Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Mathematik 12ma3g

Vektorrechnung

• Wie bestimmt man Abstände zwischen Punkten?
• Auf einem Zahlenstrahl berechnet man die Differenz der beiden Werte der Punkte:
  
  Ein Pfeil zeigt von A nach B. Seine Länge ist der Abstand: 5-2=3
• In der Ebene hat der Pfeil Komponenten in x- und in y-Richtung:
  
  Man misst die Ausdehnung in x-Richtung und in y-Richtung:
  x-Richtung: 5-2=3
  y-Richtung: 3-1=2
  Mit Hilfe des Satzes des Pythagoras kann man nun die Länge des Pfeils, also den Abstand der Punkte, berechnen:
  
• Im 3-dim-Raum besitzt der Pfeil S1 von P1(2/1/4) nach P2(5/3/9) Komponenten in x-, y- und z-Richtung:
  
  Man misst die Ausdehnung in x-Richtung und in y-Richtung:
  x-Richtung: 5-2=3
  y-Richtung: 3-1=2
  z-Richtung: 9-4=5
  Mit Hilfe des (erweiterten) Satzes des Pythagoras kann man nun die Länge des Pfeils, also den Abstand der Punkte, berechnen:
  
• Die oben betrachteten Pfeile sind durch ihre Ausdehnung in x-, y- und z-Richtung festgelegt.
  Sie würden gleiche Länge und gleiche Richtung haben, wenn man alle Punkte um konstante Werte in x-, y- oder z-Richtung verschieben würde.
  Als Repräsentanten für alle Pfeile, die in gleiche Richtung verlaufen und gleiche Länge haben definiert man einen Vektor, der durch die oben gefundenen Ausdehnungen in x-, y- und z-Richtung dargestellt wird.
  Vektoren werden durch kleine Buchstaben gekennzeichnet, die zur Unterscheidung von Geraden oder Strecken durch einen darübergesetzten Pfeil ausgezeichnet werden.
  Die Zahlenwerte, die die Ausdehnungen der Pfeile in x-, y- und z-Richtung beschreiben, werden in große runde Klammern gesetzt.
  Für den 1-dimensionalen Fall benutzt man normalerweise keine Vektoren.
  2-dimensionaler Fall (Ebene):
  3-dimensionaler Fall (Raum):
• Bei den Vektoren werden die Ausdehnungen in Richtung der Koordinatenachsen vom Anfang des Pfeils zur Spitze des Pfeils gemessen.
  2 Vektoren sind gleich, wenn sie in dieselbe Richtung zeigen und gleiche Länge haben.
  Einen Vektor mit gleicher Länge aber genau entgegengesetzter Richtung nennt man Gegenvektor und beschreibt ihn durch ein Minuszeichen vor dem Buchstaben bzw. vor den Komponenten.
  Vektoren, die in der Länge oder der Richtung oder in beiden Eigenschaften nicht übereinstimmen, sind ungleich.
• Beispiele (hier ohne Pfeil geschrieben):
  
  u und z sind Gegenvektoren
  u und w sind nicht gleich, da sie unterschiedliche Länge haben
  w und v sind nicht gleich, da sie unterschiedliche Länge und Richtung haben

