Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 10e

Funktionsuntersuchungen

• Ein Blatt Papier soll so gefaltet werden, dass sich das Unterteil einer Schachtel ergibt. Das Volumen dieser Schachtel soll maximal groß werden.
  
  Zeichnung:
  
  Plan: An den Ecken wird das Papier im Abstand x vom Rand gefalzt.
  Die herausgefalteten Stücke werden später mit Kleber zur Stabilität der Konstruktion befestigt.
• Vorüberlegung: Wie groß darf oder muss x sein, damit überhaupt ein offener Raum in der Schachtel entsteht?
  Ist x=0, so ist die Höhe der Schachtel gleich 0. Die Grundfläche ist zwar maximal groß, aber da sich das Volumen aus Grundfläche mal Höhe berechnet, hat das Volkumen den Wert 0.
  Ist x=B/2, so werden der obere und der untere Teil aufeinandergefaltet und es bleibt die Grundfläche 0 übrig. Auch dann hat das Volumen den Wert 0.
  Der x-Wert muss also zwischen 0 und B/2 liegen.
  Da für solche Werte das Volumen einen Wert größer als 0 hat, muss auch ein maximales Volumen existieren.
• Erster Versuch (Die Einheiten cm, cm² und cm³ werden der Übersichtlichkeit halber in den Rechnungen unterschlagen):
  x=5 : Daraus folgt y = 20-2·5 = 20-10 = 10 und z = 30-2·5 = 30-10 = 20 und V = x·y·z = 5·10·20 = 1000
  Beträgt die Breite des umgeschlagenen Falzes 5 cm, so hat das Volumen die Größe 1000 cm³. Ist das schon das maximal mögliche Volumen?
• Vorschlag von Julia: Das Volumen in Abhängigkeit von x für viele x-Werte berechnen und dann graphisch darstellen lassen.
  Funktionsgleichung für das Volumen: V(x) = x·y·z = x·(20-2x)·(30-2x)
  
  
  Es ergibt sich also ein maximales Volumen von 1056,3 cm³, wenn x die Länge 3,92 cm besitzt.
• Der gefundene Wert ist nur ein Näherungswert. Gibt es auch eine exakte Lösung?
  Wir erinnern uns an das bisher Gelernte: Am höchsten Punkt der Kurve, der das maximale Volumen kennzeichnet, besitzt die Kurve eine waagrechte Tangente, also eine Tangente mit der Steigung 0.
  Steigungen berechnet man mit Hilfe der Ableitung einer Funktion.
  Plan: Wir bilden die Ableitung V '(x) der Funktion V(x) und setzen den Ableitungsterm gleich 0 (wegen Steigung gleich 0). Dann wird die Gleichung nach x aufgelöst und wir erhalten die exakte Lösung.
  
  Da der x-Wert zwischen 0 und 10 (=B/2=20/2=10) liegen muss, ist nur x₂ eine gültige Lösung des Problems. Es ergibt sich die gleiche Lösung wie beim Taschenrechner.
• Mit dem GeoGebra-Arbeitsblatt kann die Aufgabe auch in Abänderungen der Werte experimentell gelöst werden:
   
  Zur Überprüfung beachte man jeweils die Nullstelle der Ableitungsfunktion!
• Weitere Übung: Hühnerhofaufgabe
  An der Mauer einer Scheune soll ein rechteckiger Hühnerhof gebaut werden.
  50m Maschendrahtzaun stehen zur Verfügung.
  Wie lang müssen die Seiten des Hühnerhofes sein, damit die Fläche maximal wird?
   
  Gesucht ist die Fläche A=a·b, die maximal werden soll.
  Gegeben ist die Länge des Zaunes: 2·a+b=50 → b=50-2·a
  Einsetzen in A: A=a·b=a·(50-2·a)=50a-2a² .
  Fasst man nun die Fläche A also Funktion von der Länge a auf, kann man das Maximum der Fläche finden, indem man das Maximum des Graphen der Funktion sucht.
         
