Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2014/2015 - Mathematik 10e

Differentialrechnung

• Beim Interpretieren von Graphen ist oft das Verhalten des Graphen für anwachsendes x gefragt.
  Für Geraden ist klar: Die Steigung m gibt das Maß für das Wachsen oder Abnehmen an.
  Bei gebogenen Kurven ist die Antwort schwieriger, weil es nicht eine einheitliche Steigung gibt (anschaulich: man kann kein Steigungsdreieck an die Kurve legen).
  Man legt nun fest: Die Steigung einer Kurve in einem Punkt des Graphen ist identisch mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
  Eine Sekante (=Gerade, die eine Kurve in 2 Punkten schneidet) gibt die Steigung der Kurve in einem Punkt zwischen den beiden (nicht zu weit voneinander entfernten) Schnittpunkten näherungsweise an.
  
  
• Die Steigung einer Tangente in einem Punkt P₀ soll (zum Beispiel bei einer Normal-Parabel f(x)=x²) rechnerisch bestimmt werden.
  Eine Tangente hat aber nur einen Punkt mit der Kurve gemeinsam, sodass man keine 2 Punkte für das Steigungsdreieck finden kann.
  Man nimmt deshalb neben dem Punkt P₀ noch einen weiteren Punkt P auf der Kurve an und bestimmt für die Sekante durch diese Punkte die Steigung.
  Diese Steigung stimmt zwar nicht mit der Tangentensteigung überein, aber sie ist doch näherungsweise gleich der Tangentensteigung.
  Die Übereinstimmung mit der Tangentensteigung ist umso größer, je dichter der Punkt P an P₀ liegt.
  Beim Grenzprozess P gegen P₀ wird dann die Sekantensteigung zur Tangentensteigung.
• Visualisierung mit einem GeoGebra-Arbeitsblatt:
  
  Zur Bedienung des Arbeitsblattes bitte den Text zum Arbeitsblatt beachten.
• Rechnung zur Bestimmung der Tangentensteigung:
  Sekantensteigung m_S:
  Um die Tangentensteigung zu erhalten, muss man den Punkt P gegen den Punkt P₀ wandern lassen.
  Damit wird auch x gegen x₀=2 wandern.
  Rechnung dazu:

2015-02-04

• Mathematische Sachverhalte lassen sich in verschiedener Schreibweise darstellen.
  Beispiel: Der Differenzenquotient lässt sich zum Beispiel auf folgende (aber auch noch ganz andere) Arten schreiben:
  
  Welche Schreibweise man wählt, hängt ganz von dem Problem ab, was man gerade bearbeitet.
  Wichtig ist: Im Zähler steht die Differenz von 2 Funktionswerten, im Nenner die Differenz der entsprechenden x-Werte.
• In der nächsten Zeit werden wir folgende Schreibweise für die Ableitung und den Differenzenquotienten verwenden:
  Ableitung der Funktion f an der Stelle x₀:
• Differenzenschreibweise:
• h-Schreibweise:
• Lösung folgender Aufgabe mit beiden Schreibweisen
  Gesucht ist die Ableitung der Funktion f(x)=(x+3)²-4 an der Stelle x₀.
• Differenzenschreibeweise (Vorteil: Einsetzen der Funktionsgleichung ist einfach; Nachteil: Es muss mit (x-x₀) gekürzt werden):
  
• h-Schreibweise (Vorteil: Das Kürzen mit h ist sehr einfach; Nachteil: Das Auflösen von f(x₀+h) ist schwieriger):
  Vorbereitung:
  
  Ableitung:
  

2015-02-09

• Wiederholung zum und Berechnungen mit dem Differenzenquotienten zur Bestimmung der Ableitung spezieller Funktionen:
• Ableitung der Hyperbel-Funktion
  
• Ableitung der Funktion 3. Grades
  
• Übersicht über die bisher gebildeten Ableitungen:
  
  Eine Regelmäßigkeit lässt sich zwischen den einzelnen Funktionen noch nicht so gut erkennen.
  Mehr Erfolg hat man, wenn man die Funktions- und Ableitungsgleichungen umformt:
  
  Hier sieht man:
  1. Bei den Funktionsgleichungen wächst der Exponent von oben nach unten immer um 1 an.
  2. Bei den Ableitungsgleichungen wächst der Koeffizient von oben nach unten immer um 1 an.
  3. Bei den Ableitungsgleichungen wächst der Exponent von oben nach unten immer um 1 an.
  4. Der Exponent bei der Funktionsgleichung und der Koeffizient bei der Ableitungsgleichung stimmen überein.
  5. Der Exponent bei der Ableitungsgleichung ist immer um 1 kleiner als der Koeffizient.
  Vermutung: Für alle nϵZ gilt:
  
• Als Hilfsmittel zum Beweis dieser Formel haben wir das Pascalsche Dreieck kennen gelernt.
  

