Unterrichtseinsichten - Schuljahr 2011/2012 - Mathematik 8e

Quadratische Funktionen und Gleichungen

• Zuordnung, Relation, Funktion
  
• Werden den Elementen einer Menge X die Elemente einer Menge Y zugeordnet, so ist das eine Zuordnung (geschrieben x Pfeil y).
• Wird jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet, so nennt man die Zuordnung Funktion.
• Werden die x- und y-Werte einander beliebig (auch mehrfach) zugeordnet, so nennt man die Zuordnung Relation.
• Funktion? Ja oder nein?
  
  Die Gerade links ist Graph einer Funktion, weil jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist.
  Auch die Kurve in der Mitte ist der Graph einer Funktion, weil auch hier jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet ist.
  Die Kurve rechts gehört nicht zu einer Funktion, weil es x-Werte gibt, zu denen mehr als ein y-Wert gehört. So befindet sich die gestrichelte senkrechte Gerade an einer Stelle x, zu der es 3 y-Werte gibt.
• Bislang haben wir als Graphen von Funktionen nur Geraden kennengelernt.
  Was muss man an den Gleichungen ändern, damit man auch gekrümmte Linien als Graph erhält?
  Kompliziertere Gleichungen mit x, y und Zahlen zu bilden, funktioniert nicht, weil man diese Gleichungen wieder zu einfachen Geradengleichungen umformen kann.
  Beispiel: 5x-2y+3-x=2y-3+16x kann man umformen zu y=-3x+1,5. Es ergibt sich also wieder eine Gerade.
  Ihr kamt auf die Idee, vielleicht auch x² oder andere Formen von x uny zu verwenden.
  Beispiel: y³ - √x + 1/(y - 2) - 5·x = 0 ergibt folgenden Graph:
  
  Die Untersuchung solcher Relationen ist für uns aber zu schwer.
  Wir fangen lieber etwas einfacher an:
• Aufgabe: Setzt in der Gleichung y=a·x2+b·x für a und b verschiedene Zahlenwerte ein und lasst euern Taschenrechner die Graphen zeichnen.
  Wo seht ihr Übereinstimmungen und wo Unterschiede bei den Graphen?
  Freya stellte ihr Ergebnis vor und wir sahen daran folgende Besonderheit: Alle Kurven gehen durch die Punkte (0/0) und (-1/-1):
  
  Die entstandenen Kurven nennt man Parabeln.
  Gehen denn nun alle Parabeln mit den Gleichungen y=a·x²+b·x durch die Punkte (0/0) und (-1/-1)?
  Wir probieren das aus, indem wir in die Gleichung die Koordinatenwerte von x und y einsetzen:
• Punkt (0/0): 0=a·0²+b·0=0+0=0   Diese Gleichung stimmt. Alle zur Gleichung gehörenden Parabeln gehen also durch den Punkt (0/0).
• Punkt (-1/-1): -1=a·(-1)²+b·(-1)=a-b Daraus folgt durch Umformen a=b-1.
  Was bedeutet das? Es heißt, dass die Parabeln nur dann durch den Punkt (-1/-1) gehen, wenn a=b-1 ist.
  Schauen wir uns die Gleichungen der gezeichneten Parabeln einmal an:
  y1=1x²+2x ; y2=2x²+3x ; y3=3x²+4x ; y4=4x²+5x ; y5=5x²+6x
  Tatsächlich ist die Bedingung a=b-1 bei allen Gleiuchungen erfüllt: 1=2-1 ; 2=3-1 ; 3=4-1 ; 4=5-1 ; 5=6-1.
• Wird a unabhängig von b gewählt, sieht man, dass nur noch der Punkt (0/0) zu allen Parabeln gehört:
  
• Wie wirken sich die Vorzeichen von den a- und b-Werten auf die Lage der Parabeln aus?
  Ihr habt folgende Eigenschaft gefunden:
  
• Steht vor dem a ein Pluszeichen, so ist die Parabel nach oben geöffnet.
• Steht vor dem a ein Minuszeichen, so ist die Parabel nach unten geöffnet.
• Sind die Vorzeichen von a und b gleich, so liegen die höchsten und tiefsten Stellen der Parabel links von der y-Achse.
• Sind die Vorzeichen von a und b verschieden, so liegen die höchsten und tiefsten Stellen der Parabel rechts von der y-Achse.
• Hausaufgabe:
  Welche Bedingungen müssen die Werte für a und b erfüllen, damit die Parabeln der Gleichung y=a·x²+b·x alle durch den Punkt (1/2) verlaufen?

• Lösung der Hausaufgabe:
  Wenn die Parabeln der Art y=a·x²+b·x alle durch den Punkt (1/2) verlaufen sollen, müssen die Werte von a und b so gewählt werden, dass die Gleichung richtig ist, wenn man für x und y die Koordinaten 1 und 2 des Punktes einsetzt:
  
  Beispiel für eine solche Parabel mit a=0,9:
  
• Den Graph der Gleichung y=x² nennt man Parabel (in dieser Form auch Normalparabel).
  Eine Parabel besitzt eine Symmetrieachse, die senkrecht durch den Scheitel der Parabel läuft.
  Der Scheitel ist die höchste oder die tiefste Stelle der Parabel.
• Eine Normalparabel kann verschoben werden:
  nach oben oder unten durch Addition oder Subtraktion einer Konstanten zum Funktionsterm,
  nach rechts oder links durch Subtraktion oder Addition einer Konstanten zur Variablen x.
  Befindet sich vor dem x² ein Minuszeichen, so ist die Parabel nach unten geöffnet, mit einem Pluszeichen ist sie nach oben geöffnet.
  Galerie einiger Parabeln:
  

• Wir haben in der letzten Stunde schon gelernt, dass die Gleichung y=(x-5)²+4 eine Normal-Parabel beschreibt, die um 5 nach rechts und um 4 nach oben verschoben ist.
          
