Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 11ma3g

Häufigkeitsverteilungen

• Wiederholung zur Wahrscheinlichkeitsrechnung (Klassen 5 bis 10):
• absolute Häufigkeit H: Die Anzahl der Erfolge bei einem Zufallsversuch.
  Beispiel: Man "würfelt" 60-mal mit einer Münze und zählt, wie häufig dabei die Zahl-Seite erscheint. Das Ergebnis ist dann H, z. B. H=32.
• relative Häufigkeit h: Die Anzahl der Erfolge bezogen auf die Gesamtheit der Versuche.
  Beispiel: Spieler 1 würfelt 60-mal und erhält H₁=34 Erfolge, Spieler 2 würfelt 40-mal und erhält H₂=23 Erfolge.
  Spieler 1 hat zwar öfter Erfolg gehabt als Spieler 2, aber ist das Verhältnis vom Anzahl der Erfolge zur Anzahl der Versuche bei Spieler 1 auch besser?
  Dazu wird die relative Häufigkeit h=H/n berechnet, bei der n die Anzahl der Versuche angibt.
  
  Da h₂>h₁, hat Spieler 2 bei seinen Versuchen etwas häufiger Erfolg als Misserfolg gehabt.
• Wahrscheinlichkeit: Eine (im Prinzip jedenfalls) beliebig ausgedachte Zahl p aus dem Intervall .
  Fast immmer wählt man diese Zahl so aus, dass sie bei einem Zufallsversuch mit sehr vielen Durchgängen die erreichte relative Häufigkeit gut annähert.
  In den Beispielen oben könnte man sinnvoll p=0,57 wählen, oder wenn man davon ausgeht, dass jede Seite der Münze etwa gleich häufig erscheint,auch p=0,50.
• Relative Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten sind Zahlen zwischen 0 und 1 (jeweils einschließlich).
  Die Summe aller relativen Häufigkeiten und aller Wahrscheinlichkeiten ergeben jeweils 1.
• p=0 ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das mit Sicherheit nicht eintritt.
  p=1 ist die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das mit Sicherheit eintritt.
• Pfaddiagramme oder Baumdiagramme: Bei mehrstufigen Zufallsversuchen kann man die Wahrscheinlichkeiten (manchmal) recht übersichtlich ermitteln, wenn man eine graphische Darstellung zu Hilfer nimmt:
  Für jeden Ausgang eines Zufallsversuchs geht von einem Punkt eine Strecke aus. An das Ende der Strecke schreibt man das Zufallsergebnis, an die Strecke selbst die Wahrscheinlichkeit, mit der dieses Ergebnis eintritt.
  Daraus folgt: Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Strecken, die von einem Punkt ausgehen, ergeben zusammen 1.
  Geht man an einem Pfad eines mehrstufigen Zufallsversuchs entlang, so werden die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Teilstrecken multipliziert (Pfad-Produktregel).
  Wird die Wahrscheinlichkeit für mehrere Ausgänge des Zufallsversuchs zusammen gesucht, so werden die Teilwahrscheinlichkeiten addiert (Pfad-Additionsregel).
• Beispiel für das Arbeiten mit einem Pfaddiagramm:
  Bei einem Spiel zwischen 2 Partnern gewinnt derjenige, der zuerst 4 Teilspiele gewonnen hat. Es wird so häufig gespielt, bis dieses Ergebnis eingetroffen ist.
  Beide Spieler haben dieselbe Spielstärke, d. h. die Wahrscheinlichkeit p(1), dass Spieler 1 gewinnt ist p(1)=0,5 und ebenso ist p(2)=0,5.
  Als Preis sind 12000 Ct. ausgesetzt.
  Nun muss das Spiel vorzeitig abgebrochen werden, nachdem 2-mal Spieler 1 und 1-mal Spieler 2 gewonnen hat.
  Wie sollte man das Preisgeld auszahlen, wenn es "gerecht" zugehen soll?
• Darüber, was "gerecht" bedeutet, lässt sich streiten.
  Ihr habt im Unterricht folgende Vorschläge gemacht:
• Für jedes gewonnene Teilspiel gibt es den gleichen Betrag, d. h. Spieler 1 erhält 8000 Ct. und Spieler 2 bekommt 4000 Ct.
• Da Spieler 1 noch 2 Spiele gewinnen müsste und Spieler 2 noch 3 Spiele, sollte das Preisgeld im Verhältnis 3:2 ausgezahlt werden, d. h. Spieler 1 erhält 7200 Ct. und Spieler 2bekommt 4800 Ct.
• Da Spieler 1 am häufigsten gewonnen hat, bekommt er das ganze Geld und Spieler 2 geht leer aus.
• Da man nicht sagen kann, wer gewinnt, erhält jeder den gleichen Betrag, also 6000 Ct.
• Als Aufgabe wurde schließlich gestellt, dass das Preisgeld so aufgeteilt wird, dass es den Chancen für einen Gewinn entspricht, d. h. es muss für jeden Spieler ausgerechnet werden, mit welcher Wahrscheinlichkeit er gewinnt.
  Dazu wird ausgehend vom Anfangszustand (Spieler 1 hat 2-mal gewonnen und muss noch 2-mal gewinnen, Spieler 2 hat 1-mal gewonnen und muss noch 3-mal gewinnen) ein Pfaddiagramm erstellt:
  
  Rote Felder bedeuten: Spieler 1 hat gewonnen, grüne Felder bedeuten: Spieler 2 hat gewonnen.
  Die "blauen" Wahrscheinlichkeiten geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit man in der entsprechenden Spalte gewonnen hat (Produktregel für Pfade).
  Mit Hilfe der Additionsregel für Pfade können dann die Gewinnwahrscheinlichkeiten für die beiden Spieler berechnet werden:
  Spieler 1:
  
  Spieler 2:
  
  Spieler 1 sollte also 11/16 und Spieler 2 sollte 5/16 vom Gewinn bekommen, d. h. Spieler 1 erhält 8250 Ct. und Spieler 2 erhält 3750 Ct.
  Ist das nun gerecht?
  

