Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2013/2014 - Physik 10e

Dynamik

2013-11-29

Die Physik hilft uns, uns in unserer Welt besser zurecht zu finden.
Ein(e) Physiker(in) stellt Fragen an die Natur und versucht aus den Antworten, die die Natur gibt, Gesetzmäßigkeiten zu finden.
Die Theorien, die die Physiker(innen) auf diese Weise aufstellen,müssen dann wieder durch neue Versuche geprüft werden.
Zur Einführung in die Dynamik haben wir versucht die Frage zu klären, ob leichtere oder schwerer Körper schneller fallen:

Zunächst soll eine Masse m₁ und eine Masse m₂ mit m₂=2·m₁ zur gleichen Zeit die gleiche Strecke durchfallen (links und Mitte).
Die Abstimmung in der Klasse ergab, dass die größere Masse schneller unten ankommt als die leichtere Masse.
Diesen Versuchsausgang hat uns unser "gesunder Menschenverstand"eingegeben und wir befinden uns mit dieser Vorhersage in guter Gesellschaft.
Unser Versuch zeigte aber, dass beide Massen zur gleichen Zeit unten ankamen.
Giovanni Battista Benedetti (1530 - 1590) hat schon in einem Gedankenexperiment gezeigt, dass unsere Vermutung (die auch Aristoteles schon geäußert hat) nicht richtig sein kann:
Halbiert man den größeren Körper, so müsste sich die Fallzeit verlängern, weil ja jeder Bestandteil des Körpers leichter ist als der Ausgangskörper.
Mit zusammengeklebten und einzelnen Massestücken haben wir aber gezeigt, dass das nicht der Fall ist.
Ein weiterer Versuch zeigte uns, dass unterschiedliche Fallzeiten z.B. durch den Luftwiderstand bedingt sind:
In einer Glasröhre befinden sich eine Aluminiumkugel, ein Stück Papier und eine Flaumfeder.
Normalerweise fällt das Aluminiumstück schneller als das Papier und das Papier schneller als die Feder.

Wird das Rohr aber evakuiert (=die Luft wird aus dem Rohr (wenigstens teilweise) entfernt), so fallen die 3 Körper (fast) gleich schnell, weil (fast) kein Luftwiderstand mehr wirkt.
Die Beobachtung und anschließende theoretische Überlegungführen uns also zu folgender Erkenntnis über unsere Natur:
Alle Körper fallen gleich schnell, ob sie nun schwer oder leicht sind und welche Form sie auch haben, wenn keine Beeinträchtigungen (Luftreibung oder andere Kräfte) von außen stattfinden.
Wir kennen schon die Formel für die Lageenergie oder potentielle Energie: E_Pot=m·g·h
Im folgenden Versuch schwingt eine Masse hin und her.
Zunächst besitzt sie (bei größter Auslenkung) nur potentielle Energie.
Diese Energie wird vollständig umgewandelt in Bewegungsenergie oder kinetische Energie E_Kin.
Das ist im untersten Punkt der Bahn geschehen, wenn die Masse ihre größte Geschwindigkeit erreicht hat.
Danach wird die kinetische Energie wieder in potentielle Energie umgewandelt.
Um die Formel für die kinetische Energie zu finden, soll zunächst ein Versuch zur Abhängigkeit der maximalen Geschwindigkeit eines Pendels von der Auslenkhöhe durchgeführt werden:

Eine zylinderförmige Masse mit dem Durchmesser 5 cm schwingt bifilar aufgehängt hin und her.
Die Höhe h der maximalen Auslenkung wird vorgegeben.
Die (maximale) Geschwindigkeit am untersten Punkt der Bahn (237 mm) wird miteiner Lichtschranke gemessen (Messung der Verdunkelungs-Zeit, Berücksichtigung des Körper-Querschnittes).
Messwerte:
Auswertung des Versuchs

Korrektur der Höhe unter Berücksichtigung des Offsets 238 mm (L3=L1-238),
Darstellen der Messwerte als Punkt-Graphik:

Es ist aber nicht der Zusammenhang zwischen der Höhe und der Zeit, sondern zwischen Höhe und Geschwindigkeit im tiefstenPunkt gefragt.
Die Geschwindigkeit berechnet sich aus v=s/t. s=5cm ist die Dicke des Pendelkörpers. v wird abgelegt in L4=5/L2.
Der zugehörige Graph (waagrecht h, senkrecht v wird gezeichnet:

Nun kann man unterschiedlich fortfahren: Mit einer Regression oder mit einer Linearisierung.
Darüber sprechen wir in der nächsten Woche.

2013-12-06

Fortsetzung der Auswertung
Der Verlauf einer Ausgleichskurve ist sicher keine Gerade oder Parabel oder Hyperbel.
Probieren mit Regression (Potenzfunktion, PwrReg):

Die Kurve gleicht den Verlauf der Punkte gut an.
Die Funktionsgleichung wird (genähert) mit angegeben.
Hätte man auf Grund des Graphen schon vermutet, dass dieAusgleichskurve zu einer Wurzelfunktion gehört, hätte man h gegen v² abtragen können, damit sich eine Gerade ergibt:

Die lineare Regression zeigt dann, dass wohl eine Gerade vorliegt:
Am oberen Punkt, dem Ort der größten Auslenkung, besitzt die Masse nur potentielle Energie.
Ganz unten (an der Lichtschranke), der Stelle größter Geschwindigkeit, besitzt die Masse nur kinetische Energie.
Aus Energieerhaltungsgründen müssen also diese beiden Energien gleich sein.
Die potentielle Energie berechnet sich aus E_Pot=m·g·h.
Die kinetische Energie ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit (wie oben gezeigt): E_Kin~ v².
Sicher wird die kinetische Energie auch proportional zur Masse sein: E_Kin~ m, also insgesamt E_Kin~ m·v².
Stimmen eventuell m·g·h und m·v² überein?
Wir haben mit unseren Messwerten berechnet, dass m·g·h halb so groß ist wie m·v².
Damit E_Pot=E_Kin, muss also gelten E_Kin=1/2·m·v².
Damit gelten für 2 wichtige Energien folgende Formeln:
Beispielrechnung:
Ein Körper der Masse m fällt aus 1 m Höhe nach unten. Welche Geschwindigkeit besitzt er nach 1 m Fallhöhe?
Lösung:
Zu Beginn besitzt er nur potentielle Energie entsprechend 1 mHöhe. Nach 1 m Fall besitzt er dann nur noch kinetische Energie.
Also gilt: m·g·h=1/2·m·v².
Dividieren durch m ergibt g·h=1/2·v².
m fällt aus der Gleichung heraus, d. h. die Masse hat keinenEinfluss auf die Fallgeschwindigkeit! (Wichtige Größen sind oft die, die in Formeln nicht vorkommen!)
Aufgelöst nach v ergibt sich:

2014-01-10

Übungen mit Aufgaben zum Thema Energie (Verbindung der beiden Formeln für die potentielle und die kinetische Energie)
Beispiel mit Versuch:

Ein Lineal ist drehbar bei 20 cm aufgehängt.
Bei 40 cm und 60 cm werden Türstopper aus Gummi auf das Linieal gelegt.
Nun drückt man bei 0 cm das Linieal sehr stark nach unten.
Dadurch werden die Gummiteile nach oben geschleudert.
Gefragt ist, welches Teil eine größere Höhe erreicht und wie sich die Höhen unterscheiden.
Lösung:

Da auf Grund des Strahlensatzes das rechte Gummistück in derselben Zeit den doppelten Weg zurücklegt wie das linke Gummistücke, ist die Geschwindigkeit des rechten Gummistücks doppelt so groß wie die des linken Gummistücks.
Daraus ergeben sich folgende Höhen:

Das rechte Gummiteil fliegt also 4-mal so hoch wie das linke Gummiteil.

2014-01-17

Weitere Beispielrechnungen zu Energien:

Ein Lastwagen der Masse m fährt eine lange Strecke der Länge s mit dem Gefälle p%.
Zu berechnen ist die frei werdende Energie ΔE und daraus die Temperaturerhöhung ΔT des aus Eisen (Masse mB, spezifische Wärmekapazität c_Fe) bestehenden Bremssystems.
Zurücklegen eines gleichen Höhenunterschiedes mit der Anfangsgeschwindigkeit 0 und vernachlässigbarer Reibung.
Bei welchem Weg besitzt die herabrollende Kugel die größte Endgeschwindigkeit?

Der Weg E ist nicht möglich, da die Kugel aus energetischen Gründen keine Höhe erreichen kann, die höher ist als die Ausgangshöhe.
Bei allen anderen Wegen besitzt die Kugel am Ende die gleiche Geschwindigkeit, da oben nur potentielle Energie E_Pot und unten nur kinetische Energie E_Kin vorhanden ist und keine Energie erzeugt wird oder verloren geht.

Schüler(innen)-Versuche zur Reibungskraft

Auswertung in der nächsten Stunde.
Ein erstes Ergebnis: Bewegt sich der Körper nicht, so kann man mit einer größeren Kraft an ihm ziehen als bei Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit.
Es gilt deshalb: Die Haftreibungskraft ist immer größer als die Gleitreibungskraft.

2014-01-24

Reibung
Ergebnisse der Untersuchung:

Die Reibungskraft ist (nahezu) unabhängig von der Auflagefläche und der Geschwindigkeit.
Die Reibungskraft ist abhängig von der Masse des Körpers und den Materialien von Material und Untergrund.
Die Haftreibungskraft F_h ist immer größer als die Gleitreibungskraft F_gl.
Haft- und Gleitreibungskraft sind proportional zur Gewichtskraft F_G der Masse:
F_h = μ_h · F_G ; F_gl = μ_gl · F_G
μ_h und μ_gl sind der Haftreibungskoeffizient und der Gleitreibungskoeffizient (Proportionalitätsfaktoren).

Zu den Überlegungen zur Reibung und zur Leistung und Energie beim Auto siehe Buch Seite 143.

2014-02-06

Wiederholung und Zusammenstellung der Bewegungsgleichungen
Herleitung der Bewegunsgleichungen für die beschleunigte Bewegung mit Hilfsmitteln aus dem Mathematikunterricht:
Definition der Geschwindigkeit: .
Definition der Beschleunigung:
Da die Beschleunigung a bei der beschleunigten Bewegung konstant ist und a=v '(t) ist, kennt man die Funktionsgleichung für v(t), wenn man weiß, welche Funktion abgeleitet a ergibt.
Da eine solche Funktion aber a·t ist, gilt v(t)=a·t.
Auf gleiche Weise kann man die Funktionsgleichung für s(t) erhalten:
Da v=s '(t) ist, kennt man die Funktionsgleichung für s(t), wenn man weiß, welche Funktion abgeleitet v(t)=a·t ergibt.
Da eine solche Funktion aber 1/2·a·t² ist, gilt s(t)=1/2·a·t².
Beispielaufgabe zu den Bewegungsgleichungen:
Aus dem obersten Stockwerk (Höhe 10 m) fällt einem Schüler (natürlich aus Versehen!) ein Gegenstand nach unten.
1. Wie lange dauert es, bis der Gegenstand unten aufschlägt? Kann sich ein unten Stehender durch einen Sprung zur Seite noch retten?
2. Mit welcher Geschwindigkeit kommt der Gegenstand unten an?