  Sucht man nun Punkte, die auf der Parabel liegen, so ist das einfach, wenn ein x-Wert vorgegeben wird. Der y-Wert kann einfach berechnet werden:
  
  Schwieriger ist es, wenn der y-Wert vorgegeben ist:
  
• Der Taschenrechner kann bei der Aufgabe mit einer Näherungsrechnung helfen.
  Fasst man die Angaben y=13 und y=(x-5)²+4 als Gleichungen zweier Graphen (zur x-Achse parallele Gerade und Parabel) auf, findet man die Lsung, wenn man die Koordinaten der Schnittpunkte bestimmt. Schnittpunkte berechnet der Taschenrechner mit der Funktion CALC>INTERSECT:
                         
  
             
  
  
• Ist die Gleichung nicht in der Scheitelpunktsform y=(x-5)²+4, sondern in der ausmultiplizierten Form y=x²-10x+29 gegeben, so kann man nicht unmittelbar erkennen, wie die Normalparabel verschoben wurde. Man bringt die Gleichung in die Scheitelpunktsform, indem man rät, was in der Klammer stehen muss, und dann den Rest ausgleicht:
  y=x²-10x+29
  Versuch: y=(x-5)² könnte funktionieren, weil dann beim Auflösen der Klammer die ersten beiden Summanden stimmen.
  Die 5 rät man, weil 2·x·5=10x, also von dem Koeffizienten von x muss man die Hälfte wählen.
  Überprüfung: y=(x-5)²=x²-10x+25 Leider stimmt der letzte Summand noch nicht. Dort muss 29 stehen. Die restlichen 4 müssen also addiert werden:
  y=(x-5)²+4=x²-10x+25+4=x²-10x+29  Wir haben die Scheitelpunktsform gefunden!

• Rückgabe der Klassenarbeit 4  [ Aufgaben | Lösungen ]
• Übungen zum Verschieben von Graphen mit GeoGebra

• Aufstellen von Parabelgleichungen der Art y=a·x²+b·x+c am Beispiel "Brückenbogen" mit GeoGebra.
  Wenn Ihr noch einmal üben wollt, hier die GeoGebra-Datei zum download:
  

• Ist die Gleichung einer Parabel in der Scheitelform bekannt, kann man sehr einfach angeben, wo sich der Scheitelpunkt der Parabel und damit die ganze Parabel befindet. Beispiel:
  
• Was macht man aber, wenn die Gleichung in folgender Form gegeben ist?
  Unmittelbar aus der Gleichung kann man die Koordinaten des Scheitelpunktes nicht ersehen.
  Man formt deshalb zweckmäßig in die oben gegebene Form um:
  
  Wenn man die Klammer setzt, ergibt sich zusätzlich die rote +1, die dann hinter der Klammer durch die grüne -1 rückgängig gemacht wird.
  Die rote +1 nennt man quadratische Ergänzung, weil man dann die Klammer im Quadrat schreiben kann.
• Dieses Verfahren benutzt man nicht nur bei Parabeln, sondern auch bei der Lösung quadratischer Gleichungen.
  Setzt man in der Gleichung y=x2+2x-8 den y-Wert zu 0, so erhält man als x-Werte die Nullstellen der Parabel.
  Die in die Scheitelpunktsform umgeformte Parabelgleichung kann man dann gut benutzen, um die x-Werte zu berechnen:
  
• Da das Verfahren ziemlich aufwändig ist und immer nach demselben Schema abläuft, haben wir uns nun einmal die Mühe gemacht, die Rechnung statt mit Zahlen mit Buchstaben durchzurechnen, um dann später in die gefundene Formel einfach die aktuellen Zahlen einsetzen zu können:
  
• Wir erhalten also folgende "p-q-Formel" (in einer Erweiterung, die wir in der nächsten Stunde besprechen werden, auch "Mitternachtsformel" genannt)
  
• Beispiel zur Anwendung:
  
  In Worten (als "Kochrezept"):
  1. Schreibe hinter das Gleichheitszeichen die Hälfte des Wertes, der vor dem x steht und vertausche das Vorzeichen.
  2. Schreibe unter die Wurzel zunächst das Quadrat der Zahl, die vor der Wurzel steht. Beachte: Dieses Quadrat ist immer positiv!
  3. Schreibe dann dahinter (immer noch unter der Wurzel) den Summanden, der in der Gleichung ohne x auskommen muss, und zwar mit umgekehrtem Vorzeichen.
• Ein Tipp: Wenn man diese Formel "im Schlaf" kann, dann erspart man sich in weiteren Mathestunden und Mathematik-Arbeiten viele Fehler!

• Die in der letzten Stunde kennengelernte p-q-Formel hilft uns, quadratische Gleichungen der Art x²+p·x+q=0 zu lösen.
  Was aber ist, wenn vor dem x² ein Faktor steht?
• Aufgabe:
  2·x²-8·x-20=0
  Man kann die Aufgabe leicht auf die oben angegebene Form zurückführen, wenn man die Gleichung durch 2 dividiert.
  Dann kann man mit der p-q-Formel die Lösung finden:
  
• Ob es sich lohnt, eine Formel zu entwickeln, bei der vor dem x ein beliebiger Faktor stehen darf?
  Die Ausgangsgleichung hätte dann die allgemeine Form a·x²+b·x+c=0.
  Herleitung mit Hilfe der p-q-Formel:
  
  Probieren wir die Formel an der Aufgabe 2·x²-8·x-20=0 aus:
  
  Lohnt es sich nun, diese neue Formel zu lernen und anzuwenden? Das muss jeder für sich entscheiden.