• Wiederholung zum und Berechnungen mit dem Differenzenquotienten zur Bestimmung der Ableitung spezieller Funktionen:
  Ableitung der Hyperbel-Funktion
  
• Ableitung der allgemeinen Potenzfunktion für positive ganzzahlige Exponenten:
  
• Beispielaufgaben zur xⁿ-Formel.
  In dem Zusammenhang die Ableitung der Wurzelfunktion behandelt:
  
• Graphisches Differenzieren
• Siehe zu diesen Inhalten die Materialien auf der Seite http://gfs.khmeyberg.de/Materialien/Materialien-Start.html#Sekundarstufe_II_-_Mathematik

2015-02-16

• In einem rechtwinkligen Dreieck werden die Seiten mit Kathete (Seite liegt am 90°-Winkel) und Hypotenuse (HY) (Seite liegt dem 90°-Winkel gegenüber) bezeichnet.
  Die Kathete, die an einem betrachteten Winkel α liegt, heißt Ankathete (AK), die Seite, die dem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete (GK).
  Außer dem Sinus (sin) werden auch Seitenverhältnisse durch den Kosinus (cos) und den Tangens (tan) definiert.
  
  Siehe auch die Geogebra-Arbeitsblätter sin-cos-tan 0°-90° und sin-cos-tan 0°-360°
• Um nicht die Einheit Grad (°) bei trigonometrischen Funktionen (sin, cos, tan) mitschleppen zu müssen, werden Winkel meistens im Bogenmaß angegeben.
  Dabei wird der Winkel nicht in Grad angegeben, sondern durch die Länge des Kreisbogens im Einheitskreis (=Kreis mit dem Radius 1), der zu dem Winkel gehört.
  Wenn man mit α den Winkel im Winkelmaß und mit x den Winkel im Bogenmaß bezeichnet, gelten folgende Verhältnisgleichung und Umformungsgleichungen:
  
• Durch graphisches Differenzieren haben wir herausgefunden:
  Die Ableitung der Funktion f(x)=sin x ist die Funktion f'(x)=cos x.
  

2015-02-18

• Differenzierbarkeit von Funktionen
• Besitzt ein Funktionsgraph "Knicke", so kann man die Funktion nicht differenzieren.
  Begründung: An den Stellen, an denen sich Knicke befinden, kann man nicht eindeutig eine Tangente anlegen.
  Anschaulich: Durch den Punkt an einem Knick laufen unendlich viele Geraden, die in der Umgebung des Knicks genau einen Punkt mit der Kurve gemeinsam haben, also im Prinzip Tangente sein könnten. Damit wäre aber die Ableitungsfunktion an dieser Stelle nicht genau definiert.
  Beispiel: Die Funktion f(x)=|x| besitzt bei x=0 einen Knick und ist deshalb nicht differenzierbar, Siehe dazu den Ableitungsgraph, der in der Nähe von x=0 die y-Werte +1 und -1 besitzt.
  
  Definitionen für die Betrags-Funktion |x|, die Signum-Funktion sgn(x) und die Heaviside-Funktion H(x):
  
  
• Besitzt der Funktionsgraph Sprungstellen, so ist die Funktion (auch, wenn die Steigungen an den Sprungstellen übereinstimmen) nicht differenzierbar.
  Beispiel:
  
  Die Ableitungswerte bilden zwar insgesamt eine Parabel, an der Nahtstelle bei x=1 kann aber keine Tangente angelegt werden, da der Grenzwert der Sekantensteigungen nicht existiert, wenn man Punkte auf beiden Seiten der Sprungstelle benutzt.

2015-02-23

• Weitere Übungen zu Betragsfunktionen.
• Ableitungsregeln wiederholt und neu:
  

2015-03-02

• Besprechung der Hausaufgabe
• Herleitung der Tangentengleichung
  Beachtet man, dass
  1. eine Tangent eine Gerade ist < t(x)=m·x+b >,
  2. der Berührpunkt zum Graph der Funktion und zur Tangente gehört < f(a)=t(a) > und
  3. die Steigungen der Funktion und der Tangente im Berührpunkt gleich sind < f '(a)=t '(a) >,
  so gilt:
  
  Angewendet auf eine Parabel der Gleichung f(x)=x² mit f '(x)=2·x ergibt sich: t_a(x)=2·a·(x-a)+a²=2ax-2a²+a²=2ax-a² .
  Diese Tangente hat ihren y-Achsenabschnitt bei -a² und den Berührpunkt beim y-Wert a².

2015-03-04

• Wiederholung zur Arbeit mit folgenden Themen
• Folgen
• explizite Darstellung
• rekursive Darstellung
• Überlagerung von exponentiellem und linearem Wachstum
• Grenzwert
• Differentialrechnung
• Steigung einer Kurve
• Tangentengleichung
• allgemeine Ableitungsregel (Δx-Darstellung und h-Darstellung)
• Ableitungsregeln (xⁿ-Regel, Ableitung von sin x, Faktorregel, Summenregel, Kettenregel)
• graphisches Differenzieren
• Betragsfunktion
• Taschenrechnerfunktionen zu den genannten Themen

2015-03-09

• Wiederholung zur Klassenarbeit 3

2015-03-11

• Klassenarbeit 3  [ Aufgaben | Lösungen ]