  
  Oben wurde der Graph gezeichnet und dann mit dem Cursor der höchste Punkt angefahren. Es ergibt sich für a gerundet a=12,5m.
  Man kann auch mit nDerive den Graph der Ableitungsfunktion zeichnen lassen und dann mit dem Cursor die Nullstelle des Graphen ermitteln. Auch hier ergibt sich 12,5m.
  Der Rechner kann auch selbst die Nullstelle mit dem ZERO-Befehl im CALC-Manü finden.
  
        
  
  Aber auch durch reine Rechnung kann der maximale Flächeninhalt gefunden werden:
  Beim Maximum liegt eine waagrechte Tangente vor, d.h. die Ableitung muss beim Maximum den Wert 0 haben.
  A'(a)=50-4a = 0 → 4a=50 → a=12,5.
  Auch so ergibt sich der a-Wert für die größte Fläche zu 12,5m.
  Daraus folgt der b-Wert: b=50-2·a=50-2·12,5=50-25=25. b hat also die Länge 25m.

2015-03-18

• Weitere Extremwertaufgaben
• Eine Konservendose mit Ananasringen hat den Durchmesser 10,0 cm und die Höhe 11,8 cm.
  
  Berechne das Volumen der Dose.
   
  Damit beim Bau der Dose Material gespart werden kann, soll die minimale Oberfläche A bei festgelegtem Volumen V bestimmt werden.
  Die Fläche A berechnet sich aus zwei Kreisflächen und der Mantelfläche des Zylinders:
  
  Die Fläche A ist von d und h abhängig. Zur Berechnung der minimalen Fläche darf aber die Funktion A nur von einer Variabloen abhängig sein.
  Mit Hilfe der umgestellten Volumen-Formel kann die Variable h durch d ersetzt werden:
  
  Jetzt wird mit Hilfe der Differenzialrechnung die minimale Fläche und der zugehörige Durchmesser d bestimmt:
   
  Berechnung der Höhe h:
  
  Im Idealfall minimalsten Materialverbrauchs sind also Durchmesser und Höhe der Dose gleich!
  Mit dem oben berechneten Volumen würde sich ergeben d=h=10,6 cm.
  Die Abweichungen zu den gemessenen Werten ergeben sich möglicherweise aus benötigtem Zusatzmaterial für Falzstreifen.
• Sportplatzaufgabe
  Im Innern einer 400-m-Laufbahn soll ein rechteckiges Fußballfeld maximalen Flächeninhaltes entstehen. Die Richtungsumkehr bei der Laufbahn geschieht auf Kreisbögen.
  Aufgabenstellung und Lösung sind in dieser Klassenarbeit enthalten.

2015-03-20

• In der Vertretungsstunde konnten wir leider die Sonnenfinsternis wegen starken Nebels nicht sehen.
  Dafür haben wir ein Thema behandelt, das aus dem Lehrplan leider gestrichen wurde: Bruchgleichungen, bei denen x im Nenner vorkommt.
  Hier die behandelten Aufgaben. Zu beachten ist immer, dass der Definitionsbereich eingeschränkt ist, weil im Nenner keine 0 stehen darf.
• Aufgabe 1 mit 2 Lösungen
  
• Aufgabe 2 mit 0 Lösungen
  
• Aufgabe 3 mit 1 Lösung
  
• Lösungsverfahren bei quadratischen Gleichungen
• Bei Gleichungen der Form x²+px+q=0 benutzt man am besten die p-q-Formel (wie bei den durchgerechneten Aufgaben)
• Bei Gleichungen der Form x²+q=0 subtrahiert man den konstanten Summanden und zieht dann die Wurzel.
  Beispiel:
  
• Bei Gleichungen der Form x²+px=0 klammert man x aus und setzt jeden Faktor gleich 0.
  

2015-03-23

• Rückgabe der Klassenarbeit 3  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Die Sportplatzaufgabe (siehe 2015-03-18) wurde so abgewandelt, dass der gesamte Innenraum der Laufbahn (also auch die beiden Halbkreise) maximal werden sollen.
  Dabei ergab sich, dass ein einziger Kreis ohne dazwischenliegendem Rechteck die maximale Fläche ergibt.
• Allgemein kann man sagen:
• Bei gegebenem Umfang ist die maximale Fläche ein Kreis.
• Bei gegebener Oberfläche ist das maximale Volumen eine Kugel.
• Bei gegebenem Umfang hat das Rechteck maximalen Inhalt, dessen Seiten gleich lang sind (Quadrat).
• Bei gegebener Oberfläche hat der Quader maximales Volumen, dessen Seiten gleich lang sind (Würfel).

2015-04-13

• Globalverlauf einer ganzrationalen Funktion
  Zur Bestimmung des Globalverlaufs (so sieht der Funktionsgraph aus großer Entfernung aus) klammert man die größte Potenz von x aus.
  Alle Summanden, die dann x im Nenner haben, gehen für betragsmäßig große x gegen 0.
  Der Rest ist dann die Funktionsgleichung für den Globalverlauf.
  Beispiel:
  
• Achsen- und Punktsymmetrie
  Herleitung für die Bedingungen für Achsnesysmmetrie zur y-Achse und Puinktsymetrie zum Punkt (0/0)
• Achsensymmetrie zur y-Achse: Gehört der Punkt (x/y) zum Graphen, so auch der Punkt (-x/y):
  
  Achsensymmetrie an der y-Achse f(x)=f(-x)
• Punktsymmetrie zum Punkt (0/0): Gehört der Punkt (x/y) zum Graphen, so auch der Punkt (-x/-y):
  
  Punktsymmetrie zum Punkt (0/0)  f(x)=-f(-x).

2015-04-15

• Achsensymmetrie zu einer Achse, die parallel zur y-Achse
• verläuft: f(x)=f(-x+2u)
  
  
  Herleitung der Bedingung f(x)=-f(-x+2u)+2v für das Vorhandensein von Punktsymmetrie zum Punkt (u/v).
  GeoGebra-Arbeitsblatt zur Veranschaulichung und Unterstützung bei der Herleitung der Formel:
  
• Mit Hilfe der hergeleiteten Formeln kann man überprüfen, ob eine beliebige senkrechte Gerade x=u eine Spiegelachse oder ein beliebiger Punkt (u/v) ein Spiegelpunkt eines Funktionsgraphen ist.
  Man kann aber auch unbekannte Spiegelachsen und Spiegelpunkte mit Hilfe der Formeln durch Lösen eines Gleichungssystems finden.
  Ein Beispiel dazu (Koordinaten des Spiegelpunkt einer ganzrationalen Funktion 3. Grades finden) im verlinkten Arbeitsblatt.

2015-04-20

• Definitionen und Übungen
• Intervalle
• Monotonieverhalten
• Extrempunkte

2015-04-22

• Wiederholung zum Monotonieverhalten und zu Extrempunkten:
• Ein Funktionsgraph ist an einer Stelle x streng monoton steigend, wenn in einem (beliebig kleinen) Intervall um diese Stelle herum gilt:
  Mit x_u < x < x_o gilt f(x_u) < f(x) < f(x_o)
• Ein Funktionsgraph ist an einer Stelle x streng monoton fallend, wenn in einem (beliebig kleinen) Intervall um diese Stelle herum gilt:
  Mit x_u < x < x_o gilt f(x_u) > f(x) > f(x_o)
• Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x einen Hochpunkt, wenn in einem (beliebig kleinen) Intervall um diese Stelle herum gilt:
  Mit x_u < x < x_o gilt f(x_u) < f(x) und f(x_o) < f(x)
• Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x einen Tiefpunkt, wenn in einem (beliebig kleinen) Intervall um diese Stelle herum gilt:
  Mit x_u < x < x_o gilt f(x_u) > f(x) und f(x_o) > f(x)
• Wir haben die Untersuchungen auf Monotonie und Extrempunkte mit Hilfe von günstig gewählten x-Werten durchgeführt.
  Erheblich einfacher wird die Arbeit, wenn wie folgende Regeln beachten:
• Ein Funktionsgraph ist an einer Stelle x in einem (beliebig kleinen) Intervall um diese Stelle herum streng monoton steigend, wenn die 1. Ableitung an dieser Stelle positiv ist.
  
