 0,1 die Funktionswerte von sin(60x) in die Listen L1 und L2 des Taschenrechners eingegeben und dann die "Messwerte" graphisch dargestellt.
  
  Die Regression mit SinReg wird durchgeführt:
   
  Die Freude über die gute Übereinstimmung wird getrübt, wenn man die zu Grunde liegende Funktion mit der Gleichung y=sin(60x) dazu zeichnen lässt:
  
  Der Funktionsgraph hat eine so kurze Periode, dass die Grafik des GTR fast überfordert ist, in diesem Maßstab einen angemessenen Funktionsgraph zu zeichnen.
  In einer Darstellung von x=-0,1 bis x=+0,6 wird deutlich, dass der Regressionsgraph zwar alle "Messpunkte" enthält, aber den wahren Kurvenverlauf nicht richtig anzeigt:
  
  Man sollte also im Eingabebildschirm bei "Period:" die ungefähre Periodenlänge angeben, wenn die Periodenlänge kleiner ist als der Abstand zwischen den einzelnen x-Werten.
  
  Nun ergibt sich also das richtige Ergebnis.
• Als Abschluss des Themas haben wir die Funktionsgraphen zu unseren persönlichen Biorhythmen (Vorsicht! Sehr unsichere und möglicherweise falsche Theorie! Kritisch sein!) auf dem Taschenrechner erstellt.
  Nach der Theorie soll es Periodendauern von 23 Tagen (körperlicher Rhythmus), 28 Tagen (emotionaler Rhythmus) und 33 Tagen (geistiger Rhythmus) geben.
  Dazu gehören folgende Sinusfunktionen: fK(x)=sin(2∙π/23∙x), fE(x)=sin(2∙π/28∙x) und fG(x)=sin(2∙π/33∙x):
  
  x gibt die Anzahl der Tage nach der Geburt an. Da die Berechnung etwas mühsam ist, überlässt man sie am besten dem Tabellenprogramm:
  Hier ein Beispiel für einen Schüler, der am 27.05.1998 geboren ist (heute ist der 13.07.2015):
  
  Im Taschenrechner muss man nun nur noch den Graph zwischen z.B. x=6250 und x=6270 zeichnen lassen: