Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 11ma3g

Beurteilende Statistik

• Einführendes Beispiel:
  Eine Münze wird 100-mal geworfen. Da es nur 2 Versuchsausgänge gibt (Erfolg=Zahl; Misserfolg=Wappen) und die Wahrscheinlichkeit für Zahl immer gleich 1/2 bleibt, liegt eine Bernoulli-Kette vor.
  Der Erwartungswert für Zahl ist.
  Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass aber genau 50-mal Zahl erscheint, ist laut Tachenrechner
  
  Knapp 8% sind für einen Erwartungswert eigentlich etwas wenig. Woher kommt dieser Wert?
  
• Darstellung der Wahrscheinlichkeiten für das k-fache Auftreten von Zahl bei 100 Versuchen:
  
  Man sieht, dass auch für Werte aus der Nachbarschaft des Erwartungswertes eine große Wahrscheinlichkeit besteht.
• Wie groß muss das Intervall um den Erwartungswert sein, damit 90% aller Versuchsergebnisse damit abgedeckt sind?
  Im Taschenrechner geben wir in Liste L1 den "Radius" dieses Intervalls an und berechnen dann in L2 die Wahrscheinlichkeit für diesen Bereich.
  Formeln:
  L1:  seq(X,X,0,20)
  L2:  binomcdf(100,1/2,50+L1) - binomcdf(100,1/2,50-L1-1)
  
  Es ist also der Radius 8 zu wählen, damit sich in mehr als 90% aller Versuche ein Ergebnis aus diesem Bereich einstellt.
  Das Intervall ist damit [50-8 ; 50+8] = [42 ; 58]
• Hausaufgabe: Die gleiche Aufgabe für n=200 lösen.

• Besprechung und Rückgabe der Klausur 3  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Varianz und Standardabweichung bei Bernoulli-Ketten
  Schon bekannt ist der Erwartungswert bei Bernoulli-Ketten: E(X)=n·p.
  Für die Fälle n=1 und n=2 haben wir wie schon bekannt mit der Summe aus (k-E(X))²·p(X=k) die Varianz und mit anschließendem Wurzelziehen die Standardabweichung berechnet.
  n=1:
  
  Berechnung von V(X) durch Addition:
  
  n=2:
  
  Berechnung von E(X):
  
  Berechnung von V(X):
  
• Auf den allgemeinen Beweis verzichten wir in unserem g-Kurs lieber...
  Es ergibt sich für beliebiges n: V(X)=n·p·q
• Insgesamt ergibt sich also:
  

• Neben Übungen zum Erwartungswert und zur Standardabweichung bei der Binomialverteilung haben wir untersucht, für welchen Wert von p die Standardabweichung maximal ist:
• Für n=50 wird für die Wahrscheinlichkeiten p (mit p aus der Menge {0,1; 0,2; 0,3; 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9}) jeweils die Standardabweichung berechnet und graphisch dargestellt:
       
  Man erkennt aus dem rechten Bild, dass die Standardabweichung für p=0,5 anscheinend maximal wird.
• Da der Taschenrechner nur mit (allerdings guten) Näherungen arbeitet, berechnen wir zur Sicherheit den Wert exakt:
  Das Maximum einer Funktion findet man, indem man die Funktionsgleichung ableitet, gleich 0 setzt und dann nach der Variable auflöst:
  
  Auch rechnerisch ergibt sich der Wert p=0,5.
• Hausaufgabe: Seite 431 Aufgabe 4 und 5 ganz

• Lösung der Umrechnungsaufgaben:
  Verwendet werden die Formeln p+q=1 ; μ=n·p ; σ²=n·p·q
• gegeben sind μ und σ, gesucht sind n und p:
  Aus σ²=n·p·q und μ=n·p folgt durch Dividieren:
  
  
• gegeben sind n und σ, gesucht ist p:
  
  Die Lösung ist nicht eindeutig. Eine der Lösungen ist p, die andere ist q. Beweis:
  
• gegeben sind σ und p, gesucht ist μ:
  
  
• Wenn σ²=n·p·q>9 (Laplace-Bedingung), dann gelten näherungsweise folgende Sigma-Regeln:
  

• Besprechung der Hausaufgabe
  Hier die LibreOffice-Tabelle zum Herunterladen:
  
  

• Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe
  Eine Firma, die Lose für Jahrmarktsbetriebe herstellt, behauptet, 50% ihrer Lose seien Gewinne.
  Ein Schausteller verlässt sich auf diese Angabe, will aber auf Grund von Verlusten diese Angabe überprüfen.
  Er öffnet 500 Lose und stellt dabei 273 Gewinne fest.
  Ist dieses Ergebnis verträglich (Ergebnis innerhalb der 95%-Umgebung des Erwartungswertes) mit der Behauptung p=0,5 für die Wahrscheinlichkeit eines Gewinnes?
  Er rechnet:
  Erwartungswert: μ=n·p=500·0,5=250
  Standardabweichung: σ=√(n·p·(1-p))=√(500·0,5·0,5)=√(125)=11,18
  95%-Umgebung: 1,96·σ=1,96·11,18=21,91≈22
  Abweichung nach oben (273>μ=250), also obere Grenze der 95%-Umgebung: μ+1,96·σ=250+22=272
  Das Ergebnis 273 liegt also soeben nicht in der 95%-Umgebung.
• Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit
  Nun stellt sich die Frage, mit welcher Wahrscheinlichkeit p für ein Gewinn-Los das Ergebnis des Zufallsversuchs verträglich ist.
  In der Ungleichungskette
  
  ist der Wert für p gesucht.
  Eine rechnerische Herleitung der Lösung findet man unter
  http://gfs.khmeyberg.de/Materialien/IIMathematik/stichprobegesamtheit.pdf
• Graphische Lösung der Ungleichung:
  Für die Ränder des Intervalls gelten die Gleichungen
  
  Interpretiert man die rechten Seiten der Gleichungen als Funktionsterme, so kann man aus den Graphen für jeden p-Wert die entsprechende obere und untere Grenze der 95%-Umgebung ablesen. Die Gerade mit der Gleichung y=273 schneidet dann die beiden Graphen in den Punkten, zu denen als p-Wert die gesuchten Wahrscheinlichkeiten p₁ und p₂ gehören, zwischen denen die mit dem Versuchsergebnis verträglichen Wahrscheinlichkeiten liegen.
• Lösung mit dem Taschenrechner (INTERSECT im Menue CALC):
             
  
             
  
             
  Es ergeben sich die p-Werte p₁=0,502 und p₂=0,589.
• Lösung mit GeoGebra (download der Datei)
  
• Lösung mit dem SOLVER-Befehl auf dem Taschenrechner (MATH > B:SOLVER):
          
  
      
  
• Zum Schluss noch die wohl einfachste Methode (ob die aber im Abitur erlaubt ist, ist fraglich) mit dem Taschenrechner:
  STAT > TESTS > A:1-PropZInt