• Wiederholung und Übungen zu den Begriffen Merkmal (qualitativ [ohne Zahlen], quantitativ [mit Zahlen]), Merkmalsausprägung,
  absolute und relative Häufigkeit, Häufigkeitsverteilung.
• Berechnungen mit dem Taschenrechner:
• arithmetisches Mittel: 2nd > LIST > MATH > 3:mean(
  Beispiel: mean({3,7,14,23}) --> 11.75 oder mean(L1), wenn die Zahlen in der Liste 1 stehen.
• gewichtetes Mittel:
  Hier wird zusätzlich eine Liste angegeben, in der die Häufigkeiten für die einzelnen Zahlenwerte angegeben werden.
  Beispiel: mean({3,7,14,23},{0.2,0.1,0.5,0.2}) --> 12.9 oder mean(L1,L2). wenn die Zahlen in Liste 1 und die Häufigkeiten in Liste 2 stehen.
  Man muss die Häufigkeiten nicht wie oben als Prozente angeben. Es geht auch so: mean({3,7,14,23},{20,10,50,20}) oder mean({3,7,14,23},{2,1,5,2})
• Median: gibt den mittleren von einer Reihe von geordneten Ergebnissen an.
  Beispiel: bei 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 2 , 5 , 12 , 17 , 45, 73  ist die fett und groß gedruckte 2 der Median.
  Gibt es keine mittlere Zahl, so wird das arithmetische Mittel der beiden mittleren Zahlen genommen,
  z. B. ist (2+5)/2=7/2=3,5 der Median von 1 , 1 , 1 , 1 , 2 , 5 , 12 , 17 , 45, 73.
  Auf dem Taschenrechner berechnet man den Median mit 2nd > LIST > MATH > 4:median(
  Beispiel: median({1,1,1,1,2,5,12,17,45,73}) --> 3.5

• Klassieren von Daten, Berechnung des Mittelwertes und Histogramme klassierter Daten in Eigenarbeit.
• Berechnung der (empirischen) Standardabweichung
  Eine Maschine soll jeweils 100 g Mandeln in Tüten abpacken. Bei einem Kontrolllauf misst man folgende Mengen (in Klammern die Anzahl der gefundenen Tüten):
  100 g (4), 101 g (7), 102 g (12), 103 g (10), 104 g (6), 105 g (1)
• Die Mengen in Gramm werden in Liste L1 eingetragen, die Anzahl der entsprechenden Tüten in Liste L2.
• Den Mittelwert der Grammzahl pro Tüte berechnet man, indem man in Liste L3 das Ergebnis von L1*L2 eintragen lässt (also L3=L1*L2), dann die Summe der Listeneinträge in L3 bildet (sum(L3)) und durch die Gesamtzahl der Tüten (sum(L2)) teilt.
  Den Mittelwert erhält man auch schneller durch mean(L1,L2).
• Nun berechnet man die Abweichungen vom Mittelwert in Liste L4 mit L4=L1-mean(L1,L2).
  Die Summe dieser Abweichungen ist 0.
  
• Um eine aussagekräftige Größe für die Abweichung zu erhalten, könnte man die Beträge der Abweichungen summieren.
  Man nimmt aber (damit größere Abweichungen sich stärker auswirken) das Quadrat der Abweichungen: L5=(L1-mean(L1,L2))^2.
• Dieser Wert wird nun mit der relativen Häufigkeit der jeweiligen Tüten multipliziert: L6=L2/sum(L2)*L5.
• Da die Summe der Elemente von L6 (also sum(L6)) in der Einheit g² auftritt, wird anschließend noch die Wurzel gezogen und es ergibt sich ein Maß für die Abweichung vom Mittelwert in der Einheit Gramm, das Standardabweichunggenannt wird.
        
          
  
• Noch einfacher geht alles, wenn man unter STAT>CALC 1:1-Var Stats wählt.
  Dann findet man unter σx den Wert für die Standardabweichung:
        

• Wiederholung zum Thema Standardabweichung (siehe oben).
• Einführung in das Thema Regression mit Hilfe des Programms VU-Statistik (auf der CD im Mathebuch der Klassse 10)
  
  

• Wiederholung zu den Themen Standardabweichung und Regression.
  Berechnung der Summe der Quadratflächen bei gegebenen Punkten und einer gegebenen Regressionsgerade.
• Hausaufgabe: Die schriftlich durchgeführte Rechnung mit dem Taschenrechner (Listen) durchführen (siehe Buch Seite 368 Aufgabe 3).
  

• Wiederholung zu Regressionen und die Bedeutung des Regressionskoeffizienten
• Beginn der Wiederholung zu Themen aus der Sek.I