Lösung zu 1.:
Beschleunigte Bewegung - im Gravitationsfeld der Erde gilt etwa a=g=10 N/kg=10 m/s² - h=10 m

Wenn die Reaktion schnell erfolgt, bleibt noch Zeit, dem herunterfallenden Gegenstand auszuweichen.
Lösung zu 2.:

Diese Lösung hätte man auch ohne den Umweg über die Zeit mit Hilfe der Energien erhalten können:

2014-02-13

Bekannt sind die Energieerhaltungssätze:
Potentielle Energie: E_Pot=m·g·h
Kinetische Energie: E_Kin=1/2·m·v²
In der letzten Stunde wurden die Bewegungsgleichungen auf Grund mathematischer Herleitungen gefunden.
Um zu erkennen, dass die Ergebnisse mit der Natur übereinstimmen, wird folgender Versuch zum freien Fall durchgeführt:

Es wird die Abhängigkeit der Fallstrecke s von der Fallzeit t bestimmt.
Um die Genauigkeit der Messung zu erhöhen, wird jeder Versuch 3-mal durchgeführt.
Auswertung des Versuchs der Übersichtlichkeit halber mit LibreOffice-Calc statt mit dem Taschenrechner:

Abhängigkeit Fallstrecke s von der Fallzeit t:

Im Rahmen der Messgenauigkeit ergibt sich als Messgraph eine Parabel mit dem Streckfaktor 5,00.
Abhängigkeit der Momentangeschwindigkeit v von der Fallzeit t:

Die Momentangeschwindigkeit nach der Fallstrecke s ergibt sich aus den Energiegleichungen:

Im Rahmen der Messgenauigkeit ergibt sich eine Ursprungsgerade der Steigung 10.
Zusammenfassung:
Es ergeben sich (näherungsweise) die Abhängigkeiten
Da der Ortsfaktor g näheruingsweise den Wert 10 N/kg besitzt, kann man für 10 auch g und für 5 1/2·g schreiben:

Das sind die hergeleiteten mathematischen Gleichungen, wenn man für die Beschleunigung a den Wert des Ortsfaktors einsetzt: g=10 N/kg=10 m/s²

2014-02-20

Waagrechter Wurf
Mit dem Kugelfallgerät wird untersucht, wie eine Kugel, die waagrecht abgeschossen wird, gegenüber einer frei fallenden Kugel fällt.

Die Kugeln werden an den durch senkrechte Striche gekennzeichneten Stellen auf den Stab gesetzt.
Löst die Stellschraube die vorgespannte festgestellte Stange aus, bewegt sich die Stange mit einem Ruck nach links.
Die rechte Kugel fällt senkrecht nach unten, die linke Kugel wird nach links gestoßen und fällt auch nach unten.

Beobachtung: Beide Kugeln befinden sich ständig auf gleicher Höhe und treffen zur gleichen Zeit am Boden auf.
Begründung für die Gleichzeitigkeit des Auftreffens:
Bewegt sich der Beobachter während des Fallens so, dass er die linke Kugel immer genau vor sich sieht, so fällt für ihn die linke Kugel senkrecht nach unten, während die rechte Kugel im Bogen nach unten fällt. Der Vorgang ist also symmetrisch zum ruhenden Beobachter. Die Kugeln müssen deshalb zur gleichen Zeit auftreffen.
GeoGebra-Arbeitsblatt zu diesem Vorgang (hier bewegt sich die Kugel, anders als auf den Bildern oben, nach rechts):

Waagerechter Wurf

2 Kugeln fallen gleichzeitig nach unten, die eine Kugel im freien Fall, die andere Kugel mit konstanter Geschwindigkeit parallel zum Erdboden.
Beide Kugeln treffen am Erdboden zur gleichen Zeit auf.
Die Simulation soll zeigen, warum das so ist.
Der braune Kasten ist ein Eisenbahnabteil, in dem der Versuch durchgeführt wird.
Vom Bahnsteig aus betrachtet man den Vorgang.
Der Zug steht oder fährt mit einstellbarer Geschwindigkeit.
Auch die Geschwindigkeit der waagerecht abgeschossenen roten Kugel ist wählbar.
Am besten beginnt man mit dem stehenden Zug.
Die grüne Kugel fällt am linken Rand des Abteils nach unten, die rote Kugel bewegt sich nach rechts.
Wählt man als Zuggeschwindigkeit die negative Geschwindigkeit der roten Kugel, sieht es von außen so aus, als ob die rote Kugel senkrecht nach unten fällt und die grüne Kugel nach links abgeschossen wird.
Da es nicht vom Beobachter abhängen kann, welche Kugel zuerst unten ankommt, müssen beide Kugeln gleichzeitig unten ankommen.
Noch deutlicher wird der Sachverhalt, wenn man die Zuggeschwindigkeit halb so groß (und negativ) wie die Geschwindigkeit der roten Kugel wählt. Dann sind beide Fallwege symmetrisch zueinander.
Die Bahn der Punkte kann man löschen durch Strg+F.
Gestartet wird die Simulation durch Klick auf den Startknopf unten links.
Folgerung aus dem Versuch:
Die waagrechte Bewegung der einen Kugel hat keinen Einfluss auf das Nach-Unten-Fallen.
Verschiedene Bewegungen überlagern sich also ungestört.
Damit kann die Bahnkurve der linken Kugel berechnet werden:
In x-Richtung bewegt sich die Kugel (nach der kurzen Beschleunigung) mit konstanter Geschwindigkeit: x = v₀ · t.
In negative y-Richtung bewegt sich die Kugel mit beschleunigter Bewegung: y = -1/2 · g · t².
Mit diesen beiden Bewegungsgleichungen in Parameterform kann man den Ort der Kugel zu jeder Zeit ausrechnen:
Zur Zeit t befindet sich die Kugel am Ort mit den Koordinaten (v₀·t/-1/2·g·t²).
Entfernt man die Zeit t aus den Gleichungen, so erhalt man die Gleichung der Bahnkurve im x-y-Koordinatensystem:

Die Gleichung beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit einem Streckfaktor, der von dem Ortsfaktor g und der Anfangsgeschwindigkeit v₀ abhängt.
Beispielrechnung: Nach Euren Schätzungen verlässt ein Skispringer die Sprungschanze in waagrechter Richtung mit der Geschwindigkeit 108 km/h und fliegt dann bis zum Aufsaetzen 3 s lang.
Frage: Wie tief unterhalb der Absprungkante erreicht er den Erdboden?

2014-02-27

Freier Fall aus unterschiedlicher Höhe
Ein Turmspringer springt aus 5 m Höhe ins Wasser.
Wie lange dauert seine Fallzeit?
Da keine Bewegung in x-Richtung vorliegt, wird ausschließlich die y-Achse berücksichtigt.

1. Lösung im schwarzen Koordinatensystem (aus Sicht des Bademeisters am Beckenrand):
2. Lösung im roten Koordinatensystem (aus sicht des Springers):
3. Lösung aus Sicht eines Tauchers (5 m unter der Wasseroberfläche):
Man sieht: Die Wahl des Bezugssystems spielt keine Rolle für das Ergebnis.
Alle ruhenden Bezugssysteme und alle Bezugssysteme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig bewegen, sind in ihren Beschreibungen eines Sachverhalts gleichwertig.

2014-03-06

Bei Bewegungen, die in senkrechter Richtung verlaufen, haben wir folgende Fälle unterschieden:

Ein Körper fällt aus der Ruhe heraus vom Punkt (0/0) aus nach unten.
Die Bewegungsgleichung lautet: y=-1/2·g·t² (normaler freier Fall mit beschleunigter Bewegung nach unten)
Beginnt der Fall in der Höhe h, so muss h als konstanter Summand eingefügt werden: y=h-1/2·g·t²
Der Körper wird zusätzlich mit der Geschwindigkeit v₀ nach oben geworfen.
Die Bewegungsgleichung lautet: y=v₀·t -1/2·g·t² (zum freien Fall kommt die geradlinig gleichförmige Bewegung nach oben mit konstanter Geschwindigkeit hinzu).
Beginnt der Fall in der Höhe h, so muss h als konstanter Summand eingefügt werden: y=h+v₀·t-1/2·g·t²
Der Körper wird zusätzlich mit der Geschwindigkeit v₀ nach unten geworfen.
Die Bewegungsgleichung lautet: y=-v₀·t -1/2·g·t² (zum freien Fall kommt die geradlinig gleichförmige Bewegung nach unten mit konstanter Geschwindigkeit hinzu).
Beginnt der Fall in der Höhe h, so muss h als konstanter Summand eingefügt werden: y=h-v₀·t-1/2·g·t²

Senkrechter Wurf - 2 Turmspringer

Simulation eines senkrechten Wurfs mit wählbarer Ausgangshöhe und Anfangsgeschwindigkeit (z. B. Sprung zweier Turmspringer aus unterschiedlicher Höhe)
Die Punkte S1 und S2 enthalten in der y-Koordinate die Bewegungsgleichung für den Fall.
Mit den Schiebereglern können die Höhe und die Anfangsgeschwindigkeit ausgewählt werden.
Die gelbe Verbindungsstrecke zwischen S1 und S2 gibt den Abstand in Metern an.
Zur besseren Auflösung des zeitlichen Verlaufs werden mit den Punkten ("Spur ein" ist voreingestellt) S1t und S2t die t-s-Diagramme erstellt.
Die schwarzen Pfeile geben die jeweiligen Geschwindigkeitsvektoren an (um den Faktor 5 gestaucht).
Mögliche Aufgaben zum Arbeitsblatt:

Was lässt sich über den Abstand der beiden Spinger aussagen, wenn beide mit Anfangsgeschwindigkeit 0 m/s losfallen?
Mit welcher Geschwindigkeit muss Springer 2 nach oben abspringen, damit beide Springer gleichzeitig auf dem Wasser auftreffen?
Um wie viel Sekunden eher müsste der obere Springer abspringen, wenn er gleichzeitig mit dem 2. Springer unten ankommen will? (Anleitung: t muss in der Formel um eine additive Konstante geändert werden)
Untersuche, wie sich die Auftreff-Geschwindigkeiten auf dem Wasser aus den Anfangsbedingungen ergeben.

2014-03-13

Zwei Beispielaufgaben zum senkrechten Wurf

Ein Turmspringer springt vom 5m-Brett nach oben und trifft nach genau 2s auf dem Wasser auf.
Zu berechnen sind die Anfangsgeschwindigkeit v₀ und die maximal erreichte Höhe h_max.
Lösung:
Es überlagern sich zwei Bewegungen ungestört:
- eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit v₀ nach oben
- eine beschleunigte Fallbewegung mit der Beschleunigung a=g nach unten
Ein anderer Springer springt aus der Höhe h₀ nach oben und erreicht an seinem höchsten Punkt die Höhe 8m. Nach insgesamt 4s landet er im Wasser.
Zu berechnen sind die Anfangshöhe h₀ und die Anfangsgeschwindigkeit v₀.
Lösung:
Man kann die gleichen Bewegungsgleichungen wie in der 1. Aufgabe benutzen:

Entschuldigt bitte die völlig unrealistischen Bedingungen dieser Aufgabe! :-(

2014-03-27

Waagrechter Wurf am Beispiel "Super-Mathios Sprung auf die hochfahrende Plattform"

Super-Mathio steht auf einem großen Felsen (rot) und will auf eine mit konstanter Geschwindigkeit hochfahrende Plattform (grün) springen.
Die Startbedingungen (Einheit m) sind aus der Abbildung abzulesen. Der Ortsfaktor beträgt g=3,8 m/s² (Mars).
Mit welcher konstanten Geschwindigkeit muss sich Mathio waagerecht bewegen, damit er genau auf der Mitte der Plattform landet?
Lösung:
Es werden die Bewegungsgleichungen für Mathio und die Plattform aufgestellt.
Dann werden die Werte für x und y berechnet, an denen sich Mathio und die Plattform zur selben Zeit t befinden.

Da in der Rechnung überall mit den (weggelassenen) Einheiten m und s gerechnet wurde, ergibt sich die Geschwindigkeit v_M=2,1 m/s² für Mathio.
Die x-Koordinate des Auftreffpunkts ist durch die x-Koordinate der Plattform gegeben: x=3,5.
Die y-Koordinate ergibt sich (am einfachsten) aus der y-Koordinate der Plattform: y=t+2=1,674m+2m=3,674m.
Bis zum Auftreffen auf der Plattform befindet sich Mathio 1,674s in freiem Fall.

2014-04-24

Weitere Übungen zum waagrechten Wurf und ähnliche Aufgaben.
Die Aufgaben lassen sich meistens nach folgendem Schema lösen:
1. Bewegungsgleichungen für die x-Richtung und die y-Richtung in Abhängigkeit von der Zeit t aufstellen. Dabei darauf achten, welche Bewegungsart (v konstant oder a konstant) vorliegt.
2. Die Zeit t aus den Gleichungen entfernen: Eine Gleichung nach t auflösen und dann den t-Wert in die andere Gleichung einsetzen. Man erhält eine Gleichung für die Abhängigkeit für y von x.
3. Die gefundenen Gleichungen benutzen, um Fragen zu bestimmten Bedingungen zu lösen.
Hier einige Beispiele

In einem sehr ausgedehnten Aufzug wird ein Raketenwagen auf dem Boden waagerecht beschleunigt mit a=2m/s².
Der Aufzug bewegt sich in der Zeit mit der konstanten Geschwindigkeit v=3m/s nach unten.

Wo ist der Raketenwagen, wenn der Aufzug 12m nach unten gefahren ist?
Der Aufzug legt in jeder Sekunde 3m zurück, für 12m benötigt er also 4s.
x = t² = 4² = 16
Der Raketenwagen ist also 16m voran gekommen.
Eine Masse ist so aufgehängt, dass sie in x- und in y-Richtung entsprechend einer Sinusfunktion oszilliert.
Gesucht ist die Bahnkurve der Masse.
x = sin t ; y = sin t → y = x
Die Bahnkurve ist eine Gerade (Ursprungsgerade mit der Steigung 1).
Abänderung: y = cos t

Die Masse bewegt sich jetzt auf einem Kreis mit dem Radius 1.

2014-05-08

Schiefer Wurf
Der Vektor der Abwurfgeschwindigkeit muss in eine x- und in eine y-Komponente zerlegt werden:
vx=v*cos α ; vy=v*sin α
Dann werden die Bewegungsgleichungen genau wie beim waagerechten oder senkrechten Wurf aufgestellt.
Beispiel:

Schiefer Wurf

Ein Ball wird aus der Höhe h1 unter einem Winkel größer als 0° mit der Geschwindigkeit v schräg nach oben geworfen.
Er soll in 7m Entfernung ein Ziel treffen, das in der Höhe 3m angebracht ist.
Durch Ziehen des Punktes V kann die Anfangsgeschwindigkeit und der Abwurfwinkel gewählt werden.
Auch mit dem GTR (TI-84) kann die Bahnkurve erstellt werden.
Dazu muss man unter MODE die Einstellung PAR (für Parameter) wählen.
Bei Y= erscheinen dann für jeden Graph 2 Zeilen, z. B. x1T und y1T. Hier werden die Bewegungsgleichungen eingegeben.
Beispiel:

Die Werte V für die Geschwindigkeit, G für den Ortsfaktor und A für den Winkel werden in den Speicherplätzen V, G und A abgelegt.
Über die Neubelegung der Speicherplätze kann der Graph leicht abgeändert werden.

2014-05-15

Weitere Übungsaufgabe zum schiefen Wurf
Ausrede: Gerechnet wird mit einheitenlosen Werten, da in der Computer-Märchenwelt noch kein Fürst seine Elle als Maßstab bereit gestellt hat und die Zeit abhängig von der Taktfrequenz des Computers ist.

Auf einer mit der Geschwindigkeit v_P=2 nach oben fahrenden Plattform P der Breite 1 läuft ein Männchen mit der Geschwindigkeit v_M=3 nach rechts.
Hat die Plattform die Höhe 4 erreicht, befindet sich das Männchen am rechten Rand der Plattform und verlässt diese. Der Ortsfaktor beträgt g=2.
Von rechts nähert sich eine Wand mit der Geschwindigkeit v_W=-1.
In welcher Höhe trifft das Männchen auf die Wand?
Lösung:
Aufstellen der Bewegungsgleichungen:
In x-Richting bewegt sich das Männchen mit konstanter Geschwindigkeit:

In y-Richtung bewegt sich das Männchen mit konstanter Geschwindigkeit nach oben und beschleunigt nach unten:

Die Wand bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit:

Einsetzen der Werte:

Wenn das Männchen auf die Wand trifft, sind beide x-Werte gleich:

t-Wert in die Gleichung für y einsetzen:

Das Männchen trifft also in der Höhe 5 auf die Wand.

2014-05-22

Wiederholung zur Klassenarbeit
Themen:

freier Fall, alle Körper fallen im luftleeren Raum gleich schnell
Energien: potenzielle Energie E_Pot=m∙g∙h, kinetische Energie E_Kin=0,5∙m∙v², Berechnungen dazu
Reibung: Haftreibungskraft F_H=μ_H∙F_G; Gleitreibungskraft F_Gl=μ_Gl∙F_G
Bewegungsgleichungen für den Fall v=const. und a=const.
Versuchsauswertungen: GTR, Regression
waagerechter, senkrechter und schiefer Wurf

2014-06-03

Wiederholung zur Klassenarbeit

Schiefe Ebene

Die Hangabtriebskraft bewirkt, dass ein Körper auf der schiefen Ebene beschleunigt hinabrutscht.
Die Beschleunigung ist natürlich geringer als beim freien Fall:
Hat die Ebene den Neigungswinkel α, so berechnet sich die Beschleunigung a aus a=g∙sinα,
genau so, wie sich die Hangabtriebskraft F_H aus der Gewichtskraft F_G berechnet: F_H=F_G∙sinα.
Bei der Reibungskraft an der schiefen Ebene muss die Normalkraft FN betrachtet werden, die den Körper an die Ebene drückt:
F_R=μ_R∙F_N. Das gilt sowohl für die Haftreibung, wie auch für die Gleitreibung.

2014-06-05

Klassenarbeit 2 [ Aufgaben | Lösungen ]

2014-06-12

Rückgabe der Klassenarbeit 2 [ Aufgaben | Lösungen ]
Wiederholung zum Thema "Trägheit"
Zwei Versuche gaben uns Rätsel auf:

Zwei gleiche Wagen, der eine mit 400 g Zusatzmasse versehen, werden durch schnelles Ziehen an gleichen Schraubenfedern in Bewegung versetzt:

Beobachtung: Der leichtere Wagen kommt zuerst an.
Die beiden Wagen werden nun wieder in Bewegung versetzt, aber jetzt dadurch, dass sie eine Schräge hinabrollen:

Beobachtung: Beide Wagen kommen zur selben Zeit unten an.
Erklärung des Unterschieds:
Im ersten Fall wirkt dieselbe Kraft auf beide Wagen. Da eine größere Masse die Geschwindigkeit nicht so schnell erhöhen kann, bleibt der Wagen mit der größeren Masse zurück.
Die Eigenschaft, dass große Massen ihren Bewegungszustand nicht so gut ändern können wie kleine Massen, nennt man "Trägheit". Je größer die Masse, desto größer die Trägheit.
Im zweiten Versuch sind beide Wagen gleich schnell, weil der Wagen mit der größeren Masse durch die höhere Gewichtskraft eine stärkere Antriebskraft erfährt als der leichte Wagen. Durch die größere Kraft wird die größere Trägheit ausgeglichen.

Wie hängt nun aber der Wert der Beschleunigung einer (trägen) Masse von der ausgeübten Kraft ab?
Dazu folgender Versuch mit einer Luftkissenbahn:
Ein Luftkissengleiter bekannter Masse (93,75 g) wird durch herabsinkende Massestücke beschleunigt. Die Kraft wird dabei durch einen (fast) masselosen Faden übertragen.
Da neben dem Gleiter auch die absinkenden Massestücke beschleunigt werden müssen, wird ein Vorrat von 10 Massestücken auf dem Gleiter deponiert und ein Teil der Massestücke wird dann zum Antrieb benutzt. In einem ersten Versuch erzeugen 2 Massestücke von je 1g Masse die Bewegung.
Auswertung des Versuchs mit dem Videoanalyse-Programm Tracker:

Der mit dem Fotoapparat aufgenommene Film wurde mit 30 Bildern pro Sekunde gespeichert. Die einzelnen Bilder können mit dem Programm Tracker ausgewertet werden:

Links die letzte Phase der automatischen Auswertung, rechts Graph und Wertetabelle.
In einem speziellen Auswertefenster werden zu den Messpunkten Ausgleichskurven gesucht.
Die Betrachtung des t-x-Graphen deutet auf eine Parabel hin gemäß der Bewegungsgleichung für die beschleunigte Bewegung s=0,5∙a∙t²:
∙∙
Betrachtet man dann aber das t-v-Diagramm, so passt es nicht zur theoretischen Gleichung v=a∙t:

Man sieht, dass die Ausgleichsgerade links unten und rechts oben oberhalb der Messpunkte und in der Mitte unterhalb der Messpunkte liegt.
Berücksichtigt man nicht alle Werte, sondern nur die Werte der ersten Hälfte der Gleitzeit (gelb markiert), so ergibt sich folgende Ausgleichsgerade:

Im zweiten Teil der Fahrt ist die Geschwindigkeit nicht mehr konstant, sondern nimmt immer weiter ab.
Auch im t-x-Diagramm erkennt man die Abweichung, wenn man nur die ersten Messpunkte (gelb markiert) berücksichtigt:

Rechts oben ist die Abweichung deutlich zu erkennen.
Für die Beschleunigung im ersten Teil der Bahn ergibt sich wie theoretisch vorausgesagt eine Konstante:

Würden die Messpunkte des 2. Teils berücksichtigt, würde die Beschleunigungsgerade abfallen, d. h. die Beschleunigung würde kleiner werden.
Die Abweichungen im 2. Teil lassen sich dadurch erklären, dass die leichte Antriebsmasse (2g) durch den Luftwiderstand nicht ihre volle Gewichtskraft in Antriebskraft umsetzen kann.
Für die Bewegungsgleichungen ergibt sich

Vergleicht man die Auswertung mit den allgemeinen Bewegungsgleichungen, so sieht man, dass die Beschleunigung etwa 0,18 m/s² beträgt, der Wagen beim Start eine Geschwindigkeit von 0,077 m/s oder 7,7 cm/s mitbekommen hat und der Start etwa 0,4 mm neben dem 0-Punkt erfolgt ist.
Ob die Genauigkeit der Angaben gerechtfertigt ist, mag jeder selbst beurteilen, wenn man beachtet, dass lediglich 30 Messwerte pro Sekunde vorliegen und mehr oder weniger berücksichtigte Messwerte zu deutlichen Abweichungen in den Ergebnissen führen.
Messungen mit anderen beschleunigenden Massen in der nächsten Stunde. Dann werden wir auch den Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung herausfinden.

2014-06-19

Fortsetzung der Messungen aus der letzten Stunde.
Schon erledigt: Messung mit der Gesamtmasse 103,75g (93,75g für den Fahrbahngleiter und 10g für die Massestücke).
Den folgenden Messungen liegen Filme mit einer Größe zu Grunde (um 10MB), die man nicht unter Moodle speichern kann.
Deshalb hier nur die Screenshots der einzelnen Versuche mit der Auswertung zu x(t), vx(t) und ax(t).
Die Gesamtmasse beträgt immer 103,75g.

Messung mit 4g beschleunigender Masse
Messung mit 6g beschleunigender Masse
Messung mit 8g beschleunigender Masse
Messung mit 10g beschleunigender Masse

Die Versuche sollen den Zusammenhang zwischen der jeweiligen Beschleunigung a und der wirksamen Kraft (Gewichtskraft) F klären.
Die Beschleunigung a lässt sich aus allen 3 Diagrammen zu jeder Beschleunigungsmasse ermitteln:

In der Gleichung für x gibt A den halben Wert der Beschleunigung an (wegen x=0,5∙a∙t²).
In der Gleichung für vx gibt A den Wert der Beschleunigung an (wegen v=a∙t).
In der Gleichung für ax gibt die Konstante B den Wert für die Beschleunigung an (wegen a=a₀, hier allerdings wegen nicht idealer Bedingungen a=v₀∙t+a₀).

Es ist nun die Frage, ob man wegen der großen Streuung bei den ax-Werten diese berücksichtigen oder nur die x- und vx-Werte verwenden sollte.
Auswertung mit allen Werten:

2g (siehe letzte Stunde): a=0,174 m/s²
4g: 0,361 m/s²
6g: 0,526 m/s²
8g: 0,710 m/s²
10g: 0,852 m/s²

Um die Abhängigkeit zwischen F und a festzustellen, werden die Werte mit dem Taschenrechner ausgewertet:

Da die Punkte auf einer Geraden zu liegen scheinen, wird eine lineare Regression durchgeführt.

Das Ergebnis rechtfertigt die Annahme: linearer Zusammenhang zwischen F und a: F~a
Zur Bestimmung des Proportionalitätsfaktors wird F jeweils durch a dividiert:

Das Ergebnis hat die Dimension einer Masse und stimmt (etwa) mit der Masse 104g des Gleiters überein.
Ob die überschüssige Masse ihren Grund im "masselosen" Faden oder dem Trägheitsmoment der Antriebsrolle hat?
Ergebnis: Der Zusammenhang zwischen antreibender Kraft und Beschleunigung (und auch der beteiligten Masse) wird beschrieben durch die

2014-06-26

Übung zum Thema Newtonsche Bewegungsgleichung F=m∙a
Bei einem Torschuss mit dem "Brazuca" (offizieller Ball der Fußball-WM'14) der Masse 440g muss der Torwart den mit der Geschwindigkeit 90km/h ankommenden Ball auf einer 30cm-Strecke auf die Geschwindigkeit 0km/h abbremsen. Berechne die dafür aufzubringende Kraft.
Lösung:

Der Torwart muss eine so große Kraft aufwenden, als wenn er eine Masse von 45,8 kg tragen würde.
Da die Kraft aber nur kurzzeitig aufgebracht werden muss, kann ein trainierter Sportler diese Aufgabe meistern.

2014-07-03

Weitere Aufgaben zur Newtonschen Bewegungsgleichung F=m∙a aus dem Buch und aus folgendem Experiment:

Ein Gegenstand (leere Garnrolle der Masse m_Garn=6g, wegen möglicher Verletzungsgefahr) wird durch ein gespanntes Gummiband (Zwille) beschleunigt und fliegt dann mit der konstanten Geschwindigkeit v₀ fort.
Beim Auftreffen auf eine Handinnenfläche wird der Gegenstand auf einer Strecke der Länge s_Hand=3mm bis zur Ruhe abgebremst.
Zu berechnen sind die Geschwindigkeit v₀, die durch das gespannte Gummiband erzeugte Beschleunigung a und die Kraft, die auf die Hand einwirkt.
Es gelten idealisierte Zustände: Keine Reibung, konstante Beschleunigung, konstante Fluggeschwindigkeit v₀. Die Anfangswerte sind aus der Zeichnung abzulesen.