• Definition von Ortsvektor und Richtungsvektor
  
  Ortsvektoren kennzeichnen beliebige Punkte im Koordinatensystem, indem der Beginn des zum Ortsvektors gehörenden Pfeils im Koordinatenursprung liegt und die Spitze am zu bezeichnenden Punkt.
  Die Komponenten des Ortsvektors stimmen mit den Koordinaten des zu bezeichnenden Punkts überein (siehe u und v).
  Richtungsvektoren geben eine Richtung an. Z. B. wird die Richtung vom Punkt B zum Punkt C durch den Richtungsvektor w angegeben. Der Vektor kann so lang sein wie der Abstand der beiden Punkte, muss es aber nicht. Nur die Richtung ist festgelegt.
• Angenommen, die Komponenten von v wären nicht bekannt. Dann könnte man mit Hilfe der Vektoren u und w diese Komponenten berechnen:
  Die Ausdehnung des Vektors v in x-Richtung ist so groß wie die Summe der Ausrichtungen der Vektoren u und w in x-Richtung.
  Für die y-Richtung gilt das analog.
  Man schreibt deshalb als Summe:
• Vektoren werden addiert, indem man die Komponenten der Vektoren addiert.
  Vektoren werden subtrahiert, indem man die Komponenten der Vektoren subtrahiert.
• In Verallgemeinerung zum Beispiel oben gilt:
  Der Vektor von einem Punkt zu einem anderne Punkt ergibt sich, indem man vom ersten Punkt beginnend auf Wegen geht, die durch Vektoren vorgegeben sind, bis man beim Zielpunkt landet. Die benutzten Vektoren addiert man.
  Beispiel:
  
  Der Vektor c lässt sich darstellen durch:
  
• Alles oben Gesagte gilt auch für den 3-dimensionalen Fall.
  Zur besseren Anschauung im 3-dimensionalen Raum ist ein Programm unter moodle abgelegt.

• Vielfache eines Vektors:
  
  Einen Vektor multipliziert man mit einer Zahl (= einem Skalar), indem man jede Komponente des Vektors mit diueser Zahl multipliziert:
  
  Allgemein:
• Geradengleichung:
  
  Eine Gerade und damit alle Punkte auf einer Geraden kann man so bestimmen, indem man zunächst mit einem Ortsvektor vom 0-Punkt zu einem Punkt der Geraden geht und dann auf der Geraden entlang mit dem Vielfachen eines Richtungsvektors bis zu dem zu beschreibenden Punkt läuft.
  Im Beispiel wird der Punkt C durch die Vektoren u und v beschrieben:
  Allgemeine Gleichung einer Geraden:
• Punktprobe
  Will man wissen, ob der Punkt P(15/-3) auf der oben beschriebenen Geraden liegt, so setzt man den Ortsvektor für P als Vektor x ein und untersucht, ob es einen einzigen k-Wert gibt:
  
  Da die k-Werte nicht übereinstimmen, liegt der Punkt P nicht auf der Geraden.

• In einer Ebene können 2 Geraden entweder
• identisch (und damit auch parallel) → Richtungsvektoren parallel und die Ortsvektoren sind jeweils Vektoren zu Punkten auf der anderen Gerade
  
• parallel (aber nicht identisch) oder → Richtungsvektoren parallel, aber die Differenz der Ortsvektoren ist nicht parallel zu den Ortsvektoren
  
• sich schneidend → Ortsvektoren sind nicht parallel       sein.
• Im 3-dimensionalen Fall gibt es auch die Möglichkeit, dass die beiden Geraden nicht parallel sind, sich aber auch nicht schneiden, sondern aneinander vorbeilaufen.
• Beispiele für 2 Geraden im 3-dimensionalen Raum:
  
  Sind die Geraden parallel? Nein, denn die Richtungsvektoren sind nicht Vielfache voneinander (die k-Werte sind unterschiedlich):
  
  Schneiden sich die Geraden? Die beiden Ortsvektoren 0X werden gleichgesetzt und es müssten sich einheitliche Werte für s und t ergeben.
  Da wir aber 3 Gleichungen und nur 2 Variablen haben, ist das sehr unwahrscheinlich.
  2 Gleichungen reichen aus, um die beiden Variablen zu bestimmen.
  Die 3. Gleichung muss dann "durch Zufall" stimmen, und das ist sehr unwahrscheinlich.
  Rechnung:
  
  
  s berechnen:
  Einsetzen in 1. Komponente:
  Da die Gleichung für die 1. Komponente erfüllt ist, haben die beiden Geraden einen Schnittpunkt.
  Der Ortsvektor zum Schnittpunkt ergibt sich durch Einsetzen von s oder t in eine der beiden Geradengleichungen:
  