• Ein Funktionsgraph ist an einer Stelle x in einem (beliebig kleinen) Intervall um diese Stelle herum streng monoton fallend, wenn die 1. Ableitung an dieser Stelle negativ ist.
• Ein Funktionsgraph hat an einer Stelle x einen Extrempunkt, wenn die 1. Ableitung an dieser Stelle gleich 0 ist.
• Mit dem Taschenrechner können wir uns die Arbeit noch mehr erleichtern:
  Beispiel: f(x)=5x⁴-3x³+2x²-7x+3
• Bestimmung des Monotonieverhaltens bei x=3.
  Eingabe des Funktionsterms bei Y1.
  In der allgemeinen Ansicht werden die Funktionswerte für x=2,9 ; x=3,0 ; x=3,1 ausgegeben.
  Man sieht: Die Funktion ist bei x=3 monoton steigend.
   
• Bestimmung des Monotonieverhaltens mit Hilfe der 1. Ableitung.
  Eingabe der 1. Ableitung bei Y2 mit Hilfe der Funktion "MATH > nDerive"
  Funktionswert von Y2 an der Stelle 3,0 bestimmen.
     
  Man sieht am positiven Wert, dass in einem Intervall um x=3 herum der Graph monoton steigt.
• Bestimmung der Extrempunkte
• Graph der Funktion
   
• Finden des Tiefpunktes mit der Funktion "2nd+CALC > minimum"
  
• Finden des Tiefpunktes mit dem SOLVER-Befehl (waagerechte Tangente: 1. Ableitung hat den Wert 0)
  

2015-04-27

• Nullstellen von ganzrationalen Funktionen
  Das Auffinden der Nullstellen haben wir mit Hilfe des Satzes von Vieta und durch Faktorisierung eingeübt.
  Hier zwei Beispiele:
• Satz von Vieta
  
  Durch Raten lassen sich die Lösungen finden.
  Beispiel:
   
• Faktorisierung
  

2015-04-29

• Mehrfache Nullstellen
  Die Funktion mit der Gleichung f(x)=(x+5)²(x-3)(x+1)³ besitzt eine 2-fache Nullstelle bei x=-5, eine 1-fache Nullstelle bei x=3 und eine 3-fache Nullstelle bei x=-1.
  Mit GeoGebra kann man sich leicht veranschaulichen, warum man von n-facher Nullstelle spricht:
  Wandern 2 oder mehr Nullstellen zusammen und vereinigen sich in 1 Punkt, so tritt die entsprechende Klammer im Funktionsterm n-fach auf.
  Vergleiche die Funktionsterme bei fA(x) und fB(x).
  GeoGebra-Datei zum Herunterladen.
  
  
  
  Geradzahlige Nullstellen sind immer Hochpunkte oder Tiefpunkte, ungeradzahlige Nullstellen sind immer Sattelpunkte (außer bei n=1).
• Polynomdivision
  Führen die bisher betrachteten Verfahren nicht zum Auffinden der Nullstellen, kann manchmal das Verfahren der Polynomdivision weiter helfen.
  Beispiel:
  Die Nullstellen der Funktion f(x)=2x³-5x²+4x-1 sind gesucht.
  Da die Lösung der Gleichung 2x³-5x²+4x-1=0 nicht zu sehen ist, geht man folgendermaßen vor:
• Raten einer Lösung
  Die Lösung x=1 ist leicht zu raten.
• Der Funktionsterm muss also so als Produkt geschrieben werden können, dass ein Faktor durch die Klammer (x-1) gegeben ist.
  Es muss also gelten: 2x³-5x²+4x-1=(x-1)∙( ... ).
  Der 2. Faktor ist noch unbekannt, kann aber aus der Rechnung (2x³-5x²+4x-1):(x-1)=( ... ) ermittelt werden.
• Polynomdivision:
  
  Daraus folgt: f(x)=(x-1)∙(2x²-3x+1).
• Die Faktorisierung der rechten Klammer geschieht mit Hilfe der p-q-Formel:
  
  Die rechte Klammer lässt sich also aus dem Produkt der Klammern (x-1) und (x-1/2) ersetzen.
  
• Die Gleichung zeigt an, dass eine doppelte Nullstelle bei x=1 und eine einfache Nullstelle bei x=0,5 vorliegen.

2015-05-04

• Noch einmal zur Festigung eine Aufgabe zum Finden von Nullstellen:
  
• Das Bestimmen von x-Werten an denen Hoch- und Tiefpunkte vorhanden sind
  An Hand graphischer Ableitung haben wir gesehen, dass bei Hoch- und Tiefpunkten die 1. Ableitung den Wert 0 hat und dass mit Hilfe der 2. Ableitung die Art des Extremums herausgefunden werden kann:
  2. Ableitung größer als 0 → Tiefpunkt
  2. Ableitung kleiner als 0 → Hochpunkt
  

2015-05-06

• Herleitung der Bedingungen für Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und Sattelpunkte
  
  
  Sattelpunkte sind Punkte mit waagrechter Tangente (f'(x)=0) und Wendepunkte (f''(x)=0)

2015-05-11

• Übungen zur verwendung der Ableitungen beim Untersuchen von Kurvenverläufen
  Folgende neue Aufgabentypen sind uns begegnet
• Gib verschiedene Funktionen an, die die 2. Ableitung f''(x)=30x⁴ besitzen.
  Auf alle Fälle gehört zu der 2. Ableitung folgende 1. Ableitung: f'(x)=6x⁵ und die Funktion f(x)=x⁶, wie man leicht durch Ableiten zeigen kann.
  Man kann den Funktionsterm aber auch noch durch Summanden mit x und Konstanten erweitern, da diese Summanden sich beim 2-fachen Ableiten wegheben.
  Beispiel: f(x)=x⁶-17x+38 → f''(x)=30x⁴.
• Wo hat der Graph der Funktion f(x)=x⁴-x² Linkskrümmung und wo Rechtskrümmung?
  Durch graphisches Ableiten haben wir gezeigt: Linkskrümmung: f''(x)>0 ; Rechtskrümmung: f''(x)<0.
  Bestimmung des Wendepunktes: f'(x)=4x³-2x ; f''(x)=12x²-2=0 → x2=1/6 → x=∓√(1/6)
  Bei x gleich plus und minus Wurzel aus 1/6 liegen also Wendepukte vor. Dazwischen wechselt die Krümmung nicht.
  Für x=0 gilt f''(0)=-2<0, also Rechtskrümmung im mittleren Intervall und links und rechts außerhalb dieses Intervalls Linkskrümmung.
  Zur Kontrolle f''(1)=12-2=10>0, also Linkskrümmung.

2015-05-13

• Übungen zum Änderungsverhalten bei Wachstumsprozessen.
  Mit der 2. Ableitung können Wendepunkte bestimmt werden, an denen ein maximales positives oder negatives Wachstum vorhanden ist.
  Treten Gleichungen bis zum Grad 2 auf, kann man die Gleichungen durch Rechnungen beszimmen.
  Haben die zu lösenden Gleichungen einen Grad größer als 2, kann man den Taschnerechner benutzen: Graph zeichnen lassen, mit der Funktion ZERO nach Nullstellen oder mit MAXIMUM oder MINIMUM nach Extremstellen suchen.

