Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2012/2013 - Mathematik 9e

Figuren und Körper

• Mehrere Beispiele brachten uns zum Problem: "Wie kann man den Umfang eines Kreises berestimmen".
  Erste Versuche: Anlegen eines Bindfadens oder einer Papierkante an den Kreis, um dann die Länge zu messen:
          
  Die Ergebnisse waren gar nicht schlecht: Für einen Kreis mit 5cm Radius wurde ein Umfang zwischen 31cm und 32cm angegeben.
  Wenn man es genauer haben will, muss man sich raffiniertere Methoden ausdenken.
  Vorschläge von Euch waren: Ein Dreieck oder Viereck in den Kreis hineinlegen und dann den Umfang dieser Vielecke berechnen. Das Ergebnis ist dann eine Näherung für den Kreisumfang, wird aber mit Sicherheit einen zu kleinen Wert ergeben, da alle Teilstrecken innerhalb des Kreises verlaufen. Betrachtet man nun auch noch Vielecke, deren Seiten von außen am Kreis anliegen, so erhält man wieder Näherungswerte, diesmal aber zu große Werte. Eine Genauigkeitssteigerung erreicht man durch Vielecke mit sehr vielen Ecken. Das wird dann Thema der nächsten Stunde sein.

• Die Aufgabe dieser Stunde war: Bestimme zu einem Kreis mit gegebenem Radius die Länge des Umfanges möglichst genau.
  In der letzten Stunde haben wir schon durch Ausmessen gesehen, dass der Umfang eines Kreises mit dem Radius 1 etwa 6,3 beträgt.
  
• Zu einer genaueren Abschätzung führt es, wenn man ein Quadrat dem Kreis einbeschreibt und ein Quadrat umbeschreibt.
  Die Umfänge der Quadrate geben dann ein Intervall an, das den wahren Umfang des Kreises mit dem Radius 1 enthält.
  
  Da BM=1, folgt mit Hilfe des Satzes vom Pythagoras  und damit für den gesamten Umfang des inneren Quadrates: .
  Die Seitenlänge des äußeren Quadrates ist gleich dem doppelten Kreisradius, also 2. Der Umfang des äußeren Quadrates beträgt also
  Der wahre Wert des Kreisumfangs liegt also zwischen 5,6 und 8.
• Das Intervall kann man verkleinern, indem man nicht ein Quadrat, also ein regelmäßiges 4-Eck, sondern ein regelmäßiges n-Eck benutzt mit einer Zahl n>4.
  AB ist die Seitenlänge sn eines regelmäßigen n-Ecks. Die Seitenzahl soll verdoppelt werden, so dass man ein 2n-Eck erhält.
  Berechne s2n mit der Annahme, dass sn bekannt ist. Es ist also eine Gleichung s2n = . . . . sn . . . . gesucht, bei der auf der rechten Seite sn vorkommt und bei der der Wert der rechten Seite die Seitenlänge s2n ergibt. Man sollte dabei bedenken, dass der Kreisradius 1 beträgt und dass es den Satz des Pythagoras gibt.

• 
  Lösung der Aufgabe:
  Im rechten Teil der Figur finden sich 2 rechtwinklige Dreiecke, auf die der Satz des Pythagoras angewendet werden kann:
  
  Mit LibreOffice soll nun eine Näheruingsberechnung durchgeführt werden. Dabei beginnen wir mit n=6 (Sechseck) und gehen dann Zeile für Zeile weiter zum 12-Eck, 24-Eck, 48-Eck usw.
  Die Tabelle gibt uns mit wachsender Eckenzahl (scheinbar) immer genauere Werte für den Kreisumfang des Kreises mit dem Radius 1:
  

• 
  In Zeile 26 erscheint aber unvermittelt (?) der Wert 0 für den Umfang.
  Was ist passiert?
  Grund ist die eingeschränkte Rechengenauigkeit der Tabellenkalkulation.
  In der Formel wird für großes n der Wert von s_n nahezu 0, damit die innere Wurzel fast zu 1 und unter der äußeren Wurzel steht dann 2 - (fast)2, was fast 0 ergibt.
  Irgendwann kann dann der Rechner diesen kleinen Wert nicht mehr von "genau 0" unterscheiden und bei der Multiplikation mit einer noch so großen Zahl n wird das Ergebnis zu 0.
• Tritt bei Rechnungen ein solch katastrophaler Fehler auf wie in der Tabelle ab Zeile 26, so spricht man von einer Subtraktions-Katastrophe, da der Fehler dadurch bedingt wird, dass 2 etwa gleich große Zahlen voneinander subtrahiert werden.
• Da der Kreisumfang proportional zum Radius ist (Ähnlichkeit / Stahlensätze) gilt für den Umfang U eines Kreises mit dem Radius r: .
  Als Abkürzung für die Hälfte der unhandlichen Dezimalzahl hat man den griechischen Buchstaben pi (π) eingeführt, so dass man schreiben kann: U=2·π·r
  Die 2 steht da, weil man π definiert hat als den Quotienten aus U und d, dem Durchmesser eines Kreises: U=π·d
• Es gibt viele verschiedene Methoden, um den Wert der Zahl π zu ermitteln.
  Hier ein Java-Applet, mit dem man die "Monte-Carlo-Methode" oder "Regentropfen-Methode" ausprobieren kann.
  Man lässt "Regentropfen" auf ein Quadrat der Seitenlänge r fallen. Das Quadrat hat den Flächeninhalt r².
  In dieses Quadrat wird ein Viertelkreis mit dem Radius r und dem Flächeninhalt 1/4·π·r² eingezeichnet.
  Das Verhältnis der beiden Flächeninhalte beträgt dann
  
  Zählt man die Tropfen TK, die in den Viertelkreis gefallen sind und dividiert diese Zahl durch die Anzahl aller Tropfen TA, so erhält man näherungsweise dasselbe Ergebnis TK/TA=π/4.
  
  

• Übungsaufgabe zur Kreisumfangsformel U=2·π·r
  Neben der Satellitenaufgabe haben wir uns mit der Erdumfangsaufgabe beschäftigt:
  Angenommen, man hätte stramm um die Erde herum ein Seil gelegt, sodass es überall dicht an der Erdoberfläche aufliegen würde.
  Nun wird das Seil um 1m verlängert und dann so gehalten, dass es überall zur Erde den gleichen Abstand hat. Wie groß wird dieser Abstand sein?
  Merkwürdigerweise habt ihr denselben Abstand berechnet wie auch später beim Ersetzen der Erde durch eine Pampelmuse und einen Punkt.
  
  Hier die allgemeine Rechnung zur Lösung der Aufgabe:
  
  
  Unabhängig vom Radius U₁ bleibt ein Abstand von fast 16 cm zwischen der Kugel und dem Seil.
• Flächeninhalt eines Kreises
  Teilt man einen Kreis in gleiche "Tortenstücke" und ordnet man diese so an wie in folgender Abbildung, kann man mit Hilfe des Kreisumfangs sehr leicht auf den Flächeninhalt des Kreises schließen:
  
  Es ergibt sich näherungsweise ein Parallelogramm mit den Seitenlängen 1/2·U und r.
  Dieses Parallelogramm wird immer mehr zu einem Rechteck, je schmaler die "Tortenstücke" werden.
  Im Grenzfall haben wir ein Rechteck mit den Seitenlängen 1/2·U und r. Als Flächeninhalt ergibt sich dann:
  

• Übungen zu Kreisumfang und Kreisfläche
  Möndchen des Hippokrates
  
  Öffnen des GeoGebra-Arbeitsblattes mit Klick auf den Link oder auf die Abbildung.
  Der Flächeninhalt der Fläche, die von den roten Kreisbögen vollständig umschlossen wird, ist genau so groß wie der Flächeninhalt des grünen rechtwinkligen Dreiecks:
  1. Der Flächeninhalt des Dreiecks beträgt A_Dreieck=a·b.
  2. Die Flächeninhalte der auf den Katheten gezeichneten Halbkreise betragen
  
  3. Die Flächeninhalte, die unter 1. und 2. berechnet wurden, werden addiert und geben den Flächeninhalt der insgesamt von der Zeichnung umschlossenen Fläche.
  4. Der Flächeninahlt des über der Hypotenuse gezeichneten Halbkreises ist
  
  5. Von der Gesamtfläche wird der Flächeninhalt des unter 4. berechneten Halbkreises subtrahiert und man erhält die Fläche zwischen den roten Kreisbögen:
  
  Die von den roten Kreisbögen umschlossene Fläche ist also genau so groß wie die Fläche des Dreiecks.
• Siehe dazu auch das Java-Applet (oder Java-Programm als download):
  
  

• Flächen- und Umfangsberechnungen
          
• Flächeninhalt
• Man sieht unmittelbar, dass in allen Zeichnungen die gelben Flächen innerhalb der Figur gleich groß sind.
  Die kleinen nach unten gewölbten Halbkreise kann man nämlich in die fehlenden weißen nach oben gekrümmten Halbkreise setzen und es ergibt sich jedesmal ein Halbkreis mit dem Radius 6.
  Auch bei noch feineren Unterteilungen der x-Achse ergibt sich (wenn genau gleich viele nach unten wie nach oben gerichtete Halbkreise existieren) für die Flächeninhalte immer derselbe Wert.
  Das gilt auch für den Grenzfall, bei dem die kleinen Kreisbögen auf der x-Achse nur als waagrechte Strecke zu erkennen sind.
• Umfang
• In der linken Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen Halbkreis (Radius 6) und einem ganzen Kreisumfang für einen Kreis mit dem Radius 3:
  
• In der mittleren Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen Halbkreis (Radius 6) und 2 ganzen Kreisumfängen für einen Kreis mit dem Radius 1,5:
  
• In der rechten Figur wird der Umfang der Figur gebildet aus dem Kreisbogen für einen großen Halbkreis (Radius 6) und 3 ganzen Kreisumfängen für einen Kreis mit dem Radius 1:
  
• Das Ergebnis ist immer der Umfang eines groeßen Kreises mit dem Radius 6.
  Das gilt auch für den Grenzfall, bei dem die kleinen Kreisbögen auf der x-Achse optisch nicht von einer Strecke zu unterscheiden sind.
  Der Umfang eines großen Halbkreises würde aber nur 6π+12 betragen.
• Arbelos (Schustermesser) oder Sichel des Archimedes
  
  Aufgabe:
  Die Flächeninhalte des roten Kreises und der grün umrandeten Fläche sind zu vergleichen.
  Lösung:
  Idee: Die grün umrandete Fläche findet man, indem man vom größten grünen Halbkreis die beiden kleinen grünen Halbkreise entfernt.
  Die Radien der Halbkreise sind immer halb so lang wie die Durchmesser der Kreise.
  Mit p+q=c gilt a²+b²=c²=(p+q)², weil bei C ein 90°-Winkel ist (Satz des Thales).
  Rechnung:
  
  Man sieht, dass die Fläche des roten Kreises genau so groß ist wie die grün umrandete Fläche, unabhängig von der Lange des Punktes C auf dem Kreisbogen.
• Mit diesem Java-Programm kann man durch Verändern des Punktes auf dem Kreisbogen sehen, dass diese Beziehung besteht:
  
  

• Mit Hilfe des Dreisatzes lassen sich sehr einfach die Formeln für einen Kreisausschnitt finden:
  
  Flächeninhalt eines Kreisausschnittes:
  
  Bogenlänge eines Kreisausschnittes:
  
  

• Ein Zylinder ist von von 2 Kreisen und dem Mantel begrenzt.
  Die Größe des Mantels lässt sich leicht berechnen, wenn man den Mantel zu einem Rechteck ausrollt.
  Formeln für den Zylinder:
  
    
  
• Berechnung der Länge von Spiralen
  
  Man denkt sich die Spirallinie auf den Mantel eines Zylinders gemalt, schneidet dann die Mantelfläche auf und rollt sie ab.
  Die Spirallinie ergibt dann gerade aber schräge Strecken auf der Mantelfläche.
  Ist die Spirale n mal gedreht, so ergeben sich n Strecken.
  Diese Streckenlängen können mit dem Satz des Pythagoras leicht berechnet werden.

• Besprechung der Hausaufgabe (Tafelbild bei Moodle)
• Während der Notenbesprechung Stillarbeit zum Thema Oberfläche bei Pyramiden und Kegeln.

• In Verbindung mit der Berechnung von Oberflächen von Pyramiden haben wir folgende wichtigen Erkenntnisse gewonnen:
• Erst eine Zeichung der Figur als Schrägbild.
• Alle Eckpunkte, Strecken und andere wichtigen Dinge benennen.
• Teilflächen als eigenständige Zeichnungen zeichnen.
• Möglichst rechtwinklige Teildreiecke wählen, da dann mit dem Satz des Pythagors gerechnet werden kann.
• Kegelmantel
  
• Schneidet man den Mantel des Kegels an der Seitenkante s auf und wickelt ihn ab, so ergibt sich ein Kreisausschnitt.
• Der Bogen U des Kreisausschnitts entspricht dem Umfang U der Grundfläche des Kegels und der Radius s des Kreisausschnitts ist gleich der Seitenkante s des Kegels.
  Vergleicht man den Kreisbogen U mit dem Umgfang des gesamten Kreises mit dem Radius s, so ergibt sich folgende Verhältnisgleichung:
  
  Vergleicht man nun den Mantel des Kegels, also den Kreisausschnitt, mit der Fläche des gesamten Kreises, ergibt sich:
  
  
  

• Prinzip von Cavalieri
  Sind in einem Körper die Querschnittsflächen in jeder Höhe gleich, so sind die Volumina der Körper auch gleich.
  
  Die Grundflächen der beiden Hohlkörper sind gleich (ca. 50 cm²).
  Auf jeder Höhe sind wieder die gleichen Querschnittsflächen anzutreffen.
  Die Volumina der beiden Hohlkörper stimmen also überein, wie wir beim Umfüllen mit Wasser erkennen konnten.
  Es war beeindruckend, wie der bis zum Rand gefüllte Körper links beim Umfüllen den rechten Körper (Zylinder)wieder bis zum Rand füllte.
• Volumen einer Pyramide
  Drei gleiche Pyramiden passen genau in einen Würfel:
       
  Da die Grundflächen von den Pyramiden und dem Würfel und auch die Höhen überienstimmen, muss das Volumen der Pyramiden ein Drittel des Würfel-Volumens sein:
  
  Auch bei Pyramiden, die keine quadratischen Grundflächen haben und bei denen die Höhe nicht gleich der Kante der Grundfläche ist, kann man diese Gesetzmäßigkeit sehen:
      
  Die 3 Pyramiden stimmen in der Grundfläche und der Höhe überein.
  Sie passen zusammen genau in das gerade Prisma, das dieselbe Grundfläche und die gleiche Höhe wie 2 der Pyramiden besitzt.
  Die 3 Pyramiden füllen das Prisma genau aus.
  Daraus folgt folgende erweiterte Regel für das Volumen von Pyramiden:
  

• Kugelvolumen
  
  Die Wasserspuren an den Körpern (Zylinder [Radius der Grundfläche r und Höhe r gleich], Halbkugel [Radius r] und Kegel [Radius der Grundfläche r und Höhe r gleich]) zeugen vom Versuch, durch Umfüllen das Volumen der Kugel (bzw. Halbkugel) zu ermitteln.
  Durch Vergleich der Wassermengen haben wir herausgefunden, dass, weil in den Kegel 1/3 der Wassermenge des Zylinders passt, die Halbkugel 2/3 der Wasserenge des Zylinders fassen kann. Damit fasst dann die Kugel 4/3 vom Zylinder, also 4/3·π·r³.
• Rechnerische Herleitung des Kugelvolumens mit Hilfe einer erweiterten Abbildung aus einem Geogebra-Arbeitsblatt:
  
  Von oben betrachtet ergibt sich links ein Kreis mit Radius x und rechts ein Ring mit dem Radius r und der Dicke k bzw. j.
  Zu zeigen ist, dass die Flächeninhalte dieser Gebilde übereinstimmen.
  Vorüberlegung:
  links ist der Schnitt senkrecht zu h, d. h. das aus h, x und r gebildete Dreieck ist rechtwinklig
  rechts liegt ein Quadrat vor, da Breite und Höhe gleich 2r sind. Die Diagonalen verlaufen also unter einem Winkel von 45° und es gilt: RS = SK = h
• Kreis links: A = π · x²   mit x² = r² - h², also A = π · (r² - h²) 
• Ring rechts: Der Außenradius ist r und der Innenradius h, die Fläche also A = π · r² - π · h² = π · (r² - h²)
• Die beiden Flächeninhalte stimmen also überein.
  Nach dem Satz von Cavalieri sind dann auch das Volumen der Halb-Kugel und das Volumen des Zylinders vermindert um das Volumen des Kegels gleich:
  
  Das Volumen der ganzen Kugel beträgt also

• Versuch zur Berechnung der Kugeloberfläche
  
  Ihr habt angeregt, die Kugeloberfläche wie eine Apfelsine aufzuschneiden durch "gerade" Schnitte vom "Nordpol" bis zum "Äquator".
  Wir haben darüber diskutiert, wie diese Schnitte flachgedrückt wohl aussehen würden und Ihr habt Euch mit Mehrheit für das linke der 3 Auswahlstücke entschieden. Wir konnten auch belegen, dass es nur diese Form sein kann, weil alle Schnitte senkrecht auf den Äquator treffen.
  Dann haben wir angenommen, die Fläche sei durch ein Dreieck anzunähern, bei dem die Höhe dem Viertel eines Umfangs entspricht:
  
  Sämtliche Grundseiten zusammen ergeben den Kreisumfang des Äquators, sodass die Fläche der oberen Kugelhälfte sichergibt aus
  
  Die gesamte Kugeloberfläche wäre dann doppelt so groß, also π²·r².
  In der Formelsammlung steht aber etwas anderes und außerdem kann diese Näherung nicht richtig sein, weil die betrachteten Dreiecke ja alle unten 2 rechte Winkel besitzen müssten, was aber wegen der Winkelsumme 180° im Dreieck nicht geht.
  Darum haben wir dann folgenden Versuch unternommen:
  
• Berechnung der Kugeloberfläche
  
  In eine Kugel mit dem Radius r wird eine Pyramide so gelegt, dass die Spitze der Pyramide im Mittelpunkt der Kugel und die Grundfläche der Pyramide auf der Kugeloberfläche liegt.
  Die Kugeloberfläche ist zwar gekrümmt. Wenn man aber die Grundfläche der Pyramide klein wählt, ist der Fehler verschwindend gering.
  Nun werden weitere Pyramiden auf gleiche Art und Weise in die Kugel gelegt, bis das gesamte Kugelvolumen mit Pyramiden ausgefüllt ist.
  Die Summe der Pyramidenvolumina ist also gleich dem Kugelvolumen: 
  Die Summe der Flächeninhalte der Pyramiden-Grundflächen ist gleich dem Inhalt der Oberfläche der Kugel:
  Also gilt: 

• Wiederholung zur Klassenarbeit
  Wichtig:
  
• Bei Textaufgaben immer erst eine Zeichung anfertigen.
• Bei 3-dim-Gebilden für zu berechnende Flächen oder Teilfiguren separate Zeichnungen erstellen.
• Möglichst allgemein (mit Buchstaben) rechnen und erst ganz zum Schluss gegebene Zahlenwerte einsetzen.
• π möglichst bis ganz zum Schluss stehen lassen: Vielleicht kürzt es sich ja heraus?
• Klammern sind kein Luxus, auf den man verzichten könnte!

• Wiederholung zur Klassenarbeit
  Die Tafelbilder sind bei Moodle zu finden.

• Wiederholung zur Klassenarbeit

• Klassenarbeit 4  [ Aufgaben | Lösungen ]

• Rückgabe der Klassenarbeit
• Einführung in das Arbeiten mit der 4-Feldertafel
  
• Soll ein Sachverhalt untersucht werden, bei dem nach 2 Kriterien unterschieden wird, die jeweils zutreffen können oder nicht zutreffen können, so bietet sich als Hilfsmittel zur Veranschaulichung eine 4-Felder-Tafel an:
  
  In den roten Feldern steht, in welchem Maß die Kriterien 1 und 2 zutreffen, die grünen Felder enthalten die Summen der roten Spalten- bzw. Zeilen-Felder, das gelbe Feld enthält die Summe der roten Felder.
• Beispiel: In einer Umfrage werden die Schülerinnen und Schüler der 9. Jahrgangsstufe befragt, ob sie einen eigenen Computer besitzen, der höchstens 2 Jahre alt ist.
  Die Darstellung der Ergebnisse der Umfrage erfolgt in einer 4-Feldertafel:
  Kriterium 1: Junge oder Mädchen ; Kriterium 2: besitzt Computer oder besitzt keinen Computer.
  
• Aus dieser Darstellung lassen sich nun leicht einige Aussagen ableiten:
• Fast die Hälfte besitzt einen eigenen neueren Computer (die Summe 70 für "Computer -ja" ist nur geringfügig kleiner als die Summe 80 für "Computer - nein").
• 40% der Mädchen haben einen eigenen Computer (insgesamt sind es 100 Mädchen, 40 Mädchen haben einen eigenen Computer, das sind 40%).
• Etwa 57% alle Computerbesitzer sind Mädchen (insgesamt gibt es 70 Computerbesitzer, darunter 40 Mädchen. Das ergibt 40/70=4/7 oder etwa 0,57).
• Mehr Mädchen als Jungen besitzen einen Computer (40 Mädchen aber nur 30 Jungen geben an, einen eigenen Computer zu besitzen, also gibt es mehr Mädchen mit Computer. Betrachtet man aber nicht die absoluten Zahlen sondern den jeweils prozentualen Anteil, dann ergibt sich ein anderes Bild: 40% (40 von 100) der Mädchen und 60% (30 von 50) der Jungen besitzen einen eigenen Computer, also gibt es prozentual mehr Jungen als Mädchen, die einen eigenen Computer besitzen).

• Zusammenhang zwischen Baumdiagrammen und 4-Felder-Tafeln
  0,2% aller Bewohner eines Landes sind von einer bestimmten Krankheit betroffen.
  Ein Test soll interessierten Personen zeigen, ob sie erkrankt oder gesund sind.
  Man weiß, dass der Test bei 2% der gesunden getesteten Personen positiv ausfällt, also auf die Krankheit hindeutet (falsch positiv).
  Man weiß, dass der Test bei 30% der kranken getesteten Personen negaitv ausfällt, also auf Gesundheit hindeutet (falsch negativ).
  1. Angenommen, der Test fällt positiv aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man trotzdem gesund?
  2. Angenommen, der Test fällt negativ aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist man trotzdem krank?
   
      
  Antwort zu 1. :  p_positiv(gesund)=93,4%
  Antwort zu 2. :  p_negativ(krank)=0,0613%