• Jeder Punkt einer Gerade (bzw. der entsprechende Ortsvektor) kann in vektorieller Form durch die Summe eines Stützvektors und dem Vielfachen eines Richtungsvektors beschrieben werden.
  Analogie: Um über die Autobahn einen bestimmten Ort zu erreichen, muss man zunächst zur Autobahn fahren (Stützvektor) und dann in Richtung der Autobahn (Richtungsvektor) ein bestimmtes Vielfaches einer Grundeinheit (z. B. 1 Kilometer) fahren.
  Das GeoGebra-Arbeitsblatt kann interaktiv bedient werden (Klick auf den Link oder die Grafik):
  
• Übung zum Gebrauch des Taschenrechners zur Lösung von Aufgaben mit Vektoren
  Frage: Schneiden sich die Geraden g und h?
  
  Lösung: Aufstellen eines Gleichungssystems, Matrix aufstellen, rref-Befehl des Taschenrechners nutzen, Ergebnis-Matrix in Gleichungssystem zurückumwandeln.
  
          
    
  
  Die dritte Gleichung zeigt eine falsche Aussage. Also ist das Gleichungssystem nicht lösbar und die Geraden schneiden sich nicht.
  Ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und nur 2 Variablen ist überbestimmt. Mit zwei der Gleichungen kann man schon die Werte der Variablen berechnen. Die dritte Gleichung müsste dann mit diesen Werten erfüllt sein. Das wäre aber, bei zufälliger Wahl der Komponenten, nur sehr selten der Fall.
• Wo schneidet die Gerade g die x-z-Koordinatenebene?
  Überlegung: In der x-z-Koordinatenebene haben alle Punkte den y-Wert 0.
  
• Ein Lichtstrahl zeigt in Richtung der Geraden g auf die x-z-Ebene.
  Geben Sie die Richtung des reflektierten Lichtstrahls an.
  Lösung: Die x- und z-Komponente des Richtungsvektors bleiben. Die y-Komponente wird durch die Gegenzahl (Vorzeichen vertauschen) ersetzt.

• Bei einer Geraden kann man nur in eine Richtung gehen. Es reicht also, zum Stützvektor das Vielfache eines Richtungsvektors zu addieren, um zu jedem Punkt der Geraden gelangen zu können.
• In einer Ebene sind aber 2 verschiedene Richtungen möglich (deshalb in einem kartesischen Koordinatensystem auch die 2 Angaben bei einem Punkt (x- und y-Koordinate)).
  Man muss also, um jeden Punkt der Ebene erreichen zu können, zum Stützvektor Vielfache von 2 Richtungsvektoren addieren:
  

• In der Stunde habt Ihr Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen untersucht.

• In den letzten Stunden wurde besprochen, dass zwei Vektoren parallel sind, wenn der eine ein Vielfaches des anderen Vektors ist.
• Wie kann man überprüfen, ob 2 Vektoren senkrecht zueinander stehen?
  
  Das Bild zeigt den 2-dimensionalen Fall.
  Rechnerisch untersucht wird das Problem am 3-dimensionalen Fall:
• Das von den Vektoren u, v und v-u gebildete Dreieck ist rechtwinklig.
  Damit kann der Pythagoras auf die Dreiecksseiten angewendet werden:
  
  Die Rechnung zeigt, dass die Summe der Produkte der einzelnen Komponenten der Vektoren 0 ergibt, wenn die Vektoren senkrecht zueinander stehen.
  (Zu zeigen wäre eigentlich noch, dass die Vektoren nicht senkrecht stehen, wenn die Summe nicht 0 ergibt)
• Wegen der Wichtigkeit dieser Beziehung hat die Summe den Namen Skalarprodukt erhalten und man schreibt:
  
• Beispiel für den 2-dimensionalen Fall (siehe oben):
  
  Gegenbeispiel (siehe oben):
  
• Sind 2 Vektoren parallel zueinander, so ergibt das Skalarprdukt das Produkt der Längen der Vektoren.
  Beweis:
• 
  
  
• Zahlenbeispiel:
  
  
  

• In der letzten Stunde haben wir gesehen, dass das Skalarprodukt zweier senkrechter Vektoren 0 ergibt und dass das Skalarprodukt zweier paralleler Vektoren genau so groß ist wie das Produkt der Längen der beiden Vektoren.
  Was ist nun aber, wenn die Vektoren unter einem beliebigen Winkel zueinander stehen?
• Skizze:
  
  Die Vektoren u und v schließen den Winkel α ein.
  v wird in zwei Komponenten v|| parallel zu u und v┴ senkrecht zu u zerlegt.
  Dann gilt (siehe auch letzte Stunde):
  
• Beispiel:
  
  Berechne den Winkel, den die beiden roten Strecken einschließen.
  Die Strecken können durch folgende Vektoren beschrieben werden:
  Dann folgt:

• Besprechung der Hausaufgabe:
  Gegeben ist ein Würfel der Seitenlänge 1.
  Zu berechnen ist der Winkel zwischen dem roten und dem grünen Vektor.
  
  Lösung:
  Mit den Eckpunkten A(0/0/0), G(1/1/1), E(0/0/1) und C(1/1/0) gilt:
  
• Weitere Aufgabe zu Geraden und Winkeln:
  
  Die Geraden durch den roten und den grünen Vektor schneiden sich in S.
  Die Strecke BF ist in 3 gleich große Teile geteilt. Der untere Teilpunkt ist U.
  Die Gerade durch den grünen Vektor läuft durch U und S. Außerdem soll die Gerade DH im Punkt T getroffen werden.
  Gesucht sind die Koordinaten von T und der Winkel, unter dem sich die beiden Vektoren schneiden.
  Lösung:
  
  Gleichsetzen der Geradengleichungen und Lösen des Gleichungssystems:
  
  Aus Gleichung 2 ergibt sich s=t.
  Eingesetzt in Gleichung 1 ergibt sich 5s=5-5s, also 10s=5 oder s=1/2 und damit auch t=1/2.
  Eingesetzt in Gleichung 3 ergibt sich 3/2=1-1/2+a·1/2 und 1=a·1/2 und a=2.
  Der Punkt T hat also die Koordinaten T(0/2/2).
  Winkelberechnung:
  
  Es ergibt sich der Winkel zwischen den Pfeilspitzen.
  Der gesuchte Winkel ist demnach 180°-122°=58°

• Wiederholung zur Klausur

• Klausur 1 [ Aufgaben | Lösungen ]
  

• Normalenform der Ebenengleichung
  
  Die Lage einer Ebene ist durch einen Punkt P der Ebene und durch einen Normalenvektor, der senkrecht auf der Ebene steht, vollständig festgelegt.
  Damit gilt für alle Punkte P der Ebene, dass der Vektor PX senkrecht zum Normalenvektor stehen muss:
  
  Die Gleichung nennt man Normalenform (NF).
  Beispiele:
• Gegeben ist die Ebene, die den Punkt P(5/-1/3) enthält und zu der der Vektor mit den Komponenten (2/6/-7) senkrecht steht.
  Ist der Punkt Q(-4/3/8) ein Punkt der Ebene?
  
  Einsetzen von Q: . Also liegt der Punkt Q nicht in der Ebene.
• Ist der Punkt R(-1/1/3) ein Punkt der Ebene?
  . Also ist R ein Punkt der Ebene.
• Wie findet man den Normalenvektor, wenn nur 2 Richtungsvektoren der Ebene bekannt sind?
  Beispiel:
  Gegeben sind die beiden Richtungsvektoren .
  Für den Normalenvektor gilt dann
  

• Rückgabe der Klausur 1 [ Aufgaben | Lösungen ]