2015-05-20

• Extremwertaufgabe - "zerbrochene Glasplatte"
  (eine Anmerkung sei erlaubt: Die folgende Aufgabe haben schon Generationen von Schüler(inne)n bearbeiten müssen, wobei immer noch nicht geklärt ist, ob so ein Bruch überhaupt möglich ist ...)
  
  Von einer 64 cm breiten und 144 cm hohen Glasplatte ist ein Stück abgebrochen, dessen Kante durch die Funktion mit der Gleichung y=1/16∙x²+80 beschrieben werden kann.
  Aus dem Rest soll eine rechteckige Glasplatte mit maximalem Flächeninhalt geschnitten werden, deren Kanten parallel zu den Kanten der ursprünglichen Platte verlaufen sollen.
  Zu berechnen sind die Kantenlängen a und b der neuen Platte und der maximale Flächeninhalt A.
  
  Der Graph von y (grün) und der Graph der 1. Ableitungsfunktion (rot) zeigen, dass 2 Extrempunkte zu finden sind (Nullstellen der 1. Ableitung):
  
  Rechnerisch werden die x-Werte der Punkte A und B durch Nullsetzen der 1. Ableitung ermittelt:
  

2015-05-27

• Beispiel für Extremwertaufgabe (mit Übungen zum Pythagoras, zum Strahlensatz, zur räumlichen Darstellung usw.)
  Aufgabe: 4 Stangen von je L=2m Länge werden zu einer quadratischen Pyramide mit der Grund-Seitenlänge a=1m zusammengesetzt. Im Innern der Pyramide soll ein Quader maximalen Volumens eingefügt werden. Dessen Grundfläche soll in der Grundfläche der Pyramide liegen. Die oberen Ecken des Quaders sollen auf den 4 Stangen liegen. Zu berechnen ist das Volumen des Quaders.
  Lösung: Zunächst werden Skizzen vom Quader und einiger Schnitte angefertigt.
   
  

2015-06-01

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Extremwertaufgaben
  Ein Tipp:
  Bei einer Aufgabe ergabe sich für die Zielfunktion die Gleichung .
  Die Ableitung können wir noch nicht bilden (später benutzen wir die Produktregel).
  Da für a=0 (Faktor a²) und a=√8 (Wurzel) das Volumen gleich 0 ist, geben die beiden Werte 0 und √8 den Bereich der möglichen a-Werte an.
  Dazwischen ist das Volumen nicht 0. Es muss also ein Maximum geben. Wenn V(a) ein Maximum besitzt, besitzt (V(a))² natürlich genau bei demselben a auch ein Maximum.
  Also bildet man das Quadrat von V(a) und sucht nach dem Extremum der Quadratfunktion:
  
  Dieser a-Wert gibt auch mit V(a) das größte Volumen an.

2015-06-03

• Wiederholung zur Klassenarbeit
  

2015-06-08 und 2015-06-10 und 2015-06-15

• Wiederholung zur Klassenarbeit
• Themen der Arbeit
• Kurvendiskussion (Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Sattelpunkte, ...)
• Monotonie (f' untersuchen)
• Krümmung (f'' untersuchen)
• Symmetrie (f(x)=f(-x) ; f(x)=-f(-x) ; f(x)=f(-x+2u) ; f(x)=-f(-x+2u)+2v)
• graphisches Differenzieren
• Klassifikation von ganzrationalen Funktionen
• Polynomdivision
• mehrfache besondere Punkte (z.B. 3-fache Nullstelle)
• Extremwertaufgaben

2015-06-17

• Klassenarbeit 3  [ Aufgaben | Lösungen ]

weiter mit Modellieren periodischer Vorgänge