2014-07-10

Drehbewegungen

Mit Hilfe eines Drehtisches haben wir Grundlagen der Drehbewegung erörtert:

Die Gummistopfen auf dem Drehtisch besitzen Geschwindigkeiten, die vom Radius ihrer Bahn abhängen.
Allen Stopfen gleich ist: In gleichen Zeiten Δt werden gleiche Winkel Δα überstrichen: Δα~Δt → Δα=ω∙Δt mit dem konstanten Proportionalitätsfaktor ω.
ω=Δα/Δt nennt man Winkelgeschwindigkeit.
Die Zeitdauer für eine vollständige Umrundung des Drehtischs nennt man Umlaufdauer T.
Misst man den Winkel im Bogenmaß, so gilt für einen vollständigen Umlauf Δα=2π und Δt=T und damit ω=2π/T.
Die Bahngeschwindigkeit v eines Körpers ergibt sich aus dem Radius r und der Winkelgeschwindigkeit zu v=2πr/T=ω∙r.

Ein kreisender Körper bewegt sich nicht geradlinig; also muss auf ihn eine Kraft wirken.
Es ist nicht die Zentrifugalkraft, die wir spüren, wenn wir in einem Karussell sitzen, denn diese Kraft würde uns ja nach außen treiben und nicht auf der Bahn halten.
Versuch:

Ein an einen Faden gebundener Korken wird im Kreis bewegt (Drehachse liegt parallel zum Erdboden).
Lässt man den Faden los, wenn der Korken genau die Richtung zur Zimmerdecke hat, fliegt er senkrecht nach oben, bis er dann wiederum senkrecht abstürzt.
Also: wenn die Kraft nicht mehr wirkt, bewegt sich der Korken geradlinig nach außen.
Wenn die Kraft wirkt, wird der Korken bei gespanntem Faden zum Drehzentrum hingezogen.
Die Kraft, die das bewirkt, nennt man Zentripetalkraft F_Z.
Die Zentrifugalkraft ist eine Scheinkraft, die man nur spürt, wenn man sich auf einer Kreisbahn befindet, also in einem beschleunigten Bezugssystem.
Die Kraft, die tatsächlich wirken muss, ist zum Zentrum der Kreisbahn gerichtet.
Auch die Corioliskraft, die auf der Nord- und Südhalbkugel der Erde Luftwirbel erzeugt ist eine Scheinkraft, die man nur spürt, weil man sich auf der Erdoberfläche auf Kreisbahnen bewegt.
Versuch:

Wirft man vom unteren Stopfen einen Gegenstand zum oberen Stopfen und bewegt sich dabei der Drehtisch im Uhrzeigersinn, so fliegt der Körper nicht auf der gestrichelten Strecke, sondern auf der durchgezogenen Strecke. Es scheint eine Kraft auf den Körper zu wirken, die in Wirklichkeit aber gar nicht vorhanden ist.
Wie die Zentripetalkraft F_Z, der Radius r und die Bahngeschwindigkeit v miteinander zusammenhängen, wird in der nächsten Stunde untersucht.
Rechenaufgabe zum Schluss: Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich ein Körper am Äquator der Erde?
Erdradius r=6370km; Umlaufdauer T=1d=24h; Bahngeschwindigkeit v=2πr/T=2∙π∙6370/24 km/h=1670 km/h. Das ist mehr als Schallgeschwindigkeit!
Man merkt von der großen Geschwindigkeit nichts, weil sich alle Dinge zusammen mit dieser Geschwindigkeit bewegen und wegen der langen Umlaufdauer (1 Tag) die Krümmung der Bahn nicht zu spüren ist.

2014-07-17

Vorversuch:

Durch einen Hohlzylinder läuft ein Band, an dessen Enden ein Gummipfropfen (leicht) und ein Aluminiumzylinder (schwer) befestigt sind.
Normalerweise zieht der Aluminiumzylinder den Gummipfropfen nach oben, wenn man den Hohlzylinder hochhebt.
Wird aber der Gummipfropfen im Kreis bewegt, so wird er nicht zum Zylinder gezogen, wenn die Drehgeschwindigkeit den richtigen Wert hat.
Kreist der Pfropfen langsamer, rutscht er zum Zylinder hin, kreist er schneller, so wird der Aluminiumzylinder nach oben gezogen.
Die bei einer Kreisbewegung auftretende Kraft hängt von der Masse m, der Umlaufdauer T und vom Radius r der Kreisbahn ab.
Versuch zur Bestimmung der Abhängigkeit F(m, r, T)

Die 3 Parameter werden der Reihe nach variiert und die Kraft wird jeweils gemessen.
Versuchsergebnisse:

Es ergeben sich folgende Proportionalitäten mit ihren Gleichungen:
F~m mit F=c₁∙m
F~r mit F=c₂∙r
F~T^-2 oder F~1/T² mit F=c₃/T²
Zusammen ergibt das F=c₄∙m∙r/T² .
Einsetzen der gefundenen Werte ergibt für c₄ (fast) den einheitenlosen Wert 1, also gilt F=m∙r/T² .
Mit der Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit ω=2π/T und der Beziehung für die Bahngeschwindigkeit v=ω∙r folgt dann F=m∙v²/r .
Aufgabe für die Freistunden: Lösen von Aufgaben aus der Himmelsmechanik mit Hilfe der gefundenen Formel.

2014-07-24

Zwischen 2 Massen wirkt in Abhängigkeit vom Abstand der Massenschwerpunkte folgende Anziehungskraft:

Zusammen mit der Zentripetalkraft gilt dann:

Gewichtskraft an der Erdoberfläche
Flugbahn eines geostationären Satelliten

Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2013/2014 - Physik 10e

Dynamik

Waagerechter Wurf

Senkrechter Wurf - 2 Turmspringer

Schiefer Wurf